Диссертация (1103472), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Тогда существует классическое решениезадачи (2.1), удовлетворяющее неравенствам(2.27)(, , ) < (, , ) < (, , )при ∈ [, ], ∈ [0, ].Заметим, что условие K.2.3 верно для любой функции (, , ) с равно­мерно ограниченной производной в области между нижним и верхним реше­ниями для достаточно малых .В следующем разделе мы построим нижнее и верхнее решения, удовлетво­ряющие Теореме 2.1.2.3.2.

Построение верхнего и нижнего решенийПостроим семейства нижних и верхних решений в виде(︀ (, , ) = , + +1 ¯+1, () − + (+1) ( , )+)︀(︀)︀+ Π(+1) ( ) + Π(+1) ( ) + +1 − + , (2.28)(︀ (, , ) = , + +1 ¯+1, () + + (+1) ( , )+)︀(︀)︀+ Π(+1) ( ) + Π(+1) ( ) − +1 − + , (2.29)где > 0, функции ,, (, , ) есть частичные суммы рядов, аналогичных(2.5) и (2.4),, (, , ) =∑︁(︀ (±))︀(±) ¯,, () + ,, (, , ) + Π,,, ( ) + Π,,, ( ) .=0Погранслойные части асимптотики и их модификация определяется стандарт­ным образом (см., например, [22]).Функции (, , ) и (, , ) принадлежат классу 0 на ∈ [, ] и имеют(±)(±)скачок производной в точках ⋆ и ⋆ соответственно, ¯,, = ¯ (), причем(−)(+)(−)(+)переход от ¯, к ¯, происходит в точке ⋆ , от ¯ к ¯ – в точке ⋆ . Функции(−)(+)(−)(+), меняются на , в точке = 0, , – на , в точке = 0.59(±)Функции , = 0, .

. . , , определяются из (2.22) с учетом замены на(±) . Задачи для , = 0 . . . аналогичны (2.22) с подстановкой вместо .Модифицированные функции переходного слоя ( + 1)–го порядка для(±)верхнего решения (+1) определяются из задач, аналогичных (2.22), где(±)(±)¯+1 (0 ) заменено на ¯(+1) (0 ) + , а (+1) на (+1) :⎧ (︁(︀)︀)︁ (±)2⎪(±)⎪⎪0+ 2 − ˜ ( ), 0 , 0 (+1) ( , ) = (+1) ( , ),⎪⎨(︀ (0))︀(±)(±)(0,)=−¯()−+()−¯()+ Ω+1 ,⎪0000(+1)(+1)(+1)⎪⎪⎪⎩ (±) (±∞, ) = 0,(+1)(2.30)где(±)(±)(±)(+1) ( , ) = −(+1) 0 + () 0 + (+1) (+1) ( , ) ++ (+1) ( , ),причем находится из системы уравнений ( + 1)–го порядка, слагаемые , , аналогичны рассматриваемым ранее в младших порядках, вычис­ляются с заменой⎧ 0 на ,˜(±) ( ) =⎪⎨¯(+) (0 ) + (+) ( , ),00 ≥ 0,(−)⎪⎩¯(−)0 (0 ) + 0 ( , ),Задача для (+1) ≤ 0.ставится аналогично.

Растянутые переменные верхнегои нижнего решений , вводятся следующим образом: − ⋆, (, ), =,∑︁⋆, (, ) = () + +1 (+1), (),(2.31)(2.32)=0где (+1) () определяется из задачи Коши⎧⎨ (+1) = (+1) 1 + (+1) − ,⎩(+1) (0) = −, > 0, > 0–постоянные.(2.33)60Функцию (+1) () найдем из задачи Коши⎧⎨ (+1) = (+1) 1 + (+1) + ,⎩(+1) (0) = .(2.34)За счет выбора в задачах (2.33), (2.34) получим, что скорость верхнегорешения меньше скорости ВПС, нижнего–больше:⋆<⋆ ⋆ , >⋆ .Пара­метр > 0 выберем так, чтобы для всеx ∈ [0, ] было верным неравенство(+1) < 0 < (+1) .2.3.3.

Обоснование верхнего и нижнего решенийПроверим выполнение Определения 2.1. При построении нижнего (, , )и верхнего (, , ) решений были введены дополнительные параметры , , .Параметр , модифицирующий регулярную часть асимптотики, служит дляобеспечения упорядоченности нижнего и верхнего решений вне зоны переходно­го слоя, а также для выполнения дифференциальных неравенств для верхнегои нижнего решений.Действительно, вне некоторых окрестностей точек ⋆ , , справедливаследующая оценка для верхнего решения)︁)︀(︀)︀(︀ )︀[ ] = − ¯0 (), , 0 ¯ () + + {. .

.} + =)︀(︀ )︀(︀)︀(︀= − ¯0 (), , 0 + < 0, так как > 0, ¯0 (), , 0 > 0.(︁2¯−2 2(︀Символом {. . .} обозначены производные функции (, , ).Рассмотрим теперь выражение [ ] в окрестности точки ⋆ . Принимая вовнимание (2.30), получим(︁ (︀)︀[ ] = − (−1) − (−2) +(︀)︀(︀)︀+ 0 (() ) − ((−1) ) + 1 ((−1) ) − ((−2) ) + .

. .(︀)︀2. . . + (−1) (1 ) − (0 ) + ( ) + ¯20 (0 ) −(︀)︀(︀)︀(︀)︀)︀(︀ )︀− ˜ ( ), 0 , 0 () − ˜ ( ), 0 , 0 ¯ (0 ) + + {. . .} ) + (︀)︀(︀ )︀= − ¯0 (), , 0 + < 0.При доказательстве мы использовали явные выражения и ¯ , тожде­61ство(2.35) (¯0 (), , 0)¯0 () + (¯0 (), , 0) = 0,тождества, полученные при дифференцировании (2.35). Например,(︀)︀(︀)︀ ¯0 (), , 0 ¯20 + 2 ¯0 (), , 0 ¯0 +(︀(︀+ ¯0 (), , 0)¯0 + ¯0 (), , 0) = 0. (2.36)Рассмотрим более подробно преобразования для случая = 2. Заметим,что(︀[2 ] = 2 −(1 − 0 ) + 0 (2 − 1 ) + 1 (1 − 0 ) +(︀)︀2+ 2 + ¯20 (0 ) − ˜ ( ), 0 , 0 (2) −)︀(︀)︀(︀2( )2− ˜ ( ), 0 , 0 ¯2 (0 )++ ¯1 + ¯0 (0 ) 2 + ¯0 2 − ˜ − ˜ 2 −(︀)︀2(±))︀(︀¯1 (0 )+¯0 (0 ) +1˜ ¯0 (0 ) + ¯1 (0 ) + (±) −− ˜−12(︀ )︀(︀)︀(±)− ˜ ¯1 (0 ) + ¯0 (0 )2 + 1 − ˜ 2 − 12 ˜ ) + 2 =(︀)︀(︀)︀22= 2 ( ¯20 (0 ) − ¯(0 ), 0 , 0 ¯2 (0 ) + + ¯1 + ¯0 (0 ) 2 + ¯0 2 −(︀)︀2(︀)︀2¯()+¯()1000( )¯ ¯0 (0 ) + ¯1 (0 ) −− ¯ − ¯ 2 − ¯−2(︀)︀(︀ )︀2¯− ¯1 (0 ) + ¯0 (0 ) − ¯ 2 − 21 ¯ ) + 2 =(︀)︀(︀)︀2= 2 (− ¯(0 ), 0 , 0 + ¯1 + ¯0 (0 ) 2 + ¯0 2 −(︀¯2 ( )2 )︀( )2− ¯ − ¯ 2 − ¯ ¯1 (0 )¯0 (0 ) + 0 20 − ¯ ¯0 (0 ) −(︀)︀(︀ )︀− ¯ ¯1 (0 ) + ¯0 (0 )2 − ¯ 2 ) + 2 .

(¯ ,,0)Примем во внимание (2.35), (2.36), учтем, что ¯1 () = − (¯00 ,,0) ,0 ,,0)¯0 + (¯0 ,,0)) (¯0 ,,0) (¯¯1 () = − ( (¯0 ,,0)¯0 ()+ (¯0 ,,0)) (¯0 ,,0)−(.2 (¯0 ,,0)Произведем дальнейшее упрощение с учетом этих равенств:(︀)︀(︀)︀[2 ] = 2 (− ¯(0 ), 0 , 0 + ¯1 − ¯ − ¯ ¯1 (0 )¯0 (0 ) −(︀ 2 )︀(︀)︀(︀ )︀− ¯ ¯0 (0 ) − ¯ ¯1 (0 ) ) + = −2 ¯0 (), , 0 + 2 < 0,что и требовалось доказать.Для произвольного > 2 доказательство производится аналогично.Аналогичным образом можно показать, что [ ] > 0.Проверим выполнение условия К.2.2: () (, , ) = + ( ) > 0.62Условие К.2.5. выполняется за счет параметра .

Проверка выполненияостальных условий на границах промежутка производится аналогично.Условие К.2.4. на скачок производной верхнего решения (, , ) в точке выполняется за счет выбора параметра . В самом деле,(︀ ⋆)︀(︀ ⋆)︀(,)+0,,−(,)−0,,= (︁ )︁ [︀]︀(+1)0 ℋ= −−+ ( ) =01(+1)(+1)[︀]︀= − ℋ 0 0 + ( ) < 0R+∞при любом > 0 в силу того, что ℋ0 0 = −∞ (0 )2 0 > 0.Упорядоченность нижнего (, , ) и верхнего (, , ) решений можно по­казать по схеме, близкой к использованной в [6]. Аналогичные доказательстватакже можно найти в [22].Так как − = −1 (−() + () ) > 0, то > .Найдется такое ˜ ∈ ( , ), что ( ) − ( ) =˜ − ) = ()˜ −1 Δ, ()((2.37) = 0, 1,где Δ = −() + () .Несложно показать, что˜ 0 ()≥ 0 −0 ,˜ 1 ()≤ 1 −1 , поэтому (−) − (−) ≥ 2 + −1 0 −0 − 1 −1 + (+1 ),где 0 , 1 , 0 , 1 - положительные константы.При малых выполнено 0 > 1 .

Для упорядоченности решений необхо­димо доказать, что выполнено неравенство−1 0 −0 − 1 −1 > 0.(2.38)Оно выполнено для любых ≥ 0, если 0 < 1 , а также для < ln10 −1(︀ 0 )︀ 1вслучае, когда 0 > 1 , так как для неравенство 0 − 1 (0 −1 ) > 0 равносильно1(︀ 0 )︀ −0 1. < ln 11(︀ 0 )︀ −0 1,ln показатели экспонент равны111(︀ 0 )︀− −1(︀ 0 )︀− −1− −0 10101= 1 1, 1 1= 0(1 )1+ 0 −1 .В граничной точке, 0(︀ 0 )︀− −0101=63и больше единицы.1(︀ 0 )︀ −При > ln 1 0 1 упорядоченность нижнего и верхнего решений достигаетсяПоказатель степени при при 0 > 1 равен 1 +10 −1за счет слагаемого 2 .Таким образом, , удовлетворяют Теореме 2.1 о принципе сравнения дляОКПП.

Следовательно, решение (, , ) задачи (2.1) удовлетворяет неравен­ствам: (, , ) < (, , ) < (, , ).Из структуры нижнего и верхнего решений стандартным образом следу­ет оценка точности построенной асимптотики, используемой для построения (, , ) и (, , ).Потребуем теперь, чтобы функция 0 (, ) удовлетворяла следующему усло­вию:Условие 2.4. Будем считать, что начальное условие 0 (, ) представляетсобой сформировавшуюся КС, начальное условие для положения точки перехо­да ⋆ (0, ) = 00 .

Будем также считать, что функция 0 (, ) на [, ] заключенамежду построенными ранее нижним и верхним решениями уравнения ОКПП: (, 0, ) < 0 (, ) < (, 0, ).В соответствии с Теоремой 2.1, решение (, , ) задачи (2.1) будет заклю­чено между нижним и верхним решениями: (, , ) < (, , ) < (, , ).Из структуры нижнего и верхнего решений стандартным образом следует оцен­ка точности построенной асимптотики, используемой для построения (, , )и (, , ).Основной результат данной главы сформулируем в виде теоремы.Теорема 2.2. Пусть выполнены Условия 2.1-2.4.

Тогда для достаточномалых существует решение задачи (2.1), для которого справедлива оценка+1|(, , ) − ⎧, ∈ [, ], ∈ [0, ], где (, , )| ≤ ⎪⎨(−) (, , ), ≤ ≤ ⋆ (), (, , ) =⎪⎩(+) (, , ), ⋆ () ≤ ≤ ,64(±) (, , ) – частичные суммы порядка построенных рядов (2.4), (2.5),∑︀⋆ = − () , ⋆ () = +1=0 ().65Глава 3Асимптотические методы исследованиясбалансированного уравнения ОКПП3.1.

Постановка задачиВ данной главе будет рассмотрено сбалансированное уравнение ОКПП сменьшим влиянием диффузионного члена , чем в несбалансированной зада­че, которая была рассмотрена в главе 2. Так как имеется различие в общемвиде уравнения, то мы заново подробно приведем все выкладки, относящиесяк построению асимптотики и обоснованию.Исследуемая начально-краевая задача для одномерного уравнения ОКППс малым параметром при производных имеет вид:⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),⎩ (, , ) = , (, , ) = , (, 0, ) = (, ), ∈ (, ), ∈ [0, ], (, , ) ∈ ( 2 (, )⋂︀(0, ))⋂︀(3.1)(Ω̄), Ω = [, ] × [0, ], > 0.3.1.1. Условия для формирования ВПСПри построении формальной асимптотики будем считать, что выполненыследующие условия:Условие 3.1.

Характеристики

Список файлов диссертации