Диссертация (1103472)
Текст из файла
Московский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваФизический факультетКафедра математикиНа правах рукописиШарло Алена СтаниславовнаКонтрастные структуры для обобщенногоуравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова01.01.03 – Математическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор ф.–м. наук, профессорБыков Алексей АлександровичМосква – 20152ОглавлениеГлава 1.1.1.1.2.Введение . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Общая характеристика работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.1.Актуальность темы диссертации . . . . . . . . . . . . . .71.1.2.Цели и задачи диссертационной работы . . . . . . . . . .91.1.3.Научная новизна работы . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .101.1.4.Теоретическая и практическая значимость работы . . . .111.1.5.Методология и методы исследования . . . . . . . . . . . .131.1.6.Положения, выносимые на защиту . . . . . . . . . . . . .141.1.7.Публикации . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .141.1.8.Апробация результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.1.9.Структура и объем диссертации . . . . . . . . . . . . . . .17Асимптотические методы для уравнения реакции–диффузии . .181.2.1.Постановка задачи для уравнения реакции–диффузии . .181.2.2.Понятие контрастной структуры . . . . . . . . . .
. . . .201.2.3.Асимптотические методы. . . . . . . . . . . . . . . . . .221.2.4.Метод дифференциальных неравенств . . . . . . . . . . .271.2.5.Периодические по времени решения уравнения реакции–диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6.30Решения уравнения реакции–диффузии типа движущегося фронта . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.2.7.Устойчивость решений для уравнения реакции–диффузии 321.2.8.Формальная асимптотика для неоднородности с кратными корнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Контрастные структуры типа всплеска . . . .
. . . . . . .341.2.10. Интегродифференциальные уравнения . . . . . . . . . . .351.2.11. Многомерные контрастные структуры . . . . . . . . . . .361.2.12. Системы уравнений с малым параметром . . . . . . . . .371.2.9.31.3.Обобщенное уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова .
.381.3.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381.3.2.Обобщенные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401.3.3.Физические модели для ОКПП члена . . . . . . . . .411.3.4.Принцип сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Глава 2.Асимптотический метод исследования несбалансированного уравнения ОКПП . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.2.2.2.3.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.1.1.Условия формирования ВПС . . . . . . . . . . . . . . . .47Формальная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .482.2.1.Алгоритм построения асимптотического разложения . . .502.2.2.Нулевой порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . .512.2.3.Первый порядок асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .522.2.4.Последующие порядки асимптотики . . . . . . . . . . . .55Обоснование метода . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552.3.1.Принцип сравнения для ОКПП . . . . . . . . . . . . . . .552.3.2.Построение верхнего и нижнего решений. . . . . . . . .582.3.3.Обоснование верхнего и нижнего решений . . . . . . . . .60Глава 3. Асимптотические методы исследования сбалансированного уравнения ОКПП . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3.2.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.1.1.Условия для формирования ВПС . . . . . . . . . . . . . .65Формальная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.2.1.Алгоритм построения асимптотического разложения . . .663.2.2.Нулевой порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . .693.2.3.Первый порядок асимптотики .
. . . . . . . . . . . . . . .713.2.4.Второй порядок асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .743.2.5.Последующие порядки асимптотики . . . . . . . . . . . .7643.3.Обобщенный принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . .773.4.Применение метода дифференциальных неравенств . . . . . . . .793.4.1.Построение верхнего и нижнего решений. . . . . . . .
.793.4.2.Обоснование верхнего и нижнего решений . . . . . . . . .82Глава 4.Асимптотический анализ уравнения ОКПП в окрестности особой точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .864.2.Построение формальной асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .894.2.1.Алгоритм построения асимптотического разложения . . .894.2.2.Нулевой порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . .914.2.3.Первый порядок асимптотики . . . . . . . . . . .
. . . . .924.3.Особые точки контрастной структуры. . . . . . . . . . . . . . .954.3.1.Останавливающая особая точка . . . . . . . . . . . . . . .964.3.2.Проходимая особая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . .964.3.3.Особая точка, запертая в нулевом приближении, для кубической неоднородности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.4.3.4.Особая точка, запертая в нулевом приближении, дляквадратичной неоднородности . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.5.9797Степенная особая точка, проходимая в нулевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .984.4.Второй порядок асимптотики. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .4.5.Третий порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Глава 5.98Существование обобщенного решения для уравненияОКПП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.Постановка задачи обобщенного решения . . . . . . . .
. . . . . . 1045.1.1.Оператор J − 2 Δ и его свойства . . . . . . . . . . . . . . 1095.1.2.Операторная запись уравнения КПП . . . . . . . . . . . . 1115.1.3.Теорема о глобальной разрешимости . . . . . . . . . . . . 11255.2.Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1145.3.Разрывная функция плотности источников . . . . . . . . . . . . . 1195.3.1.Основные предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3.2.Асимптотические ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3.3.Асимптотическое разложение и сшивание . . . . . . . . . 1225.3.4.Нулевой порядок асимптотики5.3.5.Первый порядок асимптотики . . . . . .
. . . . . . . . . . 1245.3.6.Вычисление скорости дрейфа нулевого порядка . . . . . . 1265.3.7.Второй порядок асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.8.Условие сшивания второго порядка . . . . . . . . . . . . . 1295.3.9.Последующие порядки . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 130. . . . . . . . . . . . . . . 1245.3.10. Построение верхнего и нижнего решений. . . . . . . . . 1305.3.11. Обоснование верхнего и нижнего решений . . . . . . . . . 133Глава 6.Численный эксперимент . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1366.1.Дискретная аппроксимация уравнения ОКПП . . . . . . . . . . . 1366.2.Результаты численного моделирования для уравнений РД и ОКПП1396.2.1.Дрейф КС для уравнения РД . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2.2.Дрейф КС для уравнения ОКПП .
. . . . . . . . . . . . . 1406.2.3.Дрейф ВПС для уравнения РД в случае пяти корней вырожденного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.4.Влияние скоростей различных порядков на движениеВПС для уравнений РД и ОКПП . . . . . . . . . . . . . . 1436.3.Численное моделирование задач с особой точкой . . . . . . .
. . 1456.3.1.Сверхкритический режим остановки ВПС для уравненияРД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.4.6.3.2.Критический режим остановки ВПС для уравнения РД . 1476.3.3.Докритический режим остановки ВПС для уравнения РД 148Запертые КС для уравнений РД и ОКПП . . . . . . . . . . . . . 14966.4.1.Дрейф для сбалансированного уравнения РД в критическом случае .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.2.ГрадиентныйдрейфсбалансированногоуравненияОКПП со средним значением . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.3.ГрадиентныйдрейфсбалансированногоуравненияОКПП с большим значением . . . .
. . . . . . . . . . . 1526.4.4.6.5.Несбалансированная задача с непроходимой особой точкой153Проходимая особая точка для уравнения ОКПП . . . . . . . . . . 1556.5.1.Несбалансированная задача с проходимой особой точкойдля ОКПП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.5.2.Сбалансированная задача с проходимой особой точкойдля ОКПП . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.6.Разрывная функция плотности источников . . . . . . . . . . . . . 1586.6.1.Исследование задач с разрывной функцией плотности источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.6.2.Величина скачка = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 1596.6.3.Величина скачка = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.6.4.Комбинированная разрывная функция плотности источников с гладкой частью и скачком = 0, 01 . . . . . . . 160Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Список литературы . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657Глава 1Введение1.1. Общая характеристика работы1.1.1. Актуальность темы диссертацииВ данной работе изучается обобщенное уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова (ОКПП) – псевдопараболическое уравнение в частных производных третьего порядка(Δ − ) + Δ − (, ) = 0.Начально–краевая задача для данного уравнения имеет вид:⎧⎪⎪⎨ (Δ− ) + Δ − (, ) = 0, ∈ , ∈ (0, ),(, ) = 0 (, ), ∈ , ∈ (0, ),⎪⎪⎩ (, 0) = (), ∈ .0(1.1)Математические модели разнообразных физических процессов приводят кдифференциальным уравнениям с малым параметром при старших производных. Известно, что некоторые уравнения с малым параметром при старшихпроизводных имеют решения вида контрастной структуры (КС) [22]. В даннойработе изучаются КС типа ступеньки, для которых характерно наличие протяженных областей, в которых решение близко к одному из уровней насыщения(такие области называются пятнами) и узких областей, в которых решение изменяется от одного из уровней насыщения до другого (данные области называютвнутренними переходными слоями (ВПС)).Большой интерес представляют нестационарные КС, в которых фронт перемещается под действием процессов переноса и диффузии в неоднородной среде.Одними из основных методов исследования нестационарных КС являются ме8тод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и методдифференциальных неравенств [22].В работе метод асимптотического разложения в ряд по степеням малогопараметра и метод дифференциальных неравенств для параболических уравнений обобщаются на класс псевдопраболических уравнений – уравнение ОКПП,имеющее при определенных условиях решение вида контрастной структуры типа ступеньки.К настоящему времени детально изучены процессы дрейфа фронтов КС дляуравнения реакции–диффузии при условии, когда скорость дрейфа нулевого порядка 0 ̸= 0 и сохраняет свой знак во всей области .
Кроме того, изученызадачи, в которых скорость дрейфа нулевого порядка меняет знак при переходечерез некоторую точку. Актуальным является исследование поведения тонкихпереходных слоев в случае, когда скорость дрейфа нулевого порядка обращается в ноль в некоторой точке, но при этом сохраняет знак в ее окрестности.Такую точку мы будем называть особой.В работе мы рассмотрим задачу с особой точкой и приведем полный анализ прохождения ВПС через особую точку для уравнений реакции–диффузиии ОКПП.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
