Диссертация (1103472), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Полученные результаты позволяют дать ответ на вопрос о том, бу­дет ли тонкий переходный слой остановлен особой точкой или пройдет сквозьнее. Этот вопрос важен для описания процессов в полупроводниках, связанных,например, с явлением пробоя.Как известно [70], естественным классом, в котором надо искать решенияпсевдопараболических уравнений, является класс обобщенных решений. Имеет­ся широкий класс практически важных задач, в котором среды являются раз­рывными функциями координат.

Это возникает, например, при наличии контак­та двух различных материалов с отличающимися параметрами. В этом случаеклассическое решение не существует, поэтому является актуальной задача ис­следования псевдопараболических уравнений с малым параметром при старшихпроизводных.9В теории КС типа ступеньки исследуются функции плотности источниковс тремя корнями или большим числом корней. Если рассматривать только по­линомиальные функции, то необходимо, чтобы степень полинома была не мень­ше трех, что приводит к трудностям при обосновании обобщенных решений.Поэтому актуальным является метод обоснования существования обобщенныхрешений для функций , отличающихся от полиномов.

В данной работе мырассмотрим Липшиц-непрерывную функцию по переменной .1.1.2. Цели и задачи диссертационной работыПеречислим основные цели работы:1. Развитие метода асимптотического разложения в ряд по степеням мало­го параметра для уравнений более общего класса, чем уравнение реак­ции–диффузии, а именно для квазилинейных псевдопараболических урав­нений. Построение формальной асимптотики для уравнения ОКПП с ма­лым параметром при старших производных: 4( − ) + 2 − (, , ) = 0, ∈ , ∈ (0, ),(1.2)с начальными условиями (, 0, ) = 0 (, ), ∈ ,и граничным условием (, , ) = (, , ), ∈ , ∈ (0, ),R(+) ()в случае сбалансированной ((−) () (, , 0) = 0 при ∈ [, ] и = 2)и несбалансированной неоднородностиR(+) ()((−) () (, , 0) ̸= 0 для ∈ [, ] и = 1.)2.

Развитие метода дифференциальных неравенств для уравнений более об­щего класса, чем уравнение реакции–диффузии, а именно для квазилиней­ных обобщенных псевдопараболических уравнений. Построение верхнегои нижнего решений для уравнения ОКПП. Доказательство существова­ния решения указанного уравнения с помощью метода асимптотического10разложения в ряд по степеням малого параметра и метода дифференци­альных неравенств.3.

Исследование поведения внутреннего переходного слоя в окрестности осо­бой точки для уравнений реакции–диффузии и ОКПП.4. Доказательство существования обобщенного решения уравнения ОКППс Липшицевой функцией плотности источников. Решение начально–крае­вой задачи для уравнения ОКПП с малым параметром при старшей произ­водной и с разрывной по и Липшиц-непрерывной по функцией плотно­сти источников методом асимптотического разложения в ряд по степеняммалого параметра.

Построение верхнего и нижнего обобщенных решенийуказанной данной задачи.5. Развитиефункционально-аналитическихметодовисследованияна­чально–краевых задач на класс задач с малым параметром при старшейпроизводной, имеющих решения типа контрастной структуры.1.1.3. Научная новизна работыНаучная новизна работы заключается в том, что в работе1. Метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметравпервые применен для псевдопараболического квазилинейного уравненияОКПП. Построена формальная асимптотика вида контрастной структурыдля уравнения ОКПП с помощью метода асимптотического разложенияв ряд по степеням малого параметра для случаев сбалансированной инесбалансированной плотности источников.2.

Проведено доказательство корректности построенной формальной асимп­тотики и существования решения рассматриваемых начально-краевых за­дач для уравнения ОКПП с помощью развития метода дифференциаль­ных неравенств на новый класс псевдопараболических квазилинейных11уравнений с малым параметром при старших производных.3.

Обосновано применение обобщенного принципа сравнения для псевдопа­раболического уравнения ОКПП с малым параметром при старших про­изводных.4. Предложен новый метод исследования поведения решений параболиче­ских и псевдопараболических уравнений при наличии особых точек дляуравнений реакции–диффузии и ОКПП.

Новизна метода заключается вприменении старших порядков асимптотических разложений, на основа­нии которых сформулировано и обосновано достаточное условие прохож­дения и останова фронта КС в окрестности особой точки.5. Доказано существование обобщенного решения уравнения ОКПП с малымпараметром при старших производных с Липшицевой функцией плотно­сти источников. Впервые построена формальная асимптотика для псевдо­параболического квазилинейного уравнения ОКПП в случае разрывнойфункции плотности источников.

Таким образом, метод асимптотическогоразложения в ряд по степеням малого параметра развит на случай задачс обобщенными решениями.1.1.4. Теоретическая и практическая значимость работыТеоретическая значимость работы заключается в развитии метода асимп­тотического разложения в ряд по степеням малого параметра, а также методадифференциальных неравенств на новый класс задач – сингулярно возмущен­ные уравнения в частных производных третьего порядка со смешанной произ­водной старшего порядка. Предложено применение указанных методов к по­строению формальных асимптотик для обобщенных решений сингулярно воз­мущенных параболических уравнений.

Разработанный метод решения задач сособой точкой может быть использован в теории для решения ряда параболи­ческих и псевдопараболических начально–краевых задач.12Практическая ценность полученных в данной работе результатов обуслов­лена огромной ролью, которую играет теория полупроводников в современнойфизике и технике, в том числе процессы, описываемые уравнением ОКПП.Мы рассматриваем начально–краевую задачу для уравнения ОКПП, назы­ваемого также обобщенным уравнением Буссинеска,⎧⎨ (Δ− ) + Δ − (2 − 2 ()) = 0,⎩ (, 0) = 0 (), ∈ Ω, |Ω×(0, ) = 0 (, ), ∈ Ω, ∈ (0, ),(1.3) > 0, > 0, Ω – ограниченная область с границей Ω ∈ C(2,) , ∈ (0, 1].Данная начально-краевая задача (1.3) получается из системы уравненийМаксвелла. Детальный вывод уравнения дан в разделе 1.4.1.В качестве примера физических моделей, описываемых уравнением ОКПП,можно привести модель нестационарных процессов в униполярном полупровод­нике во внешнем магнитном поле [34], модель, описывающую процессы, происхо­дящие в полупроводнике с отрицательной дифференциальной проводимостью[70].Существует широкий класс прикладных задач, для которых решение эволю­ционного уравнения реакции–диффузии, являющееся частным случаем ОКПП,имеет вид контрастной структуры (КС) с перемещающимся фронтом.

Укажемнекоторые основные модели. Уравнение реакции–диффузии описывает процессгенерации магнитных полей в турбулентной среде в астрофизике [29], в част­ности, в теории галактического динамо. В этом случае определяет напряжен­ность магнитного поля, плотность источников антисимметрична, (−, ) =− (−, ), эта функция имеет несколько корней, причем положение корней за­висит от координат.Задача с особой точкой также возникает в теории полупроводников. На­пример, полученные результаты о прохождении и останове ВПС могут бытьприменены для исследования пробоя в полупроводниках. Рассматриваемый на­ми частный случай кубической функции плотности источников имеет широкоефизическое применение, например, в задачах астрофизики [29], а также при13описании так называемого эффекта Олла в динамике популяций [86].Рассматриваемая задача является сингулярно возмущенной, это означает,что при = 0 уравнение из дифференциального в частных производных пре­вращается в алгебраическое.

Физический смысл введенного малого параметра состоит в том, что он позволяет описать так называемые "быстрые" и "медлен­ные" процессы во времени [45]. Сингулярно возмущенные уравнения описываютширокий класс задач, встречающихся в физике, химии, биологии.1.1.5. Методология и методы исследованияИсследование рассматриваемой нами задачи основано на комбинации двухподходов:1. Метод асимптотического разложения сингулярно возмущенных задач вряд по степеням малого параметра. Данный метод основан на построенииформальной асимптотики, а также веpхнего и нижнего решений путем мо­дификации формальной асимптотики.

Показано, что решение уравненияОКПП заключено между верхним и нижним решениями. Для псевдопара­болического уравнения третьего порядка для обоснования данного утвер­ждения используется так называемый обобщенный принцип максимума иметод дифференциальных неравенств. Таким образом, нами произведенообобщение метода дифференциальных неравенств на новый класс задач.2. Метод обобщенных решений, изложенный, например, в работах М. О.

Кор­пусова и А. Г. Свешникова [35]. С помощью данного метода построенообобщенное решение и доказана теорема сравнения.Также в работе приведены результаты, полученные с помощью метода чис­ленного моделирования, позволяющего сравнить аналитические результаты срезультатами численного счета.Таким образом, в данной работе проведено комплексное исследование урав­нения ОКПП, развитие метода асимптотического разложения в ряд по степеням14малого параметра и метода дифференциальных неравенств на новый класс за­дач, обоснование нового подхода к рассмотрению задач с особыми точками.1.1.6.

Положения, выносимые на защитуОсновные результаты, полученные в работе:1. Построение и обоснование формальной асимптотики для нового классазадач – псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП в част­ных производных с малым параметром.2. Построение и обоснование верхнего и нижнего решений для нового классазадач – псевдопараболического квазилинейного уравнения ОКПП в част­ных производных с малым параметром при старших производных.3. Обоснование возможности применения принципа сравнения для на­чально–краевой задачи для псевдопараболического квазилинейного урав­нения в частных производных с малым параметром при старших произ­водных.4. Создание методики, устанавливающей прохождение КС через особую точ­ку для параболического и псевдопараболического квазилинейного уравне­ния в частных производных с малым параметром.5.

Характеристики

Список файлов диссертации