Диссертация (1103472), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Функция плотности источников (, , ) обладает достаточной гладкостью в области Ω, имеет все непрерывные производные, которыевстречаются в формулах асимптотического разложения.Условие 3.2. Уравнение (, , 0)=0 имеет ровно три корня, = {(−) (), (0) (), (+) ()}, причем (−) () < (0) () < (+) () при ∈ [, ]. Все три корня первого порядка; такие, что66(︀)︀(︀)︀ (±) (), , 0 > > 0, (0) (), , 0 < − < 0 при любых ∈ [, ],где > 0 определенная постоянная.
При этом имеется два устойчивых состояния, разделенных неустойчивым, что и создает условия формирования ВПС.Условие 3.3. Будем предполагать, что функция плотности источников сбалансирована на сегменте [, ], () ≡ 0, где () = (−) () + (+) (),(0)Z() (−) () =(+)Z () (, , 0), (+) () =(−) () (, , 0)> (, , 0),(3.2)(0) ()0 для любых ∈ ((−) , (0) ), (, , 0)<0 для любых ∈ ((0) , (+) ), ∈ [, ].Аналогично предыдущей главе введем понятие "точки перехода". Будемназывать "точкой перехода" координату ⋆ (, ), в которой решение пересекает значение (0) (), так что (⋆ , , ) = (0) (⋆ ).
Мы предполагаем, чтоуравнение (⋆ , ) = (0) (⋆ ) имеет единственное решение ⋆ (, ) такое, что < ⋆ (, ) < .Условие 3.4. Будем считать, что начальное условие (, ) представляетсобой сформировавшуюся КС. При этом функция (, ) заключена между такназываемыми нижним и верхним решениями уравнения ОКПП, которые позднее будут явно построены. Начальное условие для положения точки переходазададим следующим образом: ⋆ (0, ) = 00 .3.2. Формальная асимптотика3.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложенияВ этом разделе мы построим сингулярное асимптотическое разложение решения ОКПП в левой (−) = { ≤ < ⋆ (, )} и в правой (+) = {⋆ (, ) < ≤ } областях относительно точки перехода. Асимптотические разложениябудут сшиты в точке ⋆ . Для простоты изложения мы рассмотрим КС с двумяпятнами, разделенными одним ВПС.67На промежутке (−) неизвестную функцию (, ) найдем из краевой задачи⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),⎩ (, , ) = , (⋆ , , ) = (0) (⋆ ), (, 0, ) = (, ),(3.3)а на промежутке (+) –из задачи⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),⎩ (, , ) = , (⋆ , , ) = (0) (⋆ ), (, 0, ) = (, ).(3.4)Индекс (−) добавляется к асимптотическому разложению решения (3.3), аиндекс (+) – для (3.4).
Затем заменим переменную в (3.3) и (3.4) так называемыми растянутыми переменными, − ⋆ (, )=, =−≥ 0, =−≤ 0,(3.5)причем используем вместо для построения решения в области ВПС, переменные , – в пограничных областях. Сингулярное асимптотическое разложение в (−) и (+) является суммой регулярной части ¯(±) (, ), функций ВПС(±) (, , ), и пограничных функций Π, (, , ) : (−) (, , ) = ¯(−) (, ) + (−) (, , ) + Π ( , ), < ⋆ ;(3.6) (+) (, , ) = ¯(+) (, ) + (+) (, , ) + Π ( , ), > ⋆ .(3.7)Каждое слагаемое в (3.6) и (3.7) представимо в виде ряда по степеням малого параметра ,(±)¯(, ) =(±) (, , ) =∞∑︁=0∞∑︁(±) ¯ ();(3.8)(±)(3.9) (, );=0Π ( , ) =∞∑︁=0 Π ( ); Π ( , ) =∞∑︁=0 Π ( ).(3.10)68Координата точки перехода ⋆ также представима в виде ряда по степеняммалого параметра :⋆ (, ) =∞∑︁ ().(3.11)=0Положение ВПС определяется из сшивания асимптотических задач (3.6) и(3.7) в точке ⋆ :⎧⎨ (−) (⋆ (, ), , ) = (+) (⋆ (, ), , ),⎩ (−) (⋆ (, ), , ) = (+) (⋆ (, ), , ).(3.12)Заметим, что первое из условий в (3.12) выполняется автоматически в силусоответствующих граничных условий в (3.3) и (3.4).Напомним ([85]), что ряд(, ) =∞∑︁ ()(3.13)=0называется асимптотическим разложением функции () в области , если онудовлетворяет условиюsup || () −∑︁ ()|| = (+1 ), → 0.(3.14)=0Представим (, , ) в виде суммы трех слагаемых, каждое из которыхзависит от основной и растянутых , переменных,(︀)︀ (, , ), , = ¯(, ) + (, , ) + Π (, ) + Π (, ),(3.15)где(︀)︀¯(, ) = ¯(, ), , ,(︀)︀(︀)︀ (, , ) = ¯((), ) + (, , ), (), − ¯((), ), (), ,(︀)︀(︀)︀(︀)︀Π ( , ) = ¯(( ), + Π , ), ( ), − ¯(( ), ), ( ), ,(︀)︀(︀)︀Π ( , ) = ¯(( ), ) + Π ( , ), ( ), − ¯(( ), ), ( ), .Члены уравнений (3.3),(3.4) определяются после подстановки и вычисления(3.8), (3.9), (3.11).
Приравняем в (3.5) по отдельности слагаемые, зависящие от69исходной и растянутых переменных (3.5). Получим следующие уравнения дляопределения членов асимптотического разложения (3.6) и (3.7):2(3.16) 2 ¯(, ) = ¯(, );(︂)︂⋆23⋆22 −−2 2 + 3− 2 (, , ) = − (, , ); (3.17) 22(3.18) 2 Π ( , ) = Π ( , ); 2 Π ( , ) = Π ( , ).Аналогично главе 2, мы остановимся на рассмотрении области вблизи ВПС,2не будем вычислять пограничные функции Π ( ) и Π ( ).В данной главе мы будем раскладывать функции ВПС относительно координаты ⋆ , что приведет к модификации условий сшивания относительно главы2. При таком способе разложения условие сшивания (3.12) можно представитьв виде следующего ряда по степеням параметра :[︀ (±) ]︀⃒[︀[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒⃒⃒+¯1 ⃒⋆ +.
. . = 0, (3.19)+−1 0 () ⃒⋆ + 1 () ⃒⋆ + (±)2⋆⋆[︀]︀⃒[︀]︀⃒где (±) () ⃒⋆ = (+) (⋆ ) − (−) (⋆ ), и (±) (, ) ⃒⋆ = (+) (0, ⋆ ) − (−) (0, ⋆ ).(±)Заметим, что функции зависят от ⋆ как от параметра, в явном виде эту зависимость мы указывать не будем. Учитывая (3.9) и (3.11), получимуравнение сшивания[︀[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒]︀⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒⃒ +0 0 + (±)−1 0 ⃒0 + 1 ⃒0 + 10(︁ [︀[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒(±) ]︀⃒+ 11 ⃒0 + ¯1 ⃒0 + 1 0 + 2 ⃒=0 +)︁22 [︀⃒[︀]︀1 (±) ⃒(±) ]︀⃒⃒++ . . . = 0.+2 0 02 2 1 0(3.20)Далее мы построим асимптотические ряды так, чтобы коэффициенты привсех степенях в (3.20) были равны нулю, и из этого условия найдем .3.2.2. Нулевой порядок асимптотикиРегулярную функцию нулевого порядка ¯0 () найдем из уравнения (¯0 , , 0) = 0.
Согласно Условию 3.1, регулярная функция нулевого порядка70(−)(+)является разрывной ¯0 () = (−) () при ≤ ⋆ , ¯0 () = (+) () при ≥ ⋆ .(−)В дальнейшем зависимость ¯0 () от ⋆ подразумеваем, но явно не указываем.Функции переходного слоя нулевого порядка найдем из двух краевых задач⎧⎨ (±) = (︀¯(±) (⋆ ) + (±) , ⋆ , 0)︀ − (︀¯(±) (⋆ ), ⋆ , 0)︀,0000(±)(±)(±)⎩ (0) + ¯ (⋆ ) = (0) (⋆ ), (±∞) = 0.00(3.21)0(±)Здесь и далее ⋆ = ⋆ (), зависимость 0от подразумеваем, но явно неуказываем. Понижение порядка в (3.21) приводит к уравнению(±)0√︂ (︂ (±) (Z⋆ )+(±)0)︂1/22= (, ⋆ , 0),(3.22)(±) (0 )(±)в котором учтено условие убывания 0 () → 0 при → ±∞.(±)Покажем, что 0 () ≤ − .Обозначим (¯0 (⋆ ) + 0 (), ⋆ , 0) =гда(±)0√︁ (︂R (±) ⋆ (±) ( )+02(±) (0 ) (, ⋆ , 0))︂1/2, то= (˜, ⋆ , 0). Так как начальное условие (0) принадлежит областивлияния устойчивого корня (±) , то существует решение 0 → 0 при → ∞.По теореме о среднем(±)0= (¯0 (⋆ + 0 , ⋆ , 0)0 ,R0 = 0 (0) exp( 0 (¯0 (⋆ + 0 (), ⋆ , 0)), ∈ [0, 1].
Так как 0 → 0при → ∞, то при ≥ 0 выполняется неравенство (¯0 (⋆ + 0 (), ⋆ , 0) ≤ −, следовательно,R|0 ()| ≤ |0 (0)| exp( 00 (¯0 (⋆ + 0 (), ⋆ , 0)) ×R× exp( 0 (¯0 (⋆ + 0 (), ⋆ , 0)) ≤ exp(−( − 0 )) = exp(−).Из Условия 3.3 следует, что условие сшивания функций переходного слоянулевого порядка(−)(+)0 (0) = 0 (0)выполняется автоматически для любого ⋆ и для любого 0 =0 .Таким образом, в нулевом порядке все условия сшивания выполняются независимо от71величины0= 0 , поэтому скорость дрейфа нулевого порядка 0 из условия сшивания нулевого порядка не определяется.
Мы покажем, что скоростьдрейфа –го порядка находится из условий сшивания ( + 1)–го порядка.3.2.3. Первый порядок асимптотикиРегулярную функцию первого порядка ¯1 () найдем из уравнения (¯0 , , 0)¯1 () + (¯0 , , 0) = 0,откуда следует, что (¯0 , , 0), (¯0 , , 0)причем знаменатель отличен от нуля вследствие Условия 3.2. Аналогично опре¯1 () = −деляются члены регулярной части асимптотики следующих порядков.Функции переходного слоя первого порядка слева и справа от точки перехода найдем из краевых задач⎧ (︁)︁2⎪⎨ − (︀˜(), ⋆ , 0)︀ (±) = (±) ,11 2⎪(±)(±)⎩ (±) (0) = −¯1 (⋆ ), 1 (±∞) = 0,1(︀ (±)(±) )︀(±)(±)0где 1 () = −0 0 − 0 + 1 , 0 = ,(︀)︀(±)(±)1 () = ˜ ¯1 (⋆ ) + ¯0 (⋆ ) + ˜ + ˜ ,⎧⎨ ¯(+) (⋆ ) + (+) () при ≥ 0,00˜() =(−)(−)⎩ ¯ (⋆ ) + () при ≤ 0,0(3.23)(3.24)0а также введены обозначения ˜ = (˜(), ⋆ , 0), ¯ = (¯0 (⋆ ), ⋆ , 0), оператор действует на дифференцируемую функцию () по правилу(︀)︀(︀ (±))︀() = ˜(), ⋆ , 0 − ¯0 (⋆ ), ⋆ , 0 .(±)(±)При вычислении 1 (, ) было учтено, что в силу определения ¯0 ()будет выполнено равенство: ¯ (¯0 , ⋆ , 0)¯0 + ¯ (¯0 , ⋆ , 0) = 0.72(±)(±)Все входящие в (3.23) функции, в том числе 1 (), 1 (), ⋆ , зависяттакже от как от параметра.
Здесь и в дальнейшем эта зависимость подразумевается, но указывается явно только в тех случаях, когда выполняется дифференцирование или интегрирование по .Пусть оператор действует на функцию () по правилу±∞ZZ[︀ ]︀(︀)︀−2−1 (±)(±) () = Ψ () Ψ () Ψ(±) ()(±) (),0−∞ < < +∞, где Ψ(±) () =(3.25)Φ(±) (),Φ(±) (0)(±)Φ(±) () = 0 , причем берем знак (+)при > 0 и (−) при < 0. В силу условия сшивания функций в точке ⋆ иУсловия 3.2 верно равенство Φ(+) (0) = Φ(−) (0) = Φ(0).Решение задач (3.23) можно выписать в явном виде:[︀ (±) ]︀(±)(±)1 () = 1 (0)Ψ(±) () − 1 .(3.26)Оценим функцию 1 ().
Нам известно, что 0 () ≤ − , а также, что(±)(±)|1 | ≤ − при || > 0 . Следовательно, |1 ()| = 1 (0)Ψ(±) () −)︀−2 R±∞R (︀− −1 Ψ(±) () 0 Ψ(±) () Ψ(±) ()(±) () ≤R∞RR≤ 1 − + 2 − 0 2 −2 ≤ 1 − + 3 − 0 2−2 ( + 4 ) ≤)︁(︁−− 2−≤ 1 + 3 .2 + 4 ≤ 5 Неизвестную до этого момента величину 0 найдем из условия сшивания(3.20), собирая коэффициенты при 0 :[︀ (±) ]︀⃒[︀]︀⃒⃒ + 1 ℛ1 = 0,1 () ⃒0 + (±)()0где ℛ1 =(︀[︀]︀⃒ )︀⃒(±)0 () ⃒ ⃒0 .√︂ℛ1 =(3.27)Из (3.22) следует, что)︁⃒2 (︁()⃒√︀√︀,⃒ (−) () + − (+) () =0(3.28)учитывая Условие 3.3 (условие сбалансированной реакции), получим ℛ1 = 0.Пусть () ограничена и интегрируема на (−∞, +∞). Предположим, чтооператоры ℋ(±) (±) и ℋ2 (±) действуют на ограниченную функцию (±) ()[︀]︀[︀]︀73по правилу[︀]︀ℋ(±) (±) = ±1Φ(0)±∞Z[︀]︀[︀]︀[︀]︀(±)0 (±) (), ℋ2 (±) = ℋ(−) (−) + ℋ(+) (+) .0Тогда[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±)]︀⃒[︀ (±) ]︀(±)1 () ⃒0 = 1 (0, )Ψ () ⃒0 − ℋ2 1 ,условие сшивания принимает вид[︀ (±) ]︀]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±)[︀ (±)(±) ]︀(±)⃒= 0.
(3.29)1 (0, )Ψ () 0 + () ⃒0 +0 ℋ2 0 −0 −ℋ2 1Из (3.29) найдем 0 :−0 =[︁[︁]︁⊕[︀ (±) ]︀(±)+ ℋ2 1 − Φ(0) (0 )⊖⊖.R∞R∞(±) 2(±) 2()+()00−∞−∞(±)(±)Φ (0)1 (0)]︁⊕(3.30)Мы учли, что для сбалансированной неоднородности (Условие 3.3) из (3.21),(±)а также из ((±) (⋆ ), ⋆ , 0) = 0, ((0) (⋆ ), ⋆ , 0) = 0, следует Φ (0) = 0,(±)(±)поэтому Φ ()1 (0, ) ⃒ = 0.[︀]︀⃒0Следовательно, выражение для 0 в случае сбалансированной плотностиисточников будет иметь вид:[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀−Φ(0) () ⃒0 + ℋ2 1.0 (0 ) = R∞R∞ (±)(±) 22 ()+()00−∞∞(3.31)Таким образом, координата 0 () находится из задачи Коши для автономногодифференциального уравнения первого порядка⎧⎨ 0 = ( ),0 0⎩ (0) = ,0(3.32)00где 00 ∈ (, ) задает начальное положение фронта.Имеется большое количество задач в физике и динамике популяций, длякоторых функция плотности источников является полиномом третьего порядка74(3.33)(︀)︀ (, , ) = 2 − 2 () .В этом случае 0 может быть определена в явном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
