Диссертация (1103472), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Теперь можно найти⊖1 (⋆ ) =−1[︀ (±) ]︀[︀ (±)[︀ ]︀(±) ]︀ℋ1 2 − (0⋆) ℋ1 ℛ1 + (0⋆) ℋ1 0 − 0(±)(±)‖0 ‖2 + ‖0 ‖2,1 :(4.35)зависимость от ⋆ в правой части подразумевается. Таким образом, координататочки перехода в приближении первого порядка (1⋆) находится из задачи Коши⎧ (1⋆)(︀)︀⎨ = (0⋆) (1⋆) + 1 ((1⋆) ),⎩ (1⋆) (0) = 00 ,(4.36)причем (1⋆) ((1⋆) ) = (0⋆) ((1⋆) ) + 1 ((1⋆) ). Из Условия 4.1 следует, чтоправая часть (4.36) удовлетворяет условию Липшица на [, ] (и даже имеет100равномерно ограниченную на [, ] производную по (1⋆) ), поэтому решение существует. Значение 2 из разложения второго порядка не находится, оно будетполучено из третьего порядка.Интересно сравнить задачу (4.36) с задачей Коши для 1 из работы [6]. Вней для 0 () получилось автономное уравнение, так же как и для (0⋆) в нашемслучае.
Для 1 () в [6] получено линейное уравнение. Покажем, что аналогичнаяситуация имеет место и в данном случае. Пусть на всем промежутке < < верно (0⋆) (⋆ ) ≥ > 0. Записав решение (4.36) в явном виде, убедимся втом, что решение (4.36) при → +0 стремится к решению (4.28) равномернона [0,приводит к семейству задач Коши⎧ ]. Линеаризация (4.36)⎧⎨ = (0⋆) ( ),00⎩ 0 (0) = 00 ,⎨ = (0⋆) ( ) + ( ),11 01 0⎩ 1 (0) = 10 ,первая из которых является автономной, вторая–линейной.Задача Коши (4.36) при наличии стоп–точек является, вообще говоря, сингулярно возмущенной. Вырожденной задачей Коши по отношению к (4.36) является задача (4.28). Можно привести пример (, ), при котором (0⋆) (stop ) = 0, < 00 < stop , (0⋆) () > 0 при ̸= stop , решение вырожденной задачи (4.27)стремится к stop снизу при → +∞, и при любом > 0 выполнено неравенство1 () > 0 на [, ].
Поэтому решение задачи (4.36) существует на конечном промежутке 0 ≤ ≤ (), причем (1⋆) ( ) = (имеет место выход ВПС на границув первом порядке аппроксимации), так что sup0<< |(1⋆) − (0⋆) | > − stop ине стремится к нулю при → +0.Найдем 1 в явном виде для кубической неоднородности (4.20), (4.29).Вычисление интегралов показывает, что 1 (⋆ ) = 0, поэтому (1⋆) (⋆ ) = (0⋆) (⋆ ). Равенство нулю скорости дрейфа первого порядка связано с тем,что функция переходного слоя нулевого порядка 0 (, ⋆ ) является нечетнойот при любом ⋆ , скорость дрейфа первого порядка выражается в конечномсчете в виде комбинации сходящихся несобственных интегралов от произведения нечетной функции и 0 (, ⋆ ) (которая является четной функцией).
Это101свойство скорости первого порядка, естественно, является специфическим и верно только для нечетной функции плотности источников, (−, ) = − (, ).Именно к такому классу относится функция (4.20). Поэтому для особой точкинеобходимо привлечь третий порядок асимптотического разложения.4.5. Третий порядок асимптотикиРегулярная функция третьего порядка в общем случае равна(︀)︀¯3 () = −1 (¯0 , ) ¯1 − (¯0 , )¯1 ¯2 − 16 (¯0 , )¯31 ,но для случая = 0 получим ¯3 () = 0.Для вычисления функций переходного слоя обозначим(±)(±)(±)(±)(3±) (, ⋆ ) = 0 (, ⋆ ) + 1 (, ⋆ ) + 2 2 (, ⋆ ) + 3 3 (, ⋆ ),(±)где ⋆ = (3⋆) , функции 0,1,2 (, ⋆ ) найдены ранее и выражаются формулами(±)(4.18), (4.23), (4.34), 3 (, ⋆ ) найдем, собирая члены порядка 3 .Пусть(4.37) (2⋆) (⋆ ) = (0⋆) (⋆ ) + (1⋆) (⋆ ) + 2 2 (⋆ ), (0⋆) (⋆ ), (1⋆) (⋆ ) найдены ранее и выражаются формулами (4.27), (4.35), величина 3 не присутствует, так как входит в члены порядка 4 .
Найдем функ(±)цию переходного слоя 3 () из краевой задачи⎧ (︁)︁⎨ 22 − (︀˜(), ⋆ )︀ (±) () = (±) (),33⎩ (±) (0, ) = 0, (±) (±∞) = 0,3(±)3(±)(±)(±)(±)(±)где 3 (, ⋆ ) = − (0⋆) ℛ2 − (1⋆) ℛ1 − 2 ℛ0 + ℛ1 + 3 .В этом выражении учитываются уравнения (4.18), (4.21), (4.33) для(±)(±)0,1,2 (, ⋆ ). Как и для всех предыдущих случаев, функции 3 () выража[︀ ]︀(±)ются явно, 3 () = − (±) 3 ().[︁]︁⊕ [︁]︁⊕(±)(±) ⋆Условие гладкого сшивания в третьем порядке 3+ ¯2 ( ) = 0⊖позволяет найти2 =[︀ ]︀[︀ (±) ]︀[︀ (±) ]︀[︀ (±)(±) ]︀ℋ1 3 − (0⋆) ℋ1 ℛ2 − (1⋆) ℋ1 ℛ1 + ℋ1 1 − 1(±)(±)‖0 ‖2 + ‖0 ‖2⊖, (4.38)102(±)где 1 (, ⋆ ) =⎧⎨(±)⋆⋆ 1 (, ).(2⋆)(2⋆)⎩Координату (2⋆) найдем из задачи Коши(︀)︀(︀)︀(︀)︀= (0⋆) (2⋆) + (1⋆) (2⋆) + 2 2 (2⋆) ,(0) = 00 .(4.39)Точно так же убедимся в том, что линеаризация (4.39) при условии (0⋆) (⋆ ) > 0 приводит к семейству одной автономной и нескольких линейныхзадач Коши, последняя имеет вид⎧⎨ = (0⋆) ( ) + 1 2 (0⋆) ( ) + (1⋆) ( ) + ( ),22001 02 02 1 ⎩ 2 (0) = 20 .Как и в [6], уравнения для , ≥ 1, имеют одинаковую линейную часть.Для кубической функции (4.20) выражение для скорости второго порядкаимеет вид 2 (⋆ ) 12 ( ) = −24 .
3 (⋆ ) 1 + 52⋆Константа 2 представляет собой комбинацию сходящихся несобственных интегралов от степенных и гиперболических функций, но ее выражение слишкомгромоздко, чтобы его здесь приводить. Числовое значение этой величины, однако, легко получить. Аналитическое вычисление интегралов и последующеепреобразование дает 2 = 2, 4674...Заметим, что для рассматриваемого нами случая (^) < 0 выражение2 (⋆ ) > 0, поэтому (2⋆) (⋆ ) > 0 в окрестности ⋆ , это означает, что ВПСперейдет через особую точку и продолжит движение в том же направлении, которое было до приближения к данной точке.
Таким образом, в третьем порядкеаппроксимации⎧⎨(3⋆)(3⋆)⎩= 0 ((3⋆) ) + 2 2 ((3⋆) ),(0) = 00 , (⋆ )˜0 ⋆ , 2 (⋆ ) = −˜2причем 0 (⋆ ) = − ( ) (⋆ ) 3 (⋆ ) ,˜0 > 0, ˜2 > 0.Справедлива следующая теоремаТеорема 4.1. В приближении третьего порядка найдется такая окрестность Ω точки stop , что при (stop ) = 0, (stop ) = 0, (stop ) < 0 и при103любом 00 < stop , 00 ∈ Ω, что трижды непрерывно дифференцируемая функция ⋆ () является возрастающей на (0, ), причем уравнение ⋆ () = stopимеет единственный простой корень 1 > 0 .Методика обоснования формальной асимптотики аналогична доказательству в главах 2, 3.
Упорядоченность верхнего и нижнего решений проводитсятак же, как и в главе 3, за исключением следующего отличия. Так как условие (0⋆) > 0 для нашей задачи заменено на (0⋆) ≥ 0, мы будем использовать дляпостроения верхнего и нижнего решений порядок асимптотического разложения не менее трех и предположим, что 3 (⋆ ) ≥ 30 > 0 на [, ] (достаточнопредположить это в некоторой окрестности точки stop ). В остальном доказательство проводится аналогично.
Для задачи, рассмотренной в данной главе,справедливы теоремы, сформулированные в главе 3.104Глава 5Существование обобщенного решения дляуравнения ОКПП5.1. Постановка задачи обобщенного решенияВ этой главе мы рассмотрим обобщенные решения из класса W12 (Ω) длясбалансированного уравнения ОКПП, рассмотренного в главах 3 и 4. Напомним определение пространства W12 (Ω), совпадающего с гильбертовым пространством H1 (Ω).Функциональное пространство H1 (Ω) есть гильбертово пространство с нормой(︂Z||||H1 (Ω) =Z2 +Ω̄(︀)︀2▽ )︂1/2,(5.1)Ω̄при этом функция ∈ C (Ω), ∈ C(Ω̄) [60].1Мы применяем метод исследования обобщенного уравнения КПП, разработанный в [55], для анализа аналогичного уравнения с другим видом функцииплотности источников, которая обеспечивает существование решения типа КС.При этом результаты для измененной плотности источников значительно отличаются от полученных в [55], поэтому мы достаточно подробно приведемсоответствующие выкладки.Пусть оператор D действует на трижды дифференцируемую функцию поправилуD = (4 Δ − 2 ) + 2 Δ − (, ),(5.2)где непрерывная функция (, ) удовлетворяет условию (0, ) = 0(5.3)для всех ∈ и условию Липшица по переменной | (1 , ) − (2 , )| ≤ |1 − 2 |(5.4)105для любых ∈ , 1,2 ∈ 1 , где > 0 – постоянная величина.
Пусть ()ограниченная функция на ∈ .В качества примера мы рассмотрим функцию , такую, что (, ) =⎧⎪⎨(2 − 2 ()),|| ≤ 0 ,⎪⎩(302 − 2 ()) − 203 , ∈ ,(5.5)|| ≥ 0 .где 0 > max | ()|.Рассмотрим начально–краевую задачу для уравнения ОКПП (обобщенногоуравнения Буссинеска)⎧⎪⎪⎨ D = 0,(, ) = 0, ∈ Ω,⎪⎪⎩ (, 0) = (),0(5.6)в ограниченной области Ω ⊂ R3 с границей Ω ∈ C(2,) , ∈ (0, 1]. Зависимость от имеет место, но в явном виде в этой главе не указывается.Так как мы будем доказывать существование обобщенного решения задачи,введем требуемые обозначения и приведем соответствующие определения.Функциональное пространство H10 есть пополнение по нормеZ||||2 ≡ ||||2H10 (Ω) =(︀)︀2▽ (5.7)Ωлинейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на Ω̄ и таких, что = 0 в некоторой приграничной полосе. Именно эту норму в пространстве H10 (Ω) мы будем использовать в дальнейшем.Известно, что H10 –гильбертово пространство со скалярным произведениемZ(∇, ∇) (, ) =Ω[60].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
