Диссертация (1103472), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, достаточно доказать разрешимость уравнения () = V() в B1 , гдеZV() ≡ 1 + Φ(( )) .1114Для этого заметим, что операторZ() ↦→ 1 + Φ(( )) (5.27)1является сжимающим. В самом деле, при любых 1 (), 2 () ∈ B1 имеем⃒⃒⃒⃒Z⃒⃒⃒ (Φ(1 ( ) − 2 ( ))) ⃒ 6 | − 1 | sup ‖1 () − 2 ()‖B 6⃒⃒∈[1 ;]⃒⃒16 ℎ1‖1 () − 2 ()‖B ≡ ‖1 () − 2 ()‖B1 .2∈[1 ;1 +ℎ]supТогда утверждение леммы следует из принципа сжимающих отображений.Лемма 5.8.Если 1 () и 2 () — соответственно решения задачи Коши (5.24) на некоторых отрезках 1 и 2 c началом в 0 , то они совпадаютна 1 ∩ 2 .Доказательство.Положим = sup{̃︀ | 1 () = 2 () при всех ∈ [0 , ̃︀]}.
Если =max 1 ∩ 2 , лемма доказана. В противном случае неединственность решениясправа от противоречит принципу сжимающих отображений, если рассмотреть интегральное уравнение, аналогичное (5.26), с началом в точке .Перейдем к доказательству теоремы.Доказательство.В силу первой из лемм решение существует на всей полуоси (причем «склеивается» гладко). Из второй леммы получаем утверждение о единственности.Для одномерного случая доказательство проводится аналогично, за исключением того, что H10 ⊂ C ⊂ H−1 .5.2. Теорема сравненияНами было доказано, что обобщенное решение задачи (5.6) существует при ∈ [0, ∞), что означаетRΩ (D(), )= 0. Докажем, что данное обобщенное115решение будет заключено между обобщенным верхним и нижним решениями,которые построены для уравнения (5.6) с помощью метода дифференциальныхнеравенств. Напомним определения обобщенного верхнего и нижнего решения.Определение 5.6.
Функция (, , ) называется обобщенным верхним решением задачи (5.6), еслиZ(5.28)((), ) ≤ 0Ωдля ≥ 0.Определение 5.7. Функция (, , ) называется обобщенным нижним решением задачи (5.6), еслиZ(5.29)((), ) ≥ 0Ωдля ≥ 0.Предположим, что функция зависит также от , = (, , ), и при этомсохраняется условие Липшица по переменной .Определим последовательность { } рекуррентным образом:⎧242⎪⎪⎨ − +1, + +1, + +1, − +1 = ( , , ) − ,+1 (, ) = 0, ∈ Ω,⎪⎪⎩ (, 0) = 0 ().(5.30)+1Справедлива следующая теорема.Теорема 5.2. Пусть – обобщенное решение задачи (5.6), и – обобщенные нижнее и верхние решения, || < 0 , || < 0 , ∈ C(1) в Ω, ∈ C(1)в Ω. Пусть, кроме того, выполнено условиеУсловие 5.1. Функция (, , ) Липшиц–непрерывна, а функция(, , ) = (, , ) − (5.31)не возрастает по переменной на промежутке ∈ [−0 , 0 ] для всех ∈ [, ] и для всех моментов времени ∈ [0, ].Тогда, если ≤ ≤ на границах (|Ω̄×(0, ) ≤ |Ω̄×(0, ) ≤ |Ω̄×(0, ) ) и в начальный момент времени116((, 0) < 0 () < (, 0)), то последовательность { } сходящаяся к , будет удовлетворять неравенствам ≤ 0 ≤ 1 ≤ .
. . ≤ ≤ , таким образом ≤ ≤ на всей области Ω для всех ∈ [0, ], где - время, за котороенижнее решение достигнет области погранслоя.Доказательство.Пусть 0 = , тогдаR242Ω=∈[,]×∈[0, ] (− 1 − 1 − 1 − 1 ) =RR242(−−−)≥ΩΩ ().RΩ ( ()− ),Вычитая одно выражение из другого, получимZ(−2 ( − 1 ) − 4 ( − 1 ) − 2 ( − 1 ) + 1 ) ≥ZΩ≥ ( () − ( ) + ).ΩПусть⎧⎪⎨ − 1 , ≥ 1 ,+ = ( − 1 ) =⎪⎩0, ≤ ,(5.32)1 ∈ H10 (Ω), ≥ 0 почти всюду, до момента времени 0 , тогдаR (︀ 2+4+2+Ω − ( −1 )(−1 ) − ( −1 )( −1 ) − ( −1 )( −1 ) −)︀− ( − )( − )+ ≥ 0,(︀ 2R4+22≥1 ( − 1 )( − 1 ) + ( − 1 )( − 1 ) + ( − 1 ) +)︀+ ( − )2 ≤ 0,проинтегрируем по ∈ [0, 0 ]:Z2 (≥1− 1 )2 + 4 2Z( − 1 )2+2≥1Z0 Z(︀+0 ≥1)︀2 ( − 1 )2 + ( − )2 ≤ 0.117Так как по условию начальное значение 0 удовлетворяет неравенству < 0 , мы получаем нулевой вклад от постановки на нижнем пределе интегрирования.Следовательно, ≤ 1 почти всюду в области Ω при ∈ [0, 0 ].
Так какникаких ограничений на 0 не имеется, можно считать, что данное неравенствоверно для всех ∈ [0, ]. В силу этого в дальнейшем будем предполагать, чтонеравенства сохраняют знак на всем временном интервале.Далее предположим по индукции, что что −1 ≤ почти всюду в Ω навременном промежутке ∈ [0, ].Тогда из (5.30) следует, чтоZ(−2 +1, − 4 +1, − 2 +1, − +1 ) =ZΩ= ( ( ) − ), (5.33)ΩZ(︀)︀−2 , − 4 , − 2 , − =ZΩ= ( (−1 ) − −1 ) (5.34)Ωдля любых ∈ H10 (Ω).Пусть⎧⎪⎨ − +1 , ≥ +1 ,+ = ( − +1 ) =⎪⎩0, ≤ ,(5.35)+1 ∈ H10 (Ω), ≥ 0 почти всюду, до момента времени , следовательно, вычитая(5.33) из (5.34), получимR (︀−2 (, − +1, )( − +1 )+ − 4 (, − +1, )(, − +1, )+ −)︀− 2 (, − +1, )(, − +1, )+ − ( − +1 )( − +1 )+ =R= Ω ( (−1 ) − −1 − ( ) + )( − +1 )+ ,Ω118R(︀−2 (+1, − +1, )( − +1 ) − 4 (, − +1, )(, − +1, )+ −)︀− (, − +1, )(, − +1, )+ − ( − +1 )2 =R= Ω ( (−1 ) − −1 − ( ) + )( − +1 )+ .
≥+12Учитывая условие невозрастания функции (, , ), (5.31),Z)︂(︂224 (, − +1, )2 ( − +1 )+ +22 ≥+1ZZ(︀+)︀2 (, − +1, )2 + ( − +1 )2 =0 ≥+1Z Z( (−1 ) − −1 − ( ) + )( − +1 )+ ≤ 0. (5.36)=−0 ΩОткуда следует, что ≤ +1 почти всюду в Ω на всем временном промежутке.Нам осталось доказать, что ≤ для любого почти всюду в Ω, ∈ [0, ].Заметим, что в начальный момент времени и для = 0 данное неравенствоверно. Пусть также для некоторого ≤ почти всюду в Ω при ∈ [0, ].Вычитая из (5.33) выражение (5.28) и полагая = (+1 − )+ , получимR (︀−2 (+1, − )(+1 − )+ − 4 (+1, − )(+1, − )+ −)︀− 2 (+1, − )(+1, − )+ − (+1 − )(+1 − )+ =R= Ω ( ( ) − − () + )(+1 − )+ .ΩДалее, аналогично предыдущим рассуждениям, проинтегрируем по :Z)︂(︂22(−)(−)+1+1,2+ 4 +22+1 ≥ZZ(︀+)︀2 (+1, − )2 + (+1 − )2 =0 +1 ≥Z Z( ( ) − − () + )(+1 − )+ ≤ 0, (5.37)=−0 Ω119последнее неравенство следует из невозрастания функции (, , ).
Следовательно, +1 ≤ почти всюду в Ω при ∈ [0, ].Таким образом, ≤ 0 ≤ 1 ≤ . . . ≤ ≤ почти всюду в Ω при ∈ [0, ],(, , ) = lim→∞ (, , ) существует почти во всей области Ω.Кроме того, → сильно в L2 (Ω) в силу теоремы о мажорирующей сходимости и ограниченности .Так как имеет непрерывные производныеи равномерно ограничена в области Ω, то || ( )||2 (Ω) ≤ (1 + || ||2 (Ω) ), || ||H10 (Ω) < ∞. По теореме Арцелла существует подпоследовательность1{ }+∞=0 , слабо сходящаяся к (, , ) ∈ C((0, ]; H0 (Ω)).Покажем, что – слабое решение задачи (5.6).Z(−2 +1, − 4 +1, − 2 +1, − +1 ) =ZΩ= ( ( ) − ), (5.38)Ωпри → ∞ получимZZ(−2 +1, − 4 +1, − 2 +1, ) = ( ),Ω(5.39)Ωчто и требовалось доказать.5.3.
Разрывная функция плотности источников5.3.1. Основные предположенияРассмотрим задачу для уравнения ОКПП из главы 3 для случая разрывнойфункции плотности источников:⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),⎩ (, , ) = , (, , ) = , (, 0, ) = (, ), ∈ (, ), ∈ [0, ], (, , ) ∈ 1 (Ω)⋂︀(Ω̄), Ω = [, ] × [0, ], > 0.(5.40)120Предположим, что функция плотности источников (, , ) имеет вид: (, , ) = 0 (, ) + 1 (, ),(5.41)где главная часть является полиномом(︀)︀0 (, ) = 2 − 2 () ,(5.42)а возмущение задано следующим образом:1 (, ) =⎧⎪⎨0, при < ^,⎪⎩−2 (), при ≥ ^,(5.43)где – постоянная величина.В силу того, что функция плотности источников является разрывной, классическое решение задачи (5.40) отсутствует, так как в точках разрыва правойчасти вторая производная по координате может не существовать.
Решение задачи (5.40) будет обобщенным.Построим формальную асимптотику для обобщенного решения.Для построения формальной асимптотики будем считать выполненнымиследующие условия:Условие 5.2. Функция плотности источников нулевого порядка 0 (, )Липшиц-непрерывна по переменной в области Ω, так что|0 (1 , ) − 0 (2 , )| ≤ |1 − 2 |(5.44)для всех ∈ , 1,2 ∈ 1 , где > 0 – константа, а также0 (0, ) = 0(5.45)для всех ∈ .Условие 5.3.
Уравнение 0 (, ) = 0, имеет три корня = {(−) (), (0) (),(+) ()}, такие, что (−) () < (0) () < (+) () для всех ∈ [, ], причем0 (, ) > 0 для любого ∈ ((−) , (0) ),0 (, ) < 0 для любого ∈ ((0) , (+) ), ∈ [, ].121Эти корни являются простыми, причем существует константа > 0, такаячто 0 ((±) (), ) > > 0, 0 ((0) (), ) < − < 0 для любого ∈ [, ].Данное условие необходимо для получения решения в виде КС типа ступеньки.Условие 5.4. Пусть функция плотности источников нулевого порядка 0сбалансирована на сегменте [, ]: () ≡ 0, где () = (−) () + (+) (),(0)Z() (−) () =(+)Z ()0 (, ), (+) () =(−) ()0 (, ).(5.46)(0) ()В соответствии с методом асимптотического разложения в ряд по степеняммалого параметра определим "точку перехода" ⋆ (, ), < ⋆ (, ) < , аналогично главам 2, 3, как единственное решение уравнения(5.47)(⋆ , ) = (0) (⋆ ).Предположим также, что ⋆ (0, ) = 00 в начальный момент времени.5.3.2.
Асимптотические рядыТак как функция плотности источников отличается от рассмотренной в главе 3, подробно опишем алгоритм построения формальной асимптотики.Точка перехода ⋆ разделяет интервал [, ] на две части:(−) = { ≤ < ⋆ (, ), } (+) = {⋆ (, ) < ≤ }.Рассмотрим задачу слева от точки ⋆⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),⎩ (, , ) = , (⋆ , , ) = (0) (⋆ ),(, 0, ) = (, ),(5.48)и справа от точки ⋆ :⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),⎩ (, , ) = , (⋆ , , ) = (0) (⋆ ),(, 0, ) = (, ).(5.49)Аналогично предыдущим главам построим формальную асимптотику в виде суммы следующих функций: (−) (, , ) = ¯(−) (, ) + (−) (, , ) + Π ( , ), < ⋆ ;(5.50)122 (+) (, , ) = ¯(+) (, ) + (+) (, , ) + Π ( , ),где(±)¯(, ) =∞∑︁ > ⋆ ,(±)(5.51) ¯ ();(5.52)(±)(5.53)=0– регулярная функция;(±)(, , ) =∞∑︁ (, );=0– функции внутреннего переходного слоя;Π ( , ) =∞∑︁ Π ( );Π ( , ) =∞∑︁ Π ( ).(5.54)=0=0– пограничные функции.
Функции переходного слоя и пограничные функциизависят от растянутых переменных= − ⋆ (, ), =−≥ 0, =−≤ 0.(5.55)Координату точки сшивания также представим в виде ряда по степеням малогопараметра :⋆ (, ) =∞∑︁ ().(5.56)=0Мы будем строить непрерывно–дифференцируемую асимптотику, при этомвторая производная по координате может не существовать в некоторых точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
