Диссертация (1103472), страница 19
Текст из файла (страница 19)
6.2. Скорость дрейфа ВПС для уравнения РД. Сравнение численного результата (прямая линия) с аналитическим (крестики). (−) () = −0.5 · 2(−)/(−) , (0) () = 0, (+) =−(−) (), = 10−4 , = 1, = 0. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси - значения скорости .6.2.2. Дрейф КС для уравнения ОКППДалее рассмотрим движение фронта КС для сбалансированного уравненияОКПП, которое было рассмотрено в главе 3, в случае с экспоненциальным по141тенциалом (6.4). Направление движения также противоположно координатнойоси, но при этом на графике Рис.6.3 видно, что скорость дрейфа меньше, чемдля уравнения РД, так как мгновенные портреты расположены более часто.На Рис.6.4 приведен график скорости для уравнения ОКПП.
Скорость дляуравнения ОКПП зависит от координаты, это обусловлено тем, что знаменатель0 = −3 1+2 25(6.6)зависит от координаты через ().Рис. 6.3. Движение ВПС для уравнения ОКПП. (−) () = −0.5 · 2(−)/(−) , (0) () = 0,(+) = −(−) (), = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 . По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующихарифметическую прогрессию.6.2.3. Дрейф ВПС для уравнения РД в случае пяти корнейвырожденного уравненияПриведем пример дрейфа ВПС в случае вырожденного уравнения РД с пятью корнями (Рис.6.5). При этом, имеется три устойчивых (1 , 2 , 3 ) и дванеустойчивых ( , ) положения равновесия. Это приводит к образованиюдвух ВПС, заключенных между 1 и 2 , а также 2 и 3 .
Как видно из рисунка, слои движутся с разными скоростями справа налево. Первоначально142Рис. 6.4. Скорость дрейфа ВПС для уравнения КПП. (−) () = −0.5 · 2(−)/(−) , (0) () =0, (+) = −(−) (), = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 . По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси - значения скорости .нижний ВПС движется быстрее, но затем верхний ВПС приобретает большуюскорость, при приближении к левой границе области относительные скоростислоев выравниваются.
Данное явление описывает так называемые эффекты расщепления и склеивания.Рис. 6.5. Эволюция ВПС для 1 () = −1, 2 () = 0, 3 () = 1, () от 0, 65 до 0, 7, () от0, 45 до 0, 5 линейно, = 10−4 , = 1, = 0. По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующихарифметическую прогрессию.1436.2.4. Влияние скоростей различных порядков на движение ВПСдля уравнений РД и ОКППВ главе 4 рассматривалось движение ВПС при наличии особых точек.
Таккак методика исследования особых точек для уравнений РД и ОКПП не отличается, то в некоторых случаях мы укажем особые точки для уравнения РД, внекоторых - для ОКПП.Напомним определение особых точек. Точки, в которых скорость дрейфанулевого порядка обращается в ноль, но при этом сохраняет знак в их окрестности, будем называть особыми.Численное моделирование квазилинейного уравнения ОКПП проводилосьметодом разностных схем с итерационным решением системы нелинейных уравнений на каждом временном слое.
Мы выбираем величину шага по пространственной и временной координате так, чтобы иметь возможность находить скорость дрейфа КС с точностью до шести верных значащих цифр после запятой.Покажем влияние нулевого, первого, второго, третьего и более высоких порядков асимптотического ряда на значение скорости дрейфа. Выберем особую точку stop следующим образом: stop = 0.Наша основная модель – функция () такая, что (stop ) = 0, (stop ) = 0, (stop ) < 0.Для определенности, положим = 1, = 1, 2 = 10−3 .1.
Пусть () = exp(−/100). При указанных значениях параметров толщина ВПС при 0 = 0 равна = √︀2/ 2 =√1 .500В соответствии с(6.6), точное значение = 0,03 при 0 = 0. Измеренное в численномэксперименте 0, отличается от указанного теоретического значенияне больше чем на 10−7 при −10 < 0 < 10.2. Для () = 1 − 61 3 , получим аналитическое выражение для скоростидрейфа () (⋆ ) = −3 − 2 · 2,4674..., при ⋆ = 0 асимптотическоеразложение третьего порядка дает (3⋆) (stop ) = 10−3 · 2, 4674..., в числен144ном эксперименте (0) = 0,0024674...3.
Первый порядок асимптотики можно проиллюстрировать с помощьюфункции () = 1 −1100 − 16 3 , в численном эксперименте получаем (0) = 0,03 + 0,0024674 = 0,0324674, вклад (0⋆) по сравнению с (1)равен 0,03 в полном соответствии с (4.29).4. Для иллюстрации равенства нулю скорости второго порядка, 2 = 0,мы выберем () = 1 −1 1 210 2 − 16 3 . При этом измеренное значение (0) = 0,0024674, асимптотическое выражение для третьего порядка не должно отличаться от случая (1).
Приведенные значения скоростейдля случаев (3) и (4) подтверждают аналитическую формулу (6.6), таккак при добавлении1100 в уровне насыщения, скорость нулевого порядкаизменяется на 0,03.5. Для демонстрации суперпозиции скоростей различных порядков, рассмотрим функцию () = 1 −1100 −1 1 210 2 − 16 3 . Получим (0) = 0, 03 + 0,0024674 = 0,0324674 при 0 = 0.6. Следующий пример () = 1 +1 1 210 2 − 16 3 также позволяет продемонстрировать отсутствие зависимости от в выражении для скорости: (0) = 0,0024674 при 0 = 0, что полностью совпадает с выражениемиз предыдущего примера.7. Расчет до пятого порядка аппроксимации включительно можно выполнить, используя комбинированный численно-аналитический метод построения асимптотики.
Для (4.20) при = 1 получим, вычисляя интегралычисленным методом, () = −3 − 2, 467402 − 1, 424 .Приведенные вычисления хорошо подтверждаются численным экспери1 5ментом. Для () = 1 − 120 получим (0) = 0,00000142 при 0 = 0.8. Для функции ()= 1 −1 36−1 5120 ,представляющей суперпозицию (2) и (7), если рассматривать зависимость по , получим145 (0) = 0,0024674 + 0,00000142 = 0,00246882 при 0 = 0, то есть сумму скоростей для указанных случаев.6.3.
Численное моделирование задач с особой точкой6.3.1. Сверхкритический режим остановки ВПС для уравнения РДПриведем измеренные в численном эксперименте зависимости () дляразличных степенных функций ().Мы будем выделять 3 режима движения ВПС в окрестности особой точки:∙ Сверхкритический режим останова - ситуация, при которой ВПС доходитза конечное время до особой точки и полностью останавливается.∙ Критический режим останова - случай, при котором ВПС приближаетсяк особой точке по экспоненциальному закону, но при этом не доходит донее.∙ Докритический режим останова - ситуация, при которой ВПС бесконечноевремя будет приближаться к особой точке со скоростью меньшей, чем длякритического случая.На Рис.6.6 представлено движение и остановка ВПС для уравнения РД всверхкритическом случае.
Изображены мгновенные портреты ВПС для различных = 0 + ℎ , а также уровни насыщения 1 (), 2 (), 3 (). Сверхкритический режим также будем называть режимом жесткой остановки.На Рис.6.7 рассмотрен случай с () = 1 −1 ||1/25 1.5при ≥ 0. При ≤ 0функция () здесь и далее определена в (4.30). В соответствии с (4.31) законечное время ВПС первого порядка аппроксимации достигает особой точки.Показано, что скорость дрейфа ВПС резко стремится к нулю, касательная ккривой скорости в точке останова практически вертикальная, поэтому данныйслучай назван жесткой остановкой.146Рис.
6.6. Эволюция ВПС для () = 0 () + ||1/2 , режим жесткой остановки. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения (, ) для наборазначений = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию. Также указаны уровнинасыщения 1 (), 3 ().Рис. 6.7. Зависимость () для () = 1 +1 ||1.5,5 1.5сверхкритический режим останова. Погоризонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси - значения скорости .1476.3.2. Критический режим остановки ВПС для уравнения РДРежим мягкой остановки рассмотрен на Рис.6.8.
Квадратичная зависимостьфункции () от координаты соответствует так называемому критическомурежиму останова.Сравнение рисунков Рис.6.6 и Рис.6.8 показывает, что в случае сверхкритической остановки слой замедляется и останавливается за довольно короткийпромежуток времени, в то время как замедление ВПС в критическом случаепроисходит более плавно, ВПС в первом порядке стремится к особой точке поэкспоненциальному закону.Рис. 6.8. Эволюция ВПС для () = 0 () + ||, режим мягкой остановки.
По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения (, ) для наборазначений = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию.Критический режим останова характеризуется линейной зависимостью скорости от координаты вблизи точки останова:= , = (−0 ) , < 0(Рис.6.9). Таким образом, координата экспоненциально убывает со временем, ислой дойдет до точки останова за бесконечное время. Из сравнения Рис.6.7 иРис.6.9 следует, что чем меньше угол наклона касательной к графику скорости148в точке останова, тем больше времени потребуется слою, чтобы прийти в точкуостанова.Рис.
6.9. Зависимость () для () = 1 +1 ||,5 2критический режим останова. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси - значения скорости . Функция линейно зависит от координаты .6.3.3. Докритический режим остановки ВПС для уравнения РДСкорость движения ВПС для докритического режима останова изображенана Рис.6.10, Рис.6.11. В этих двух случаях особая точка в нулевом порядкеостанавливает ВПС, численный эксперимент показывает наличие прохожденияВПС через особую точку.На Рис.6.11 график расположен выше нуля в окрестности особой точки.Асимптотическое разложение третьего порядка в этих случаях дает (3⋆) > 0.В окрестности точки останова скорость убывает медленнее, чем линейная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
