Диссертация (1103472), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Для выполнения условия непрерывной дифференцируемости потребуем 1 –гладкости формальной асимптотики:⎧⎨ (−) (⋆ (, ), , ) = (+) (⋆ (, ), , ),⎩ (−) (⋆ (, ), , ) = (+) (⋆ (, ), , ).(5.57)Эти условия будут использованы при вычислении скорости дрейфа ВПС.5.3.3. Асимптотическое разложение и сшиваниеЗапишем функцию плотности источников следующим образом: ((, , ), , ) = ¯(, ) + (, , ) + Π ( , ) + Π ( , ),(5.58)123где¯(, ) = (¯(, ), , ),(5.59) (, , ) = (¯((), ) + (, , ), (), ) − (¯((), ), (), ),Π ( , ) = (¯(( ), ) + Π ( , ), ( ), ) − (¯(( ), ), ( ), ),Π ( , ) = (¯(( ), ) + Π ( , ), ( ), ) − (¯(( ), ), ( ), ).Это позволяет рассмотреть задачи (5.48) и (5.49) отдельно для каждой переменной:2 2 ¯(, ) = ¯(, );(5.60)(︂)︂⋆232⋆2 − − 2 2 + 3− 2 (, , ) = − (, , ); (5.61)22 2 Π ( , ) = Π ( , ); 2 Π ( , ) = Π ( , ).(5.62)2Так же, как и в предыдущих главах, мы не будем подробно рассматриватьпограничные функции.
Выпишем задачи для регулярных функций и функцийпереходного слоя. С учетом (5.52) - (5.56) условие сшивания (5.57) принимаетвид:[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒[︀[︀ (±) ]︀⃒]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒⃒⃒−1 0 () ⃒⋆ + 1 () ⃒⋆ + (±)+¯1 ⃒⋆ + . . . = 0,+2⋆⋆где (±) () ⃒⋆ = (+) (⋆ ) − (−) (⋆ ),[︀]︀⃒[︀ (±)]︀⃒ (, ) ⃒⋆ = (+) (0, ⋆ ) − (−) (0, ⋆ ).Принимая во внимание (5.56), запишем предыдущее уравнение следующимобразом:[︀]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒⃒ +0 0 + (±)−1 0 ⃒0 + 1 ⃒0 + 10(︁ [︀[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒(±) ]︀⃒+ 11 ⃒0 + ¯1 ⃒0 + 1 0 + 2 ⃒0 +)︁22 [︀⃒[︀]︀1 (±) ⃒(±) ]︀⃒⃒+2++ . .
. = 0. 0 02 2 1 0Перейдем к построению членов асимптотического разложения.(5.63)1245.3.4. Нулевой порядок асимптотикиОбщий случай.Рассмотрим отдельно функции различных порядков, зависящие от разныхпеременных.Предположим, что ^ > ⋆ в начальный момент времени при = 0.Заметим, что для рассматриваемой задачи в нулевом порядке эффект отразрыва функции плотности источников отсутствует.Регулярная функция нулевого порядка определяется из уравнения:(−)0 (¯0 , ) = 0. Следовательно, ¯0 () = − (), ≤ ⋆ ;(+)¯0 () = (), ≥ ⋆ .Для функций переходного слоя нулевого порядка получим краевую задачувторого порядка:⎧⎨ (±) = (︀¯(±) (⋆ ) + (±) , ⋆ )︀ − (︀¯(±) (⋆ ), ⋆ )︀,000000(±)(±)(±)⎩ (0) + ¯ (⋆ ) = (0) (⋆ ), (±∞) = 0.00(5.64)0Понижение порядка приводит к уравнению:(±)0√︂ (︂ (±) (Z⋆ )+(±)0)︂1/22=0 (, ⋆ ).(5.65)(±) (0 )Случай кубической неоднородности.В случае, когда функция плотности источников нулевого порядка являетсяполиномом третьей степени, 0 (, ) = (2 − 2 ()), решение уравнения (5.65)для функций переходного слоя нулевого порядка будет иметь вид:(±)0 (, )где =1 (⋆ )√︁2)︁(︁= ( ) tanh ∓ 1 ,⋆– толщина переходного слоя.5.3.5.
Первый порядок асимптотикиРегулярные функции. Общий случай.125Рассмотрим асимптотические функции первого порядка. Регулярные функции первого порядка определяются из уравнения:(±)(±)¯=−1 (¯0 (), )(±).0 (¯0 (), )Регулярные функции. Случай кубической неоднородности.Для функции 0 (, ) = (2 − 2 ()) и возмущения 1 , заданного выражением (5.43),⎧получим⎪⎨0, при < ^,(+)¯1 () =⎪⎩, при ≥ ^,⎧⎪⎨0, при < ^,(−)¯1 () =⎪⎩−, при ≥ ^.Функции переходного слоя. Общий случай.Функции переходного слоя первого и последующих порядков мы будем определять из задачи для суммы функций переходного слоя и регулярных функций:˜ () =⎧⎪⎨¯(+) (⋆ ) + (+) () при ≥ 0,(−)⎪⋆⎩¯(−) ( ) + () при ≤ 0, = 0, 1, 2 . .
. .В силу разрыва функции по переменной мы не можем разложить по переменной в ряд Тейлора и вынуждены заменить разложение скачкомфункции 1 справа от ^.При ⋆ ≤ ^ получим следующую краевую задачу второго порядка:⎧ (︁)︁2⎪⎨ − (︀˜(), ⋆ )︀ ˜(±) = (±) ,011 2⎪⎩ ˜(±) (0) = 0, ˜(−) (−∞) = 0, ˜(+) (∞) = ¯(+) (^),1111(5.66)где(︀ (+)(+)(+) )︀01 () = −0 0 − 0 + 1 , 0 = ,(︀)︀(±) (+) () = ˜0 ¯1 (⋆ ) + ¯ (⋆ ) + ˜0 − ¯0 ¯1 (⋆ ) + 1 ,0а также введены обозначения(︀)︀(︀ (±))︀˜ = (˜(), ⋆ ), ¯ = (¯0 (⋆ ), ⋆ ), () = ˜(), ⋆ − ¯0 (⋆ ), ⋆ ,(−)(±) () = ˜0 ¯ (⋆ ) + ˜0 ,10учтено, что ¯ (¯0 , ⋆ , 0)¯0 + ¯ (¯0 , ⋆ , 0) = 0.126Для функции 1⎧вида (5.43), имеем⎪⎨0, 0 ≤ < ,^⋆˜1 = 1 (˜, ) =⎪⎩−2 (⋆ ) ˜, ≥ ^ =^−⋆ .Для функций ВПС справа от ^ (⋆ ≥ ^) мы получим следующие задачи:⎧ (︁)︁2⎪⎨ − (︀˜(), ⋆ )︀ ˜(±) = (±) ,011 2⎪⎩ ˜(±) (0) = 0, ˜(−) (−∞) = 0, ˜(+) (∞) = ¯(+) (⋆ ),1111(5.67)где(︀ (±)(±)(±)(±) )︀1 () = −0 0 − 0 + 1 ,)︀(︀(±)(±)⋆ (±) () = ˜0 ¯1 (⎧) + ¯0 (⋆ ) + ˜0 − ¯0 ¯1 (⋆ ) + 1 ,⎪⎨0, < ^ = ^−⋆ ,(−)˜1 = 1 (˜, ⋆ ) =⎪⎩2 (⋆ ) ˜, ^ ≤ ≤ 0,(+)˜1 = 1 (˜, ⋆ ) = −2 (⋆ ) ˜, 0 ≤ ≤ ∞.(±)Запишем выражение для ˜1в явном виде:[︀ (±) ]︀(±)(±)(±)˜1 () = ¯1 (^) + ˜1 (0)Ψ(±) () − 1 ,(5.68)где введен оператор±∞ZZ[︀ ]︀(︀)︀−2−1 (±)(±) () = Ψ () Ψ () Ψ(±) ()(±) (),0−∞ < < +∞, Ψ(±) () =Φ(±) (),Φ(±) (0)(5.69)(±)Φ(±) () = 0 , Φ(+) (0) = Φ(−) (0) = Φ(0).5.3.6.
Вычисление скорости дрейфа нулевого порядкаОбщий случай.Определим скорость дрейфа нулевого порядка 0 из уравнения (5.63) гладкого сшивания асимптотик, собирая слагаемые порядка 0 ,[︀ (±) ]︀⃒[︀]︀⃒⃒ + 1 ℛ1 = 0,˜1 () ⃒0 + (±)()0(5.70)127где ℛ1 =(︀[︀]︀⃒ )︀⃒(±)0 () ⃒ ⃒0 . Принимая во внимание (5.65),√︂)︁⃒2 (︁()⃒√︀√︀.ℛ1 =⃒ (−) () + − (+) () =0В силу Условия 5.4 мы получаем ℛ1 = 0.Введем операторы ℋ(±) (±)[︀]︀и ℋ2 (±) , действующие на ограниченную[︀]︀функцию (±) () следующим образом:±∞Z1(±)0 (±) (),Φ(0)[︀ (±) ]︀[︀]︀ 0 (+)[︀ (+) ]︀(−) (−)ℋ2 =ℋ +ℋ .[︀]︀ℋ(±) (±) = ±Следовательно,[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±)]︀⃒[︀ (±) ]︀(±)˜1 () ⃒0 = ˜1 (0, )Ψ () ⃒0 − ℋ2 1 ,и (5.70) будет иметь вид[︀ (±)]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±)[︀ (±) ]︀(±)(±) ]︀⃒˜1 (0, )Ψ () 0 + () ⃒0 + 0 ℋ2 0 − 0 − ℋ2 1= 0,откуда получаем[︁]︁⊕[︁]︁⊕[︀ (±) ]︀(±)(±)(±)−Φ(0) Φ ()˜1 (0, ) + Φ(0)ℋ2 1 − Φ(0) (0 )⊖⊖0 =.R∞R∞(±) 2(±) 2()+()00−∞−∞Из Условия 5.3 вытекают равенства 0 ((±) (⋆ ), ⋆ ) = 0, 0 ((0) (⋆ ), ⋆ ) = 0,[︀ (±)]︀⃒(±)(±)1 (0, ) ⃒0 = 0.Φ (0) = 0 и Φ ()˜Окончательно получаем:[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀−Φ(0) () ⃒0 + Φ(0)ℋ2 1.0 (0 ) =R∞R∞ (±)(±) 22 ()+()00−∞∞(5.71)Для координаты 0 получаем следующую задачу Коши:⎧⎨ 0 = ,0⎩ (0) = ,000(5.72)128где 00 ∈ (, ) задает начальное положение фронта ВПС.Потребуем также выполнения следующего дополнительного условия:Условие 5.5.
0 (0 ) > 0 для любых 0 ∈ [, ].Случай кубической неоднородности.Вычислим интегралы в (5.71):R∞(±) 2(±) 216 2 (0 )4 2 (0 ))=)=,((00−∞−∞3153 ,(±)ℋ[˜0 ¯ (⋆ ) + ˜0 ] = −2(Φ(0))−1 (0 ) (0 ).R∞0Определим эффект от функции возмущения 1 . Для этого рассмотрим отдельно задачи слева и справа от точки ^.Если ⋆ < ^, тогда[︀]︀R∞ 2(⋆ ) R ∞ℋ(+) 1 + 0 ¯1 (⋆ ) = − 2Φ(0)˜˜+ − 2 )˜ =^^ (3˜Φ(0)√ 2 ⋆(︁)︁ ( )^√︀ 4(−2) 3 (⋆ ) 3 (⋆ )2^(︃)︃3 ==−tanh ( 2 ) − 1 .√ 2Φ(0)Φ(0) 1+ (⋆ )^При ⋆ > ^ мы имеем[︀]︀ℋ2 1 + 0 ¯1 (⋆ ) =2 Φ(0)(︁R0˜˜ ^ −R∞0)︁˜˜ =√ 24 3 (︃√1+=3− Φ(0)(︁ ^)︃2=2 ^)︁√︀ ^tanh ( 2 ) − 1 .2Таким образом, мы получили выражение для скорости дрейфа нулевогопорядка:⎡0 =3 ⎣ (0 )−+4()1 + 502√(︁)︁ ⎤√︀ 2^ tanh ( 2 ) − 1⎦.√2 2(5.73)5.3.7. Второй порядок асимптотикиОбщий случай.Рассмотрим выражение для регулярной функции второго порядка ¯2 ():(︀)︀−1 (︀)︀¯2 () = 0 (¯0 , )¯0 () − 12 0 (¯0 , )¯21 () − 1 (¯0 , )¯1 () .129Краевая задача для функции второго порядка ˜2 имеет вид:⎧ (︁)︁⎨ 22 − 0 (︀˜(), ⋆ )︀ ˜(±) = (±) (),22⎩ ˜(±) (0) = 0, ˜(±) (±∞) = 0,2(±)(±)где 2 () = −1 0(︀(5.74)2(±) )︀− 0(︀ (±)(︀ (±)(±) )︀(±) )︀+−−−0010 +1 (±)1+ 2 , 1 = ,(︀)︀(︀)︀(±)2 (, ) = ˜0 12 2 ¯0 (⋆ ) + ¯2 (⋆ ) + 12 ˜0 ˜1 () + ¯0 (⋆ ) 2 +(︀)︀(︀)︀+ 12 2 ˜0 + 1 + 1 ˜1 () + ¯0 (⋆ ) + ˜0 ˜1 () + ¯0 (⋆ ) .Аналогично (5.68), выпишем ˜2 (, ) в явном виде:[︀ (±) ]︀˜2 (, ) = ˜2 (0, )Ψ(±) () − 2 .(5.75)5.3.8.
Условие сшивания второго порядкаОбщий случай.Вычислим скорость дрейфа ВПС первого порядка, собирая коэффициенты,пропорциональные в (5.63):[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒21 [︀ (±) ]︀⃒⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒⃒⃒˜2 0 + ¯1 0 + 1˜+ 2 ℛ1 + ℛ2 = 0, (5.76)+ 1 0 1 02√︁⃒⃒()2 √√где ℛ2 = 2 , ℛ2 = 0 в силу Условия 5.3.⃒2(−)(+)()+() =0Принимая во внимание (5.68), (5.75), получим:[︀]︀⃒[︀]︀⃒ )︁⃒[︀ (±) ]︀⃒ (︁[︀ (±) ]︀⃒⃒(±)⃒⃒˜2 (0)Ψ () 0 + ¯1 () 0 + 1 + ˜1 () ⃒ ⃒=0 +[︀]︀[︀ (±)[︀(︀ (±)[︀ (±) ]︀(±) ]︀(±) )︀ ]︀1 + 1 ℋ2 0 − 0 − ℋ2 0 − 0 = ℋ2 2 .+0 ℋ2 ˜1 − ˜(5.77)Таким образом, выражение для скорости дрейфа первого порядка имеетвид:130(1)(0)(1)(0)1 (0 , 1 , ^) = 1 1 (0 , ^) + 1 (0 , ^), где[︀ (±)(±) ]︀⃒⃒+˜1(1)0,1 (0 , ^) = −Φ(0) R∞R∞ (±)(±) 22 ))+((00∞−∞[︀ ]︀[︀(︀ (±)[︀ (±)(±) )︀ ]︀(±) ]︀−ℋ−ℋ−−˜ℋ˜2 220 2 100 1(0)−1 (0 , ^) = −Φ(0)R∞ (±)R∞(±) 22−∞ (0 ) + ∞ (0 ) ]︀⃒[︀ (±)2 (0) ⃒0Ψ ()˜−Φ(0) R∞.(5.78)R∞ (±)(±) 22 ()+()00−∞∞Задача Коши для 1 ():⎧⎨1= 1 1 (0 , ^) + 1 (0 , ^),(5.79)⎩ 1 (0) = 0.5.3.9.
Последующие порядкиДля функций переходного слоя последующих порядков можно получитьаналогичные краевые задачи второго порядка:⎧ (︁)︁⎨ 22 − 0 (︀˜(), ⋆ )︀ ˜(±) = (±) ,⎩ ˜ (0) = 0, ˜ (±∞) = 0,(±)(±)(±)(±)(5.80)(±)где (, ) = −−1 0 (, ) − 0 − . . . − 0 ˜−1 () − ˜−1 +(︀)︀(︀)︀+ ,(︀)︀(±) () = ˜0 ¯(−1) (⋆ ) + ¯ () + . . . + 1 ˜−1 + ˜0 ˜−1 () + . . . .Координата ВПС вычисляется из линейный задач Коши:⎧⎨−1(1)(0)= −1 1 + −1 ,⎩ −1 (0) = 0.(5.81)5.3.10. Построение верхнего и нижнего решенийДокажем корректность построения формальной асимптотики для случаямонотонной функции (, , ) с помощью метода нижних и верхних решений.131Будем считать, что для слоя, движущегося в отрицательном направлении(±)выполнено условие: для всех ⋆ ∈ (, ) при < 0 , 0 > 0, функция (, , )есть возрастающая функция по переменной .Мы рассмотрим слабое верхнее – (, , ) и слабое нижнее –(, , ) решения, являющиеся непрерывно–дифференцируемыми монотонными функциямии удовлетворяющие условиям:K.5.1.
⟨D(), ⟩ > 0, ⟨D(), ⟩ < 0 почти всюду ∈ (, ) ∖ {⋆ }, и ∈ (0, ],K.5.2. (, , ) < , (, , ) < почти всюду при ∈ [0, ],K.5.3. (, 0, ) < 0 (, ) < (, 0, ) почти всюду при ∈ [, ],K.5.4.⋆⋆ ( − 0, , ) < ( +⋆⋆ ( − 0, , ) > ( + 0, , ).0, , ),Построим (, , ) и (, , ) в виде(︀)︀ (, , ) = , + +1 ˜(+1), ( ) − + Π(+1) ( ) + Π(+1) ( ) , (5.82)(︀)︀ (, , ) = , + +1 ˜(+1), ( ) + + Π(+1) ( ) + Π(+1) ( ) , (5.83)где > 0 – константа, − ⋆, (, ),, =−1∑︁⋆, (, ) = () + (), ().(5.84)(5.85)=0Функции ,, (, , ) – частичные суммы рядов, аналогичных (5.50) и (5.51),,, (, , ) =∑︁(︀)︀ ˜,, (, , ) + Π,,, ( ) + Π,,, ( ) ,=0(±)¯,⎧⎨ ¯(−),=⎩ ¯(+)при≤⋆ ,(±),⎧⎨ (−),=(+)⎩при ≤ ⋆ , = , .при > ⋆ ,при > ⋆ ,,,Функции переходного слоя для нижнего и верхнего решений определяютсяиз задач132⎧ (︁(︀ (±))︀)︁(±)2⎪⋆⎪ 2 − 0 ˜ ( ), , 0 ˜, = , ( ),⎪⎨(±)˜, (0) = −, ,⎪⎪⎪⎩ ˜(±) (±∞) = 0, = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
