Диссертация (1103472), страница 18
Текст из файла (страница 18)
. . + 1,,(5.86)где введены следующие обозначения:(︀ (±))︀(±)(±)(±), (, ) = −−1, 0 ( , ) − 0 + , ,⎧⎨ ¯(+) (⋆ ) + (+) ( , ), ≥ 0,˜ ( ) =(−)(−)⎩ ¯ (⋆ ) + ( , ), ≤ 0,⎧⎧⎨ ˜(±) , = 0 . . . ,⎨ , = 0 . . . − 1,(±)˜, =, =⎩ ˜(±) , = + 1,⎩ , , = ,,⎧⎨ (±) , = 0 . . . ,(±), =⎩ (±) , = + 1,,⎧⎪⎪⎨ 0, = 0 . . . ,(±) = , ., =, = , = + 1,⎪⎪⎩ −, = , = + 1,(5.87)Выражение для +1, аналогично рассмотренному выше для младших порядков, вычисляется заменой на и ¯(+1) на ¯(+1) + +1, :(︀)︀(±)+1, ( ) = ˜0 ˜, ( ) + ˜+1 ( ) + +1, + . .
. ++ ˜1 ˜ ( ) + ˜0 ˜ ( ) + . . ..Координата () определяется из системы уравнений, которые получаютсяиз сшивания в ( + 1)–м порядке:⎧⎨ ()(1)(0)= 1 () + () + ,(5.88)⎩ () (0) = ,⎧⎧⎨ ,⎨ , = , = , = =где > 0 и > 0 – константы,⎩ −, = ,⎩ −, = ,(︀R∞R∞ (±) 2 )︀−1(0)(±) 2^ (0),() = ()+0()−∞∞ (0 ) 133[︀]︀^ (0) = −−1 ℋ2 ˜1, − ˜1, +())︀R∞ (±) (︀+ −∞ 0 ˜ ¯+1 (⋆ ) + +1, + . . .
+ . . . .Постоянная обеспечивает выполнение условия на скачок производной, постоянная гарантирует сдвиг начального условия.5.3.11. Обоснование верхнего и нижнего решенийАналогично главе 3 введем обозначения: пусть > 0 и⋆ = [⋆ − , ⋆ + ], ⋆ = [ + , ⋆ − ) ∪ (⋆ + , − ].Используя интегрирование по частям, получим, что следующая оценка верна для верхнего решения на интервале ⋆ :⟨[ ], ⟩ =(︀)︀(︀)︀R∑︀∑︀−1 R 2 ˜= ( =1 Ω 2 − +1¯(),˜()+ +00=1Ω+ {.
. .}) + +2 (, ) =R0 ˜ R∞ ˜ )︁∑︀−1 (︁R^˜ = − =1 −∞ + ^ + 0 −)︀(︀)︀(︀R∑︀ + {. . .} + +2 (, ) =¯(),˜()+− +100=1 )︁(︁ Ω[︁ (︀RR∞ (±) 2 )︀]︁∞(±) 2+1 1(, ) −= (0) − Φ(0) −∞ (0 ) + ∞ (0 ) + R− +1 Ω 0 + +2 (, ),где символом {. . .} обозначены остальные производные функции , такиекак , и т.д. Все производные по мы будем рассматривать на всем интервале [, ], за исключением точек ⋆ , ^.¯0 (), > 0,Предыдущее выражение отрицательно, потому что > 0, 0 (︀)︀функция (, ) равномерно ограничена на Ω, так как содержит производныеот Липшицевой функции 0 (, ) и ограниченной функции 1 (, ).Рассмотрим [ ] в области, удаленной от ⋆ .⟨[ ], ⟩ =(︀(︀)︀)︀R= − =[,]̸={^,⋆ } +1 0 ¯0 (), + +2 (, ) < 0,(︀)︀так как 0 ¯0 (), > 0, > 0.Аналогично можно доказать, что [ ] > 0 на интервале ⋆ .Докажем упорядоченность верхнего и нижнего решений в граничной точке:134 (, , ) − (, , ) = ¯0 () + Π0 − (, , ) + (¯1 () + Π1 ) + .
. . ++ +1 (¯(+1) () + + Π(+1) ) + +1 (, ) = +1 + +1 (, ),где функция (, ) равномерно ограничена в области Ω в силу экспоненциального убывания функции Π, (|Π, | ≤ 1 ±2 , ) и равномерной ограниченности производных функции (, , ).Следовательно, существует > 0, такое что (, , ) − (, , ) > 0 вобласти Ω.Проверка остальных условий на границах производится аналогичным образом.Можно выбрать параметр > 0 так, что условие на скачок производнойфункции будет выполнено.⋆⋆ (,[︁) + 0, , − (, ) − 0, , =(︀R∞R∞ (±) 2 )︀]︁(±) 2 1= − Φ(0) −∞ (0 ) + ∞ (0 ) (︀)︀(︀)︀+ +1 (, ) < 0,(, ) равномерно ограничена в области Ω в силу Условия 5.2.Упорядоченность нижнего (, , ) и верхнего (, , ) решений доказывается аналогично предыдущим главам.Следовательно, , удовлетворяют Теореме 5.2 о принципе сравнения дляуравнения ОКПП.Поэтому решение (, , ) задачи (5.40) удовлетворяет неравенствам (, , ) < (, , ) < (, , ).Оценка точности построенной асимптотики, использовавшаяся для построения (, , ) и (, , ) стандартным образом следует из структуры верхнегои нижнего решений.Сформулируем основной результат в виде теоремы.Теорема 5.3.Пусть существует обобщенное решение (, , ) задачи (5.40) и выполняются Условия 5.1 - 5.4.
Тогда при достаточно малых справедлива следующаяоценка|(, , ) − (, , )| ≤ +1 в области Ω,135где (, , ) =(±)⎧⎪⎨(−) (), ≤ ≤ ⋆ (),⎪⎩(+) (),⋆ () ≤ ≤ , (, , ) – частичные суммы до –го порядка построенных рядов (5.50)∑︀⋆и (5.51), = − () , ⋆ () = =0 ().136Глава 6Численный эксперимент6.1. Дискретная аппроксимация уравнения ОКППВ этой главе представлены результаты численного решения уравнений, рассмотренных в главах 2-5, продемонстрирована корректность полученных намиасимптотических формул.Для нахождения численного решения начально-краевой задачи для уравнения ОКПП⎧⎪⎪⎨ + − = − (, ),(, ) = , (, ) = ,⎪⎪⎩ (, 0) = 0 (),0 < < , < < ,(6.1)был использован метод разностных схем [30], [54], [3].
Данный метод позволяетпредставить решение системы (6.1) как предел решения специально построенной нелинейной системы алгебраических уравнений при стремлении к нулюшагов по временной и пространственной координатам. Эта система нелинейных алгебраических уравнений называется разностной схемой. Для построенияразностной схемы мы используем шеститочечный шаблон на прямоугольнойсетке с постоянным шагом. Для решения разностной схемы применяется методпрогонки с итерациями.Мы провели численный эксперимент также для системы, аналогичной (6.1),с граничными условиями второго рода.
Так как наша цель состоит в исследовании ВПС, мы приводим далее только результаты для граничных условийпервого рода.Обозначим , – численное решение разностного аналога уравнения (6.1) вточке = в момент времени = , ℎ , ℎ –шаги сетки по и соответственно.
Зададим сетку , в виде = + ℎ , 0 ≤ ≤ , ℎ =− , = ℎ ,1370 ≤ ≤ , ℎ =.Запишем нелинейную систему алгебраических уравнений (разностную схему) для (6.1):1(+1, − , )+ℎ+(+1,+1 − +1,−1 + ,+1 − ,−1 )−4ℎ(︂)︂ +1,−1 − 2+1, + +1,+1 ,−1 − 2, + ,+1−−−ℎℎ2ℎ2)︀ (︀− 2 (+1,−1 − 2+1, + +1,+1 ) + (,−1 − 2, + ,+1 ) =2ℎ11= − (+1, , ) − (+1, , ),22(, 0) = , (, ) = ,(0, ) = 0 (). (6.2)Так как уравнение (6.2) является нелинейным относительно , был применен итерационный метод.Решение на + 1 слое для -й итерации представляется в виде()(−1)(−1)+1, = +1, + +1, ,(−1)итерационный процесс продолжается до тех пор, пока (|+1, |) > , > 0заданное число (определяет точность результата), ≪ 1.
Этот подход позволяетлинеаризовать функцию (, ) с помощью метода Ньютона:()(−1)(−1) (+1, , ) = (+1, + +1, , ) =(−1)(−1)(−1)= (+1, , ) + (+1, , )+1, + , есть остаточный член.При численной реализации остаточный член опускаем,(−1)(−1)(−1)(−1)(−1) (+1, + +1, , ) ≃ (+1, , ) + (+1, , )+1, .138Линейная система для одного итерационного шага имеет вид1 (−1)(−1)(+1, + +1, − , )+ℎ(−1)(−1)(−1)(−1)(+1,+1 + +1,+1 − +1,−1 − +1,−1 + ,+1 − ,−1 )−+4ℎ(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)− 2 [+1,−1 + +1,−1 − 2(+1, + +1, ) + +1,+1 + +1,+1 −ℎ ℎ− (,−1 − 2, + ,+1 )]−−(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)(−1)[(+−2(+)+++1,−1+1,−1+1,+1,+1,+1+1,+1 )+2ℎ2(−1)(−1)(−1)+ (,−1 − 2, + ,+1 )] = − (+1, , ) − (+1, , )+1, .(−1)Соберем отдельно слагаемые с +1 :(−1)(−1)(−1)+1,−1 +1,−1 − +1, +1, + +1,+1 +1,+1 = −+1, ,(6.3)где коэффициенты +1,−1 , +1, , +1,+1 являются известными и задаются следующим образом (зависимость от номера итерации подразумевается):+1,−1 = − 4ℎ −2ℎ2−ℎ ℎ2 ,(−1)2ℎ ℎ2 − ℎ2 − (+1, , )+1,+1 = 4ℎ − 2ℎ2 − ℎℎ2 ,(−1)(−1)(−1)1+1, = ℎ (+1, − , ) + 4ℎ (+1,+1 − +1,−1(︂ (−1))︂(−1)(−1)−2+−2++1,−1+1,+1,+1,+1− ,−1 ℎ,−2ℎℎ2+1, = − ℎ1 −−+ ,+1 − ,−1 ) −(︀ (−1))︀(−1)(−1)(−1)− 2ℎ2 (+1,−1 − 2+1, + +1,+1 ) + (,−1 − 2, + ,+1 ) + (+1, , ).(−1)Далее реализуем метод прогонки [30] для +1 .
Во всех приводимых далеерезультатах значение параметра критерия останова итерационного процесса выбрано так, чтобы были верны все значащие цифры приводимых числовыхзначений. Для графиков значение выбрано так, чтобы отличие точного результата от приводимого на графике не превышало видимой толщины линииграфика. Оценка погрешности осуществлялась стандартными методами оценкиточности решения разностной схемы итерационными методами, изложеннымив книгах [30], [54], [3].
Были проведены также модельные расчеты для начальнокраевых задач, для которых известно точное решение, в том числе для правой139части вида (, ) = ( − 1 )( − 2 )( − 3 ) в однородном пространстве сосбалансированной и несбалансированной реакцией.Доказательство сходимости решения разностной схемы к решению точнойзадачи выходит за рамки данной работы и не приводится.6.2.
Результаты численного моделирования дляуравнений РД и ОКПП6.2.1. Дрейф КС для уравнения РДЧтобы пояснить отличие модели уравнения ОКПП от РД, мы приведемрешения этих уравнений для одной функции плотности источников.Рассмотрим процесс движения ВПС для уравнения РД в случае сбалансированной плотности источников с экспоненциальным потенциалом(+) () = −(−) () =1 (−)/(−)·2.2(6.4)Везде в дальнейшем будем считать, что = 4096 – число шагов в разностнойсетке.По результатам главы 3, выражение для скорости дрейфа для уравненияРД в нулевом порядке имеет вид0 = −3 (0 ). (0 )(6.5)На Рис.6.1 изображены мгновенные портреты КС для сбалансированногоуравнения РД.
ВПС движется со со скоростью −3( − )−42 10против оси координат до остановки.На Рис.6.2 приведена зависимость скорости дрейфа ВПС от координаты,найденная в численном эксперименте и рассчитанная по формуле (6.5). Направление движения ВПС противоположно оси координат. Также на графикепроведено сравнение аналитических результатов с численными и показано ихсовпадение.140Рис. 6.1. Движение ВПС для уравнения РД. Рассматривается сбалансированная плотностьисточников, (−) () = −0.5·2(−)/(−) , (0) () = 0, (+) = −(−) (), = 10−4 , = 1, = 0.По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения (, ) длянабора значений = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию.Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
