Автореферат (1103471)
Текст из файла
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñèØàðëî Àëåíà ÑòàíèñëàâîâíàÊîíòðàñòíûå ñòðóêòóðû äëÿ îáîáùåííîãî óðàâíåíèÿÊîëìîãîðîâàÏåòðîâñêîãîÏèñêóíîâàÑïåöèàëüíîñòü 01.01.03 - ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêàÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒäèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÌîñêâà 2015Ðàáîòà âûïîëíåíà íà êàôåäðå ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÌîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÁûêîâ Àëåêñåé Àëåêñàíäðîâè÷,Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîðÁîáîäæàíîâ Àáäóõàôèç Àáäóðàñóëîâè÷,Îôèöèàëüíûå îïïîíåíòû:äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêèÔåäåðàëüíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãîîáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûéèññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾ÌÝÈ¿Íåñòåðîâ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷,äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîð êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêèÃîñóäàðñòâåííîãî áþäæåòíîãî îáðàçîâàòåëüíîãîó÷ðåæäåíèÿ âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ãîðîäà Ìîñêâû ¾Ìîñêîâñêèé ãîðîäñêîéïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò¿Âåäóùàÿ îðãàíèçàöèÿ:Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò ¾ÌÈÝÒ¿Çàùèòà ñîñòîèòñÿ ¾¿2015 ã.
â÷àñîâ íà çàñåäàíèè äèññåðòà-öèîííîãî ñîâåòà Ä 501.002.10 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòåèìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà ïî àäðåñó: 119991, ã. Ìîñêâà, Ëåíèíñêèå ãîðû, ÌÃÓ,ä. 1, ñòð.2, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, ÑÔÀ.Ñ äèññåðòàöèåé ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â Ôóíäàìåíòàëüíîé áèáëèîòåêå ÌÃÓ èìåíè Ì. Â. Ëîìîíîñîâà.Àâòîðåôåðàò ðàçîcëàí ¾¿2015 ãîäà.Ó÷åíûé ñåêðåòàðüäèññåðòàöèîííîãî ñîâåòà Ä 501.002.10äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,ïðîôåññîðÏ.À. ÏîëÿêîâÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÐàáîòà ïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿäïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà íà íîâûé êëàññ çàäà÷, à èìåííî, íà íà÷àëüíîêðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ,òàêíàçûâàåìîãîóðàâíåíèÿÊîëìîãîðîâàÏåòðîâñêîãîÏèñêóíîâà(ÎÊÏÏ).Óðàâíåíèå ÎÊÏÏ îïèñûâàåò íåêîòîðûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû â ïîëóïðîâîäíèêàõ [7].
Íà÷àëüíîêðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ èìååò âèä:− u) + k∆u − f (u, x) = 0, x ∈ D, t ∈ (0, T ),u(x, t) = µ0 (x, t), x ∈ ∂D, t ∈ (0, T ),u(x, 0) = u0 (x), x ∈ D.∂∂t (∆u(1)Àêòóàëüíîñòü òåìûÌàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ðàçíîîáðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðèâîäÿò êäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ. Èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõïðîèçâîäíûõ èìåþò ðåøåíèÿ âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû (ÊÑ) [3].  äàííîéðàáîòå èçó÷àþòñÿ ÊÑ òèïà ñòóïåíüêè, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî íàëè÷èå ïðîòÿæåííûõ îáëàñòåé, â êîòîðûõ ðåøåíèå áëèçêî ê îäíîìó èç óðîâíåé íàñûùåíèÿ(òàêèå îáëàñòè íàçûâàþòñÿ ïÿòíàìè) è óçêèõ îáëàñòåé, â êîòîðûõ ðåøåíèå èçìåíÿåòñÿ îò îäíîãî èç óðîâíåé íàñûùåíèÿ äî äðóãîãî (äàííûå îáëàñòè íàçûâàþòâíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè (ÂÏÑ)).Áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò íåñòàöèîíàðíûå ÊÑ, â êîòîðûõ ôðîíò ïåðåìåùàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïðîöåññîâ ïåðåíîñà è äèôôóçèè â íåîäíîðîäíîé ñðåäå.Îäíèìè èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ÊÑ ÿâëÿþòñÿ ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà è ìåòîääèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ [3]. ðàáîòå ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà è ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèéîáîáùàþòñÿ íà êëàññ ïñåâäîïðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé óðàâíåíèå ÎÊÏÏ, èìåþùåå ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ðåøåíèå âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïàñòóïåíüêè.Óðàâíåíèå ÎÊÏÏ îïèñûâàåò ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â ïîëóïðîâîäíèêàõ[7].
 ðàáîòå [7] ïðèâåäåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ôèçè÷åñêèõ çàäà÷, ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè êîòîðûõ ïðèâîäÿò ê ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèÿì. Ðàññìàòðèâàåìûé íàìè â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëó÷àé êóáè÷åñêîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ èìååò øèðîêîå ôèçè÷åñêîå ïðèìåíåíèå, íàïðèìåð, â çàäà÷àõ àñòðîôèçèêè [4], à òàêæå ïðè îïèñàíèè òàê íàçûâàåìîãî ýôôåêòà Îëëà â äèíàìèêåïîïóëÿöèé [10].3Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðèñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ (íàïðèìåð,∂422∂t (ε ∆u−ε u)+kε ∆u−f (u, x, ε)ÿâëÿåòñÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèε = 0= 0,ε > 0)óðàâíåíèå èçäèôôåðåíöèàëüíîãî â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðåâðàùàåòñÿ â àëãåáðàè÷åñêîå.Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûå óðàâíåíèÿ îïèñûâàþò øèðîêèé êëàññ çàäà÷, âñòðå÷àþùèõñÿ â ôèçèêå, õèìèè, áèîëîãèè. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ââåäåííîãî ìàëîãîïàðàìåòðàεñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò îïèñàòü òàê íàçûâàåìûå áûñò-ðûå è ìåäëåííûå âî âðåìåíè ïðîöåññû.Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè äåòàëüíî èçó÷åíû ïðîöåññû äðåéôà ôðîíòîâ ÊÑ äëÿóðàâíåíèÿ ðåàêöèèäèôôóçèè ïðè óñëîâèè, êîãäà ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêàW0 ̸= 0è ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê âî âñåé îáëàñòèD.Êðîìå òîãî, èçó÷åíûçàäà÷è, â êîòîðûõ ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêà ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó.
Àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ òîíêèõïåðåõîäíûõ ñëîåâ â ñëó÷àå, êîãäà ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêà îáðàùàåòñÿ â íîëü â íåêîòîðîé òî÷êå, íî ïðè ýòîì ñîõðàíÿåò çíàê â åå îêðåñòíîñòè.Òàêóþ òî÷êó ìû áóäåì íàçûâàòü îñîáîé.  ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñ îñîáîé òî÷êîé è ïðèâåäåì ïîëíûé àíàëèç ïðîõîæäåíèÿ ÂÏÑ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êóäëÿ óðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò äàòü îòâåò íà âîïðîñ î òîì, áóäåò ëè òîíêèé ïåðåõîäíûé ñëîé îñòàíîâëåíîñîáîé òî÷êîé èëè ïðîéäåò ñêâîçü íåå. Ýòîò âîïðîñ âàæåí äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â ïîëóïðîâîäíèêàõ, ñâÿçàííûõ, íàïðèìåð, ñ ÿâëåíèåì ïðîáîÿ.Êàê èçâåñòíî [9], åñòåñòâåííûì êëàññîì, â êîòîðîì íàäî èñêàòü ðåøåíèÿïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ÿâëÿåòñÿ êëàññ îáîáùåííûõ ðåøåíèé.
Èìååòñÿ øèðîêèé êëàññ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ çàäà÷, â êîòîðîì ñðåäû ÿâëÿþòñÿ ðàçðûâíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò. Ýòî âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè íàëè÷èè êîíòàêòà äâóõ ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ ñ îòëè÷àþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè.  ýòîì ñëó÷àåêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé çàäà÷à èññëåäîâàíèÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõïðîèçâîäíûõ. òåîðèè ÊÑ òèïà ñòóïåíüêè èññëåäóþòñÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâñ òðåìÿ êîðíÿìè èëè áîëüøèì ÷èñëîì êîðíåé. Åñëè ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèè, òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñòåïåíü ïîëèíîìà áûëà íå ìåíüøå òðåõ, ÷òî ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì ïðè îáîñíîâàíèè îáîáùåííûõ ðåøåíèé.Ïîýòîìó àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä îáîñíîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííûõðåøåíèé äëÿ ôóíêöèéf,îòëè÷àþùèõñÿ îò ïîëèíîìîâ.
 äàííîé ðàáîòå ìûðàññìîòðèì Ëèïøèö-íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ4fïî ïåðåìåííîéu.Öåëü ðàáîòûÏåðå÷èñëèì îñíîâíûå öåëè ðàáîòû:1. Ðàçâèòèå ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãîïàðàìåòðà äëÿ óðàâíåíèé áîëåå îáùåãî êëàññà, ÷åì óðàâíåíèå ðåàêöèèäèôôóçèè, à èìåííî äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûìïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ:∂ 4(ε uxx − εν u) + kε2 uxx − f (u, x, ε) = 0, x ∈ D, t ∈ (0, T ),∂tñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè(2)u(x, t, ε) = ψ(x, t, ε), x ∈ ∂D, t ∈ (0, T ),u(x, 0, ε) = u0 (x, ε), x ∈ D,∫ φ(+) (x)ñáàëàíñèðîâàííîé ( (−)f (u, x, 0)du = 0φ (x)è ãðàíè÷íûì óñëîâèåìâ ñëó÷àåïðèx ∈ [a, b]èν = 2)è íåñáàëàíñèðîâàííîé íåîäíîðîäíîñòè(∫ φ(+) (x)φ(−) (x)f (u, x, 0)du ̸= 0äëÿx ∈ [a, b]èν = 1.)2.
Ðàçâèòèå ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ äëÿ óðàâíåíèé áîëåå îáùåãî êëàññà, ÷åì óðàâíåíèå ðåàêöèèäèôôóçèè, à èìåííî äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïîñòðîåíèå âåðõíåãî è íèæíåãîðåøåíèé óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿäïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà è ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ.3. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ âíóòðåííåãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè äëÿ óðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ.4. Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñËèïøèöåâîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.
Ðåøåíèå íà÷àëüíîêðàåâîéçàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé è ñ ðàçðûâíîé ïîxè Ëèïøèö-íåïðåðûâíîé ïîuôóíêöèåé ïëîòíî-ñòè èñòî÷íèêîâ ìåòîäîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿììàëîãî ïàðàìåòðà. Ïîñòðîåíèå âåðõíåãî è íèæíåãî îáîáùåííûõ ðåøåíèéóêàçàííîé äàííîé çàäà÷è.5. Ðàçâèòèå ôóíêöèîíàëüíî-àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íà÷àëüíîêðàåâûõ çàäà÷ íà êëàññ çàäà÷ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, èìåþùèõ ðåøåíèÿ òèïà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû.5Íàó÷íàÿ íîâèçíàÍàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ðàáîòå1.
Ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðàâïåðâûå ïðèìåíåí äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿÎÊÏÏ. Ïîñòðîåíà ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêà âèäà êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðûäëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ âðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà äëÿ ñëó÷àåâ ñáàëàíñèðîâàííîé è íåñáàëàíñèðîâàííîé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.2. Ïðîâåäåíî äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè ïîñòðîåííîé ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè è ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ïîìîùüþ ðàçâèòèÿ ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ íà íîâûé êëàññ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ êâàçèëèíåéíûõóðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ.3. Îáîñíîâàíî ïðèìåíåíèå îáîáùåííîãî ïðèíöèïà ñðàâíåíèÿ äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ.4.
Ïðåäëîæåí íîâûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ïàðàáîëè÷åñêèõ è ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïðè íàëè÷èè îñîáûõ òî÷åê äëÿóðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ. Íîâèçíà ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ âïðèìåíåíèè ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ñôîðìóëèðîâàíî è îáîñíîâàíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïðîõîæäåíèÿ è îñòàíîâà ôðîíòà ÊÑ â îêðåñòíîñòè îñîáîé òî÷êè.5. Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûìïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ ñ Ëèïøèöåâîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
