Автореферат (1103471), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Âïåðâûå ïîñòðîåíà ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêà äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ â ñëó÷àå ðàçðûâíîéôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ. Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãîðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà ðàçâèò íà ñëó÷àé çàäà÷ñ îáîáùåííûìè ðåøåíèÿìè.Ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòüÏðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü ïîëó÷åííûõ â äàííîé ðàáîòå ðåçóëüòàòîâ îáóñëîâëåíà îãðîìíîé ðîëüþ, êîòîðóþ èãðàåò òåîðèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâ â ñîâðåìåííîé ôèçèêå è òåõíèêå, â òîì ÷èñëå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå óðàâíåíèåì ÎÊÏÏ. Óðàâíåíèå ÎÊÏÏ âîçíèêàåò èç ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà [9].
 êà÷åñòâå ïðèìåðà6ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèåì ÎÊÏÏ, ìîæíî ïðèâåñòè ìîäåëüíåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ â óíèïîëÿðíîì ïîëóïðîâîäíèêå âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå [6], ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â ïîëóïðîâîäíèêåñ îòðèöàòåëüíîé äèôôåðåíöèàëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ [9].Çàäà÷è ñ îñîáîé òî÷êîé äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ è ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ðàçðûâíîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ èìåþò øèðîêèå ïðèëîæåíèÿ â ôèçèêå è áèîëîãèè. Óðàâíåíèå ðåàêöèèäèôôóçèè, ÿâëÿþùååñÿ ÷àñòíûìñëó÷àåì óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ, äëÿ êîòîðîãî ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå ïðè íàëè÷èèîñîáûõ òî÷åê, îïèñûâàåò ïðîöåññ ãåíåðàöèè ìàãíèòíûõ ïîëåé â òóðáóëåíòíîéñðåäå â àñòðîôèçèêå [4], ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ â âîçäóõå ÷àñòèö çàãðÿçíåíèéâ ýêîëîãèè, ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëàìåíè ïðè ãîðåíèè è âçðûâå [1].
 áèîëîãèè äàííîå óðàâíåíèå èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè çàäà÷è äèíàìèêè ïîïóëÿöèé (íàïðèìåð, ìîäåëü õèùíèêæåðòâà), äèíàìèêè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÷èñëà ïîðàæåííûõêëåòîê â æèâîì îðãàíèçìå, â òîì ÷èñëå ìóòèðîâàâøèõ êëåòîê ïðè ëåéêåìèè,öèòîêèíèíîâ ïðè àòåðîñêëåðîçå [10].Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1. Ïîñòðîåíèå è îáîñíîâàíèå ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè äëÿ íîâîãî êëàññà çàäà÷ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì.2.
Ïîñòðîåíèå è îáîñíîâàíèå âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé äëÿ íîâîãî êëàññàçàäà÷ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ.3. Îáîñíîâàíèå âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ îáîáùåííîãî ïðèíöèïà ñðàâíåíèÿäëÿ íà÷àëüíîêðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðèñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ.4. Ñîçäàíèå ìåòîäèêè, óñòàíàâëèâàþùåé ïðîõîæäåíèå êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî è ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãîêâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì.5.
Îáîñíîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêîãî êâàçèëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì äëÿ êëàññàËèïøèö-íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ. Ðàçðàáîòêà àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè è åå îáîñíîâàíèÿ äëÿ óêàçàííîé çàäà÷è.7Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû, èçëàãàåìûå â äàííîé ðàáîòå, áûëè ïðåäñòàâëåíû íà8-th International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC)Congress (ÐÓÄÍ, Ìîñêâà, 2011 ã.); íà Íàó÷íîé êîíôåðåíöèè Òèõîíîâñêèå ÷òåíèÿ(ÌÃÓ, Ìîñêâà, 2011, 2013 ãã.); íà ×åòâåðòîé Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèèÔóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà.
Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû. Îáùàÿ òîïîëîãèÿ. Ïðîáëåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ, ïîñâÿù¼ííîé 90-ëåòèþ ñî äíÿðîæäåíèÿ Ë. Ä. Êóäðÿâöåâà (ÐÓÄÍ, Ìîñêâà, 2013 ã.). Òàêæå ðåçóëüòàòû áûëèèçëîæåíû íà Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõó÷åíûõ ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì Ëîìîíîñîâ-2010(ÌÃÓ, Ìîñêâà, 2010 ã.) èíà íàó÷íîì ñåìèíàðå ïî àñèìïòîòè÷åñêèì ìåòîäàì ïîä ðóêîâîäñòâîì À. Á. Âàñèëüåâîé, Â. Ô. Áóòóçîâà, Í. Í. Íåôåäîâà.ÏóáëèêàöèèÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â 11 íàó÷íûõ ðàáîòàõ, 3èç êîòîðûõ èçäàíû â ðåöåíçèðóåìûõ æóðíàëàõ ïî ïåðå÷íþ ÂÀÊ. Ñïèñîê ñòàòåéïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç 6 ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è áèáëèîãðàôèè.
Îáùèé îáúåìäèññåðòàöèè 174 ñòðàíèöû, âêëþ÷àÿ 35 ðèñóíêîâ, áåç òàáëèö è ïðèëîæåíèé.Áèáëèîãðàôèÿ âêëþ÷àåò 86 íàèìåíîâàíèé.Îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ðàáîòûÂãëàâå 1ðàññìàòðèâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü ðàáîòû è íàó÷íàÿ íîâèçíà, âîç-ìîæíîñòü ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ è ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè. Ïðèâåäåí îáçîð ëèòåðàòóðû ïî ðàññìàòðèâàåìîé òåìàòèêå. Óêàçàíû ðåçóëüòàòû,ïîëó÷åííûå â òåîðèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé äëÿ óðàâíåíèÿ ðåàêöèèäèôôóçèè. Äàíû ññûëêè íà ðàáîòû À. Í. Òèõîíîâà [8] àâòîðà ìåòîäà, à òàêæåíà ðàáîòû åãî ïîñëåäîâàòåëåé À. Á. Âàñèëüåâîé, Â.
Ô. Áóòóçîâà, Í. Í. Íåôåäîâà [3]. Óêàçàíû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå Ì. Î. Êîðïóñîâûì, À. Ã. Ñâåøíèêîâûì â îáëàñòè îáîáùåííûõ ðåøåíèé ïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïðèâåäåíî îáîáùåíèå òåîðåìû ñðàâíåíèÿ ñ êëàññà ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà êëàññïñåâäîïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ñôîðìóëèðîâàííîå â ðàáîòå À. È. Êîæàíîâà[5].8Âãëàâå 2ïàðàìåòðîìεðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ íà÷àëüíîêðàåâàÿ çàäà÷à ñ ìàëûìäëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ: εut − ε4 µuxxt = ε2 kuxx − f (u, x, ε),ux (a, t, ε) = 0, ux (b, t, ε) = 0,(3)0u(x, 0, ε) = u (x, ε),∩∩x ∈ (a, b), t ∈ [0, T ], u(x, t, ε) ∈ (C 2 (a, b) C(0, T )) C(Ω̄), Ω = (a, b) × (0, T ),ε > 0, k > 0, µ > 0.Ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîñòðîåíèþ ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè âèäà êîíòðàñòíîéñòðóêòóðû òèïà ñòóïåíüêè äëÿ íà÷àëüíîêðàåâîé çàäà÷è (3) â ñëó÷àå íåñáàëàíñèðîâàííîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ, à òàêæå ïîñòðîåíèþ âåðõíåãî èíèæíåãî ðåøåíèé.Ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè ïðîèçâîäèòñÿ ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé:Óñëîâèå 2.1.Ôóíêöèÿf (u, x, ε) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé â îáëàñòè Ω,âñå ïðîèçâîäíûå, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ôîðìóëàõ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ, íåïðåðûâíû.Óñëîâèå2.2.(−)(0)f (u, x, 0) = 0 èìååò ðîâíî òðè êîðíÿ,u = ({φ (x), φ ) (x), φ ( (x)}, ïðè÷åìφ(−) (x) < φ(0) (x) < φ(+) (x) ïðè x ∈ [a, b])(±)è fu φ(x), x, 0 > 0, fu φ(0) (x), x, 0 < 0 ïðè x ∈ [a, b].Óñëîâèå 2.3.
Íà ïðîìåæóòêå [a, b] âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîÓðàâíåíèå(+)B0 (x) > 0,ãäåB0 (x) =∫ φ(+) (x)φ(−) (x)Ïîñòðîåíèå(4)f (u, x, 0)du.ôîðìàëüíîéàñèìïòîòèêèïðîèçâîäèòñÿ ñïîìîùüþìåòîäààñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà [2].Ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ îñíîâàí íà ñëåäóþùèõ ïðèíöèïàõ.Òî÷êîé ïåðåõîäàx⋆ = x⋆ (t, ε)íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïîëî-u(x⋆ , t, ε) = φ(0) (x⋆ ).
 îêðåñòíîñòèïåðåìåííàÿ ξ :æåíèå ÂÏÑ è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ:òî÷êè ïåðåõîäà ââîäèòñÿ ðàñòÿíóòàÿx − x⋆ (t, ε)ξ=,εâ ïîãðàíè÷íîé îáëàñòè ââîäÿòñÿ ðàñòÿíóòûå ïåðåìåííûåζa =x−a≥ 0,εζb =9x−b≤ 0.ε(5)ζa , ζ b :(6)Ðàññìàòðèâàþòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êè ïåðåõîäà:(±)(±)(±) εut − ε4 µuxxt = ε2 kuxx − f (u(±) , x, ε),(−)(+)ux (a, t, ε) = 0, ux (b, t, ε) = 0, u(±) (x⋆ , t, ε) = φ(0) (x⋆ ), u(±) (x, 0, ε) = 0.Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå÷àñòèū(x, ε),U (±) (x, t, ε)(7)ñòîèòñÿ â âèäå ñóììû ðåãóëÿðíîéíå çàâèñÿùåé îò âðåìåíè, ôóíêöèé ïåðåõîäíîãî ñëîÿîêðåñòíîñòè ÂÏÑ è ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèéQ(ξ, t, ε)âΠa,b (ζa,b ):U (−) (x, t, ε) = ū(−) (x, ε) + Q(−) (ξ, t, ε) + Πa (ζa , ε),x ≤ x⋆ ;(8)U (+) (x, t, ε) = ū(+) (x, ε) + Q(+) (ξ, t, ε) + Πb (ζb , ε),x ≥ x⋆ .(9)Êàæäîå ñëàãàåìîå â (8), (9), à òàêæå êîîðäèíàòó òî÷êè ïåðåõîäà ïðåäñòàâèì ââèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà:(±)ū(x, ε) =Q(±) (ξ, t, ε) =Πa,b (ζa,b , ε) =∞∑k=0∞∑(±)εk ūk (x),(10)(±)εk Qk (ξ, t),k=0∞∑εk Π(a,b)k (ζa,b ),k=0∞∑x⋆ (t, ε) =(11)εk xk (t).k=0Ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêàïîðÿäêà äëÿU(±)(x, t, ε),n-ãîïîðÿäêà ñòðîèòñÿ â âèäå ÷àñòè÷íûõ ñóììn-ãîâõîäÿùèõ â (8), (9).
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ñëàãàåìûåðàçíûõ ïîðÿäêîâ, çàâèñÿùèå îò êàæäîé èç ïåðåìåííûõ, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîìóñëîâèÿ ñøèâàíèÿ ôóíêöèé è èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ â òî÷êå ïåðåõîäà:U (−) (x⋆ , t, ε) = U (+) (x⋆ , t, ε),Ux(−) (x⋆ , t, ε) = Ux(+) (x⋆ , t, ε).(12)Êîîðäèíàòó òî÷êè ïåðåõîäà â êàæäîì ïðèáëèæåíèè áóäåì íàõîäèòü èç çàäà÷èñøèâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ.Ïðèâåäåìdx0dtâûðàæåíèåäëÿ= W0 :ñêîðîñòèäðåéôàÂÏÑâíóëåâîìïîðÿäêå∫ φ(+) (x0 )W0 =f (u, x0 , 0)duφ(−) (x0 ),∫ +∞ ( )2 dξũ0ξ−∞10(13)ãäå{(+)(+)ū0 (x0 ) + Q0 (ξ),(±)ũ (ξ) =(−)(−)ū0 (x0 ) + Q0 (ξ),ξ ≥ 0,ξ ≤ 0. íóëåâîì ïîðÿäêå ñêîðîñòü äðåéôà ÂÏÑ äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ, òàê æå êàêè äëÿ óðàâíåíèÿ ðåàêöèè-äèôôóçèè, îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé áàëàíñà ôóíêöèèèíòåíñèâíîñòè èñòî÷íèêîâãäåx00 ∈ (a, b)f.Çàäà÷à Êîøè äëÿ îïðåäåëåíèÿ{x0èìååò âèä:dx0= W0 (x0 ),dtx0 (0) = x00 ,(14)çàäàåò íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ôðîíòà.Àíàëîãè÷íî, âû÷èñëÿÿ ôóíêöèè(±)(±)ū1 (x), Q1 (ξ)è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèåóñëîâèå ñøèâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ â òî÷êå ïåðåõîäà (12) äëÿ ñëàãàåìûõ ïîðÿäêàε,W1 :]⊕[[ (±) ](±)(±)(0)[ (±) ]kΨξ (ξ)(φx (x0 ) − φx (x0 )) + H K10 (ξ)µWHQ0ξξξ0⊖W1 = x1+[ (±) ][ (±) ] +H Q0ξH Q0ξ[]⊕[]⊕[ (±) ][ (±) ](±)(±)(±)kΨξ (ξ)ū1 (x0 ) + H ξK10 (ξ) + H K11 (ξ) − kΦ(0) φx (x0 ) ⊖⊖+,[ (±) ]H Q0ξíàéäåì(15)(±)(±)(ξ)Φ(±) (ξ) = Q0ξ , Ψ(±) (ξ) = ΦΦ(±) (0),[][][][]∫±∞ (±)H(±) ϕ(±) = ± k1 0 Q0ξ ϕ(±) (ξ)dξ, H ϕ(±) = H(−) ϕ(−) + H(+) ϕ(+) ,ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ:(±)(±)(±)(±)K10 (ξ) = ū0x (x0 )Dfu + Dfx , K11 (ξ) = ū1 (x0 )Dfu + Dfε .Îïåðàòîð D äåéñòâóåò íà äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ ϕ(ξ)()( (±))Dϕ(ξ) = ϕ ũ(±) (ξ), x0 − ϕ ū0 (x0 ), x0 .ïî ïðàâèëó ïåðâîì ïîðÿäêå äðåéô îáóñëîâëåí äèôôóçèîííûì ÷ëåíîì (â (15) ñîäåð-k)x1 (t)æèò êîýôôèöèåíòÊîîðäèíàòàè ÎÊÏÏ ÷ëåíîì (â (15) ñîäåðæèò êîýôôèöèåíòµ).íàõîäèòñÿ èç çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî äèôôåðåíöè-àëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà{ÂûðàæåíèÿW1aèW1bdx1= x1 W1a + W1b ,dtx1 (0) = 0.íå ïðèâîäèì, èõ ìîæíî âûâåñòè èç (15).(16)Êîîðäèíàòàòî÷êè ïåðåõîäà áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ îïðåäåëÿåòñÿ èç çàäà÷è Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿdxm= xm W1a + Wmb ,dt11(17)ãäåWmb èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.Îáîñíîâàíèå ïîñòðîåííîé ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåíèÿ âåðõíèõ è íèæíèõ ðåøåíèé è èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ è îáîáùåííîãî ïðèíöèïà ìàêñèìóìà [5].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
