Автореферат (1103471), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Âåðõíååè íèæíååα(x, t, ε)β(x, t, ε)ðåøåíèÿ ñòðîÿòñÿ ïóòåì ìîäèôèêàöèè ôîðìàëüíîé àñèìòî-òèêè. Âåðõíåå ðåøåíèå ïîäíèìàåòñÿ è ñäâèãàåòñÿ âëåâî, íèæíåå ðåøåíèå îïóñêàåòñÿ è ñäâèãàåòñÿ âïðàâî îòíîñèòåëüíî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ (8), (9).Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:Óñëîâèåñòàâëÿåò2.4.ñîáîéÁóäåìñ÷èòàòü,ñôîðìèðîâàâøóþñÿíèÿ òî÷êè ïåðåõîäà⋆x (0, ε) = x00 .[a, b] çàêëþ÷åíà ìåæäó íèæíèìαm (x, 0, ε) < u0 (x, ε) < βm (x, 0, ε).Óñëîâèå÷òî2.5.Íåðàâåíñòâîíà÷àëüíîåÊÑ,íà÷àëüíîåóñëîâèåu0 (x, ε)óñëîâèåäëÿÏðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿïðåä-ïîëîæå-0u (x, ε)íàè âåðõíèì ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ:β(x, t, ε)>α(x, t, ε)âûïîëíÿåòñÿïðèx ∈ [a, b], t ∈ [0, T ].Óñëîâèå 2.6.Ôóíêöèÿλ(u, x, ε) = f (u, x, ε) − ε−1 uíå âîçðàñòàåò ïî ïåðåìåííîéuíà ïðîìåæóòêå(18)u ∈ [α(x, t, ε), β(x, t, ε)].Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû.Òåîðåìà 2.1.(îá àñèìïòîòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè).Ïóñòü âûïîëíåíû Óñëîâèÿ 2.1 − 2.4, òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ u(x, t, ε) çàäà÷è (3)âåðíû ñëåäóþùèå îöåíêè:|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| ≤ Cεn+1 â D, ãäå(±)Un (x, t, ε) ÷àñòè÷íûå ñóììû nãî ïîðÿäêà ðÿäîâ (8), (9).Òåîðåìà 2.2.Ïóñòü ñóùåñòâóþò íèæíåå α(x, t, ε) è âåðõíåå β(x, t, ε) ðåøåíèÿ çàäà÷è (3).
Ïóñòü, êðîìå òîãî, âûïîëíÿþòñÿ Óñëîâèÿ 2.5, 2.6. Òîãäàñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (3), óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàìα(x, t, ε) < u(x, t, ε) < β(x, t, ε)(19)ïðè x ∈ [a, b], t ∈ [0, T ].Âãëàâå 3ñòðîèòñÿ ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêà, à òàêæå íèæíåå è âåðõíååðåøåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ â ñëó÷àå ñáàëàíñèðîâàííîé íåîäíîðîäíîñòè:{ε2 ut − ε4 µuxxt = ε2 kuxx − f (u, x, ε),u(a, t, ε) = ua , u(b, t, ε) = ub , u(x, 0, ε) = ψ(x, ε),(20)Çàäà÷à ñî ñáàëàíñèðîâàííîé íåîäíîðîäíîñòüþ îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîé âãëàâå 2 òåì, ÷òî ñòåïåíü ìàëîãî ïàðàìåòðà ïðèutðàâíàε2 ,à íåε.Òàêàÿ ðàñ-ñòàíîâêà ñòåïåíåé ìàëîãî ïàðàìåòðà âûáðàíà â öåëÿõ óäîáñòâà, äëÿ òîãî ÷òîáû12ñêîðîñòü äðåéôà ÂÏÑ íóëåâîãî ïîðÿäêà áûëà îòëè÷íîé îò íóëÿ.
 çàäà÷å ñîñáàëàíñèðîâàííîé íåîäíîðîäíîñòüþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÂÏÑäåò îïðåäåëÿòüñÿ èçj + 1-ãîj -ãîïîðÿäêà áó-ïðèáëèæåíèÿ.Ïîñòðîåíèå ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè ïðîâîäèòñÿ ïðè âûïîëíåíèè Óñëîâèé2.1, 2.2, 2.4. Âìåñòî Óñëîâèÿ 2.3 ìû ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ:Óñëîâèå 3.1Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå áàëàíñà∫φ(+) (x)B(x) =f (u, x, 0)du = 0,x ∈ [a, b].(21)φ(−) (x)Äëÿ ñáàëàíñèðîâàííîé íåîäíîðîäíîñòè óñëîâèÿ ñøèâàíèÿ â íóëåâîì ïîðÿäêåâûïîëíÿþòñÿ äëÿ ëþáîãîx, ïîýòîìó êîîðäèíàòà òî÷êè ïåðåõîäà íóëåâîãî ïîðÿä-êà íàõîäèòñÿ èç ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïðèâåäåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ êîîðäèíàòûx0è çíà÷åíèå ñêîðîñòè äðåéôà äëÿ êóáè÷åñêîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ dx0 = W , W = −3k Ux (x0 ) 1 ,004µdtU (x0 ) 1 + 5θ2x0 (0) = x00 .Îáðàòèìâíèìàíèåíàîòëè÷èåóðàâíåíèÿÎÊÏÏîò(22)óðàâíåíèÿðåàêöèè-äèôôóçèè: ñêîðîñòü äëÿ ÎÊÏÏ óìåíüøàåòñÿ ïî ìîäóëþ çà ñ÷åò ïîÿâëåíèÿ íîâîãî ñëàãàåìîãî â çíàìåíàòåëå. ãëàâå 3 íàìè ïîñòðîåíû íèæíååα(x, t, ε)è âåðõíååβ(x, t, ε)ðåøåíèÿ çà-äà÷è (20) ïóòåì ìîäèôèêàöèè ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè.Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè.Òåîðåìà 3.1.(îá àñèìïòîòè÷åñêîì ðàçëîæåíèè)Ïóñòü âûïîëíåíû Óñëîâèÿ 2.1, 2.2, 2.4, 3.1, òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ u(x, t, ε) çàäà÷è (20) âåðíû ñëåäóþùèå îöåíêè:|u(x, t, ε) − Un (x, t, ε)| ≤ Cεn+1 â D, ãäå(±)Un (x, t, ε) ÷àñòè÷íûå ñóììû nãî ïîðÿäêà ðÿäîâ (8), (9).Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå:Óñëîâèå 3.2.Ôóíêöèÿλ(u, x, ε) = f (u, x, ε) − uíå âîçðàñòàåò ïî ïåðåìåííîéÇàìåòèì, ÷òî Óñëîâèå3.2u(23)u ∈ [α(x, t, ε), β(x, t, ε)].Óñëîâèÿ 2.5.íà ïðîìåæóòêåîòëè÷àåòñÿ îòÍàìè äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 3.2.Ïóñòü ñóùåñòâóåò íèæíåå α(x, t, ε) è âåðõíåå β(x, t, ε) ðå-øåíèÿ çàäà÷è (3).
Ïóñòü, êðîìå òîãî, âûïîëíÿþòñÿ Óñëîâèÿ 2.5, 3.2. Òîãäàâûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà13α(x, t, ε) < u(x, t, ε) < β(x, t, ε) äëÿ âñåõ x ∈ [a, b], t ∈ [0, T ].Âãëàâå 4ñôîðìóëèðîâàíî ïîíÿòèå îñîáîé òî÷êè. Îñîáîé òî÷êîé áóäåìíàçûâàòü êîîðäèíàòó, â êîòîðîé ñêîðîñòü äðåéôà ÂÏÑ íóëåâîãî ïîðÿäêà îáðàùàåòñÿ â íîëü, íî íå ìåíÿåò çíàê â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì,èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà íåëüçÿ ñäåëàòü âûâîä î òîì, ïðîéäåò ëèÂÏÑ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó, èëè îñòàíîâèòñÿ â åå îêðåñòíîñòè.  ãëàâå 4 íàéäåíûóñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ ÂÏÑ äëÿ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó äëÿ óðàâíåíèé ðåàêöèèäèôôóçèè è ÎÊÏÏ.
Íàñ èíòåðåñóåò ãëîáàëüíûé õàðàêòåð ïîâåäåíèÿ ÊÑ ïðèt → ∞.Åñëè ñêîðîñòü äðåéôà ÂÏÑ â íóëåâîì ïîðÿäêåW0îáðàùàåòñÿ â íîëü,òî â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ñêîðîñòè ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ âîçìîæíî êàê ïðîõîæäåíèå ÂÏÑ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó, òàê è åãî çàïèðàíèå. Èññëåäîâàíèå äàííîãîâîïðîñà ÿâëÿåòñÿ âàæíûì â ðÿäå çàäà÷ ôèçèêè è áèîëîãèè.Ðàññìàòðèâàåòñÿçàäà÷àäëÿñáàëàíñèðîâàííûõóðàâíåíèéðåàêöèè-äèôôóçèè è ÎÊÏÏ â ñëó÷àå êóáè÷åñêîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ{− ε2 u) + ε2 kuxx − γu(u2 − U 2 (x)) = 0, x ∈ D, t ∈ (0, T ),u(x, 0) = u0 (x), x ∈ D, u(x, t, ε) = ψ(x, t, ε), x ∈ ∂D, t ∈ (0, T ).∂4∂t (ε uxx(24)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñêîðîñòü äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêà áîëüøå íóëÿ âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå òî÷êèxstop ,íàçûâàåìîé îñîáîé, â êîòîðîé îíà îáðàùàåòñÿ â íîëü.Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ñóùåñòâóþò ïðèìåðû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòîðûõ àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìèòñÿ êìèòñÿ êxstopxstop (íåïðîõîæäåíèå ÂÏÑ), èëè ñòðå-çà êîíå÷íîå âðåìÿ (ïðîõîæäåíèå ÂÏÑ). Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âîïðîñàî ïðîõîæäåíèè íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ñòàðøèå ïîðÿäêè àñèìïòîòèêè, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ìû äàåì òî÷íûé îòâåò, áóäåò ëè èìåòü ìåñòî ïðîõîæäåíèå ÂÏÑ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó èëè îñòàíîâ â åå îêðåñòíîñòè.Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè äðåéôà íóëåâîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:Ux (x⋆ )1()W0 (x ) = −3k4µU (x⋆ ) 1 + 5θ,2⋆(25)Ux (xstop ) = 0.
Ïóñòü W0 > 0 ïðè x ∈ [a, xstop ) ∪ (xstop , b]. ÝòîUx (x) < 0 ïðè x ∈ [a, xstop ) ∪ (xstop , b]. Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñàñëåäîâàòåëüíî,îçíà÷àåò, ÷òîî ïðîõîæäåíèè ñëîÿ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñêîðîñòüäðåéôà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.  ñèëó ñèììåòðèè ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ îíà îáðàùàåòñÿ â íîëü,W1 (xstop ) = 0.Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòèâû÷èñëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ òðåòüåãî ïðèáëèæåíèÿ, èç êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòü äðåéôà âòîðîãî ïîðÿäêà:k 2 Uxxx (xstop ) 1W2 (xstop ) = −C24µ ; C2 = 2, 4674...γ U 3 (xstop ) 1 + 5θ214(26)C2 > 0,Uxxx (xstop ) < 0.Êîíñòàíòàïîýòîìó ÂÏÑ ïðîéäåò ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó â ñëó÷àå, åñëèÑïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 4.1.(î ïðîõîæäåíèè ÂÏÑ ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó)Ïóñòü Ux (x) < 0, x ∈ [a, xstop ) ∪ (xstop , b], Ux (xstop ) = 0, Uxx (xstop ) = 0 èUxxx (xstop ) < 0, òîãäà ÂÏÑ ïðîõîäèò ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó.
Åñëè Uxxx (xstop ) > 0,òî ÂÏÑ íå ïðîõîäèò ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó.Åñëè Uxxx (xstop ) = 0, òî â ýòîì ñëó÷àå Òåîðåìà 4.1. íå îòâå÷àåò íà âîïðîñ îïðîõîæäåíèè, ïðîõîæäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ïîðÿäêàìè àñèìïòîòèêè.Ãëàâà 5ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿÎÊÏÏ ñ ðàçðûâíîé ïîxôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.
 ýòîì ñëó÷àå êëàñ-ñè÷åñêîå ðåøåíèå íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê â òî÷êàõ ðàçðûâà ïðàâîé ÷àñòè âòîðàÿïðîèçâîäíàÿ ïî êîîðäèíàòå ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü.Çàäà÷à, èìåþùàÿ ðåøåíèå âèäà ÊÑ òèïà ñòóïåíüêè, ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èåïî êðàéíåé ìåðå òðåõ êîðíåé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ, ïðè ýòîì ïðàâàÿ÷àñòü çàäà÷è âèäà ìíîãî÷ëåíà áóäåò èìåòü ïîðÿäîê íå ìåíüøå òðåõ. Ìû ïðèìåíÿåì ìåòîä, èñïîëüçóåìûé â ðàáîòå [9], íà ñëó÷àé Ëèïøèö-íåïðåðûâíîé ïîuíåîäíîðîäíîñòè:|f (u1 , x) − f (u2 , x)| ≤ C|u1 − u2 |äëÿ ëþáûõx ∈ D, u1,2 ∈ R1 ,ãäåC>0(27) ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.
 êà÷åñòâå ïðè-ìåðà Ëèïøèöíåïðåðûâíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ ìîæíî ïðèâåñòè:{f (u, x) =ãäåγu(u2 − U 2 (x)), |u| ≤ U0 , x ∈ D,(3γU02 − γU 2 (x))u − 2γU03 , |u| ≥ U0 ,(28)U0 > maxD |U (x)|. ãëàâå 5 äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏäëÿ Ëèïøèö-íåïðåðûâíîé íåîäíîðîäíîñòè, òåîðåìà ñðàâíåíèÿ äëÿ îáîáùåííîãîðåøåíèÿ, ïîñòðîåíà ôîðìàëüíàÿ àñèìïòîòèêà äëÿ çàäà÷è ñ ðàçðûâíîé ôóíêöèåé ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ.Ðàññìàòðèâàåìàÿ íà÷àëüíîêðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ ÎÊÏÏ èìååò âèä:{(ε4 ∆u − ε2 u)t + ε2 k∆u − f (u, x) = 0,u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ).(29)Ïðè ýòîì ïðè îáîñíîâàíèè ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè ìû ðàññìàòðèâàåì ìíîãîìåðíóþ çàäà÷ó, à ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè ïåðåõîäèì ê îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ. Çàâèñèìîñòüu îò ε èìååò ìåñòî, íîíå óêàçûâàåòñÿ.15â ÿâíîì âèäå â ýòîé ãëàâåÏîä îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è (29) ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ôóíêöèþu(x, t) ≡ u(x)(t)èç êëàññàùóþ óñëîâèÿìîïåðàòîðD()C(1) [0, T ]; H10 (Ω) , ãäå 0 < T < +∞,{D(u) = 0, t ∈ [0, T ],u(0) = u0 (x) ∈ H10 (Ω),óäîâëåòâîðÿþ-(30)çàäàí ñëåäóþùèì îáðàçîì:Du = (ε4 ∆u − ε2 u)t + ε2 k∆u − f (u, x).Äëÿ Ëèïøèö-íåïðåðûâíîé ïîu(31)ôóíêöèè ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ (27) ñïðàâåä-ëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 5.1.(î ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè)Äëÿ ëþáîãî u0 ∈ H10 (Ω) è äëÿ ëþáîãî T ∈ (0, ∞) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåîáîáùåííîåðåøåíèå çàäà÷è (30), ïðèíàäëåæàùåå êëàññó ôóíêöèé)((1)1C [0, T ]; H0 (Ω) . ýòîé ãëàâå ïðèâîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ îáîáùåííîãî âåðõíåãî è íèæíåãî ðåøåíèé çàäà÷è (30), êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ïóòåì ìîäèôèêàöèè ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿfçàâèñèò òàêæå îòñîõðàíÿåòñÿ óñëîâèå Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííîéε, f = f (u, x, ε), è ïðè ýòîìu.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:Óñëîâèå 5.1.Ïóñòüα, β îáîáùåííûå âåðõíåå è íèæíåå ðåøåíèÿ çàäà÷è|α| < U0 , |β| < U0 .
Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ λ(u, x, ε) = f (u, x, ε) − uíå âîçðàñòàåò ïî u íà u ∈ [−U0 , U0 ] äëÿ âñåõ x ∈ [a, b].Óñëîâèå5.2.Ïóñòüòàêæåα|Ω̄×(0,T ) ≤ u|Ω̄×(0,T ) ≤ β|Ω̄×(0,T )èα(x, 0) < u0 (x) < β(x, 0).(30),Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ñïðàâåäëèâà òåîðåìà:Òåîðåìà 5.2.(ñðàâíåíèÿ)Ïóñòü u - îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (30), α, β îáîáùåííûå íèæíåå èâåðõíåå ðåøåíèÿ, ïóñòü òàêæå âûïîëíåíû Óñëîâèÿ 5.1, 5.2. Òîãäà α ≤ u ≤ β íàâñåé îáëàñòè Ω äëÿ âñåõ t ∈ [0, T ], ãäå T - âðåìÿ, çà êîòîðîå íèæíåå ðåøåíèåäîñòèãíåò îáëàñòè ïîãðàíñëîÿ.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåàðèçîâàííàÿ çàäà÷à −ε2 uk+1,t + ε4 µuk+1,xxt + ε2 kuk+1,xx − uk+1 = f (uk , x, ε) − uk ,uk+1 (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ),uk+1 (x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.(32)Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿìα ≤ u0 ≤ u1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
