Диссертация (1103472), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Следовательно, слой будет двигаться к точке останова медленнее экспоненты. ВПС потребуется бесконечное время, чтобы дойти до точки останова.149Рис. 6.10. Зависимость () для () = 1 +1 ||1.5,5 2.5докритический режим останова. Погоризонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси - значения скорости .Рис. 6.11. Зависимость () для () = 1 +||2,3докритический режим останова. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси - значения скорости .6.4.
Запертые КС для уравнений РД и ОКППДалее рассмотрим примеры запертых КС для уравнений РД (Рис.6.12) иОКПП (Рис.6.13). Как видно на рисунках, () имеет разные знаки слева исправа от точки останова, в которой = 0, причем ВПС оказывается запертым, так как точка останова является точкой устойчивого равновесия при такомвыборе (). Прохождение ВПС через точку останова отсутствует.150Рис. 6.12. Пример запертой КС для уравнения РД в случае сбалансированной неоднородности.
По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения (, )для набора значений = 0 +ℎ , образующих арифметическую прогрессию. Также указаныуровни насыщения 1 (), 3 ().ВПС на Рис.6.13 движется с большей скоростью, чем для уравнения РД(Рис.6.12), так как мгновенные портреты изображены более часто. Этот результат подтверждается аналитическими формулами (6.5) и (6.6).Рис. 6.13.
Пример запертой КС для уравнения ОКПП в случае сбалансированной неоднородности. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения(, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию. Такжеуказаны уровни насыщения 1 (), 3 ().1516.4.1. Дрейф для сбалансированного уравнения РД в критическомслучаеРассмотрим движение ВПС для сбалансированного уравнения РД в критическом случае. На Рис.6.14 представлены мгновенные портреты эволюции ВПС.Слой движется справа налево. Скорость изображена на Рис.6.15, а . При этомвидно, что вблизи точки останова скорость линейно зависит от координаты,что соответствует описанному ранее критическому случаю. На Рис.6.15, б показано совпадение численных и аналитических результатов с высокой степеньюточности.Рис.
6.14. Эволюция ВПС для сбалансированного уравнения РД 3 () =12+ 21 ||, 1 () =−3 (), 0 () = 0, = 10−4 , = 1, = 0. По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующихарифметическую прогрессию. Также указаны уровни насыщения 1 (), 3 ().6.4.2. Градиентный дрейф сбалансированного уравнения ОКПП сосредним значением На следующих трех иллюстрациях (Рис.6.16, Рис.6.17, а , Рис.6.17, б ) рассмотрено движение ВПС для сбалансированного уравнения ОКПП при =2 · 10−4 в случае квадратичной зависимости (). Отличие от уравнения РД152(а )(б )Рис.
6.15. Скорость ВПС для сбалансированного уравнения РД 3 () =12+ 12 ||, 1 () =−3 (), 0 () = 0, = 10−4 , = 1, = 0. По горизонтальной оси отложена координата ,по вертикальной оси - значения скорости . а) Скорость ВПС, посчитанная в численномэксперименте. б) Сравнение численной и аналитической скоростей для сбалансированногоуравнения РД. Численный результат - прямая линия, аналитический - крестики.состоит в том, что за счет ВПС движется медленнее, этот факт подтверждается иллюстрациями (Рис.6.14 и Рис.6.16). Аналогично предыдущей ситуации,имеет место критический режим останова, при котором слой приближается кточке останова через бесконечное время (Рис.6.17, а ). При этом скорость дрейфа меньше по модулю, чем для Рис.6.15, а .6.4.3.
Градиентный дрейф сбалансированного уравнения ОКПП сбольшим значением Продемонстрируем результаты моделирования дрейфа ВПС при увеличении (Рис.6.18). ВПС движется еще более медленно, что характеризуется большим количеством мгновенных портретов ВПС, по сравнению с Рис.6.16, и соответствует аналитической формуле (6.6).153Рис. 6.16. Эволюция ВПС для сбалансированного уравнения КПП 3 () =12+ 12 2 , 1 () =−3 (), 0 () = 0, = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 .
По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующихарифметическую прогрессию. Также указаны уровни насыщения 1 (), 3 ().6.4.4. Несбалансированная задача с непроходимой особой точкойДалее рассмотрим эволюцию ВПС для несбалансированного уравнения1 2ОКПП 1 () = −1, 2 () = − 10 , 3 () = 1 с непроходимой особой точкой (Рис.6.19). В данном случае дрейф ВПС определяется балансом, ℬ() =R3 ()1112 2 −1 () (, ) = , = − , 2 = , = , − 0 = ( − 0 ),=01+0 (−0 ) ,эта особая точка заперта в нулевом приближении, так как при → ∞ координата будет приближаться к точке останова → 0.На Рис.6.20 изображен график скорости для рассматриваемой задачи.154(а )(б )Рис.
6.17. Скорость ВПС для сбалансированного уравнения ОКПП 3 () =12+ 21 2 , 1 () =−3 (), 0 () = 0, = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 . По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси - значения скорости .а)Скорость ВПС, посчитанная в численномэксперименте. б) Сравнение численной и аналитической скоростей для сбалансированногоуравнения ОКПП. Численный результат - прямая линия, аналитический - крестики.Рис. 6.18. Эволюция ВПС для сбалансированного уравнения ОКПП 3 () = 12 + 12 ||, 1 () =−3 (), 0 () = 0, = 10−4 , = 1, = 10−3 .
По горизонтальной оси отложена координата, по вертикальной оси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующихарифметическую прогрессию. Также указаны уровни насыщения 1 (), 3 ().1551 2Рис. 6.19. Эволюция ВПС для 1 () = −1, 2 () = − 10 , 3 () = 1, = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 . По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения(, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию.1 2Рис. 6.20. Скорость движения ВПС для 1 () = −1, 2 () = − 10 , 3 () = 1, = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 . По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси значения скорости .6.5.
Проходимая особая точка для уравнения ОКПП6.5.1. Несбалансированная задача с проходимой особой точкой дляОКППНа Рис.6.21 изображено движение ВПС для несбалансированной задачи с1проходимой особой точкой: 1 () = −1, 2 () = − 10||, 3 () = 1. Дрейф156ВПС определяется балансом, ℬ() = , эта особая точка проходима в нулевомприближении.1Рис. 6.21. Эволюция ВПС для 1 () = −1, 2 () = − 10||, 3 () = 1, = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 , = 4096.
По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальнойоси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующих арифметическуюпрогрессию.На Рис.6.22 представлена скорость дрейфа ВПС. Слой движется против осикоординат справа налево. Сначала происходит его замедление, а затем, послепрохода через особую точку, - ускорение.6.5.2.
Сбалансированная задача с проходимой особой точкой дляОКППВ случае сбалансированной задачи с проходимой особой точкой дрейф ВПСне определяется балансом, ℬ() = 0, эта особая точка проходима в нулевомприближении (Рис.6.23).На Рис.6.24 представлена скорость дрейфа ВПС.
На графике видно, чтоскорость дрейфа симметрична относительно начала координат.1571Рис. 6.22. Скорость движения ВПС для 1 () = −1, 2 () = − 10||, 3 () = 1, = 10−4 , = 1, = 2·10−4 , = 4096. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальнойоси - значения скорости .Рис. 6.23. Эволюция ВПС для 1 () = −1, () =2||,102 () = (), 3 () = 1, (, ) =15(−1 )(−2 )(−3 )(1+5()), = 10−4 , = 1, = 2·10−4 , = 4096. По горизонтальнойоси отложена координата , по вертикальной оси – значения (, ) для набора значений = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию.158Рис.
6.24. Сравнение аналитической и численной скорости движения ВПС для 1 () = −1,() =2||,102 () = (), 3 () = 1, (, ) = 15( − 1 )( − 2 )( − 3 )(1 + 5()), = 10−4 , = 1, = 2 · 10−4 . По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси значения скорости .6.6. Разрывная функция плотности источников6.6.1. Исследование задач с разрывной функцией плотностиисточниковЦель данного раздела состоит в демонстрации результатов численного эксперимента для задачи с разрывной функцией плотности источников и сравненииполученных численных результатов с аналитическими.Рассмотрим задачу для уравнения ОКПП в случае с разрывной функцииплотности источников, (, ) = ( 2 () − 2 ), где⎧⎨ 1 − при < 0, () =⎩ 1 + при > 0,для = 1, = 0, 0002, = 6, 2 = 10−3 .Мы рассмотрим два значения величины скачка, различных по масштабу, = 0, 1 и = 0, 01.
Тем самым продемонстрируем влияние величины скачка159на движение фронта ВПС.6.6.2. Величина скачка = 0, 1Дрейф ВПС показан на Рис.6.25. На графике представлен набор снимков(, ) для моментов времени = Δ. Величина скачка является отчетливоразличимой.Видно, что ВПС ускоряется при приближении к точке разрыва и замедляется при удалении от нее.На рисунке в отрицательной области слева от точки разрыва уровни насыщения расположены внутри пунктирных линий, а в положительной области,справа от точки разрыва - вне.Рис.
6.25. Дрейф ВПС в случае разрыва неоднородности на величину = 0, 1. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения (, ) для = ℎ .6.6.3. Величина скачка = 0, 01На Рис.6.26 изображены мгновенные снимки (, ) для моментов времени = ℎ в случае разравной функции плотности источников и величиной скачка = 0, 01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
