Диссертация (1103472), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пространство, сопряженное к пространству H10 (Ω), обозначим через H−1 (Ω), а через ⟨., .⟩ обозначим скобки двойственности между этими пространствами. Скалярное произведение и норму в L2 (Ω) будем обозначать, соответственно, через (, )2 и ‖‖2 .106Чтобы сформулировать обобщенную постановку задачи (5.6), напомнимопределение слабой производной. Для этого введем в рассмотрение пространство H−1 (Ω), сопряжённое к пространству H10 (Ω).Определение 5.1.
Слабой производной функции ∈ L2 (Ω) в смысле скобок двойственности ⟨·, ·⟩ между гильбертовыми пространствами H10 (Ω) и H−1 (Ω)будем называть такой элемент∈ H−1 (Ω), = 1, 2, 3, что⟨⟩ (︂)︂Z, = , −≡ − () ∀ ∈ H10 (Ω).(5.8)ΩДля удобства доказательства введем некоторые операторы.Определим оператор J : H10 (Ω) → H−1 (Ω) действующим по правилуZ⟨J, ⟩ = ∀, ∈ H10 (Ω).ΩОчевидно, это линейный оператор. Оценим его норму. Имеем⃒⃒⃒Z⃒⃒⃒|⟨J, ⟩| = ⃒⃒ ⃒⃒ 6 ‖‖2 ‖‖2 6 2 ‖‖‖‖,⃒⃒(5.9)Ωгде — константа в неравенстве Фридрихса‖‖2 6 ‖‖ ∀ ∈ H10 (Ω)для области Ω. Из (5.9) получаем‖J‖ 6 2 .Далее, введем оператор Δ : H10 (Ω) → H−1 (Ω) по правилуZ⟨Δ, ⟩ = − (∇ · ∇) ∀, ∈ H10 (Ω).ΩВ силу оценки⃒⃒⃒Z⃒⃒⃒⃒ (∇ · ∇) ⃒ ≡ |(∇, ∇)| 6 ‖‖‖‖⃒⃒⃒⃒Ω(5.10)107имеем(5.11)‖Δ‖ 6 1(на самом деле эта норма равна 1, как показывает выбор = , но для нас этоне принципиально).Наконец, введем нелинейный оператор F по правилу F() = ((), ).Справедлива следующая лемма:Лемма 5.1.
Оператор F() является Липшиц-непрерывным оператором,действующим в L (Ω) (при любом > 1), с константой Липшица, равной из формулы (5.4).Доказательство.Поскольку | ()| < 0 < +∞, из (5.5) следует оценка (с некоторыми константами 1 , 2 ):| (, )| 6 1 + 2 ||.Приведем формулировку теоремы Красносельского об операторе Немыцкого [67], которой воспользуемся далее.Оператор Немыцкого () является ограниченным и непрерывным, действующим из∏︀=1 L (Ω, )в L (Ω, ) при , ∈ [1, +∞) тогда и только тогда, когда для соответствующей Каратеодориевой функции (, ) справедлива оценка | (, )| ≤ () + ∑︀() ∈ (Ω, ), для всех=1 | | , = (1, .
. . , ) ∈ R и - почти всех ∈ Ω.Из указанной теоремы следует, что оператор ↦→ F() переводит функцию,принадлежащую L (Ω), в функцию, принадлежащую L (Ω).Далее, учитывая (5.4), имеем оценку⎛Z⎞1/‖F(1 ) − F(2 )‖ = ⎝ | (1 , ) − (2 , )| ⎠6Ω⎛Z⎞1/6 ⎝ |1 − 2 | ⎠Ω= ‖1 − 2 ‖ ,108что и доказывает лемму.Мы зафиксируем = 2 и будем считать, что F : L2 (Ω) → L2 (Ω).Введем также операторы вложения J1 : H10 (Ω) → L2 (Ω) (действующий естественным образом) и J2 : L2 (Ω) → H−1 (Ω), действующий по правилуZ⟨J2 , ⟩ = ∀ ∈ L2 (Ω), ∈ H10 (Ω).ΩОценим их нормы.
Очевидно, ‖J1 ‖ = по самому определению константыФридрихса. Для ‖J2 ‖ получим|⟨J2 , ⟩| = |(, )2 | 6 ‖‖2 ‖‖2 6 ‖‖2 ‖‖,откуда сразу следует, что ‖J2 ‖ 6 . Очевидно, что J = J2 J1 .Теперь мы можем строго определить оператор D. Именно, для всякого() ≡ (, ) ∈ C1 ([0, ]; H10 (Ω)) или () ≡ (, ) ∈ C1 ([0, ); H10 (Ω))(где > 0 произвольно и во втором случае может быть равно +∞) положим 4( Δ − 2 J) + 2 Δ − J2 F(J1 ),(5.12)обозначает дифференцирование в смысле предела по норме H10 (Ω):D() =где1() = lim(( + Δ) − ()).Δ→0 ΔОчевидно,D : C1 ([0, ]; H10 (Ω)) → C([0, ]; H−10 (Ω)).Теперь мы можем дать определение обобщенного решения задачи (5.6).Определение 5.2.
Обобщенным решением задачи (5.6) будем называтьфункцию (, ) ≡ ()() из класса C(1) [0, ]; H10 (Ω) , где 0 < < +∞ (или(︀)︀из класса C(1) [0, ); H10 (Ω) , где 0 < 6 +∞), удовлетворяющую условиям(︀⎧⎨ D() = 0,)︀ ∈ [0, ] (соответственно ∈ [0, )),⎩ (0) = () ∈ H1 (Ω).00(5.13)С помощью интегрирования по частям можно показать, что если существуетклассическое решение задачи (5.6), то оно удовлетворяет нашему определениюобобщенного решения.109Для исследования свойств задачи (5.13) нам удобно будет переписать еев виде абстрактной задачи Коши.
Соответствующая подготовительная работабудет сделана в следующем разделе.5.1.1. Оператор J − 2 Δ и его свойстваВведем линейный операторA ≡ J − 2 Δ :H10 (Ω) → H−1 (Ω).В силу доказанной ранее ограниченности операторов J и Δ и оценок их нормполучаем: ‖A‖ 6 2 + 2 . Итак, доказанаЛемма 5.2.Оператор A : H10 (Ω) → H−1 (Ω) является ограниченнымлинейным оператором с нормой ‖‖ 6 2 + 2 .Напомним некоторые определения, данные, например, в [40].Определение 5.3. Пусть X – вещественное банахово пространство, X⋆ –его сопряженное. Оператор A : X → X⋆ называется радиально непрерывным,если для любых фиксированных 1 , 2 ∈ X вещественнозначная функция (),заданная равенством () = ⟨A(1 + 2 ), 2 ⟩, непрерывна на отрезке [0, 1].Следствие из Леммы 5.2.
Оператор A является радиально непрерывным.Действительно, |(1 ) − (2 )| = | ⟨A(1 + 1 2 ), 2 ⟩ − ⟨A(1 + 2 2 ), 2 ⟩ | == | ⟨A(1 − 2 )2 , 2 ⟩ | 6 ‖‖‖2 ‖2 |1 − 2 |.Напомним определение сильно монотонного оператора.Определение 5.4. Оператор A : X → X⋆ называется сильно монотонным(с константой > 0), если ∀1 , 2 ∈ X ∃ > 0 :⟨A1 − A2 , 1 − 2 ⟩ ≥ ‖1 − 2 ‖2 .Лемма 5.3. Оператор A является сильно монотонным.Доказательство.(5.14)110Справедливы следующие оценки:⟨A1 − A2 , 1 − 2 ⟩ = ⟨A(1 − 2 ), 1 − 2 ⟩ =Z= ⟨J(1 − 2 ), 1 − 2 ⟩ − ⟨Δ(1 − 2 ), 1 − 2 ⟩ == (1 − 2 )2 + 2 ‖∇(1 − 2 )‖22 > 2 ‖∇(1 − 2 )‖22 = 2 ‖1 − 2 ‖2 .
(5.15)ΩНапомним определение коэрцитивного оператора.Определение 5.5. Оператор A : X → X⋆ называется коэрцитивным, если существует вещественнозначная функция () > 0, заданная на множестве ∈ [0, +∞), такая, что⟨A, ⟩ ≥ ‖‖(‖‖) ∀ ∈ ,где lim→+∞ () = +∞.Лемма 5.4. Оператор A является коэрцитивным.Доказательство.Имеем:Z2⟨A, ⟩ = ⟨J, ⟩ − ⟨Δ, ⟩ = 2 + 2 ‖∇‖22 > 2 ‖∇‖22 = 2 ‖‖2 .ΩИтак, оператор A является коэрцитивным с () = 2 .Таким образом, оператор A является радиально непрерывным, строго монотонным, коэрцитивным.Лемма 5.5. Оператор A имеет обратный операторA−1 : H−1 (Ω) → H10 (Ω).(5.16)Доказательство.Так как оператор A является радиально непрерывным, строго монотонным,коэрцитивным, то утверждение леммы вытекает из теоремы Брауэра [40].Лемма 5.6. Оператор A−1 является Липшиц–непрерывным с постоянной Липшица, равной 1/2 .111Доказательство.Заметим, что в силу определения нормы в сопряженном пространстве ⋆‖ ‖ ⋆ >|⟨, ⟩|.‖‖(5.17)Пусть 1 , 2 ∈ −1 (Ω), 1 = −1 1 , 2 = −1 2 .
Тогда 1 = 1 , 2 = 2и с учетом (5.17) а также неравенства (5.15), полученного при доказательствеЛеммы 5.3, справедливы оценки‖1 − 2 ‖⋆ = ‖1 − 2 ‖⋆ >|⟨1 − 2 , 1 − 2 ⟩|>‖1 − 2 ‖> 2 ‖1 − 2 ‖ = 2 ‖−1 1 − −1 2 ‖,где в силу обратимости операторов и −1 1 ̸= 2 тогда и только тогда,когда 1 ̸= 2 . Следовательно, при всех 1 ̸= 2 имеем‖−1 1 − −1 2 ‖ ≤1‖1 − 2 ‖⋆ .25.1.2. Операторная запись уравнения КППЗапишем обобщенную постановку, данную в Определении 5.2, в виде⎧⎨ 2 (A) = 2 Δ − J F(J ),21⎩ (0) = 0 ∈ H1 (Ω).(5.18)0В силу свойств гладкости решения по операторыи A коммутируют, и последеления на 2 получим⎧⎨ A () = Δ − 1 J F(J ),12 2⎩ (0) = 0 ∈ H1 (Ω).(5.19)0Пользуясь доказанной ранее непрерывной обратимостью оператора A, мы можем преобразовать задачу к следующему виду⎧⎨ ()(︀= A−1 Δ +⎩ (0) = 0 ∈ H1 (Ω).012 J2 F(J1 ))︀,(5.20)112Обозначим через Φ() оператор, стоящий в правой части. Таким образом,Φ : H10 (Ω) → H10 (Ω) — оператор, действующий по правилу)︂(︂1−1Φ() = AΔ − 2 J2 F(J1 ) .(5.21)Этот нелинейный оператор является Липшиц-непрерывным.
В самом деле, оператор A−1 Δ : H10 (Ω) → H10 (Ω) является ограниченным линейным оператором всилу вышедоказанного; оператор A−1 ∘J2 ∘F∘J1 Липшиц-непрерывен как композиция непрерывных линейных операторов J , = 1, 2 и Липшиц-непрерывныхоператоров A−1 ,F.Исходная задача в обобщенной постановке приведена к виду абстрактнойзадачи Коши с Липшиц-непрерывной правой частью⎧⎨ ()= Φ(),⎩ (0) = 0 ∈ H1 (Ω).0(5.22)В силу стандартной теоремы Коши—Липшица, известной также под именем Пикара—Линделефа, в банаховом пространстве абстрактная задача Коши (5.22) глобально разрешима, то есть существует единственное решение () ∈ C([0, +∞); H10 (Ω)), а любое другое решение (на конечном промежутке ) является его ограничением с промежутка [0, +∞) на промежуток .Для удобства, не претендуя на оригинальность, мы докажем соответствующуютеорему в следующем разделе.5.1.3.
Теорема о глобальной разрешимостиТеорема 5.1. Пусть B — банахово пространство c нормой ‖.‖B . Пустьфункция Φ() : B → B определена на всем пространстве B и Липшиц-непрерывна, то есть существует такое > 0, что при всех 1 , 2 ∈ B вернонеравенство‖Φ(1 ) − Φ(2 )‖B 6 ‖1 − 2 ‖B .(5.23)113Тогда задача Коши⎧⎨ ()= Φ(), > 0 ,⎩ (0 ) = 0 ,(5.24)глобально и однозначно разрешима, то есть1) ее решение () ∈ C1 ([0 , +∞); B) существует;2) каково бы ни было другое решение ˜() задачи (5.24) на промежутке = [0 , ] (0 < < +∞) или = [0 , ) (0 < 6 +∞), оно совпадаетс () на ∩ [0 , +∞).
Здесь и далее в очевидных случаях подразумеваютсяодносторонние производные.Доказательству теоремы предпошлем две леммы.Лемма 5.7.Положим ℎ =12 .Каковы бы ни были 1 > 0 и 1 ∈ B,существует решение ∈ C1 ([1 , 1 + ℎ], B) задачи Коши⎧⎨ () = Φ(), ∈ [ , + ℎ],1 1⎩ (1 ) = 1 ∈ B.(5.25)Доказательство.Запишем интегральное уравнение ВольтерраZ() = 1 + Φ(( )) (5.26)1в банаховом пространстве B1 ≡ C([1 , 1 + ℎ]; B) с нормой‖‖B1 ≡sup‖()‖B .∈[1 ,1 +ℎ]В силу свойств абстрактного интеграла с переменным верхним пределом утверждение « ∈ C1 ([1 , 1 + ℎ], B), () является решением задачи Коши (5.25)»эквивалентно утверждению « ∈ C([1 , 1 + ℎ], B), () является решениемуравнения (5.26)».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
