Диссертация (1103472), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Причем уравнение (, , 0) = 0 имеет три корня, (±) () = ± (), (0) () = 0. Заметим, что приR(+) ()таких условиях (−) () (, , 0) ≡ 0. Решение уравнения (3.22) для функциипереходного слоя нулевого порядка имеет вид(±)0 (, )где =1 (⋆ )√︁2(︁)︁= ( ) tanh ∓ 1 ,⋆– толщина ВПС.Вычисляя интегралы в (3.31), получаемR∞(±)2−∞ (0 ) =16 2 (0 )153 ,(±)ℋ1R∞(±)2−∞ (0 ) =4 2 (0 )3 ,= −2 (0) (0 ) , поэтому0 = −3 (0 ) 14 . (0 ) 1 + 52(3.34)Уравнение (3.32) с начальным условием 0 (0) = 00 определяет положение ВПСв нулевом приближении.3.2.4.
Второй порядок асимптотикиРегулярную функцию второго порядка ¯2 () найдем из уравнения11¯0 () = (¯0 , , 0)¯2 ()+ (¯0 , , 0)¯21 ()+ (¯0 , , 0)+ (¯0 , , 0)¯1 (),22(︀)︀−1так что ¯2 () = (¯0 , , 0)×(︀)︀0 , , 0)¯21 () − (¯0 , , 0)¯1 () − 21 (¯0 , , 0) .× ¯0 () − ()¯0 () − 12 (¯(±)Функции ВПС второго порядка 2 () определяются из двух краевых задач:⎧ (︁)︁⎨ 22 − (︀˜(), ⋆ , 0)︀ (±) = (±) (),22(±)(±)⎩ (±) (0) = −¯ (⋆ ), (±∞) = 0,2(±)(±)2(±) )︀где 2 () = −1 0 − 0(︀(3.35)2(︀(±)(±) )︀− 0 1 − 1(︀ (±)(±) )︀(±)+−+,02075а также 1 =1 ,(︀ 1)︀(±)2 (, ) = ˜ 2 ¯0 (⋆ ) + ¯1 (⋆ ) + ¯2 (⋆ ) − ¯ ¯1 (⋆ )+21 ˜ (︀11(±) )︀+ ¯1 (⋆ ) + ¯0 (⋆ ) + 1 2 + 2 ˜ + ˜ + ˜ ()+222(︀)︀(︀(±)(±) )︀+ ˜ ¯1 (⋆ ) + ¯0 (⋆ ) + 1 + ˜ ¯1 (⋆ ) + ¯0 (⋆ ) + 1 .Мы учли, что ¯ ¯0 + ¯ = 0, а также все производные от данного выраженияобращаются в ноль.
Запишем решение (3.35) в явном виде:[︀ (±) ]︀(±)(±)2 (, ) = 2 (0, )Ψ(±) () − 2 .(3.36)(±)Краевые задачи (3.35) связаны условием сшивания функций 2 (, ) вточке = 0. Собирая коэффициенты порядка в (3.20), получим уравнение(±) 1 -сшивания для функций 2 (, ):[︀ (±) ]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒21 [︀ (±) ]︀⃒⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒⃒⃒+ 2 ℛ1 + ℛ2 = 0, (3.37)2 0 + ¯1 0 + 1+ 1 0 1 02√︁⃒()2 √√ (+) ⃒⃒где ℛ2 = 2 .2(−)()+() =0Учитывая Условие 3.3, ℛ2 = 0.Условие сшивания принимает вид:)︂ [︀ (±) ]︀⃒⃒ [︀ (±) ]︀⃒⃒ () 0 ++ 0 1[︀ (±)[︀ (±)[︀(︀ (±)(±) ]︀(±) ]︀(±) )︀ ]︀+ 0 ℋ2 1 − 1 + 1 ℋ2 0 − 0 − ℋ2 0 − 0 =[︀ (±) ]︀= ℋ2 2 .
(3.38)[︀ (±)]︀⃒[︀ (±) ]︀⃒(±)2 (0)Ψ () ⃒0 + ¯1 () ⃒0 + 1(︂Здесь принято во внимание (3.36). Условие сшивания (3.38) приводит к следующему выражению для скорости дрейфа первого порядка:(1)где(0)1 (0 , 1 ) = 1 1 (0 ) + 1 (0 ),(3.39)[︀ (±)(±) ]︀⃒⃒+Φ(0)1(1)0,1 (0 ) = − R∞R∞ (±)(±) 22 ()+()00−∞∞(3.40)76[︀ (±)[︀(︀ (±)(±) ]︀(±) )︀ ]︀−Φ(0)ℋ−+Φ(0)ℋ−0220110 (0)1 (0 ) =+R∞R∞(±) 2(±) 2−∞ (0 ) + ∞ (0 ) [︀ ]︀[︀ (±)(±) ]︀⃒Φ(0)ℋ2 2 − Φ(0) Ψ ()2 (0, ) + ¯1 ⃒0.+R∞ (±)R∞(±) 22 ))+((00∞−∞Заметим, что 1 линейно зависит от 1 .Наконец, мы получаем следующую неоднородную задачу Коши для 1 ():⎧⎨ 1 = (1) ( ) + (0) ( ),1 1001⎩ (0) = 0.(3.41)1Для кубической неоднородности третьего порядка (3.33) окончательный результат:(︂14 2 (0 )16 2 (0 )+3153)︂[︁]︁⃒ )︁ (︁[︁ (±) ]︁⃒⃒⃒(±) () ⃒ + 1 (, ) ⃒,= 10=0 =0поэтому1 = 13 (0 ) 14 .
2 (0 ) 1 + 52(3.42)3.2.5. Последующие порядки асимптотикиФункции ВПС –го порядка могут быть получены из двух краевых задач:⎧ (︁)︁⎨ 22 − (︀˜(±) (), ⋆ , 0)︀ (±) = (±) ,(±)(±)(±)⎩ (0) = −¯ (⋆ ), (±∞) = 0,(3.43)где(︀ (±)(±)(±)(±) )︀ (, ) = −−1 0 (, ) − −1 0 (, ) − 0 + ,(3.44)(︀)︀(±) () = ˜ ¯(−1) (⋆ ) + ¯ (⋆ ) + . . . +(︀(︀(±) )︀(±) )︀+ ˜ ¯−1 (⋆ ) + −1 + ˜ ¯−1 (⋆ ) + −1 + . . ..Решение задачи (3.43) аналогично (3.35). Коэффициенты , ≥ 2, ряда (3.11)находятся из задач Коши, аналогичных (3.41).77Условие гладкого сшивания решения системы (3.43) в точке = 0 приводитк линейному дифференциальному уравнению−1(1)(0)= −1 1 + −1 ,(1)где 1(3.45)(0)выражается уравнением (3.42). Функции −1 зависят также от моментов функции и ее частных производных с функцией 0 .
Отметим, чтозависимость от также линейная. Все дальнейшие рассуждения проводимдля некоторого значения ≥ 0. Решим задачи (3.43) для = 0, 1, ..., , и(±)(±)(±)найдем значения 0 (, ), 0 , 1 (, ), 1 , ..., −1 (, ), −1 , а также(±) (, ).Из способа построения асимптотики и экспоненциального убывания пограничных функций и функций переходного слоя следует, что построенное асимптотическое приближение -го порядка удовлетворяет задаче по невязке с точностью (+1 ): |(, , ) − (, , )| = (+1 ) в Ω.3.3.
Обобщенный принцип максимумаВ этом разделе мы приведем доказательство обобщенного принципа максимума для ОКПП, аналогично, как это было сделано в главе 2. Рассмотримначально–краевую задачу⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, , ),(3.46)⎩ (, , ) = , (, , ) = , (, 0, ) = 0 (, ),⋂︀где > 0, ∈ (, ), ∈ [0, ], (, , ) ∈ 2 (Ω) (Ω̄), Ω = { ∈ [, ]} × { ∈[0, ]}.Введем обозначение:[] = −2 + 4 + 2 − (, , ).(3.47)78Определим верхнее (, , ) и нижнее (, , ) решения задачи (4.4) аналогично тому, как это было сделано в главе 2 с изменением на граничные условияпервого рода.Определение 3.1. Функция (, , ) называется верхним решением задачи(3.46), если выполняются следующие условия:K.3.1.
() < 0 для всех ∈ (, ⋆ ) ∪ (⋆ , ), ∈ (0, ],K.3.2. (, , ) > , (, , ) > для всех ∈ [0, ],K.3.3. (, 0, ) > (, ) для всех ∈ [, ],K.3.4.⋆ (+ 0, , ) −⋆ (− 0, , ) < 0, ⋆ ∈ (, ), ∈ (0, ].Нижнее решение (, , ) определяется аналогичным образом с противоположными знаками неравенств. Как в [78], [31], потребуем выполнения условияупорядоченности и :K.3.5. (, , ) > (, , ), ∈ [, ], ∈ [0, ].Кроме того, будем считать, что выполнено следующее условие:K.3.6. Дифференцируемая функция(, , ) = (, , ) − (3.48)не возрастает по переменной на интервале ∈ [(, , ), (, , )].Теорема 3.1.Пусть существует классическое решение задачи (3.46),и (, , ) и (, , ) упорядоченные нижнее и верхнее решения, и выполненоK.3.6.
Тогда выполняются следующие неравенства(, , ) < (, , ) < (, , ) для всех ∈ [, ], ∈ [0, ].Доказательство аналогично приведенному в главе 2.В следующем разделе мы построим нижнее и верхнее решения, удовлетворяющие Теореме 3.1.793.4. Применение метода дифференциальных неравенств3.4.1. Построение верхнего и нижнего решенийПостроим верхнее и нижнее решения следующим образом:(︀ (, , ) = , + +1 ¯(+1), () − + (+1), ( , )+)︀+Π(+1) ( ) + Π(+1) ( ) ,(3.49)(︀ (, , ) = , + +1 ¯(+1), () + + (+1), ( , )+)︀+Π(+1) ( ) + Π(+1) ( ) ,(3.50)где > 0, − ⋆, (, ),, =−1∑︁⋆, (, ) = () + (), ().(3.51)(3.52)=0Функции ,, (, , ) – частичные суммы рядов, аналогично (3.6) и (3.7),,, (, , ) =∑︁(︀ (±))︀(±) ¯,, () + ,, (, , ) + Π,,, ( ) + Π,,, ( ) .=0Функции (, , ) и (, , ) непрерывны на Ω и имеют скачок производныхв точках ⋆ и ⋆ соответственно:⋆⋆⋆⋆ ( − 0, , ) > ( + 0, , ), ( − 0, , ) < ( + 0, , ).(±)(±)Определим ¯, и , следующим образом:⎧⎧⎨ ¯(−) при ≤ ⋆ ,⎨ (−) при ≤ ⋆ ,(±)(±),,¯, ==,⎩ ¯(+) при > ⋆ ,⎩ (+) при > ⋆ ,,, = , .
Функции переходного слоя определяются из задач⎧ (︁(︀ (±))︀)︁ (±)2(±)⎪⋆⎪ 2 − ˜ ( ), , 0 , = , ( ),⎪⎨(±)(±), (0) = −¯ (⋆ ) − , ,⎪⎪⎪⎩ (±) (±∞) = 0, = 0 . . . + 1,,(3.53)80(±)(±)(±)(±)где , ( , ) = −−1, 0 ( , ) − 0 + , , а также введены обо(︀)︀значения⎧⎨ ¯(+) (⋆ ) + (+) ( , ), ≥ 0,00˜( ) =(−)(−)⎩ ¯ (⋆ ) + ( , ), ≤ 0,0⎧ 0⎧⎨ , = 0 . . . − 1,⎨ (±) , = 0 . . . ,(±), =, =⎩ , , = ,⎩ (±) , = + 1,,⎧⎨ (±) , = 0 . . . ,(±), =⎩ (±) , = + 1,,⎧⎪⎪⎨ 0, = 0 .
. . ,(±) = , ., =, = , = + 1,⎪⎪⎩ −, = , = + 1,Выражения для +1, аналогичны рассмотренным выше для младших порядков, вычисляются с заменой на и ¯(+1) на ¯(+1) + +1, :(︀)︀(±)+1, ( ) = ˜ ¯, (⋆ ) + ¯+1 (⋆ ) + +1, + . . . +(︀)︀(︀)︀˜ ¯ (⋆ ) + (±) + . . .. (3.54)+ ˜ ¯ (⋆ ) + (±)+Координата () определяется из системы уравнений, задающей сшиваниефункций переходного слоя ( + 1)–го порядка:⎧⎨ ()(1)(0)= 1 () + () + ,(3.55)⎩ () (0) = ,⎧⎧⎨ ,⎨ , = , = , > 0 и > 0 – константы. =где =⎩ −, = ,⎩ −, = ,Постоянная обеспечивает скачок производных, а гарантирует выполнениеначального условия.
В задаче (3.55) использованы обозначения:81(0)^ (0)() = ()(︀R∞(±)2−∞ (0 ) + R∞(±)2∞ (0 ) )︀−1,]︀[︀^ (0) = −−1 ℋ2 (±) − (±)1, +1,()∞Z)︀(±) (︀ (︀+0 ˜ ¯+1 (⋆ ) + +1, + . . . + . . . .−∞(±)Рассмотрим вклад коэффициента в () :∞Z(︀)︀(±)(˜ ) (˜ ( ), ⋆ , 0) − (¯0 (⋆ ), ⋆ , 0) =−∞∞Z∞Z(±) ˜ ( ), ⋆ , 0 (˜ ) − ¯0 (⋆ ), ⋆ , 0(︀=)︀(︀−∞)︀(˜ ) =−∞3 (⋆ )Z(︀ (±))︀ − ¯0 (⋆ ), ⋆ , 0 ==1 (⋆ )3 (⋆ )Z˜=)︀(±)− ¯0 (⋆ ), ⋆ , 0(︀[︁]︁⊕(±) ⋆ ( ) < 0,⊖1 (⋆ )(±)так как ¯0 (⋆ ), ⋆ , 0 > 0.(︀)︀Аналогично,∞Z(︀)︀(±)(˜ ) (˜ ( ), ⋆ , 0) − (¯0 (⋆ ), ⋆ , 0) =−−∞=)︀(±) ¯0 (⋆ ), ⋆ , 0(︀[︁]︁⊕(±) ⋆ ( ) > 0.⊖(0)Все , равномерно ограничены в силу экспоненциального убывания функ(±)ций переходного слоя: , ≤∑︀ ∓.=0 Следовательно, принимая во вни(±)мание оценки для вклада коэффициента в () , мы получаем, что для любых > 0 и > 0 выполняются неравенства⋆⋆ ⋆⋆<,>.(3.56)82Заметим, что (3.56) означает, что скорость верхнего решения меньше скорости точного решения, а скорость нижнего решения - больше.
Параметр > 0гарантирует, что для любых ∈ [0, ] функции () и () удовлетворяютнеравенству () < 0 < () .3.4.2. Обоснование верхнего и нижнего решенийПусть > 0 и ⋆ = [⋆ −, ⋆ +], ⋆ = [+, ⋆ −)∪(⋆ +, −].Следующие оценки верны для верхнего решения на интервале ⋆ :)︁)︀(︀)︀− ¯0 (), , 0 ¯+1 ()+ +{. . .} ++2 (, ) =[ ] = (︀)︀= −+1 ¯0 (), , 0 + +2 (, ) < 0,(︀)︀так как > 0, ¯0 (), , 0 > 0, функция (, ) равномерно ограничена+1(︁2¯−1 2(︀на Ω, так как содержит производные достаточно гладкой функции (, , )согласно Условию 3.2.Рассмотрим выражение для [ ] на интервале ⋆ .(︁ (︀)︀[ ] = − (−1) − (−1) +(︀)︀(︀)︀+ 0 () − () + 1 (−1) − (−1) + .
. . +(︀)︀2¯−1(⋆ ) −+ () 0 − 0 + ((+1) ) + 2)︁(︀)︀(︀)︀(︀)︀(±)⋆⋆⋆^− ˜ ( ), , 0 (+1) − ˜ ( ), , 0 ¯(+1) ( ) + + +1, +(︀)︀+ +2 (, , ) = −+1 ¯0 (), ⋆ , 0 + +2 (, , ) < 0,+1(±)где +1, содержит производные от экспоненциально убывающих функций и равномерно ограниченных производных функции (, , ). Мы использовали точные выражения для и ¯ , равенства (¯0 (), , 0)¯0 () + (¯0 (), , 0) = 0,(︀)︀(︀)︀(︀(︀ ¯0 (), , 0 ¯20 +2 ¯0 (), , 0 ¯0 + ¯0 (), , 0)+ ¯0 (), , 0)¯0 = 0,а также аналогичные им, которые следуют из (¯0 (), , 0) = 0.Аналогично можно доказать, что [ ] > 0 на интервале ⋆ .83Докажем упорядоченность верхнего и нижнего решений: (, , ) − (, , ) = ¯0 () + Π0 − (, , ) + (¯1 () + Π1 ) + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
