Диссертация (1103472), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Физические модели для ОКПП члена В [34] приведены примеры физических процессов, модели для которых содержат слагаемое с частными производными составного типа третьего порядкас производной по времени первого порядка. К таким процессам относятся, например,1) Квазистационарные процессы в среде с анизотропной проводимостью:3,3∑︁ (0) 2 ΦΦ(, )+ 4Π+Δ ,=1⃒)︂ 2 )︂(︂⃒(︂[︂]︂Z ∑︁3,3⃒⃒Φ(,)ΦΦ(,)(1)⃒+4Π ⃒⃒∇( ) + 4Π^= ⃒ 0 ,=1= D0 (, ),где Φ – обобщенный потенциал электрического поля, = 1 + 4Π – диэлектрическая проницаемость среды, - тензор проводимости среды.2) Нестационарные процессы в униполярном полупроводнике при наличиивнешнего магнитного поля3,33,3,=1,=1∑︁∑︁ 2 Φ(, )ΔΦ(, ) 3Φ+ 4Π= 0,+ 4Π где Φ – также обобщенный потенциал электрического поля, - тензор электрической восприимчивости, – тензор проводимости среды.3) Процессы малых флуктуаций в сегнетоэлектрике – полупроводнике:(︂)︂(︂)︂11 2Φ0 ()Δ3 Φ − 2 Φ + 1 Δ2 Φ − 2 Φ + (4Π2 + 1 ) 2 = 4Π(−1 ),33Φ – обобщенный потенциал электрического поля, – радиус Дебая.4) Процессы малых колебаний слабопроводящей жидкости при наличиивнешнего магнитного поля:⎧⎨⎩ΔΦ(,)ΔΨ(,)+ +2Φ(,)232Ψ(,) 23= 1 (, ),= 2 (, ),(1.27)42где Φ – обобщенный потенциал электрического поля, Ψ – потенциальная функция.Начально–краевые задачи для уравнения третьего порядка с производнойпо времени и вторыми производными по пространству возникают при описанииследующих явлений:5) Эффект стратификации (появления узких противоположно заряженныхобластей в первоначально однородном полупроводнике после облучения лазером) объемного заряда в полупроводнике.
Уравнение для которого может бытьпредставлено в следующем виде11[Δ3 (, ) − 2 (, )] − 2 (, ) = 0, – потенциал электрического поля, – характерное время жизни свободныхэлектронов.6) Квазистационарные процессы в двухкомпонентной квазилинейной полупроводниковой плазме в приближении квазинейтральной плазмы, где в качестве переменной выступает потенциал электрического поля:[Δ − 1 ] + 2 Δ(, ) + 3 [∇(, )] = 0.7) Процесс фильтрации в трещиновато–пористой жидкости[Δ − ] + Δ(, ) = 0.8) Процесс ползучести+ () = 0.9) Процессы квазистационарного типа для полупроводников с отрицательΔной дифференциальной проводимостью [39]Δ= Δ , ≥ 3.В [39] рассмотрены вопросы разрешимости в "ослабленном" смысле и разрушения решений псевдопараболических уравнений, содержащихгомерных задач, получены оценки на время разрушения решений.Δдля мно43В работе [32] рассмотрена модель униполярного полупроводника с источниками тока свободных зарядов с плотностью в электрическом поле потенциала|| :⎧⎨ Δ′ + Δ + || = 0, ∈ R3 ,⎩ (, 0) = 0 (), ∈ R3 .
> 0,(1.28)Доказано, что при выполнении определенных условий уравнение разрешимоединственным образом в глобальном смысле по времени в классе сильных обобщенных решений, сформулированы условия глобальной неразрешимости и разрушения решения. Доказательство основано на применении метода последовательных приближений.Указанные уравнения являются довольно громоздкими, поэтому мы проводим исследование более простого уравнения, на котором удобно применитьметоды асимптотического разложения в ряд, построения верхних и нижних решений, доказать существование обобщенного решения.Обозначим результаты для некоторых других уравнений третьего порядка.В работе [1] найдены условия, при которых уравнение, возникающее в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией,( − ) + + = 0имеет решение вида гладкой периодической бегущей волны ( − ).
Проведенанализ данного уравнения, получены некоторые интегралы сохранения.Уравнение Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса, описывающее длинныеволны на поверхности воды, а также резкое увеличение электрического токав кристаллических полупроводниках, − + + (2 ) = 0,(, ) ∈ [0, ] × [0, 0 )рассмотрено в работе [33] с начальным условием (, 0) = 0 (), ∈ [0, ], и граничными условиями (0, ) = 0, (0, ) = (, ), ∈ [0, 0 ). Приведены условия локальной разрешимости и разрушения решения.
Показано, что непрерывно-дифференцируемое решение данного уравнения является классическим.44В [36] рассмотрено сильно нелинейное псевдопараболическое уравнениегде > 2,(︃⃒)︂)︃(︂⃒−2∑︁⃒ ⃒ ⃒⃒Δ +− + 1 + 1 + 3 = 0,⃒⃒ =1 = (1 , 2 , . . .
, ) ⊂ R .С помощью методов Галеркина, монотонности и компактности доказана локальная во времени разрешимость в слабом обобщенном смысле. Определеныусловия глобальной разрешимости, разрушения решения в зависимости от величины показателя .Уравнение ОКПП является частным случаем нелинейного уравнения Буссинеска [31].1.3.4. Принцип сравненияВ работе [31] доказана теорема сравнения для обобщенного уравнения Буссинеска⎧⎨ − Δ() − Δ + () = 0,⎩ (, 0) = 0 (), ∈ , |Γ×(0, ) = 0 (, ), ∈ Γ, ∈ (0, ).(1.29)Пусть (, ) – регулярное решение краевой задачи (1.29), (, ) – решениенеравенства − Δ() − Δ + () > 0(< 0) в цилиндре , удовлетворяющееусловиям (, 0) = 0 (), ∈ , |Γ×(0, ) = 1 (, ), ∈ Γ, ∈ (0, ).Если функция () = ()−() есть убывающая по при ∈ R функция и¯ выполняется неравенство 0 () > 0 () (соответственно 0 () <если при ∈ 0 ()), а при ∈ Γ, ≥ 0 выполняются неравенства1 (, ) + (1 (, )) > 0 (, ) + (0 (, )), 1 (, ) > 0 (, )(1 (, ) + (1 (, )) < 0 (, ) + (0 (, )), 1 (, ) < 0 (, )),тодля¯ и ≥ 0 справедливо неравенство (, ) > (, ) (соответственно∈(, ) < (, )).
Также указано, что доказательство существования регулярного решения может быть проведено с помощью метода срезок, рассмотренного45в [42]. Для степенных функций , доказано существование регулярногорешения, получены оценки на область значений уравнения.В [25] рассмотрено псевдопараболическое многомерное уравнение⎧⎨ = Δ + Δ(),⎩ (, 0) = 0 (),в случае () ∈ 1 (R+ ),(, ) = Π = (R × [0, ]),(1.30)′ () ≥ 0, ′ () – монотонно не убывающая функция. Доказана единственность решения задачи Коши в классе неотрицательных2,1функций (, ) ∈ , (Π ), для которых′ ((, )) ≤ 1 (1 + ||2 ),| (, )| ≤ 2 (1 + ||2 ) ,>0при произвольном значении размерности .В работе [37] доказано существование единственного обобщенного решениянелинейного обобщенного уравнения Буссинеска(Δ − − || ) + Δ + ( + )( − ) = 0, , > 0,с граничными условиями Дирихле |Ω = 0, (, 0) = 0 () ∈ H10 (Ω), (Ω –ограниченная область в R3 ) на конечном ( ∈ [0, 0 ], 0 < +∞) или бесконечном интервале, причем в первом случае имеет место следующее предельноесоотношение →0 || ▽ ||2 = +∞.
Получены достаточные условия разрушения решения и разрешимости на бесконечном временном интервале.В [38] рассмотрена начально–краевая задача для обобщенного уравненияБуссинеска с нелинейным граничным условием Неймана(Δ − ) + Δ + ||2 = 0,(︂)︂⃒⃒1+ || ⃒⃒ = 0, nΓΩ ⊂ R . В предположении локальной разрешимости задачи в сильном обобщенном смысле сформулированы условия разрушения решения.ЗаключениеВ данной главе мы провели обзор результатов по методу асимптотическогоразложения в ряд по степеням малого параметра и методу дифференциальных46неравенств, привели результаты, полученные для уравнений реакции–диффузии и ОКПП.
Результаты, полученные нами в следующих главах, были получены с использованием методов, обозначенных в этой главе, и являются ихобобщением на квазилинейное псевдопараболическое уравнение ОКПП.47Глава 2Асимптотический метод исследованиянесбалансированного уравнения ОКПП2.1. Постановка задачиРассмотрим начально-краевую задачу для одномерного уравнения ОКПП смалыми параметрами при производных,⎧42⎪⎪⎨ − = − (, , ),(2.1) (, , ) = 0, (, , ) = 0,⎪⎪⎩ (, 0, ) = 0 (, ),⋂︀⋂︀ ∈ (, ), ∈ [0, ], (, , ) ∈ ( 2 (, ) (0, )) (Ω̄), Ω = (, ) × (0, ), > 0, > 0, > 0.Наша цель состоит в том, чтобы сравнить эффекты, обусловленные влиянием специфического члена и совместного действия диффузионного члена иградиента функции плотности источников.
Поэтому степени малого параметрапри различных членах уравнения (2.1) выбраны таким образом, чтобы эти эффекты были сравнимы по величине, что соответствует так называемому случаюбыстрой реакции.2.1.1. Условия формирования ВПСМы построим асимптотический ряд для уравнения (2.1) предполагая, чтовыполнены следующие условия:Условие 2.1.
Функция (, , ) является достаточно гладкой в области Ω,все производные, которые встречаются в формулах асимптотического разложения, непрерывны.48Условие 2.2. Уравнение (, , 0)=0 имеет ровно три корня, = {(−) (), (0) (), (+) ()}, причем (−) () < (0) () < (+) () при ∈ [, ](︀)︀(︀)︀и (±) (), , 0 > 0, (0) (), , 0 < 0 при ∈ [, ].Условие 2.3. На промежутке [, ] выполнено неравенство 0 () > 0, где(+)Z () (, , 0).0 () =(−) ()В процессе обоснования корректности построенного ряда нам потребуютсядополнительные условия, которые мы сформулируем в соответствующем месте.
Условие 2.2 означает, что имеются два устойчивых состояния, разделенныхнеустойчивым, что и создает возможность формирования ВПС. Условие 2.3,как будет показано далее, гарантирует знакоопределенность скороcти дрейфаВПС на промежутке (, ).2.2. Формальная асимптотикаБудем называть "точкой перехода" решение ⋆ (, ) уравнения(⋆ , , ) = (0) (⋆ ).Для построения асимптотического приближения решения используем методсшивания асимптотических представлений решения в областях левее и правееточки перехода. Этот метод пригоден для любого числа ВПС, но в рамках данной работы мы рассмотрим КС, включающую ровно два пятна, разделенныходним ВПС.На промежутке ≤ ≤ ⋆ (, ) рассмотрим задачу⎧42⎪⎪⎨ − = − (, , ), (, , ) = 0, (⋆ (, ), , ) = (0) (⋆ (, )),⎪⎪⎩ (, 0, ) = 0 (, ),а на промежутке ⋆ (, ) ≤ ≤ – задачу(2.2)49⎧42⎪⎪⎨ − = − (, , ), (, , ) = 0, (⋆ (, ), , ) = (0) (⋆ (, )),⎪⎪⎩ (, 0, ) = 0 (, ).(2.3)Асимптотические приближения решений задач (2.2) и (2.3) дополним индексами (−) и (+) соответственно.
Асимптотическое разложение слева и справа отточки перехода представим в виде суммы рядов по степеням малого параметра: (−) (, , ) = ¯(−) (, ) + (−) (, , ) + Π ( , ),(2.4) (+) (, , ) = ¯(+) (, ) + (+) (, , ) + Π ( , ),(2.5)где ¯(±) (, ) – регулярная часть, (±) (, , ) – функции переходного слоя,Π, (, , ) – пограничные функции. Растянутые переменные определяются выражениями= − ⋆ (, ), =−≥ 0, =−≤ 0,(2.6)где – переменная в области ВПС, , – переменные в пограничных областях.Положение ВПС определяется из условия 1 -сшивания функций (2.4) и (2.5) вточке перехода⎧⎨ (−) (⋆ (, ), , ) = (+) (⋆ (, ), , ),⎩ (−) (⋆ (, ), , ) = (+) (⋆ (, ), , ).(2.7)Заметим, что первое из условий (2.7) выполняется автоматически в силусоответствующих граничных условий (2.2) и (2.3).
Каждое слагаемое в (2.4),(2.5) и точка перехода ⋆ раскладываются в ряд по степеням :(±)¯(, ) =∞∑︁(±) ¯ (),=0(±)(, , ) =∞∑︁(±) (, ),=0Π ( , ) =∞∑︁=0 Π ( ), Π ( , ) =∞∑︁=0 Π ( ),50⋆ (, ) =∞∑︁ ().(2.8)=0⋆Обозначим= , тогда= 0 + 1 + . . . .2.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложенияПредставим (, , ) в виде суммы трех слагаемых, каждое из которыхзависит от основной и растянутых переменных(︀)︀ (, , ), , = ¯(, ) + (, , ) + Π (, ),(2.9)где(︀)︀¯(, ) = ¯(, ), , ,(︀)︀ (, , ) = ¯(⋆ + , ) + (, , ), ⋆ + , −(︀)︀− ¯(⋆ + , ), ⋆ + , ,(︀)︀(︀)︀Π (, ) = Π ( , ) = ¯(( ), + Π , ), ( ), −(︀)︀− ¯(( ), ), ( ), на промежутке 0 ≤ ≤ ⋆ (, ),(︀)︀)︀(︀)︀Π ( , ) = ¯(( ), + Π ( , ), ( ), − ¯(( ), ), ( ), на промежутке ⋆ (, ) ≤ ≤ , причем () = ⋆ + , ( ), ( ) определеныравенствами (2.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
