Диссертация (1103472), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Быстрое разрушение КС, которое начинается в тот момент времени, когдаширина пятна КС становится сравнимой с толщиной ВПС.Рассмотрим процесс разрушения контрастной структуры. На Рис.1.2 изображе­ны мгновенные снимки контрастной структуры, (, ), для фиксированныхмоментов времени = 0 + ℎ , где ℎ – временной шаг. Внутренние пере­ходные слои, начиная движение справа и слева, приходят к центру, в центре21Рис.

1.1. Мгновенные снимки контрастной структуры для уравнения реакции-диффузии стремя ВПС. По горизонтальной оси отложена координата , по вертикальной оси – значения(, ⋆ ), ⋆ - фиксированный момент времени. Также показаны графики зависимости уровнянасыщения от координаты, 1 (), 2 () = 0, 3 ().Рис.

1.2. Разрушение КС. Показаны несколько графиков зависимости (, ) для набора = 0 + ℎ , образующих арифметическую прогрессию.встречаются два ВПС противоположной полярности, затем КС разрушается. Вэтом процессе можно выделить два временных масштаба: медленный дрейф ибыстрое разрушение.На Рис.1.3 представлено разрушение КС для (, ) в зависимости от изме­нения пространственной и временной координат. Внутренние переходные слои22движутся в отрицательном направлении оси . Разрушение КС также происхо­дит достаточно быстро, за несколько временных интервалов.Рис. 1.3.

Разрушающаяся КС, (, ). По оси абсцисс отложена координата , по оси ординатотложена координата , по оси аппликат - значения (, ).1.2.3. Асимптотические методыМетод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметразаключается в представлении асимптотического разложения решения в видесуммы асимптотического ряда по степеням малого параметра, включающей вобщем случае регулярные стационарные функции, функции переходного слояи пограничные функции, наличие которых определяется постановкой задачи.При этом функции переходного слоя и пограничные функции зависят от растя­нутых переменных и экспоненциально затухают при удалении от точки перехо­да и границ области рассмотрения.Метод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметраоснован А.Н. Тихоновым11в работах [56], [57], [58].Андрей Николаевич Тихонов (1906–1993) – профессор Московского университета, докторфизико–математических наук, академик Академии наук СССР, дважды Герой СоциалистическогоТруда, основатель факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.23В [56] сформулированы условия, при которых решение системы уравненийc параметром ⎧⎨= (, , ),⎩ (0 , ) = (0) , = (, , ),(0)(0 , ) = ,( = 1 .

. . − 1), > 0,( = 1 . . . − 1),(1.5)будет устойчиво стремиться к решению вырожденной системы ¯ (), ¯()lim→0 (, ) = ¯ (),lim→0 (, ) = ¯() = (, ¯ ()), > 0 .В [57] получены аналогичные результаты, но для случая, когда – набор па­раметров, соответствующий длине вектора , а векторы и имеют различнуюдлину:⎧⎪⎪⎨= (, , ),( = 1 . . .

),(1.6)= (, , ), ( = 1 . . . ), > 0,⎪⎪⎩ ( ) = (0) , ( ) = (0) . 0 0В [58] результаты обобщены на случай, когда , – векторы –мерногопространства, () , () – векторы с длиной :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(1)(), ), = (, , . . . , ()() = () (, (1) , . . . , () , ),(0)(0) = (0) , () (0) = .( = 1, . . . , ),(1.7)Одним из основных результатов А.Н.Тихонова стало доказательство следу­ющей теоремы [59]:Теорема ТихоноваРассмотрим следующую начально–краевую задачу:⎧⎨ = (, , ), = (, , ), > 0,⎩ (0, ) = (0) , (0, ) = (0) .(1.8)Пусть выполнены условия:T1 Функции (, , ), (, , ) непрерывны вместе с частными производны­¯ = {0 ≤ ≤ , || ≤ }, || < }.ми по и в некоторой области = {(, ) ∈ Предположим, что вырожденная система 0 = (, , ),¯ корни = (, ).изолированные в = (, , ) имеет24T2 Функция (, ), являющаяся решением вырожденного уравнения,¯.непрерывна, а также производная непрерывна при (, ) ∈ T3 Корень (, ) является устойчивым корнем задачи⎧⎨¯= ((¯ , ), ¯, ),⎩ ¯(0) = 0 .(1.9)T4 Решение ¯() задачи (1.9) определено на отрезке 0 ≤ ≤ и принадле­жит множеству = {0 ≤ ≤ , || < }.T5 Начальное значение 0 принадлежит области влияния корня ( 0 , 0)уравнения ( 0 , 0 , 0) = 0.При выполнении условий T1 –T5 решение (, ), (, ) задачи существуетна [0, ] и имеет место предельный переходlim→0 (, ) = ¯() при 0 ≤ ≤ ,lim→0 (, ) = (¯ (), ) ≡ ¯() при 0 < ≤ .Дальнейшее развитие метода было проведено в работах А.

Б. Васильевой,C. А. Ломова, В. Ф. Бутузова, Н. Н. Нефедова и их учеников.Одним из эффективных методов исследования задач, возникающих в при­ложениях, является введение малого параметра. Указанный метод удобен в слу­чае, когда характерный размер ВПС много меньше размеров системы.В этом случае можно построить формальную асимптотику уравнения, ис­пользуя метод разложения по степеням малого параметра. Данный метод будеттакже использован нами в работе. Методика построения асимптотического раз­ложения в соответствии с указанным методом заключается во введении такназываемой точки перехода – координаты, в которой ВПС пересекает задан­ный уровень, расположенный между уровнями насыщения. Затем проводитсяпостроение асимптотических решений слева и справа от точки перехода и ихпоследующем сшивании в точке перехода.В [22] А.

Б. Васильевой, В. Ф. Бутузовым, Н. Н. Нефедовым сформулирован25алгоритм построения асимптотического разложения для краевой задачи⎧⎨ 2 2 = (, ),2⎩ ′ (0, ) = 0, ′ (1, ) = 0.впредположении,чтоуравнение (, )=(1.10)0имееттрикорня , ( = 1, 2, 3), такие, что 1 () < 2 () < 3 (), ∈ [0, 1], а так­же (1,3 (), ) > 0, (2 (), ) < 0 при ∈ [0, 1]. Рассмотрены сба­R ()лансированный( 13() (, ) ≡ 0, ∈ [0, 1]),инесбалансированныйR3 ()( 1 () (, ) ̸= 0 при = 0 , 0 ∈ (0, 1)) случаи.

Сформулирована и дока­зана следующая Теорема (приведем формулировку для сбалансированногослучая).Пусть выполнены условия:1. Функция (, ) – бесконечно дифференцируемая в области .2. Уравнение (, ) = 0 имеет три корня = (), = 1, 2, 3, такие что(, ()) ∈ при 0 ≤ ≤ 1. При этомa)1 () < 2 () < 3 (), ∈ [0, 1], а такжеб) (1,3 (), ) > 0, (2 (), ) < 0 при ∈ [0, 1].3.

Введем обозначение () =R3 ()1 () (, ) и потребуем, чтобы() ≡ 0, ∈ [0, 1].4. Обозначим (0 )≡R∞ (︁−∞)︁0˜˜ ( ) + ( ) . Пусть уравнение(0 ) = 0 имеет решение 0 ∈ (0, 1).5. Пусть также ′ (0 ) < 0, где 0 –координата точки перехода, 0 – функцияпереходного слоя в нулевом приближении.Тогда при достаточно малых⎧ существует решение (, ) задачи (1.10), длякоторого lim→0 (, ) =⎪⎨1 (), 0 < < 0 ,⎪⎩3 (), 0 < < 1.26В работе [6] рассматривается начально–краевая задача для параболическогоуравнения реакции–диффузии в случае несбалансированной функции плотно­сти источников⎧2⎪[(, , )] ≡ 2 2 − ⎪ + (, , ) = 0,⎪⎪⎪⎨ ∈ (, ), ∈ (0, ],⎪⎪⎪ (, , ) = 0, (, , ) = 0, ∈ (0, ],⎪⎪⎩ (, 0, ) = 0 (, ), ∈ (, ),(1.11)где – малый параметр. Построена формальная асимптотика решения вида КСс помощью метода разложения по степеням малого параметра и доказано суще­ствование решения с использованием метода дифференциальных неравенств.В [43] излагается метод асимптотического интегрирования сингулярно воз­мущенных уравнений.Изучение КС включает в себя изучение процессов формирования, эволюциии распада КС.Процессы формирования ВПС и его дальнейшего движения для уравненияреакции–диффузии рассмотрены в [66], = 2 + (, ),получены временные оценки времени образования переходного слоя.В работе [19] рассматривается одномерное уравнение реакции–диффузии[︂(︁ )︁2 ]︂22 =+ 0 1 −,2с начальным условием (, 0) = 0 (),0 < < , > 0,0 < < и граничными условиямипри = 0 и = .

Получены оценки для скорости дрейфа и времени жизнинестационарной контрастной структуры в случае, когда ширина положительно­го и отрицательного пятен много больше толщины ВПС. Проведено численноемоделирование одномерной задачи для симметричной и асимметричной кон­трастной структур.27В работе [24] рассмотрено сингулярно возмущенное уравнение реакции-диф­фузии2 (Δ − ) = (, , , )в двумерной области с гладкой границей Γ, с начальным усло­вием(, , 0, ) = 0 (, )(,,,)в¯исграничнымусловиемНеймана= 0, > 0, (, ) ∈ Γ, –внешняя нормаль к границе. Показано,что контрастная структура формируется из достаточно гладкой началь­ной функции за время порядка (2 ||).

Данная оценка подтвержденарезультатами численного эксперимента.Помимо сшивания формальных асимптотик в точке перехода, есть и дру­гие подходы. Так, например, в [68] построено асимптотическое разложение длясистемы⎧(︀2⎪=+, +⎪⎨ = + (, ),⎪⎪⎩ = 0, = 0,)︀sin( + ) ,0 < < 1,, ∈ R,(1.12)с начальными условиями (, 0) = 0 , (, 0) = 0 . Сшивание асимптотикпроизведено при помощи экспоненциального принципа.В [62] рассмотрено уравнение реакции–диффузии на отрезке ∈ [0, 1] в слу­чае, когда функция плотности источников = (), причем (0) = 0, (1) = 0.Вычислены значения скорости дрейфа для невозмущенной задачи при ≥ ,когда присутствует член реакции, и для возмущенной задачи при 0 < ≤ ,когда отсутствует.

Оба решения найдены в виде = − , где – переменнаябегущей волны, и сшиты с использованием экспоненциального принципа.1.2.4. Метод дифференциальных неравенствМетод дифференциальных неравенств, предложенный в работе [83], нашелширокое применение в ряде уравнений с частными производными. Данный ме­тод получил развитие, например, в работах Н.Н.

Характеристики

Список файлов диссертации