Диссертация (1103472), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Подставим представления (2.4, 2.9) и (2.5, 2.9) в (2.2) и (2.3)и приравняем по отдельности слагаемые, зависящие от каждой из переменных.Получим следующие уравнения для определения членов асимптотического разложения (2.4) и (2.5):2 2 ¯(, ) = ¯(, ),(︂)︂2⋆ ⋆ 322 − 2 + − 2 (, , ) = − (, , ), − 32512 2 Π ( , ) = Π ( , ),2 2 Π ( , ) = Π ( , ).Пограничные функции Π ( ) и Π ( ) находятся из двух краевых задачдля обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Условие на одной из границ выводится из соответствующего граничного условиядля функции (, ), второе условие обеспечивает экспоненциальное убываниеΠ–функции соответственно при → +∞ или при → −∞.
Обе краевыезадачи аналогичны рассмотренным в работе [48] и в данной работе не рассматриваются.Перейдем к построению формальной асимптотики в области ВПС.2.2.2. Нулевой порядок асимптотикиРегулярную функцию нулевого порядка ¯0 () найдем из уравнения (¯0 , , 0) = 0. В соответствии с Условием 2.1 мы выберем решение(−)(+)¯0 () = (−) () при ≤ ⋆ , ¯0 () = (+) () при ≥ ⋆ .Как известно [48], при сформулированных условиях для любого 0 ∈ (, )найдется единственное значение 0 (0 ) > 0, при котором краевая задача⎧⎨ ˜0 + 0 ˜0 = (˜0 (), 0 , 0),⎩ ˜0 (−∞) = (−) (0 ), ˜0 (+∞) = (+) (0 ),(2.10)имеет решение, удовлетворяющее условию |0 − (±) (0 )| < 1 −2 || , причем1 > 0 и 2 > 0.
Решение задачи (2.10) при выбранном таким образом значении0 (0 ) > 0 обозначим ˜0 (, 0 ). Величина 0 выражается через решение задачи(2.10):R(+) (0 )0 = (, 0 , 0)(−) (0 ).R+∞ (︀ )︀2 ˜0−∞(2.11)Из (2.11) следует, что при выполнении Условия 2.3 0 (0 ) > 0 при любом0 ∈ (, ). Из (2.10) следует, что функции переходного слоя нулевого порядка52(±)0 () можно найти из краевых задач⎧⎨ (±) + (±) = (︀¯(±) ( ) + (±) , , 0)︀ − (︀¯(±) ( ), , 0)︀,00000 00000(±)(±)(±)⎩ (0, ) + ¯ (0 ) = (0) (0 ), (±∞) = 0,0(2.12)00причем условия сшивания производных(+)(−)(2.13)0 (−0) = 0 (+0)позволяют найти 0 (). Условие сшивания функций переходного слоя нулевогопорядка (2.13) приводит к задаче Коши для определения 0 :⎧⎨ 0 = ( ),0 0⎩ (0) = ,0(2.14)00где 00 ∈ (, ) задает начальное положение фронта.2.2.3. Первый порядок асимптотикиРегулярную функцию первого порядка найдем из уравнения (¯0 , , 0)¯1 () + (¯0 , , 0) = 0,откуда(︀)︀−1¯1 () = − (¯0 , , 0) (¯0 , , 0),причем знаменатель отличен от нуля вследствие Условия 2.2.
Аналогично определяются члены регулярной части асимптотики следующих порядков.Функции переходного слоя первого порядка слева и справа от точки перехода найдем из краевых задач⎧ (︁ 2(︀)︀)︁ (±)⎪(±)⎪ 2 + 0 − ˜(), 0 , 0 1 (, ) = 1 (),⎪⎪⎨(︀ (±))︀(±)(±)(0)(0,)=−¯()−¯()−()0100 ,011⎪[︁]︁[︁]︁⎪⊕⊕⎪⎪⎩ ¯(±) ( ) + (±) (, ) = 0, (±) (±∞, ) = 0,0(±)0(±)⊖1(±)1⊖(±)(±)где 1 () = −1 0 + 0 0 + 0 + 1 (),(2.15)53(±)(±)(±)(±)1 () = 1 10 () + 10 () + 11 (),(±)(±)(±)(±)10 () = ¯0 (0 )⎧ + , 11 () = ¯1 (0 ) + ,⎪⎨¯(+) (0 ) + (+) (), ≥ 0,00причем ˜(±) () =(−)⎪⎩¯(−) ≤ 0.0 (0 ) + 0 (),Оператор действует на дифференцируемую функцию () по правилу(︀)︀(︀ (±))︀() = ˜(±) (), 0 − ¯0 (0 ), 0 , так что(︀)︀(︀ (±))︀ = ˜(±) (), 0 − ¯0 (0 ), 0 ,(︀)︀(︀ (±))︀ = ˜(±) (), 0 − ¯0 (0 ), 0 ,а также введено обозначение[︀ (±) ]︀⊕ () ⊖ = (+) ( + 0) − (−) ( − 0)для дифференцируемых функций (+) () и (−) ().Заметим, что функции переходного слоя зависят от времени только через0 ().Обозначим±∞ZZ[︀ ]︀(︀)︀−2(±)−0 (±) () = Ψ () Ψ () 0 Ψ(±) ()(±) (),0где Ψ(±) () =Φ(±) (),Φ(±) (0)(2.16)(±)Φ(±) () = 0 , причем берем знак (+) при ≥ 0 и (−)при ≤ 0.В силу условия сшивания функций в точке ⋆ и Условия 2.2 верно равенствоΦ(+) (0) = Φ(−) (0) = Φ(0).Известно [6], что решение каждой из задач (2.15) можно записать в явномвиде[︀ (±) ]︀(±)(±)1 (, ) = 1 (0, )Ψ(±) () − −1 1 .(2.17)Неизвестную до этого момента величину 1 найдем из условия разрешимости семейства задач (2.15) с условиями гладкого сопряжения в точке ⋆[︁]︁⊕(±)1 (0, )⊖[︁]︁⊕(±)+ (0 ) = 0.⊖(2.18)54Пусть () ограничена и интегрируема на (−∞, +∞).
Обозначим[︀]︀1ℋ(±) (±) = ±±∞Z(±)0 0 (±) (),[︀]︀[︀]︀[︀]︀ℋ (±) = ℋ(−) (−) + ℋ(+) (+) .0Запишем (2.17) с учетом введенных обозначений[︁]︁⊕(±)1 (0, )=⊖[︁]︁⊕(±)(±)1 (0, )Ψ ()⊖[︀ (±) ]︀− ℋ(±) 1 ,и теперь условие сшивания принимает вид]︁⊕ [︁[︁]︁⊕[︀ (±) ]︀(±)(±)(±)1 (0, )Ψ () + (0 ) + 1 ℋ 0 −⊖⊖[︀ (±) ]︀[︀ (±) ]︀= 0. (2.19)− 0 ℋ 0 − ℋ 1Из (2.19) найдем 1 :[︁(±)(±)Ψ ()( (0 )−]︁⊕(0) (0 ))[︀ (±) ]︀+ ℋ 10 ()[︀ (±) ]︀ℋ00⊖+1 = 1[︀ (±) ]︀[︀ (±) ]︀ +ℋ 0ℋ 0[︁]︁⊕[︁]︁⊕[︀ (±) ]︀[︀ (±) ]︀(±)(±)(±)Ψ ()¯1 (0 ) + ℋ 10 () + ℋ 11 () − Φ(0) (0 )⊖⊖+.[︀ (±) ]︀ℋ 0(2.20)В нулевом порядке скорость дрейфа ВПС для уравнения ОКПП, так же как идля уравнения реакции-диффузии, определяется величиной баланса функцииинтенсивности источников .
В первом порядке дрейф обусловлен диффузионным членом (в (2.20) содержит коэффициент ) и ОКПП членом (в (2.20)содержит коэффициент ).Координата 1 () находится из задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка⎧⎨ 1 = + ,1 11⎩ (0) = 0.1Выражения 1 и 1 не приводим, их можно вывести из (2.20).(2.21)552.2.4. Последующие порядки асимптотикиАналогично можно показать, что функции переходного слоя –го порядкаслева и справа от точки перехода находятся из двух краевых задач,⎧ (︁(︀ (±))︀)︁ (±)2(±)⎪⎪0 + 2 − ˜ (), 0 , 0 (, ) = (, ),⎪⎨(︀ (0))︀(±)(±)(0,)=−¯()+()−¯()+ Ω ,0000⎪⎪⎪⎩ (+) (+∞, ) = 0, (−) (−∞, ) = 0,(2.22)где(±)(±)(±) (, ) = − 0 (, ) + −1 0 + 0 (, ) + ,(±)(2.23)(±)0 (, ) = ¯0 (0 )0 + 0 , известная функция зависит от −1 , −1 , атакже от всех уже найденных ранее координат и скоростей меньших порядков.Условия гладкого сшивания в точке = 0 решений задач (2.22) при = приводят к линейному обыкновенному дифференциальному уравнениюгде = 1 + ,– известная функция.(2.24)2.3.
Обоснование метода2.3.1. Принцип сравнения для ОКППРассмотрим начально-краевую задачу (2.1). Введем обозначение[] = − + 4 + 2 − (, , ).Определим верхнее (, , ) и нижнее (, , ) решения задачи (2.1) также как в [31], но допуская существование точки ⋆ , в которой имеется скачок⋆ +0⋆ +0первой производной нужного знака, [ ]⋆ −0 ≤ 0, [ ]⋆ −0 ≥ 0. Заметим, чтоверхнее и нижнее решения определяются аналогично тому, как это делаетсядля параболических уравнений.56Определение 2.1. Функция (, , ) называется верхним решением задачи(2.1), если найдется такое 0 > 0, что на промежутке ∈ (0, 0 ] выполняютсяследующие условия:K.2.1. () < 0 при ∈ (, ⋆ ) ∪ (⋆ , ), ∈ (0, ],K.2.2.
(, , ) < 0, (, , ) > 0 при ∈ (0, ],K.2.3. (, 0, ) > 0 (, ) при ∈ [, ],K.2.4.⋆ (+ 0, , ) −⋆ (− 0, , ) < 0, где ⋆ () ∈ (, ), ∈ (0, ].Аналогично определяется нижнее решение (, , ) с помощью условий спротивоположными знаками неравенств.Следуя [31], потребуем выполнения условия упорядоченности и :K.2.5. (, , ) > (, , ) при ∈ [, ], ∈ [0, ],а также следующего условия на нелинейность :K.2.6. Функция (, , ) непрерывно дифференцируемая, а функция(, , ) = (, , ) − −1 (2.25)не возрастает по переменной на промежутке ∈ [(, , ), (, , )].Доказательство.Пусть выполнены следующие неравенства:((, , )) < 0, ∈ (, ), ∈ (0, ],((, , )) > 0, ∈ (, ), ∈ (0, ].Пусть неравенство (, , ) > (, , ) нарушается в некоторых точках области ∈ [, ], ≥ 0.
Предположим, что при < 0 данное неравенство верно,а в момент времени = 0 найдется точка ˜, такая, что (˜, 0 , ) = (˜, 0 , ).Обозначим = 2 − 2 + − тогда при ∈ [, ] и ≤ 02 − < (, , )− (, , )−−1 +−1 = (, , )−(, , ) ≤ 0. (2.26)Из условий теоремы следует, что в граничных точках = , при любом фиксированном ∈ [0, 0 ] верно неравенство (, , ) > 0.
В силу принципа максимума для эллиптических уравнений это неравенство будет выполняться длявсех ∈ [, ] ∖ {⋆ } и для ∈ [0, 0 ].57Докажем, что в точках ⋆ неравенство также верно. Предположим, что вданных точках (⋆ , , ) ≤ 0, тогда в силу условия К.2.4 будет осуществляться один из случаев : < 0 слева от ⋆ или < 0 справа от ⋆ . В любой изэтих ситуаций значение функции (⋆ , , ) не является минимальным и найдется точка минимума , в которой ( , , ) < 0, ( , , ) ≥ 0, но для должно быть выполнено (2.26), так как эта точка отличается от ⋆ .
Получили противоречие, следовательно, наше предположение о том, что (⋆ , , ) ≤ 0неверно. В точке (, ) = (˜, 0 ) верно неравенство (˜, 0 , ) − (˜, 0 , ) > 0.Следовательно, существует ⋆ ∈ [0, 0 ] такое, что при ∈ (⋆ , 0 ] будет вернымнеравенство (˜, , ) − (˜, , ) > 0.После интегрирования получим: (˜, 0 , ) − (˜, 0 , ) > (˜, , ) − (˜, , ).В силу допущения об упорядоченности функций (, , ) и (, , ) на промежутке [0, 0 ), (˜, , ) − (˜, , ) > 0, откуда (˜, 0 , ) − (˜, 0 , ) > 0, чтопротиворечит условию равенства рассматриваемых функций в точке (˜, 0 ).Следовательно, предположение о невыполнении неравенства(, , ) > (, , ) на отрезке [, ], является неверным. Аналогично доказывается ситуация с нижним решением.Условие К.2.6 для кубической неоднородности вида (2 − 2 ()) выполняется, если 32 − 2 (0 ) − 1 ≤ 0.Так как решение вида КС зажато на промежутке (− (), ()), то потребовав убывания функции () в области (−1 − ), (1 + ), где > 0 – достаточно малое, условие теоремы будет гарантированно выполнено.
Для тогочтобы было выполнено 3 2 (1 + )2 − 2 (0 ) − 1 < 0, на параметр необходимо наложить ограничение ≤1 2 (2+6+3 2 ) .Действуя аналогично доказательству в [31], используя принцип максимумадля эллиптических уравнений, можно доказать, что справедлива следующаятеорема.Теорема 2.1.Пусть существует нижнее (, , ) и верхнее (, , ) решения данной задачи (выполнено Определение 2.1). Пусть, кроме того, вы58полняются условия K.2.5 и K.2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
