Диссертация (1103472), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Интегродифференциальные уравненияОтметим результаты, полученные для интегродифференциальных уравнений вида реакция–диффузия. В работах [51], [50], [49] рассмотрено применениеметода асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра иметода дифференциальных неравенств к интегродифференциальным уравнениям. В [51] построена формальная асимптотика типа ступеньки для уравненияZ12 ′′ = (, , ) + ((), (), , , ),0<<10с граничными условиями Неймана ′ (0, ) = ′ (1, ) = 0. Обоснование построенной асимптотики проведено с помощью метода дифференциальных неравенств,развитого на новый класс задач.В [49] рассмотрено сингулярно возмущенное интегропараболическое уравнение реакции–диффузии⎧R2 2⎪−++(,,,)+⎪20 ((, , ), , , , ) = 0,⎨(, ) = {0 < < 1, 0 < ≤ 1},⎪⎪⎩ (0, , )= 0, (1, , )= 0,(1.17)(, 0, ) = 0 (, ),для которого построена формальная асимптотика, включающая регулярнуючасть, пограничные функции по пространству и в начальный момент времени, угловые функции в начальный момент времени в граничных точках промежутка рассмотрения.
Существование и локальная единственность решениядоказаны с помощью метода дифференциальных неравенств.В работах [5], [4] для построения асимптотического решения используетсяметод нормальных форм. В работе [5] построена формальная асимптотика типаконтрастной структуры для системы интегродифференциальных уравнений⎧(︁)︁⎨ = () + R 1 R () (, )(, ) + ℎ(),0 ⎩ (0, ) = 0 , ∈ [0, ],где () – оператор с нестабильным спектром.(1.18)36В работе [4] рассматривается система интегродифференциальных уравненийв⎧(︁ R)︁R1 ⎪⎪ = () + 0 0 () (, )(, )+⎪⎨ (︁ R)︁R1 + () 0 1 () ()(, ) + ℎ(),⎪⎪⎪⎩ (0, ) = 0 , ∈ [0, ],случаеналичияядраснестабильнымспектральным(1.19)значением(1 ≡ 0 ∀ ∈ ⊂ [0, ]), а также ядра со стабильным спектральным значением (0 ̸= 0 ∀ ∈ [0, ]). Проведено построение формальной асимптотикивида контрастной структуры.1.2.11.
Многомерные контрастные структурыВ ряде работ проведено детальное исследование процессов эволюции многомерных контрастных структур.В работе [16] исследованы процессы формирования и разрушения контрастных структур для уравнения реакции–адвекции–диффузии(︂ 2)︂ 2+ + =++2 2в двумерной конечной или бесконечной области , ограниченной линией Σв случае малого коэффициента диффузии , функции плотности источников[︀]︀ = 0 1 − (/ )2 c начальным условием |=0 = 0 (, ) и граничным условием |Σ = 0.
Вычислена скорость дрейфа гладкой границы контрастной структуры с заданной кривизной, приведены результаты численного экспериментадля двумерной нестационарной модели. Получена формула для времени жизни контрастной структуры произвольной формы, изучена эволюция круговойКС, получены приближенные соотношения, описывающие эволюцию радиусовэллиптической КС.В [17] описан процесс эволюции контрастных структур для трехмерногоуравнения реакции–диффузии + (V, ▽ ) = Δ + (1 − 2 /2 ),37где –уровень насыщения, при превышении которого плотность источниковстановится отрицательной, V – скорость переноса.
Найдено время, за котороеконтрастная структура, являющаяся поверхностью вращения в начальный момент времени и занимающая невыпуклую область, распадается на изолированные части.1.2.12. Системы уравнений с малым параметромВ ряде работ проведено исследование систем уравнений типа реакция-диффузия (например, [13], [15]).В работе [27] рассмотрена система сингулярно возмущенных уравнений первого порядка⎧⎨ ′ = (, , ), ′ = (, , ),⎩ (, ) = 0, (, ) = 0.
∈ (, ),(1.20)Сформулированы условия существования решений типа ступенька–ступенькав некритическом и критическом случаях, построены формальные асимптотические разложения. Приведены требования, при которых существует решениеданной системы типа всплеск–всплеск, а также примеры функций и , прикоторых решение имеет вид всплеск–ступенька, всплеск–двойной всплеск.В [10] рассмотрена система уравнений реакции–диффузии с граничнымиусловиями первого рода и нулевыми начальными условиями для случая амбиполярной диффузии в полупроводнике, когда концентрация избыточных электронов и дырок мала по сравнению с концентрацией равновесных носителейзаряда.
Построена формальная асимптотика решения при помощи метода пограничных функций.В [13] построена формальная асимптотика для системы уравнений типа реакция-диффузия-перенос⎧⎪⎪⎨2 3+ () − 1 () 2 = (, , , ) + 1 (, , , , ),2 + () − 3 2 () 2 = − (, , , ) + 2 (, , , , ),⎪⎪⎩ | = (), | = (),=0=0 |=0,=1= 0, |=0,=1= 0,(1.21)38содержащая регулярную часть, функции переходного слоя, пограничные повремени и пространству, сглаживающие и угловые функции. Доказательствосуществования решения проведено на основании метода дифференциальныхнеравенств.В работе [15] рассмотрена сингулярно возмущенная система уравнений типареакция–диффузия с однородными краевыми граничными условиями Нейманав случае пересекающихся корней вырожденного уравнения. Показано, что привыполнении ряда условий задача имеет решение, близкое к решению вырожденных уравнений во всей области за исключением границ промежутка рассмотрения, для которых решение представимо в виде регулярной и пограничнойфункций.Работа [46] посвящена построению формальной асимптотики вида контрастной структуры типа ступеньки для системы параболических уравнений⎧⎨ 2 ( + () ) − 4 () = (),⎩ (0, ) = 0 (), (, 0) = Φ0 (),(1.22)где , ⊂ Ω = {0 < < , 0 < < ∞}, (, ) = { (, )}, 1 ≤ ≤ , дляслучая диагональных матриц (), () и вырожденной матрицы ().В работе [8] рассмотрена параболическая система с быстрой и медленнойпеременными.
Построена асимптотика типа движущегося всплеска для случаявсплеска быстрой компоненты и быстрой и медленной компонент.1.3. Обобщенное уравнениеКолмогорова-Петровского-Пискунова1.3.1. Постановка задачиУравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова − = ()(1.23)39было введено в работе А. Н. Колмогорова2 , И. Г. Петровского3 , Н. С. Пискунова4 [71]. В качестве естественно–научного приложения данного уравненияуказано распространение генов при наличии борьбы за существование.В [71] доказано, что уравнение (1.23) в случае функции , такой, что (0) = 0, (1) = 0, () > 0 при 0 < < 1, ′ (0) = > 0,при > 0 имеет решение типа бегущей волны = ′ () < ( + + ),где –произвольное действительное число, (−∞)= 0, (∞) = 1,√ ≥ 0 = 2 .
Показано, что значение 0 является единственным, при котором решения вида бегущего фронта для задачи с начальным условием (, 0) ≡ 0 ( ≤ ), 0 < (, 0) < 1 ( < < ), (, 0) ≡ 1 ( ≥ ) асимптотически приближают нестационарное решение КПП при → ∞.B [70] было рассмотрено обобщение уравнения КПП:⎧⎨ (Δ − ) + Δ − + 2 = 0,⎩ |Ω = 0, (, 0) = 0 (),где > 0,> 0,(1.24)Ω ⊂ R3 – ограниченная область с границейΩ ∈ C(2,) , ∈ (0; 1].Мы рассматриваем аналогичное, но сингулярно возмущенное уравнение третьего порядка (1.3).
Приведем вывод рассматриваемого нами уравнения (1.3)из системы уравнений Максвелла ([70]):⎧⎨ D = 4Π, E = 0, = j + ,⎩ D = E + 4ΠP, j = − E.4Π2(1.25)Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) – профессор Московского университета, докторфизико–математических наук, академик Академии наук СССР, почетный член нескольких десятковевропейских академий и научных сообществ.3 Иван Георгиевич Петровский (1901-1973) – профессор МГУ им. М.В. Ломоносова, докторфизико–математических наук, член Президиума Академии наук СССР, ректор Московского университета с 1951 по 1973 гг.4 Николай Семенович Пискунов (1908-1977) – доктор физико–математических наук, профессор.40Пусть E = −∇,1(, ) = − 4Π(2 − 2 ()),P =14Π ,тогда, подставляя выражение для электрической индукции в первое уравнение, беря производную по времени и учитывая введенные предположения, получим:((E + 4ΠP)) = (−Δ + ) == −E − (2 − 2 ()) = Δ − (2 − 2 ()),следовательно,(Δ − ) + Δ − (2 − 2 ()) = 0.1.3.2.
Обобщенные решенияДля уравнения ОКПП естественным классом для поиска решений являютсяобобщенные решения из пространства H1 , гильбертова пространства с нормой,заданной следующим образом [60]:(︂Z||||H1 () =Z2(︀ +¯)︀2▽ )︂1/2(1.26).¯В [70] доказана следующая Теорема.Для любого 0 ∈ H10 (Ω) существует 0 > 0, такое что существует единственноеобобщенное решение задачи (1.24), принадлежащее классу непрерывных функций C(1) ([0, ]; H10 (Ω)) для любого ∈ (0, 0 ).При этом, либо оно существует на конечном промежутке по времени, 0 <¯ → ||∇|| () = +∞, либо на бесконечном промежутке по вре+∞, и тогда 02мени.Получены условия разрушения решения: при выполнении указанных выше условий и неравенства R3Ω 0 ()> (2 + 1)|| ▽ 0 ||22 + ( + 2)||0 ||22 имеет место разрушение решения, 0 ∈ [1 , 2 ].В случае Φ0 = 12 ||▽0 ||22 + 12 ||0 ||22 ≤го, 21 || ▽ ||22 + 12 ||||22 ≤12(︀−3 −1/2 2[Φ0 − [1−−3 /2 ]]23)︀3 21 ,+1тогда 0 = +∞ и, более то, где 2 = 23/2 13 , 3 =2+1 ,константа 1 подобрана таким образом, чтобы обеспечить наилучшее вложение H10 (Ω)в L3 (Ω): ||||3 ≤ 1 || ▽ ||2 для любого ∈ H10 (Ω).411.3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
