Диссертация (1103472), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Нефедова, который применилметод к широкому классу задач для обоснования формальной асимптотики,28например в [22].Суть метода заключается в том, что путем модификации формальнойасимптотики строятся верхнее и нижнее решения. Далее, с помощью методамонотонных итераций, доказывается существование точного решения, заклю­ченного между верхним и нижним.Метод монотонных итераций, используемый при доказательствах методомдифференциальных неравенств, введен в [83].

Показано, что решения параболи­ческой начально–краевой задачи, для которых в начальный момент времени вы­браны значения верхнего и нижнего решений соответствующей эллиптическойзадачи, монотонно не возрастая (не убывая) по стремятся к стационарнымверхнему и нижнему решениям параболической задачи. Рассмотрено примене­ние метода монотонных итераций для сравнения решений эллиптических задач.В работе [78] доказана теорема существования решения параболическогоуравнения реакции –диффузии с использованием метода монотонных итераций.Рассмотрим более подробно полученные результаты.Пусть ˜, ^ – упорядоченные верхнее и нижнее решения задачи − ∇2 = (, ) на , = ℎ(, ) на , (0, ) = 0 () вΩ,(1.13)функция удовлетворяет условию Липшица (, 1 ) − (, 2 ) ≥ −(1 − 2 )при ^ ≤ 2 ≤ 1 < ˜, – константа. Пусть () - последовательность решенийлинеаризованной задачи⎧⎨ () − ∇2 () + () = (−1) + (, (−1) ) на ,⎩ () = ℎ(, ) на , () (0, ) = 0 () в Ω,(1.14)Обозначим {() } - последовательность решений задачи (1.14) с начальным усло­вием 0 = ^, {¯() } - последовательность решений задачи (1.14) с начальнымусловием 0 = ˜, ¯(, ) = lim→∞ ¯() (, ),(, ) = lim→∞ () (, ).Тогда (i) верхняя последовательность {¯() } монотонно сходится сверху крешению ¯, нижняя последовательность {() } монотонно сходится снизу к ре­¯ и для любого другого решения ⋆ ∈ (^шению , (ii) ¯ ≥ на , ˜) верно29неравенство ^ ≤ ⋆ ≤ ˜ и (iii) если существует константа ¯ ≥ −, такая что (, 1 ) − (, 2 ) ≤ ¯(1 − 2 ) при ^ ≤ 2 ≤ 1 ≤ ˜, тогда ¯ = и являетсяединственным решением на (^, ˜).В [77] рассмотрено асимптотическое поведение решения уравнения реак­ции–диффузии для задачи абсорбции на границе раздела жидкость-газ с ис­пользованием метода нижних и верхних решений.В работе [80] при помощи метода монотонных итераций и метода нижних иверхних решений изучаются вопросы существования и единственности решениясистемы уравнений реакция–диффузия в бесконечной области и полупростран­стве.

Также рассматриваются условия, при которых решение параболическойсистемы уравнений асимптотически стремится к решению соответствующей эл­липтической системы при → ∞.Работа [81] посвящена изучению вопросов существования решений и ихасимптотическому поведению для уравнения реакция–диффузия в пористойсреде с граничным условием Неймана− 0 ∇(−1 ∇) = (, , ),где – параметр, определяющий скорость диффузии. Результаты полученыпри помощи метода нижних и верхних решений.В [76] рассмотрена система уравнений параболического типа Лотка–Воль­терра − 1 ()∇(1 ()∇) = (1 − 1 + 1 ), > 0, ∈ Ω, − 2 ()∇(2 ()∇) = (2 − 2 + 2 ), > 0, ∈ Ω,(, ) = 0,(, ) = 0,(0, ) = 0 (), > 0, ∈ Ω,(0, ) = 0 (), ∈ Ω.С помощью метода нижних и верхних решений показано, что при выполненииопределенных условий задача имеет единственное ограниченное решение при → ∞, которое сходится к максимальному решению стационарной задачи либок минимальному, в зависимости от начальных условий.30В [35] на основании метода нижних и верхних решений доказаны теоремыо существовании обобщенных и классических решений краевых задач эллипти­ческого и параболического типов.1.2.5.

Периодические по времени решения уравненияреакции–диффузииИз числа КС можно выделить периодические во времени КС. Краевая зада­ча для параболического уравнения с периодической функцией плотности источ­ников рассмотрена в [75]. Сформулированы условия, при которых задача имеет – периодические решения типа КС и изменяет свой тип с задачи с внутреннимпереходным слоем на задачу с пограничным слоем, доказательство проведенос помощью метода дифференциальных неравенств.В работе [7] исследована краевая задача для параболического уравнения садвекцией)︂ 2 −−(,,)− (, , ) = 02для –периодических функций , и граничных условий первого рода. Пока­4(︂зано, что в зависимости от вида функции могут возникать переходные слоирезкого и плавного вида.

Для случая плавного переходного слоя построено фор­мальное асимптотическое разложение, доказано существование решения видаКС и экспоненциальная устойчивость стационарного решения. Координата точ­ки перехода определена из условий разрешимости задачи.В [23] рассмотрена начально–краевая задача для уравнения реакции–адвек­ции–диффузии⎧ (︁)︁2⎪⎪0 < < 1, 2 − − (, , ) ⎪ − (, , ) = 0,⎨(0, , ) = (−) (), (1, , ) = (+) (), ∈ R,⎪⎪⎪⎩ (, , ) = (, + , ), ∈ R,(1.15)в случае –периодических функций (, , ), (, , ), (−) , (+) , доказано,что при выполнении определенных условий задача имеет асимптотически устой­31чивое решение вида КС. Для уравнения2(︂ 2 −2)︂= (, , , ),(, ) ∈ {(−1 < < 1) × (−∞ < < ∞), }и – периодической функции , такой, что (, , , 0) = ℎ(, , )( − 1 (, ))( − 2 (, )),причем графики функций 1 и 2 для каждого момента времени пересекаютсяв точке 0 : 1 (0 (), ) = 2 (0 (), ), доказано существование решения вида КС,построено формальное –периодическое разложение решения.Работа [82] посвящена рассмотрению движущихся фронтов для уравненияреакции–адвекции–диффузии, получено значение скорости дрейфа в случае пе­риодической области.1.2.6.

Решения уравнения реакции–диффузии типа движущегосяфронтаОдним из решений нелинейного уравнения реакции–диффузии является ре­шение вида движущегося фронта. Данное решение представляет особый прак­тический интерес.В работе [41] построена формальная асимптотика для задачи вида реак­ция–диффузия–адвекция в случае сбалансированной адвекции⎧ (︁)︁⎨ 2 2 − = (, ) + (, ), 0 < < 1,⎩ (0, ) = 0 , (1, ) = 1 , (, 0) = (). > 0,В этой работе с помощью метода дифференциальных неравенств доказано су­ществование решения, построена формальная асимптотика (, ), приближа­ющая решение с точностью порядка (+1 ). Также применен новый способразложения функций переходного слоя и вычисления условий сшивания.

Этотметод использован нами для сбалансированной задачи ОКПП.32В [18] исследуется эволюция контрастной структуры для уравнения реак­ции–адвекции–диффузии в неоднородной среде[︃)︂2 ]︃(︂2(,)+= 2 2 + 0 1 −, (, )−∞ < < ∞, > 0,где функция уровня насыщения концентрации зависит от координат и временипо закону бегущей волны (, ) = ( − ), () > 0, −∞ < < ∞.Для периодической кусочно–постоянной и непериодической профилирующейфункции () получены оценки максимальной скорости переноса, при которойсуществует решение типа КС. Приведены результаты численного эксперимента,демонстрирующие движение ВПС.В [64] рассматривается уравнение реакции–диффузии с нелинейной зависи­мостью коэффициента диффузии от ,(︂)︂=() + (), ( = 0, ) = 0 (),)︁−1/2(︁2 22() = || + 2 | |, найдены условия, при которых уравнение имеетединственное классическое решение вида непрерывного движущегося фронта,а также при которых волна является разрывной.В работе [63] изучаются решения вида бегущей волны для уравнения Фише­ра – Колмогорова–Петровского–Пискунова и других параболических уравненийс различными неоднородностями, вычислены скорости дрейфа.1.2.7.

Устойчивость решений для уравнения реакции–диффузииПри построении решений вида КС исследуется также вопрос устойчивоститаких решений.В [12], [11] изучен вопрос глобальной устойчивости решения уравнения ре­акции–диффузии2 − = (, , ),(, ) ∈ × (0, +∞)33с граничными условиями Дирихле для несбалансированной неоднородности ис граничными условиями Неймана для критического случая. Сформулированыусловия на класс начальных функций, при которых при → +∞ формирует­ся КС типа ступеньки, соответствующая решению вырожденного уравнения сразрывом в точке перехода. Также приведены условия, при которых начальнаяфункция принадлежит области влияния стационарного решения задачи.

В [14]получены аналогичные результаты для многомерного уравнения реакции–диф­фузии с граничным условием Неймана.В [23] построена формальная асимптотика вида КС типа ступеньки и най­дена область устойчивости для многомерного уравнения реакции–диффузии впространственно–неоднородной среде⎧⎨= 2 Δ − (, , ), ∈ ,⎩ () = (), ∈ ⊂ R , > 0, > 0.1.2.8. Формальная асимптотика для неоднородности с кратнымикорнямиВ последние годы метод асимптотического разложения стал применятьсядля построения формальной асимптотики задач с кратным корнем вырожден­ного уравнения [9], [21].В работе [20] рассмотрено стационарное сингулярно возмущенное уравнениевторого порядка22 2= (, ),0 < < 1,(0, ) = 0 ,(1, ) = 1для случаев, когда плотность источников имеет кратность первого и второгопорядков.

Показано, что для кратных корней убывание пограничных функцийносит степенной характер. Сформулированы условия формирования КС типаступеньки.В [9] рассматривается сингулярно возмущенное параболическое уравнение 2 −2(︂)︂+ (, )+ (, , , ) = 034для периодических с периодом по времени функций (, ) и (, , , ),когда (, , , ) = −ℎ(, , )( − (, )) + 1 (, , , ), где =3 и ℎ((, ), , )̸== 2 или0 на всем промежутке рассмотрения:(, ) = (−1 < < 1) × (−∞ < < ∞). Построены асимптотические разложе­ния рассматриваемой задачи, показано, что кратные корни приводят к появ­лению дробных степеней при коэффициентах формальной асимптотики.1.2.9. Контрастные структуры типа всплескаКроме КС типа ступеньки выделяют еще один вид контрастных структур– КС типа всплеска, характерной особенностью которых является близость ре­шения к корню вырожденного уравнения () почти всюду, за исключениемузких областей, где решение резко изменяется наподобие –функции.В [47] построена формальная –периодическая асимптотика типа всплес­ка для задачи вида (1.2.5), рассматриваемой в области ∈ (0, 1) в случае –периодических функций и граничных условий.

Также показано, что много­мерное уравнение вида (1.16) с граничными условиями Неймана имеет неустой­чивое решение типа всплеска, рассмотрены стационарные и движущиеся всплес­ки для уравнения Фишера. Доказательство проведено на основании метода син­гулярного предела задачи на собственные значения, заключающегося в постро­ении стационарного решения и его последующей линеаризации для получениязадачи на собственные значения.В работе [52] показано, что стационарное решение типа "всплеска" сингуляр­но возмущенной параболической системы уравнений типа реакция – диффузия⎧⎨ = 2 + (, ), = 2 + (, ),⎩ |=0,1 = |=0,1 = 0,неустойчиво по первому приближению. > 0,0 < < 1,(1.16)351.2.10.

Характеристики

Список файлов диссертации