Диссертация (1103472), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . ++ +1 (¯(+1) () + + Π(+1) ) + +1 (, ) = +1 + +1 (, ),где функция (, ) равномерно ограничена в области Ω в силу экспоненциального убывания функции Π, (|Π, | ≤ 1 ±2 , ) и равномерной ограниченностипроизводной функции (, , ). Следовательно, существует > 0, такая что (, , ) − (, , ) > 0 в области Ω. Проверка остальных условий на границахпроизводится аналогичным образом.Можно выбрать параметр > 0 так, что условие K.3.4 будет выполнено.(︀)︀(︀)︀ ⋆ (, ) + 0, , − ⋆ (, ) − 0, , =∞Z[︁(︁)︁(︁)︁]︁1(1)(0)(±) 2(±) 2() − 1 () − ()(0 ) + (0 ) +=Φ(0) +1+ [︁(, ) = −Φ(0)∞Z−∞∞Z(±)(0 )2 −∞(±)(0 )2 +]︁+ +1 (, ) < 0,∞при > 0.Можно доказать упорядоченность нижнего (, , ) и верхнего (, , ) решений, использую алгоритм, аналогичный [6]. Также можно найти аналогичныедоказательства в [22].
В области ⋆ верны следующие оценки:(−)(−)− =(︀)︀(︀)︀= (0) ( , ) − (0) ( , ) + (1) ( , ) − (1) ( , ) + . . . +(︀)︀+ +1 2 + (+1) ( , ) − (+1) ( , ) + (+1 ) =(︀ )︀˜ + 1 ()˜ + +1 2 + (+1 ) ≥= Δ0 ()≥ 2 + 0 −0 − +1 1 −1 + (+1 ),где 0 , 1 , 0 , 1 – положительные постоянные. Так как − = (−() + () ) > 0, следовательно, > .84Существует ˜ ∈ ( , ), такая что˜ − ) = ()˜ Δ, = 0, 1, ()((3.57)где Δ = −() + () .˜ ≥ 0 −0 , 1 ()˜ ≤ 1 −1 , следовательно,Легко показать, что 0 () ( ) − ( ) =+1 (−) − (−) ≥ +1 2 + 0 −0 − 1 −1 + (+2 ),где 0 , 1 , 0 , 1 - положительные постоянные.Для малых выполняется 0 > 1 .
Чтобы показать упорядоченность решений, необходимо доказать выполнение неравенства 0 −0 − +1 1 −1 > 0.(3.58)Оно верно для любого ≥ 0 при 0 < 1 и для < lnтак как неравенство 0 − 1 (0 −1 )В граничной точке = ln10 −1, если 0 > 1 ,1(︀ 0 )︀ −> 0 эквивалентно < ln 1 0 1 .(︀ )︀ 0110 −1, показатели экспонент равны11(︀ 0 )︀− −1− −0 101(1 )1+ 0 −1 ., 1 1= 0(︀ 0 )︀ 0(︀ 0 )︀10− −0 1= 1(︀ 0 )︀111− −0 1и больше 1 при 0 > 1 .1(︀ 0 )︀ −Если > ln 1 0 1 , тогда упорядоченность верхнего и нижнего решенийПоказатели степеней при равны 1 +10 −1обеспечивается благодаря слагаемому +1 2.Следовательно, , удовлетворяют Теореме 3.1 о принципе сравнения дляОКПП. Поэтому, решение (, , ) задачи (3.1) удовлетворяет неравенствам (, , ) < (, , ) < (, , ).Оценка точности построения формальной асимптотики для (, , ) и(, , ) следует из построения верхнего и нижнего решений.Сформулируем основной результат в виде теоремы.Теорема 3.2.
Пусть существует классическое решение (, , ) задачи (3.1) и Условия 3.1–3.4 и K.3.1–K.3.6 выполнены. Тогда верны следующиеоценки при достаточно малых : |(, , ) − (, , )| ≤ +1 в области Ω,где (, , ) =⎧⎪⎨(−) (), ≤ ≤ ⋆ (),⎪⎩(+) (),⋆ () ≤ ≤ ,85(±) (, , ) – частичные суммы до –го порядка построенных рядов (3.6),∑︀⋆(3.7), = − () , ⋆ () = =0 ().Результаты численного моделирования данной задачи приведены в главе 6.86Глава 4Асимптотический анализ уравнения ОКПП вокрестности особой точки4.1.
Постановка задачиВ данной главе рассматриваются решения типа контрастной структуры(КС) для уравнения реакции-диффузии (РД) в неоднородной среде [78] + = − (, )(4.1)и для обобщенного уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова (ОКПП)( − ) + = − (, )(4.2)в случае, когда скорость дрейфа КС сохраняет знак на промежутке всюду, кроме одной точки, в которой скорость обращается в нуль. Такую точку будемназывать особой.Цель данной главы состоит в том, чтобы сформулировать достаточные условия прохождения фронта КС для уравнений РД (4.1) и ОКПП(4.2). Напомним, что уравнения РД и ОКПП относятся к классу квазилинейных уравненийсоответственно параболического и псевдопараболического типов.
Задача дляуравнений (4.1) или (4.2) ставится на отрезке [, ] с граничными условиями () = () (), () = () () и начальным условием (, 0) = (0) ().Известно, что скорость дрейфа ВПС нулевого порядка может быть знакоопределенной, а может менять знак. При этом точка, в которой происходитперемена знака скорости, является точкой устойчивого равновесия.Мы рассмотрим ситуацию с точкой неустойчивого равновесия. Обозначимчерез ⋆ центральную точку фронта ВПС, (0) (⋆ ) – скорость дрейфа нулевого порядка в этой точке. Для определенности нас интересует случай, когда87скорость нулевого порядка больше нуля на всем промежутке (, ), кроме однойточки stop , в которой (0⋆) (stop ) = 0.
В этом случае на основании исследования только нулевого приближения нельзя сделать вывод о том, проходит ВПСчерез особую точку, или не преодолевает ее. Мы покажем, что для наиболее широко распространенного в приложениях случая сбалансированной кубическойнелинейности скорость дрейфа в первом порядке также равна нулю, знак скорости второго порядка в окрестности особой точки и в ней самой такой же, каки знак скорости нулевого порядка, поэтому ВПС проникает через особую точку.В качестве иллюстрации рассмотрим пример простейшего уравнения= ||(4.3)с начальным условием (0 ) = 0 и параметром > 0.При ⎧ = 1 решение будет иметь вид:⎪⎨0 (−0 ) , > 0=⎪⎩0 −(−0 ) , < 0.Следовательно, ВПС будет приближаться к особой точке = 0, но никогдане пройдет через нее.
Прохождение отсутствует. При < 1 решение изменяетсяпо степенному закону,||1− −|0 |1−1−= −0 , имеет место прохождение. При > 1прохождение отсутствует. Слой сколь угодно близко приблизится к особой точке, но не перейдет через нее: (||−1 − |0 |−1 )(1 − ) =1−0 .Теперь перейдем к детальной постановке задачи. Рассмотрим задачу дляуравнения ОКПП такую же, как и в главе 3. Предположим, что толщина ВПСмного меньше − .
Введем в уравнение (4.2) малый параметр , который пропорционален отношению толщины ВПС к диаметру области .⎧⎨ 2 − 4 = 2 − (, ), < < , 0 < < ,⎩ (, , ) = 0, (, , ) = 0, (, 0, ) = (0) (, ),(, , ) ∈ ( 2 (, )⋂︀(0, ))⋂︀(4.4)¯ где = (, ) × (0, ), 0 < < 0 ,(), > 0, > 0. В данной главе мы не рассматриваем зависимость (, ) от 88для того, чтобы исследовать только эффекты, связанные с поведением ВПС внеоднородной среде.Методика построения формальной асимптотики в данной главе будетнесколько отличаться от рассмотренной в главе 3, поэтому мы еще раз приведем все условия и подробно опишем алгоритм построения.Сформулируем условия, которые мы будем предполагать справедливымипри построении формального асимптотического ряда для уравнения (4.2).
Выполнение условий обеспечивает существование решения уравнения (4.4) типаКС. Пусть выполнены условия:Условие 4.1. Функция (, ) трижды дифференцируема в области , производные до третьего порядка включительно равномерно ограничены в .Третий порядок непрерывности производных требуется в силу того, чтоформальная асимптотика строится до третьего порядка.Условие 4.2.
Уравнение (, ) = 0 имеет ровно три корня,1 = (−) (), 2 = (0) (), 3 = (+) (), причем(−) () < (0) () < (+) (), ((±) (), ) > 0, ((0) (), ) < 0для всех ∈ [, ].Условие 4.3. Выполнено условие балансаℬ() = 0на [, ], где ℬ() = ℬ (−) () + ℬ (+) (),(+)Z ()(0)Z() (, ), ℬ (+) () =ℬ (−) () =(−) () (, ).(0) ()Для построения асимптотического ряда, сходящегося к точному решениюзадачи, используем метод сшивания асимптотических представлений решенияв области отрицательного и положительного пятен.
Для простоты изложениямы рассмотрим КС, включающую ровно два пятна, разделенных одним ВПС.894.2. Построение формальной асимптотики4.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложенияБудем называть "точкой перехода" координату ⋆ (, ), для которой(︀)︀(⋆ , , ) = (0) ⋆ (, ) .Аналогично главе 3, рассмотрим задачи слева и справа от точки перехода.На промежутке < < ⋆ (, ) решение задачи (4.4) найдем из системы⎧242⎪),⎪⎨ = + (︀ − (,)︀(︀)︀ (, , ) = 0, ⋆ (, ), , = (0) ⋆ (, ) ,⎪⎪⎩ (, 0, ) = (0) (, ),(4.5)а на промежутке ⋆ (, ) < < – из системы⎧242⎪),⎪⎨ = + (︀ − (,(︀)︀)︀ (, , ) = 0, ⋆ (, ), , = (0) ⋆ (, ) ,⎪⎪⎩ (, 0, ) = (0) (, ).(4.6)Решения задач (4.5) и (4.6) дополним индексами (−) и (+) соответственно.Асимптотическое приближение –го порядка справа и слева от точки перехода представим в виде()где(+) (, , ) = ¯(+) (, , ) + (+) (, , ) + Π ( , ),(4.7)(−) (, , ) = ¯(−) (, , ) + (−) (, , ) + Π() ( , ),(4.8)¯(±) (, , )–регулярная часть (зависимость от обусловлена наличием зависимости ⋆ от ), (±) (, , )–функции переходного слоя,()Π, (, , )–пограничные функции, =−≤ 0, =−≥ 0.Каждое слагаемое в (4.7) и (4.8) представляем в виде частичной суммыасимптотического ряда по степеням ,(±)¯(, , ) =∑︁=0(±) ¯ (, ),(4.9)90(±)(, , ) =∑︁(±)(4.10) (, ),=0где=Π() ( , )=∑︁ − ⋆ (, ), Π, ( ),()Π ( , )(4.11)=∑︁ Π ( ).(4.12)=0=0В отличие от метода, использованного в главе 3, мы будем считать, что скоростиразных порядков зависят не только от координаты точки перехода, но и отмалого параметра .
А координата точки перехода -го порядка определяетсякак интеграл от частичной суммы ряда для скоростей и задается отдельнымобразом в каждом приближении: ⋆ (, ) = (⋆) (, ) =R0 (⋆) (⋆ , ),(⋆) (, )= (⋆) (⋆ , ),∑︁(⋆) ⋆ (⋆ , ),( , ) =(4.13)(4.14)=0 ( , ) есть регулярная функция в окрестности точки = 0.⋆Аналогично главе 3, выполним в (4.4) замену переменной (4.11) и представим (, , ) в виде (, , ) = ¯(, ) + (, ) + Π (, ),где(︀)︀¯(, ) = ¯(, ), , ,(︀)︀(︀)︀ (, , ) = ¯((), ) + (, , ), (), − ¯((), ), (), ,(︀)︀(︀)︀Π ( , ) = ¯(( ), ) + Π ( , ), ( ), − ¯(( ), ), ( ), , = , , зависимость от как от параметра через ¯ везде предполагаем, но явноне указываем.
Уравнения для определения коэффициентов разложения (4.9),(4.10) получим, приравняв по отдельности слагаемые, зависящие от переменных, ,2 2¯(, ) = ¯(, ),2(4.15)91(︂)︂⋆3⋆ 322 − − 2 2 + − 2 (, , ) = − (, , ). 3(4.16)Уравнения для коэффициентов (4.12) не будут рассматриваться.
Перейдем кописанию построения формальной асимптотики в области ВПС.4.2.2. Нулевой порядок асимптотикиРегулярную функцию нулевого порядка найдем из уравнения (¯, ) = 0.В соответствии с Условием 4.2, выберем разрывное решение с одной точкойразрыва,⎧⎧(−)⎨⎨ ¯(−) () = (−) (),⋆(︀)︀¯0 () при < ,0⋆¯0 , =где(+)⋆⎩ ¯ () при > ,⎩ ¯(+) () = (+) ().00(4.17)При расчете нулевого порядка в этом разделе обозначим ⋆ = (0⋆) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
