Диссертация (1103472), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Здесь идалее зависимость (0⋆) () явно не указываем.Функции переходного слоя нулевого порядка найдем из краевых задач⎧⎨ (±) = (︀¯(±) (⋆ ) + (±) , ⋆ )︀ − (︀¯(±) (⋆ ), ⋆ )︀,0000(±)(±)(±)⎩ (0) + ¯ (⋆ ) = (0) (⋆ ), (±∞) = 0,00(4.18)0(±)(±)с условиями гладкого сопряжения функции (0±) () = ¯0 (⋆ ) + 0 () в точ(+)(−)ке ⋆ = (0⋆) , которые можно записать в виде 0 (0) = 0 (0). Понижениепорядка в (4.18) приводит к уравнениям(±)0√︂ (︁ (±) (Z⋆ )+(±)0(︀)︀ )︁1/22⋆= , ,(4.19)(±) (⋆ )(±)в которых уже учтено условие убывания 0 () при → ±∞.
Из (4.19) следует,что(−)0(0) =√︁ (︀2ℬ(−))︀1/2( ),⋆(+)0(0) =Условия 4.3, условие гладкого сопряжения√︁ (︀2)︀1/2−ℬ (+) (⋆ ), так что, в силу(−)0 (0)(+)= 0 (0) удовлетворяетсявне зависимости от величины (0⋆) . Иначе говоря, скорость дрейфа ВПС внулевом порядке не определяется из системы уравнений нулевого порядка, эта92величина будет найдена из уравнений первого порядка. В дальнейшем решение(±)задачи (4.18) при заданном значении ⋆ будем обозначать 0 (, ⋆ ).Для кубической неоднородности,(4.20)(︀)︀ (, ) = 2 − 2 () ,(±)уравнение (4.19) имеет гладкое решение 0 (, ⋆ ) = (⋆ ) tanh ( ⋆ ) ∓ 1 , где⋆( ) =1 (⋆ ))︀(︀√︀2 −1 , ⋆ любое в пределах (, ).4.2.3.
Первый порядок асимптотикиРегулярнуюфункциюпервогопорядканайдемизуравнения (¯0 , )¯1 () = 0, откуда ¯1 () = 0.Теперь проведем разложение по степеням левой и правой частей (4.16)до порядка = 1 включительно, используя (4.9), (4.10). Далее при расчетах первого порядка (только в этом разделе) обозначаем ⋆ = (1⋆) . Пусть(±)(±)(1±) (, ⋆ ) = 0 (, ⋆ ) + 1 (, ⋆ ).(±)Функция 0 (, ⋆ ) найдена из (4.18), но ее второй аргумент равен теперь(1⋆) , причем = ⋆ + ,функций переходного слоя(±)Для 1⋆(±)0= (1⋆) , (1⋆) = (0⋆) + 1 .
Зависимость(±)и 1от ⋆ далее явно указывать не будем.слева и справа от точки перехода, используя (4.18), получим краевыезадачи⎧ (︁)︁⎨ 22 − (︀˜(), ⋆ )︀ (±) () = (±) (︀, ⋆ )︀,11(±)(±)⎩ (0) = 0, (±∞) = 0,1(4.21)1связанные условием непрерывного сшивания первых производных в точке перехода[︁]︁⊕]︁⊕ [︁(±)(±) (︀ ⋆ )︀= 0,1 () + ¯0 ⊖⊖)︀)︀(±) (︀(±)(±) (︀где 1 , ⋆ = − (0⋆) ℛ0 + 1 , ⋆ , здесь и далее обозначаем(±)(±)(±)(±)(±)(±)= − , ℛ = − , = 0, 1, 2, ..., (0⋆) () =)︀(±) (︀(±) (︀ )︀(±)(±)1 , ⋆ = ¯0 ⋆ () + (),ℛ(4.22)(0⋆) ,93для пары функций ¯(±) () обозначаем[︁(︀ ⋆ )︀]︁⊕(︀ )︀(︀ )︀(±)¯= ¯(+) ⋆ − ¯(−) ⋆ ,⊖для пары (±) () обозначаем[︁]︁⊕(±) () = (+) (+0) − (−) (−0).⊖(±)По определению полагаем () = ˜(±) (), ⋆ − ¯0 (⋆ ), ⋆ , где(︀)︀(︀)︀⎧⎪⎨(−) (⋆ ) + (−) (), ≤ 0,0(±)˜ () ≡⎪⎩(+) (⋆ ) + (+)0 (), ≥ 0,причем ˜(−) (0) = ˜(+) (0), так что(︀)︀(︀ (±))︀(±) () = ˜(±)(), ⋆ − ¯0 (⋆ ), ⋆ ,(︀)︀(︀ (±))︀(±) () = ˜(±)(), ⋆ − ¯0 (0 ), ⋆ .При выводе системы (4.21) мы использовали уравнения (4.18), которые верны для любого значения ⋆ независимо от значения (1⋆) .
Обратим также внимание на то, что величина 1 не входит в задачу (4.21), так как, в соответствиис (4.16), эта величина войдет только в слагаемые порядка 2 и более высокого.(±)Решение 1 () задачи (4.21) находится в явном виде,[︀ (±) ]︀(±)(±)1 () = 1 (0)Ψ(±) () − (±) 1 (),где Ψ() =(4.23)(±)0 ()(±)0 (0),Функционал (±) действует на функцию (±) () по правилу[︀ ]︀±∞ZZ[︀]︀(︀)︀−2(±)(±)(±) (±) () = −1 0 () 0 () 0 ()(±) ()0(4.24)при условии сходимости несобственных интегралов в (4.24), что всегда будетиметь место в дальнейшем. Таким образом,]︀[︀ (±) ]︀[︀(±)(±)(±) (︀ )︀1 () = 1 (0)Ψ(±) () + (0⋆) (±) ℛ0 − (±) ()¯0 ⋆ + () .(4.25)94В силу условия сшивания функций в точке ⋆ и Условия 4.2,Φ(+) (0) = Φ(−) (0) = Φ(0).Значение (0⋆) определим из условия сшивания первого порядка в точкеперехода (4.22), которое вместе с (4.17) и (4.25), а также с учетом тождества(︀[︀ ]︀ )︀R±∞ (±) () (0) = −1 0 Ψ(±) ()(±) (),даетZ[︁]︁⊕ [︁]︁⊕ 1 ∞(±)(±)(±)(±)1 () = 1 ()Ψ () −Ψ(±) ()1 ().⊖⊖(4.26)−∞Здесь и далее по определению полагаемR+∞R+∞ (+)(−)()+ ().−∞0R±∞ (±)(±)Обозначим ℋ1 [(±) ] = ± 0 0 ()(±) (),]︀]︀]︀[︀R±∞ (±)(+) [︀(−) [︀(±)ℋ2 [(±) ] = ± 0 0 ()(±) (), ℋ1,2 (±) = ℋ1,2 (−) + ℋ1,2 (+) .(±)() =−∞ R0Теперь из (4.26) найдем (0⋆) (⋆ ):(0⋆)⋆( ) =(±)ℋ1[︁(±)(±) ¯0 (⋆ ) ()(±)+]︁(±) ()(±)‖0 ‖2 + ‖0 ‖2−(±)0 (0)(±)[︁]︁⋆ +0(±) ()‖0 ‖2 +⋆ −0,(±)‖0 ‖2(4.27)[︀]︀[︀]︀(±)(±)(±)(±)‖0 ‖2 = ℋ1 0 > 0, ‖0 ‖2 = ℋ2 0 > 0.
Первое слагаемое в(4.27) определяется градиентом функции плотности источников, второе слагаемое определяется градиентом той же функции в точках ее корней.Задача Коши⎧ (0⋆)⎨ = (0⋆) ((0⋆) ),⎩ (0⋆)(0⋆) (0) = 0 ,(4.28)имеет решение (0⋆) (), которое или определено на конечном промежутке [0, ],и тогда ⋆ ( ) = или (ВПС вошел в контакт с границей), или (0⋆) () определена на промежутке [0, +∞), и тогда ⋆ () → (в первом порядке произошелостанов ВПС в некоторой внутренней точке).Произведем расчет скорости дрейфа для случая (4.20). Вычисляя интегралы в (4.27), получим95⋆0 (⋆ ) =( )−3 (⋆)1+452,(4.29)и для расчета (0⋆) () используем задачу Коши (4.28).4.3.
Особые точки контрастной структурыРассмотрим подробно решение уравнения (4.28) движения ВПС в нулевомпорядке в зависимости от параметров функции (). Решение данного уравнения имеет видZ⋆= − 0 . (0⋆) (⋆ )0Если (stop ) = 0 и (stop ) > 0, то (0⋆) < 0 в некоторой правой полуокрестности Ω(+) (stop ) точки stop , (0⋆) > 0 в некоторой левой полуокрестности Ω(−) (stop ) точки stop , так что величина (0⋆) () − stop убывает, если(0⋆)(0⋆) − 0(0⋆)> 0, и возрастает, если (0⋆) − 0< 0. ВПС, расположенный вуказанной окрестности точки stop , не сможет покинуть эту окрестность. Таккак (0⋆) () − stop → 0, так что точка stop в этом случае есть асимптотическиустойчивая в нулевом порядке точка покоя ВПС.
Этот случай в данной главене рассматривается.Если (stop ) = 0 и (stop ) < 0, то (0⋆) > 0 в Ω(+) (stop ), (0⋆) < 0в Ω(−) (stop ), в этом случае точка stop есть неустойчивая в нулевом порядкеточка покоя ВПС. Этот случай также не рассматривается.Если же (stop ) = 0, (stop ) = 0, (stop ) ̸= 0, то (0⋆) сохраняетзнак в некоторой проколотой окрестности точки stop . Достаточно рассмотретьслучай (stop ) < 0, тогда (0⋆) (⋆ ) > 0 в некоторой окрестности точки stop ,кроме самой точки stop , в которой (0⋆) (⋆ ) = 0.
Будем называть такую точкуособой точкой ВПС третьего порядка.Предполагаем далее, что (0⋆) ((0⋆) ) > 0 при ̸= stop и (0⋆) (stop ) = 0,поэтому вопрос о прохождении особой точки в нулевом порядке равносилен96сходимости или расходимостиRstop⋆ (0⋆) (⋆ ). Без ограничения общности считаемstop = 0. Далее мы рассмотрим сбалансированную кубическую неоднородность(4.20) и степенную зависимость⎧⎨ − , ≥ 0,0 () =⎩ 0 + (−) , ≤ 0(4.30)в выражении (4.29) при > 0, > 1, так что (0⋆) (0) = 0 и (0⋆) () > 0при ̸= 0. Предполагаем, что < 0, > 0, и таково, что () > 0 на[, ].
Начальное положение ВПС выберем левее точки stop и исследуем вопросо прохождении ВПС через точку stop .4.3.1. Останавливающая особая точкаРассмотрим сначала случай ≥ 2. Мы не будем приводить аналитическоерешение уравнения (4.29). Используя метод дифференциальных неравенств(0⋆)[48], можно показать, что для любого 0< 0 найдутся такие 1 и 2 ,0 < 1 < < 2 , что (1 , ) < (0⋆) () < (2 , ), > 0 , где⎧ (︁)︁ 1⎨ − (︀−(0⋆) )︀−(−2) + ( − 2)( − ) − −2 при ̸= 2,00 (, ) =⎩ (0⋆) −(−0 ) при = 2,(4.31)0Следовательно, решение (4.29) существует на промежутке ∈ [0 , +∞), причем(0⋆) () < 0 при > 0 , (0⋆) () → −0 при → +∞.
Назовем эту ситуацию особойточкой, останавливающей ВПС в приближении нулевого порядка.4.3.2. Проходимая особая точкаРассмотрим теперь случай 1 < < 2.(0⋆)Можно показать, что для любого 0< 0 найдутся такие 1 и 2 ,0 < 1 < < 2 , что (1 , ) < (0⋆) () < (2 , ), причем (, )задается той же формулой (4.31).Решение (4.29) и теперь существует на промежутке ∈ [0 , +∞), но теперьравенство (0⋆) () = 0 верно при некотором 1 = 0 +(−0 )2−0 (2−) ,1 < 0 < 2 .97Решение не единственно, существует решение, для которого (0⋆) (1 ) = 0,(0⋆) () > 0 при > 1 , так что за конечное время слой переходит через особую точку. Назовем эту ситуацию особой точкой, проходимой в приближениинулевого порядка. Точный ответ на вопрос о поведении ВПС можно дать толькос использованием старших порядков асимптотики.Основной вопрос, который будет нас интересовать, заключается в том, пересечет ли ВПС критическую точку, или она его остановит.
Очевидно, что ответможно получить только исследуя функции ВПС третьего порядка, что и будетпроизведено.Случай (⋆0 ) = 0, (⋆0 ) = 0, (⋆0 ) = 0 мы также не рассматриваем.Рассмотрим ряд примеров особых точек для полиномиальных неоднородностей.4.3.3. Особая точка, запертая в нулевом приближении, длякубической неоднородностиПусть () = 0 + 16 3 , > 0, тогда уравнение для определения координаты будет иметь следующий общий вид:)︀(︀= −1 + 1 2 + 2 + 2 2 ,RRоткуда − ()+(1 2 +2 )+2 2 = 0 , > 0,R12так как = 2 , = , то − 1 2 + 1 2 4 +2следовательно, =2 1 − ,1422 + 2= − ,при → +∞, → +0.Мы показали, что особая точка является запертой, слой сколь угодно близкоприближается к координате → +0.4.3.4.
Особая точка, запертая в нулевом приближении, дляквадратичной неоднородностиПусть⎧⎨ + 1 2 , ≥ 0,02=⎩ 0 − 1 2 , < 0,298тогда = ||, из (4.29) следует, что −R = − ,− (− )− ln = − . Окончательно, имеем = это означает,, при → +∞, → +0.Таким образом, слой будет приближаться к координате = 0 по экспоненте,но при этом не достигнет данную точку.4.3.5. Степенная особая точка, проходимая в нулевом приближенииПусть⎧⎨ + , ≥ 0,0= ∈ (1, 2),⎩ 0 − (−) , < 0,тогда = −1 , отсюдаR2−− 2− −1 = − , − (2−) (2−)+ (− + ), значит, = 2− = 2−−(︀)︀= − , следовательно,.= 0, при = + (2−)2−Это означает, что ВПС проходит через особую точку за конечное время.Численное моделирование особых точек проведено в главе 6.Далее найдем функции второго и третьего порядков, из которых получим (1⋆) и (2⋆) .4.4.
Второй порядок асимптотикиРегулярную функцию второго порядка найдем из уравнения¯0 − (¯0 , )¯2 = 0, так что(︀)︀−1¯2 () = ¯0 (), ¯0 − ()¯0 .Пусть(±)(±)(±)(2±) (, ⋆ ) = 0 (, ⋆ ) + 1 (, ⋆ ) + 2 2 (, ⋆ ),(±)(±)функция 0 (, ⋆ ) найдена из (4.18), 1 (, ⋆ ) из (4.21), причем входящая в(4.21) величина (0⋆) (⋆ ) найдена из (4.27). Далее при расчетах второго порядка обозначаем ⋆ = (2⋆) . Пусть (1⋆) (⋆ ) = (0⋆) (⋆ ) + 1 (⋆ ).(4.32)99Найдем функцию переходного слоя второго порядка. Соберем слагаемые поряд(±)ка 2 и учтем (4.18), (4.21), (4.32). Для нахождения 2 (, ⋆ ) получим краевуюзадачу⎧ (︁)︁⎨ 22 − (︀˜(), ⋆ )︀ (±) (, ⋆ ) = (±) (, ⋆ ),22(±)(±)⎩ (±) (0, ⋆ ) = −¯ (⋆ ), (±∞, ⋆ ) = 0,22(±)2(±)(±)(±)где 2 (, ⋆ ) = −1 ℛ0 − (0⋆) ℛ1 + (0⋆) 0(±)0 (, ⋆ ) =(±)⋆⋆ 0 (, )(4.33)(︀(±)(±) )︀− 0 + 2 , величинанаходится дифференцированием по параметру ⋆решения краевой задачи (4.18),1(±)0 + ¯20 + + 2¯0 )+2 (, ) = 2 (¯21+(¯0 ˜ + ˜ )1 + ¯2 + ˜ 21 − ¯0 ,2)︀)︀(±) (︀(±) (︀(±)(±)(±)где ˜ = ˜(), ⋆ , ¯ = ¯(⋆ ), ⋆ , = ˜ − ¯ и т.п.Решение задачи (4.33) можно, как и ранее, записать в явном виде:[︀ (±) ]︀(±)(±)2 () = 2 (0)Ψ() − (±) 2 ().(4.34)Условие гладкого сшивания принимает вид[︁]︁⊕(±)Ψ ()2 (0, )R+∞(±)Ψ(±) ()2 (, ) +−∞(︀ (±)(︀ ⊖ (0⋆) (±)R(±) )︀)︀(±)1 +∞ (±)+ −∞ Ψ () − ℛ1 − 1 ℛ0 + (0⋆) 0 − 0 = 0,[︁]︁⊕(±)причем из (4.33) следует Ψ ()2 (, ) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
