Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Èòàê,ïðåäïîëîæåíèå îá èñ÷åçíîâåíèè ôîðìû ω íà Θ ñîãëàñóåòñÿ ñ êëàññè÷åñêîé òåîðèåéèçëó÷åíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî èñòî÷íèêè ïîëÿ íå ñóùåñòâîâàëè âå÷íî è "âêëþ÷èëèñü"íå ìãíîâåííî.Äîñòàòî÷íî ðàñïðîñòðàíåíî ìíåíèå, ÷òî ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ êîìïîíåíòàýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âñåãäà îðòîãîíàëüíû è, ñîîòâåòñòâåííî, ôîðìà ω ÿâëÿåòñÿâûðîæäåííîé. Îíî îòíþäü íå áåñïî÷âåííî, ò.ê. â âîëíîâîé çîíå ïîëÿ (âäàëè îòèñòî÷íèêîâ) îðòîãîíàëüíîñòü E è H ïðàêòè÷åñêè èìååò ìåñòî.
Òî÷å÷íûé çàðÿä qâñåãäà ñîçäàåò ïîëå ñ îðòîãîíàëüíûìè ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé êîìïîíåíòàìè,êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ èç ôîðìóëE=qh hii1 − v 2 /c2 ³qv ´vr+r,v̇,r−r,r−cc(r − (r, v)/c)3c2 (r − (r, v)/c)31H = [r, E],rãäå r âåêòîð, èäóùèé â òî÷êó íàáëþäåíèÿ (â êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ E è H) èçòîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà, ãäå çàðÿä íàõîäèëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t − r/c, à âåêòîðv ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ çàðÿäà [22].
Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî âñå âåëè÷èíû â ïðàâûõ÷àñòÿõ ôîðìóë âû÷èñëÿþòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t0 = t − r/c. Ïî ãðàôèêó íà ðèñ.11, èçîáðàæàþùåìó çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè t0 ðàññòîÿíèÿ r îò çàðÿäà äî òî÷êèíàáëþäåíèÿ ïîëÿ, ëåãêî âèäåòü ñëåäóþùåå. Åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 = 0170ðàññòîÿíèå r0 ìåíüøå ct, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ìîìåíò âðåìåíè t∗ < t (âïðîøëîì ïî îòíîøåíèþ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ìîìåíòó t), êîãäà çàðÿä íàõîäèëñÿ íàòàêîì ðàññòîÿíèè r∗ , ÷òî èìåëî ìåñòî t∗ = t − r∗ /c.
Åñëè æå ct < r0 , òî èçëó÷àåìîåçàðÿäîì ïîëå íå ìîæåò äîñòèãíóòü òî÷êè íàáëþäåíèÿ çà âðåìÿ t.Èòàê, îäèíî÷íûé çàðÿä ñîçäàåò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, òåíçîð êîòîðîãî èìååòâñþäó âûðîæäåííóþ ìàòðèöó (çà èñêëþ÷åíèåì ñèíãóëÿðíîé òî÷êè, â êîòîðîéíàõîäèòñÿ ñàì çàðÿä). Ðàññìîòðèì ïàðó çàðÿäîâ qi , êàæäûé èç êîòîðûõ ñîçäàåòýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñ êîìïîíåíòàìè Ei è Hi , ãäå 1 ≤ i ≤ 2. Ðåçóëüòèðóþùååïîëå èìååò êîìïîíåíòû E = E1 + E2 è H = H1 + H2 , ïîýòîìó(E, H) = (E1 , H1 ) + (E1 , H2 ) + (E2 , H1 ) + (E2 , H2 ) =µ¶¶ µ¶ µ1111= E1 , [r2 , E2 ] + E2 , [r1 , E1 ] = E1 , r2 − r1 , E2 .r2r1r2r1Óñëîâèå âûðîæäåííîñòè ìàòðèöû (ωij ) ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî âåêòîðû E1 è E2ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè αt , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó íàáëþäåíèÿ Pt è äâå òî÷êèïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ çàðÿäû íàõîäèëèñü â ìîìåíòû âðåìåíè t0 (îïðåäåëÿåìûåèç óðàâíåíèÿ t0 = t − r/c).
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòîãî íåò. Íàïðèìåð,ïóñòü îäèí èç çàðÿäîâ ïîêîèòñÿ, à âòîðîé äâèæåòñÿ áåç óñêîðåíèÿ ñî ñêîðîñòüþ vïî ïðÿìîé, êîòîðàÿ íå ïàðàëëåëüíà îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó çàðÿäû. Òîãäà â ëþáîéòî÷êå Pt âíå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòîò îòðåçîê ïàðàëëåëüíî âåêòîðó v, âìîìåíò âðåìåíè t âåêòîð E2 íå ïàðàëëåëåí αt (ðèñ. 11). Èòàê ïîëå ïàðû çàðÿäîâ,âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëÿåò ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ïî÷òè íà âñåì R4 .Ïðè óäàëåíèè òî÷êè íàáëþäåíèÿ â áåñêîíå÷íîñòü åäèíè÷íûå âåêòîðû r1 /r1 èr2 /r2 ñòðåìÿòñÿ ê ñîâïàäåíèþ, â ñèëó ÷åãî íà áîëüøîì óäàëåíèè îò ïàðû çàðÿäîââåêòîðû E è H ìîæíî ñ÷èòàòü îðòîãîíàëüíûìè.
Òàêèì îáðàçîì, âäàëè îò èçëó÷àòåëÿñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ïîëÿ ñëåäóåò ñ÷èòàòü âûðîæäåííîé. Íî, êàê ìû òîëüêî÷òî âèäåëè, îíà îòíþäü íå îáÿçàíà âûðîæäàòüñÿ âáëèçè èçëó÷àþùèõ ïîëå çàðÿäîâ.Ïðèñóùàÿ áîëüøèíñòâó êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñèììåòðèÿ ïîëÿ,íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, âëå÷åò çà ñîáîé âûðîæäåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé 2-ôîðìû ω .Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîãî ïîëÿ.
Åñëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëåîáëàäàåò SO(3) - ñèììåòðèåé ñ öåíòðîì O, òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t âëþáîé òî÷êå P âåêòîðû ïîëÿ E è H ïàðàëëåëüíû ïðÿìîé OP . Ïóñòü S 2 ïðîèçâîëüíàÿ ñòàíäàðòíàÿ ñôåðà ñ öåíòðîì O (ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàâíîóäàëåííûõ îòO). Èç òåîðåìû Ìîçåðà î íåñóùåñòâîâàíèè íà ñôåðå âñþäó íåíóëåâîãî âåêòîðíîãîïîëÿ è SO(3) - ýêâèâàðèàíòíîñòè ïîëåé E, H âûòåêàåò, ÷òî íè îäíî èç íèõ171íå èìååò êàñàòåëüíîé ê S 2 êîìïîíåíòû íè â îäíîé èç òî÷åê S 2 .
Ïîýòîìó âñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî rot(H) = 0 è rot(E) = 0 è, â ñèëóóðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ìàãíèòíîå ïîëå H ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì. Ïîýòîìó ðàçóìíîïðåäïîëîæèòü, ÷òî H ≡ 0.Ïðåäëîæåíèå 1 Åñëè ïëîòíîñòè òîêîâ j è çàðÿäîâ ρ ÿâëÿþòñÿ SO(3) ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî öåíòðà 0 ∈ R3 , òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âêàæäîé òî÷êå r ∈ R3 , îòëè÷íîé îò 0, èìååò ìåñòî:rE = E(r, t) ,H=0.rÄîêàçàòåëüñòâî.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû A è ϕ, à âìåñòå ñ íèìè èêîìïîíåíòû ïîëÿ E, H íàñëåäóþò ñâîéñòâî ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíîòî÷êè 0. Ïîýòîìó çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω , ñâÿçàííàÿ ñî ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íûìýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, òî÷íà â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé ñôåðû S 2 ñ öåíòðîì 0.Èçâåñòíî, ÷òî íà êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè íåëüçÿ çàäàòü òî÷íóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþñòðóêòóðó [30].
Ïîýòîìó, ñ ó÷åòîì SO(3) - ñèììåòðèè, îãðàíè÷åíèå ôîðìû ω íà ñôåðóäîëæíî áûòü òîæäåñòâåííûì íóëåì. Åñëè H 6= 0 â òî÷êàõ ñôåðû S 2 , òî, âûáèðàÿäåêàðòîâû êîîðäèíàòû ñ öåíòðîì 0, â òî÷êå N ïåðåñå÷åíèÿ S 2 ñ îñüþ Z èç ìàòðèöûòåíçîðà ïîëÿ ïîëó÷èìωxy = −Hz 6= 0 .À òàê êàê âåêòîðû ñêîðîñòè êîîðäèíàòíûõ ëèíèé x è y êàñàþòñÿ ñôåðû â òî÷êå N ,òî ïîëó÷åíî ñ ïðîòèâîðå÷èå ñ ω|S 2 ≡ 0 2.Ïðèìåð 2. Èíòåðåñíûé ïðèìåð ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ ñâÿçàí ñ óñòàíîâêàìè òèïà Òîêàìàê. Ñèëîâûå ëèíèè òîðîèäàëüíîãî ìàãíèòíîãîïîëÿ ÿâëÿþòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè îáìîòêàìè òîðîâ, êîòîðûå íåîðòîãîíàëüíûñèëîâûì ëèíèÿì âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé ïàðàëëåëèòîðîâ. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî(H, grad(f ))H,{t, f } = −.c(E, H)c(E, H)Îòñþäà âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y, z) åâêëèäîâà ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè (x, y, z) äî îñèsgrad(t) = −òîðîèäàëüíîé êàìåðû ðåàêòîðà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïîëÿ sgrad(t), ãäå t âðåìÿ.
Òàêâîçíèêàåò èíòåãðèðóåìàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà sgrad(t), èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèèêîòîðîé ñîâïàäàþò ñ ñèëîâûìè ëèíèÿìè òîðîèäàëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à òîðûËèóâèëëÿ ðàññëàèâàþò òîðîèäàëüíóþ êàìåðó. Îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå, îïðåäåëåííîåíà ëþáîì ìåðèäèàíàëüíîì äèñêå, îñòðîóìíî íàçûâàåòñÿ tokamap [39].172§4.2.
Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü.Åñëè íà R4 çàäàíû êîîðäèíàòû (x, y, z, t), òî äëÿ ëþáîãî v ïðåîáðàçîâàíèåËîðåíöà (áóñò) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìèx − vtx0 = p,1 − v 2 /c2y 0 = y,z 0 = z,t0 =c2 t − vxp,c2 1 − v 2 /c2ãäå c ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå.
Êîìïîçèöèè ñ çàìåíàìè äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò(x, y, z) â R3 è cäâèãàìè âðåìåíè t ñîñòàâëÿþò ãðóïïó Ïóàíêàðå.  äàëüíåéøåìïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ R4 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ ãàëèëååâûìè êîîðäèíàòàìè (r, t) =(x, y, z, t) , êîòîðûå îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÏóàíêàðå(x, y, z, t) 7−→ (x0 , y 0 , z 0 , t0 ) ,è c ìåòðèêîé ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Ïðè t ∈ R ïóñòüR3t = {(r, t) ∈ R4 : r ∈ R3 }(ýòà ãèïåðïëîñêîñòü îïðåäåëåíà íåèíâàðèàíòíî).Îïðåäåëåíèå 1 Ïóñòü íà 4-ìåðíîì ïîäìíîãîîáðàçèè U ⊂ R4 (âîçìîæíî ñ êðàåì)äàíà çàìêíóòàÿ 2-ôîðìàω = −cdt ∧ (Ex dx + Ey dy + Ez dz) + dx ∧ (Hz dy − Hy dz) + Hx dy ∧ dz ,è ôèêñèðîâàíà ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ⊂ U . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êàæäîéòî÷êå p ∈ Θ ôîðìà ωp ðàâíà íóëþ, è ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð ξ ∈ Tp Θ,êîòîðûé èçîòðîïåí îòíîñèòåëüíî ds2 .Òîãäàáóäåìãîâîðèòü,÷òîΘÿâëÿåòñÿíóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòüþýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, îïðåäåëÿåìîãî òåíçîðîì ω . Åñëè â íåêîòîðûõ ãàëèëååâûõêîîðäèíàòàõ ïðè ôèêcèðîâàííîì t ìíîæåñòâî Ft = R3t ∩Θ íåïóñòî, òî ïîâåðõíîñòüFt ⊂ R3t íàçûâàåòñÿ íóëåâûì ôðîíòîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.Åñëè ìíîãîîáðàçèå U èìååò êðàé ∂U , òî âîçìîæåí ñëó÷àé Θ ⊂ ∂U .
Èçâåñòíî, ÷òîóñëîâèå dω = 0 ýêâèâàëåíòíî ïåðâîé ïàðå óðàâíåíèé (4.1). Âòîðàÿ ïàðà óðàâíåíèéÌàêñâåëëà îïðåäåëÿåò íà U ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρ(r, t) è ïëîòíîñòüþ òîêîâ j(r, t) [22].Ïîñêîëüêó ds2 (ξ) = 0 è ìåòðèêà ds2 îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà íà R3t , òîâ êàæäîé òî÷êå p ∈ Ft âåêòîð ξ ∈ Tp Θ íå êàñàåòñÿ R3t . Ñëåäîâàòåëüíî R3tòðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿ ñ Θ è íóëåâîé ôðîíò Ft ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì.173Ïðè ýòîì äâóìåðíàÿ, ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü Ft ⊂ R3t íåèíâàðèàíòíî îïðåäåëåíà âêàæäûõ ãàëèëååâûõ êîîðäèíàòàõ (r, t).Îïðåäåëåíèå 1 ñîãëàñîâàíî ñ ïîíÿòèåì âîëíîâîãî ôðîíòà, êàê ïîâåðõíîñòèïîñòîÿííîé ôàçû [22].
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íóëåâîé ôðîíò îòâå÷àåò ãðàíèöå 3ìåðíîé îáëàñòè Vt ⊂ R3 , êîòîðóþ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå çàïîëíèëî ê ìîìåíòóâðåìåíè t. Åñëè èçëó÷åíèå íà÷àëîñü ïðè t = t0 è ïîäìíîãîîáðàçèå ∂Vt ãëàäêî çàâèñèòîò t > t0 , òî ãðàíèöà Θ îáëàñòèU = {(r, t) : t > t0 , r ∈ Vt }ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ äàííîãî ïîëÿ.
Ôóíêöèÿì E(r, t) è H(r, t)ðàçðåøàåòñÿ áûòü îïðåäåëåííûìè íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííîé ãðàíèöû Θ (ïðèìåðû 4, 5). Ïðè ýòîì âîïðîñ î ôèçè÷åñêîì ñìûñëå âåëè÷èíE, H çà ïðåäåëàìè îáëàñòè U íå ðàññìàòðèâàåòñÿ.Îáñóäèì ôèçè÷åñêóþ ìîòèâàöèþ óñëîâèÿ î âåêòîðå ξ (îïðåäåëåíèå 1). Âïðîñòåéøåì ñëó÷àå èìååì Vt = {r ∈ R3 : r ≤ ct}, ãäå t > 0, ïðè ýòîì ñâåòîâîéêîíóñ áóäóùåãî {(r, t) : r = ct, t > 0} ÿâëÿåòñÿ íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ äëÿïîëÿ â îáëàñòèU = {(r, t) : r ≤ ct, t > 0}.Òîãäà äëÿ ëþáîãî p = (r, t) ∈ Θ íåíóëåâîé âåêòîð ξ = (r, t) ∈ Tp Θ èçîòðîïåíîòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ds2 , ò.å. ds2 (ξ) = 0.Ïóñòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàçëàãàåòñÿ â ñóïåðïîçèöèþ ïîëåé òî÷å÷íûõçàðÿäîâ è (èëè) ýëåìåíòîâ òîêà [22].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè ëþáîì t > 0 ñóùåñòâóåòãëàäêàÿ îãèáàþùàÿ σt ñåìåéñòâà ñôåð â R3 , îãðàíè÷èâàþùèõ ýëåìåíòàðíûå ïîëÿ, èïîâåðõíîñòü σt ãëàäêî çàâèñèò îò t. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ ãðàíèöàΘ=[{(r, t) : r ∈ σt }t>0îáëàñòè U ⊂ R4 , êîòîðóþ çàïîëíÿåò ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå, ìîæåò áûòü åãî íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòüþ. Äëÿ ëþáîãî r ∈ σt ïîâåðõíîñòü σt êàñàåòñÿ íåêîòîðîé ñôåðûðàäèóñà c(t − t0 ) ñ öåíòðîì r0 , îãðàíè÷èâàþùåé ýëåìåíòàðíîå ïîëå. ßñíî, ÷òî âåêòîðξ = (r − r0 , t − t0 ) ∈ T(r,t) R4èçîòðîïåí â ìåòðèêå ds2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
