Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Äåëèìîñòü ïîòåíöèàëîâ íà χ2 ñëåäóåò èç ëåììû 1 § 3.1. Âñîîòâåòñòâèè ñ íåé âáëèçè ãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩ Θ ñóùåñòâóåò òàêàÿ 1-ôîðìà β , ÷òî³ χ2 ´ω=dβ .2 êîîðäèíàòàõ (τ, x, y, z), ãäå τ = ct, äàëåå èìååì:χ2β = Aτ dτ + Ax dx + Ay dy + Az dz,2ω = d (Aτ dτ + Ax dx + Ay dy + Az dz) .Ïîëå A = (−Ax , −Ay , −Az ) ìîæíî ñ÷èòàòü âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì ïîëÿ, à ôóíêöèþϕ = Aτ ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà. Î÷åâèäíî, ÷òîA=χ2a(τ, x, y, z),2ϕ=χ2ψ(τ, x, y, z).2Òåïåðü äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ïîäõîäÿùåé çàìåíû ïîòåíöèàëîâ âèäàA0 = A + grad(f ),ϕ0 = ϕ −∂f,∂τãäå ôóíêöèÿ f äåëèòñÿ íà χ3 , ò.å.
f = χ3 F äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè F (τ, x, y, z). Ïðèòàêîì âûáîðå f ðàâåíñòâî³∂f ´(A + grad(f ), r) = ϕ −τ∂τýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó:¶µχ2∂F222χ 6τ F + τ χ− 6F r + χ(grad(F ), r) = (ψτ − (a, r)) .∂τ2Ïîñêîëüêó τ 2 − r2 = χ, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî ïðè óñëîâèè12F χ + 2τ χ∂F+ 2χ(grad(F ), r) = ψτ − (a, r).∂τ181(4.9) § 4.4 äîêàçàíî ñëåäóþùåå. Ðàâåíñòâî íóëþ ïëîòíîñòè çàðÿäîâ íà íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòè ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ïðè χ = 0 èìååò ìåñòî:4xτ ax + 4yτ ay + 4zτ az − 4x2 ψ − 4y 2 ψ − 4z 2 ψ = 4τ (r, a) − 4ψr2 = 0 .Ïîñêîëüêó íà íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè τ = r, òî χ = 0 âëå÷åò τ ψ = (r, a).
Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî τ ψ − (r, a) äåëèòñÿ íà χ. Îáîçíà÷àÿ ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ÷åðåç ζ , ðàçäåëèì(4.9) íà χ è ïîëó÷èì óðàâíåíèå12F + 2τ∂F+ 2(grad(F ), r) = ζ,∂τêîòîðîå ïåðåïèøåì â âèäå:∂Fζ(grad(F ), r) 6F=−−.∂τ2τττÏðåäïîëàãàÿ óäàëåííîñòü îò ñèíãóëÿðíîé òî÷êè (0, 0, 0), ñëó÷àé τ = 0 ìîæíîèãíîðèðîâàòü.  ñèëó òåîðåìû Êîøè-Êîâàëåâñêîé ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ëîêàëüíîèìååò ðåøåíèå ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ [8]. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ôóíêöèÿF ñóùåñòâóåò õîòÿ áû ëîêàëüíî. Ôîðìóëû (4.8) ïîëó÷àþòñÿ ïðîñòûìè, íî äîâîëüíîãðîìîçäêèìè âû÷èñëåíèÿìè (ñì. §4.4) ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâ:¶µ¶µ¡¢¡¢dada= grad(a, r), r − (a, r),r,= grad(a, r), a, r .r,drd[a, r]2. § 4.4 ïîêàçàíî, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå (4.7) ìîòèâèðóåòñÿ åñòåñòâåííûì,ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè, óñëîâèåì îáíóëåíèÿ çàðÿäîâ è òîêîâ íà ñâåòîâîì êîíóñå.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâîë â âûáîðå ôóíêöèè f ðåãóëèðóåòñÿ óðàâíåíèåìτ∂f= (grad(f ), r),∂τêîòîðîìó îíà îáÿçàíà óäîâëåòâîðÿòü.
Óñëîâèå (4.7) îçíà÷àåò îðòîãîíàëüíîñòü 4âåêòîðîâ (A, ϕ) è (r, ct) â ìåòðèêå ds2 íà R4 . Ïîýòîìó ðàâåíñòâà (4.6), (4.7) è (4.8)èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Ëîðåíöà.Ðàññìîòðèìïðèìåðûýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿñïîòåíöèàëàìè(4.6),óäîâëåòâîðÿþùèìè êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ (4.7) è èìåþùåãî êîíòàêòíûåâûðîæäåíèÿ â òî÷êàõ ñâåòîâîãî êîíóñà Θ.Ïðèìåð 4. Ëåãêî óäîâëåòâîðèòü êëàññè÷åñêîìó óñëîâèþ Ëîðåíöàdiv(A) +1 ∂ϕ= 0,c ∂t182åñëè ïîòðåáîâàòü(a, r) ≡ 0,div(a) ≡ 0 .Òàê ìû è ñäåëàåì.
Òîãäà ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕ ðàâåí íóëþ. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîâ ýòîì ñëó÷àå ρ ≡ 0. Ïðè ýòîì òîêè j íå îáÿçàíû îáðàùàòüñÿ â íîëü.  êà÷åñòâåa âûáåðåì âåêòîðíîå ïîëå ñêîðîñòåé âðàùåíèÿ âîêðóã îñè l ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþε, ïðåäïîëàãàÿ ïðÿìóþ l âðàùàþùåéñÿ âîêðóã îñè OZ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ωèç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ OX . Îáîçíà÷èì m âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿïðîñòðàíñòâà âîêðóã îñè l, òîãäàm = ε (i cos Ωt + j sin Ωt) = ε (i cos κτ + j sin κτ ) ,a = [m, r],ãäå κ = Ω/c. Äàëåå âû÷èñëÿåì:∂a= κε[−i sin κτ + j cos κτ, r],∂τrot(a) = 2m,[rot(a), r] = 2a,∂a∂a∂a∂a+y+z= 2a + r= 2a + a = 3a.∂x∂y∂z∂r äàííîì ñëó÷àå (r, a) ≡ 0, ïîýòîìóµ¶ ³´dar,= grad(a, r), a, r = 0d[a, r]rot[a, r] = 2a + xè èç (4.8) ñëåäóåò ñëåäóåò, ÷òî:µµ¶¶∂aP f (ω) = −χ τ (a, rot(a)) + a, r,=∂τµµ¶¶µ¶∂a∂a33= −χ τ ([m, r], 2m) + a, r,= −χ a, r,.∂τ∂τÏðè Ω 6= 0 ïîñëåäíåå ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà,3êîãäà ðàäèóñ-âåêòîð r íå ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè XOY .
 ñàìîì äåëå, åñëè P f (ω) = 0,òî âåêòîðû [m, r], [ṁ, r] è r ÿâëÿþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, ïîýòîìó äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåëα, β, γ èìååìα[ṁ, r] + β[m, r] + γr = 0,[αṁ + βm, r] + γr = 0,îòêóäà [αṁ + βm, r] = 0 è âåêòîð r ïàðàëëåëåí XOY . Åñëè â ýòîé òî÷êå χ 6= 0 èH = 0, òî â ñèëó[a, r] = [[m, r], r] = (m, r)r − r2 m,rot(a) = 2mñëåäîâàòåëüíî m è r êîëëèíåàðíû. Íî ïîñêîëüêó ṁ îðòîãîíàëåí m è îòëè÷åí îòíóëÿ, òî ∂τ a = [ṁ, r] 6= 0, ñëåäîâàòåëüíî E 6= 0.183Òàêèì îáðàçîì ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñâÿçàííîå ñ äàííûì âåêòîðíûì ïîëåì aâ ñèëó ôîðìóë (4.8), èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:a) ïðè êàæäîì t > 0 åãî ôîðìà ω íåâûðîæäåíà âñþäó, êðîìå òî÷åê íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòè è ïëîñêîñòè XOY ;á) íà íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ïîëÿ ôîðìà ω èñ÷åçàåò è âñå òî÷êè íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòè, íè ïðè îäíîì t > 0 íå ëåæàùèå â ïëîñêîñòè XOY , ÿâëÿþòñÿêîíòàêòíûìè.â) ïðè êàæäîì t > 0 â êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè XOY , íå ëåæàùåé íà íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòè, ðàíã ôîðìû ω ðàâåí 2.Èíòåðåñíî, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê âûðîæäåíèÿ ω , íå ëåæàùèõ íà ñâåòîâîì êîíóñå,â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì âðåìåíèïîäîáíîãî 4-êîíóñà áóäóùåãî ñ 3ìåðíîé ïëîcêîñòüþ z = 0.
Çàìûêàíèå äàííîãî ìíîæåñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 3êîíóñx2 + y 2 ≤ c2 t2 ,t ≥ 0, êîòîðûé òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿ ñ íóëåâîéãèïåðïîâåðõíîñòè ïî ñâîåé ãðàíèöå. Èìååì∂τ a = [ṁ, r]/c,[[m, r], r] = (m, r)r − r2 m,¡¢χ2[ṁ, r] ,H = −2r2 χ + χ2 m + 2χ(m, r)r,2c¢c ¡j=(32 − κ2 χ)[m, r] + 8t [ṁ, r] χ,8πE = −2ctχ[m, r] −ãäå òî÷êà îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî t è κ = Ω/c. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â äàííîìñëó÷àå div(j) ≡ 0, ò.å. ïîëå òîêîâ ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì. Ýòî åñòåñòâåííî äëÿýëåêòðè÷åñêè-íåéòðàëüíîé ñðåäû (ρ ≡ 0), êîòîðóþ ìû ðàññìàòðèâàåì. Ìàãíèòíàÿñîñòàâëÿþùàÿ H, î÷åâèäíî, ïîðîæäåíà çàäàííûìè òîêàìè j, êîòîðûå ãåíåðèðóþòñÿíåêèì âíåøíèì ïî îòíîøåíèþ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ïîëþ ïðîöåññîì (äðóãèì ïîëåì).Ôèçè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ýòîãî ïðîöåññà îòíþäü íå âûãëÿäèò íåâîçìîæíîé.
Îäíàêî,äàííûé âîïðîñ îòíîñèòñÿ íå ê ìàòåìàòèêå, à ê ïîñòàíîâêå ýêñïåðèìåíòà èëè ïîèñêóïîõîæèõ ÿâëåíèé â ïðèðîäå. "Âñÿêîå ðåøåíèå óðàâíåíèé ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëåì,êîòîðîå ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî â ïðèðîäå" [22].Åñëè ïîëîæèì Ω = 0, òî ṁ = 0 è ïîëó÷àåòñÿ âñþäó âûðîæäåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, èçîáðàæåííîå íà ðèñ. 13. Îíî ïîìåùàåòñÿ â áûñòðî ðàñòóùåìøàðèêå ðàäèóñà ct è âûãëÿäèò âåñüìà ðåàëèñòè÷íî.Ïðèìåð 5.
Ðàññìîòðèì ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå â ñèëó (4.8)îïðåäåëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì ïîëåì a = grad(F ) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (r, a) ≡ 0.184Òàêîå ïîëå ëåãêî ïîñòðîèòü, ïðîäîëæàÿ ëþáóþ ôóíêöèþ f íà ñòàíäàðòíîé ñôåðåS 2 : x2 + y 2 + z 2 = 1âäîëü ðàäèóñîâ òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿ F íå çàâèñåëà îò r. Òàêàÿ ôóíêöèÿF áóäåò êîððåêòíî îïðåäåëåíà âñþäó, êðîìå ñèíãóëÿðíîé òî÷êè (0, 0, 0). Ïîñêîëüêórot(a) = 0, òî èç (4.8) ñëåäóåòµ3P f (ω) = −χ∂aa, r,∂τ¶.Âåêòîð ∂τ a òàêæå îðòîãîíàëåí r, ïîýòîìó P f (ω) îòëè÷åí îò íóëÿ â êàæäîéòî÷êå, ãäå âåêòîðû grad(F ) è ∂τ (grad(F )) íåêîëëèíåàðíû. Î÷åâèäíî, ÷òî äîëæíûìîáðàçîì ìåíÿÿ ñî âðåìåíåì ôóíêöèþ f(íàïðèìåð âðàùàÿ ëèíèè óðîâíÿâîêðóã ôèêñèðîâàíîãî äèàìåòðà), ëåãêî îáåñïå÷èòü íåâûðîæäåííîñòü ôîðìûω ïî÷òè âñþäó.
Îäíîâðåìåííî ïî÷òè âñþäó íà íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ìûïîëó÷èì êîíòàêòíûå òî÷êè âûðîæäåíèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðè ýòîì âûïîëíÿëîñüóñëîâèå Ëîðåíöà, ïðèäåòñÿ òðåáîâàòü div(a)≡0. Òîãäà ôóíêöèÿ F áóäåòãàðìîíè÷åñêîé (ò.å. ∆F ≡ 0). Íî â îêðåñòíîñòè ñôåðû S 2 òàêàÿ ôóíêöèÿ íåñóùåñòâóåò, òàê êàê ïî èçâåñòíîìó ñâîéñòâó ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé îíè íå ìîãóòïðèíèìàòü íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé âíóòðè îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé (åñëèíåïðåðûâíî ïðîäîëæàþòñÿ íà ãðàíèöû) [8]. Îäíàêî, íà ñôåðå S 2 òàêàÿ ôóíêöèÿïðèìåò êàê ñâîå íàèáîëüøåå, òàê è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.  ñèëó (grad(F ), r) = 0îíè îñòàíóòñÿ òàêîâûìè è â îêðåñòíîñòè ñôåðû.Èòàê, îòêàçûâàÿñü îò óñëîâèÿ Ëîðåíöà ìû ïîëó÷èëè ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âîêðåñòíîñòè ñôåðû S 2 , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿìrot(a) ≡ 0,(a, r) = 0 . äàííîì ñëó÷àå (H, r) ≡ 0.
Èç âèäà òåçîðà ïîëÿ ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèèF1 (x, y, z, t) = t (âðåìÿ),F2 (x, y, z, t) = r(ðàññòîÿíèå)êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, ò.å.{F1 , F2 } = dF2 (sgrad(F1 )) =1(H, r)(−xHx − yHy − zHz ) = −= 0.r(E, H)r(E, H) îêðåñòíîñòè ñôåðû S 2 ýòè äâå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûìè,îäíàêî êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü èõ ñîâìåñòíîãî óðîâíÿ ÿâëÿåòñÿ êîíöåíòðè÷åñêîé ñ S 2ñôåðîé (ðàññìàòðèâàåìîé â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè). Ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò185òåîðåìå Ëèóâèëëÿ, ò.ê. ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èìååò âûðîæäåíûå îñîáåííîñòè.Èç {τ, r} = 0 ñëåäóåò {χ2 , τ } = 0.  ñèëó òåîðåìû 1 § 3.1 êîñîé ãðàäèåíò ôóíêöèè χ2âñåãäà èìååò ãëàäêîå ïðîäîëæåíèå íà íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòü âáëèçè êîíòàêòíûõòî÷åê.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîsgrad(χ2 ) =(rot(a), r)χ£ ∂a¤ .(E, H)τ · rot(a) − ∂τ + grad(ψ), r3Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå rot(a) = 0 è ψ = 0, òî ïðè êàæäîì τ > 0 âåêòîð sgrad(χ2 )ëåæèò â R3 è âûðàæàåòñÿ òàê:£ ∂a ¤,r¢.sgrad(χ2 ) = −2 ¡ ∂a∂τ, r, a∂τÂåêòîð sgrad(τ ) òàêæå âñåãäà ëåæèò â R3 è ñîâïàäàåò ñ −H/(E, H). Åãîíåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì ±[a, r], ãäå ± çíàê ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ â çíàìåíàòåëå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
