Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ïîñêîëüêó âáëèçè êîíòàêòíîéòî÷êè âåêòîðû ∂τ a è a íåêîëëèíåàðíû, ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå âåêòîðà sgrad(τ )íå ïàðàëëåëüíî sgrad(χ2 ). Ïîäìíîæåñòâî íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè, ÿâëÿþùååñÿñîâìåñòíûì óðîâíåì χ = 0 è τ = τ0 , ò.å. ôðîíò ïîëÿ ïðè êàæäîì t0 > 0 áûë áûòîðîì, åñëè áû âñå òî÷êè Θ áûëè êîíòàêòíûìè. Íî ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì t > 0 òî÷êèíóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè, ëåæàùèå â ïëîñêîñòè XOY , íå ÿâëÿþòñÿ êîíòàêòíûìè,ôðîíò ïîëÿ îêàçàëñÿ ñôåðîé ðàäèóñà τ = ct .Ïðåäëîæåíèå 4 Ïóñòüíóëåâàÿãèïåðïîâåðõíîñòüýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âëîæåíà â ñâåòîâîé êîíóñΘ⊂c2 t2 − r2 = 0,R4 (r, t)t > 0, èâ êàæäîé òî÷êå Θ ôîðìà ω èìååò êîíòàêòíîå âûðîæäåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρ ðàâíà íóëþ íà Θ. Òîãäà ëþáàÿ ïëîñêîñòü Π2(r,t) êàíîíè÷åñêîéêîíòàêòíîé ñòðóêòóðû, îïðåäåëÿåìîé ôîðìîé ω íà Θ, íàòÿíóòà íà âåêòîð (r, t)è ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ H â òî÷êå (r, t).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðÿìî âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ 1 è ôîðìóë (4.5) 2.Èòàê, êàíîíè÷åñêàÿ êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà íà ñâåòîâîì êîíóñå áóäóùåãîîïðåäåëÿåòñÿ ïëîñêîñòÿìè, êîòîðûå íàòÿíóòû íà ïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ H è 4ìåðíûå íàïðàâëåíèÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé, âûïóùåííûõ èç íà÷àëà îòñ÷åòà.Ïðåäëîæåíèå 5 Ïóñòü 3-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå Θ ⊂ R4 âëîæåíî â ñâåòîâîé êîíóñχ = c2 t2 − r2 = 0, t > 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Θ çàäàíû186ãëàäêèå ôóíêöèè i(r, t) è σ(r, t), êîòîðûå ïðè χ → 0, ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíïîðÿäêà O(χ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþc2 tσ = (r, i) .Ïóñòü a(r, t) åñòü ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ´∂a31³=− a−rot[a, r] + [rot(a), r] + grad(a, r) +∂t2t2tµ´ πσ ¶div(a) 3(a, r)1 ³π+− 2 3 − 2 3 grad(a, r), r + 2 r + i .2tctctctct(4.10)Ïóñòü âåêòîð-ôóíêöèè E(r, t) è H(r, t) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìèH = rot(A),E=−1 ∂A− grad(ϕ) ,c ∂t(4.11)¢χ2 ¡χ2a(r, t)ϕ(r, t) =a(r, t), r .22ctÒîãäà ïðè χ → 0, òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïîðÿäêà χ2 , ôóíêöèèA(r, t) =E(r, t),H(r, t),j(r, t) = χi(r, t),ρ(r, t) = χσ(r, t)óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà (4.1).Äîêàçàòåëüñòâî.Èç ôîðìóë (4.8) âèäíî, ÷òî j = χi è ρ = χσ .
Îòñþäà, ïðèíåáðåãàÿ ìàëûìèïîðÿäêà χ2 , ïîëó÷èì óðàâíåíèÿµ¶∂a1∂a(a, r)2π3a + 2t− 2 r,r + 2 2 r + rot[a, r] + [rot(a), r] + grad(a, r) =i,∂tct∂tctcµ¶¢ 15(a, r)2¡∂a+grad(a, r), r +r,− ct · div(a) = 2πσ ,(4.12)ctctc∂tèç êîòîðûõ ëåãêî âûâåñòè (4.10). Îáðàòíî, ïðè óñëîâèèc2 tσ = (r, i) + O(χ)óðàâíåíèÿ (4.12) ñëåäóþò èç (4.10) .  ñàìîì äåëå, èç (4.10) ïîëó÷àå춵´1 ∂aππσ 3(a, r) 11 ³− 2, r = − 3 2 (i, r) −+− div(a) + 2 2 grad(a, r), r +c t ∂tctct2c2 t22ct´´1 ³1 ³3(a, r)+rot[a,r],r+grad(a,r),r.c2 t22c2 t22c2 t2Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó+¡¢¡¢rot[a, r], r = (a, r) + grad(a, r), r − r2 div(a)187è çàìåíÿÿ (r, i) íà c2 tσ , à òàêæå ct íà r, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:µ¶´2 ³1 ∂a2πσ 5(a, r)− 2,r = −+ 2 2 − div(a) + 2 2 grad(a, r), r + O(χ) .c t ∂tctctctÎòñþäà è èç (4.10), ñ òî÷íîñòüþ äî O(χ), ïîëó÷àåòñÿ ïàðà óðàâíåíèé (4.12). Èç íèõ,ñ òî÷íîñòüþ äî O(χ2 ), âûòåêàåò âòîðàÿ ïàðà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà 2.Óñëîâèå c2 tσ = (r, i) + O(χ) ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòèdiv(j) +∂ρ= 0,∂têîòîðîìó íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðÿþò òîêè è çàðÿäû [22].Èòàê, åñëè ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ è òîêîâ çàäàíî ôóíêöèÿìè i(r, t) è σ(r, t),òî äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè òîíêîãîñëîÿ, ïðèëåãàþùåãî ê Θ, äîñòàòî÷íî ðåøèòü óðàâíåíèå (4.10).
Èíòåðåñíî, ÷òîíà÷àëüíûå óñëîâèÿ ýòîãî ÓÌÔ ìîãóò áûòü çàäàíû íà ñâåòîâîì êîíóñå. Äëÿâîëíîâûõ óðàâíåíèé ýòîãî ñäåëàòü íåëüçÿ, ò.ê. ëþáîé ñâåòîâîé êîíóñ ÿâëÿåòñÿõàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, íà êîòîðîé íåëüçÿ çàäàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé çàäà÷å Êîøè [8].§4.4. Ïëîòíîñòè òîêîâ è çàðÿäîâ âáëèçè ñâåòîâîãî êîíóñà.Çàäàäèìñÿ ïðîèçâîëüíûì âåêòîðíûì ïîëåì a = a(τ, x, y, z), à â êà÷åñòâåôóíêöèè ψ = ψ(τ, x, y, z) âûáåðåì ñëåäóþùóþ:ψ=(r, a)xax + yay + zaz=.ττ(4.13)Îòñþäà ïîñðåäñòâîì (4.6) îïðåäåëÿþòñÿ ïîòåíöèàëû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è,ñòàëî áûòü, ñàìî ýòî ïîëå.  äàëüíåéøåì íàì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:³´¡ ∂a ¢¡¢∂aa+r,yax + r, ∂xaz + r, ∂a∂y∂ψ∂ψ∂ψ∂z=,=,=,(4.14)∂xτ∂yτ∂zτµ µ¶µ¶µ¶¶1∂a∂a∂a(r, grad(ψ)) =x r,+ y r,+ z r,+ ψ.τ∂x∂y∂zÍàì òàêæå ïîòðåáóåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ P f (ω) = −(E, H).
Èç (4.14) ñëåäóåò, ÷òî:¶½µ¢ 1∂a∂a1¡ 2∂a3P f (ω) = χτ a − (r, a)r, rot(a) +[a, r]y +[a, r]z +r, [a, r]x +ττ∂x∂y∂zµ¶¾∂aχ4+ a, r,+ (rot(a), grad(ψ)).∂τ4188Áîëåå êîìïàêòíî ýòó ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå P f (ω) =½µ¶ µ¶¾¢ 11¡ 2da∂a(rot(a), grad(ψ)) 4τ a − (r, a)r, rot(a) +r,+ a, r,χ3 +χ.ττd[a, r]∂τ4(4.15)Íàïîìíèì, ÷òî (v1 , v2 , v3 ) = ([v1 , v2 ], v3 ) (ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå). Òî÷êà p ∈ Θÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé, åñëè è òîëüêî åñëè â íåé îòëè÷íî îò íóëÿ âûðàæåíèå âôèãóðíûõ ñêîáêàõ.Èç âòîðîé ïàðû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (4.1) íàéäåì ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρ(x, y, z, t)è ïëîòíîñòü òîêà j(x, y, z, t). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîrot(H)x = −4y(yax − xay ) + 4z(xaz − zax ) + 4χax +¶µ∂ay∂az∂axχ2∂ax+ 2χ[rot(a), r]x + rot(a)x ,+2χ y−x−x+z∂y∂y∂z∂z2rot(H)y = −4z(zay − yaz ) + 4x(yax − xay ) + 4χay +¶∂az∂ax∂ayχ2∂ay−y−y+x+ 2χ[rot(a), r]y + rot(a)y ,+2χ z∂z∂z∂x∂x2µrot(H)z = −4x(xaz − zax ) + 4y(zay − yaz ) + 4χaz +¶∂az∂ax∂ay∂azχ2+2χ x−z−z+y+ 2χ[rot(a), r]z + rot(a)z .∂x∂x∂y∂y2µÎòñþäà íàõîäèì êîìïîíåíòû âåêòîðà4π∂Ej = rot(H) −:c∂τ4πjx = −4y(yax − xay ) + 4z(xaz − zax ) + 4τ 2 ax − 4τ xψ+cµ¶∂ax∂ay∂az∂ax+6χax + 2χ y−x−x+z+ 2χ[rot(a), r]x +∂y∂y∂z∂zµ¶∂ax∂ψ∂ψ χ2 ∂ 2 ax∂ 2ψ+4χτ− 2χx+ 2χτ++ rot(rot(a))x +,∂τ∂τ∂x2∂τ 2∂τ ∂x4πjy = −4z(zay − yaz ) + 4x(yax − xay ) + 4τ 2 ay − 4τ yψ+cµ¶∂ay∂az∂ax∂ay+6χay + 2χ z−y−y+x+ 2χ[rot(a), r]y +∂z∂z∂x∂xµ¶∂ψ∂ψ χ2 ∂ 2 ay∂ 2ψ∂ay− 2χy+ 2χτ++ rot(rot(a))y ++4χτ,∂τ∂τ∂y2∂τ 2∂τ ∂y4πjz = −4x(xaz − zax ) + 4y(zay − yaz ) + 4τ 2 az − 4τ zψ+cµ¶∂az∂ax∂ay∂az+6χaz + 2χ x−z−z+y+ 2χ[rot(a), r]z +∂x∂x∂y∂y189∂az∂ψ∂ψ χ2+4χτ− 2χz+ 2χτ+∂τ∂τ∂z2µ∂ 2 az∂ 2ψ+rot(rot(a))+z∂τ 2∂τ ∂z¶.Äàëåå âû÷èñëÿåì âåëè÷èíó 4πρ = div(E) :4πρ = 4xτ ax + 4yτ ay + 4zτ az − 4x2 ψ − 4y 2 ψ − 4z 2 ψ+µ¶µ¶µ¶4χda∂aχ2 ∂+10χψ +r,+ 2χ r,− 2χτ · div(a) −div(a) + ∆ψ .τdr∂τ2 ∂τÒåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî íà ãðàíèöå ïîëÿ âåêòîðíîå ïîëå j è ôóíêöèÿ ρ îáðàùàþòñÿ âíîëü.
Ïîëàãàÿ χ = 0, ÷òî ðàâíîñèëüíîτ = ct = r =px2 + y 2 + z 2 ,èç (4.13) ïîëó÷èì ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:4πρ = 4xτ ax + 4yτ ay + 4zτ az − 4x2 ψ − 4y 2 ψ − 4z 2 ψ = 4(τ (r, a) − ψr2 ) =µ¶(r, a)2= 4τ− ψ = 0,τ4πjx = −4y(yax − xay ) + 4z(xaz − zax ) + 4τ 2 ax − 4τ xψ =c(r, a)= −4y 2 ax + 4xyay + 4xzaz − 4z 2 ax + 4τ 2 ax − 4τ x=τ= 4(−y 2 ax + xyay + xzaz − z 2 ax + (x2 + y 2 + z 2 )ax − x(xax + yay + zaz )) = 0,4πjy = −4z(zay − yaz ) + 4x(yax − xay ) + 4τ 2 ay − 4τ yψ =c= 4(−z 2 ay + yzaz + xyax − x2 ay + (x2 + y 2 + z 2 )ay − y(xax + yay + zaz )) = 0,4πjz = −4x(xaz − zax ) + 4y(zay − yaz ) + 4τ 2 az − 4τ zψ =c= 4(−x2 az + xzax + yzay − y 2 az + (x2 + y 2 + z 2 )az − z(xax + yay + zaz )) = 0.Èòàê,íàïðîòðàíñòâåííî-âðåìåííîéãðàíèöåýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿðàññìàòðèâàåìîãî âèäà çàðÿäîâ è òîêîâ íåò.
Ñìûñë óñëîâèÿ (4.13) ñîñòîèò âòîì, ÷òî îíî îáåñïå÷èâàåò îáðàùåíèå â íîëü íà ãðàíèöå ïîëÿ ïëîòíîñòåé çàðÿäîâè òîêîâ. Ýòî åñòåñòâåííî â ñèòóàöèè, êîãäà çàðÿäû èëè òîêè ïîðîæäàþòñÿ ñàìèìïîëåì. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî èìïóëüñà, êîòîðûéèîíèçèðóåò ñðåäó â ïðîöåññå ñâîåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Õîòÿ èçáûòî÷íûõ çàðÿäîâïðè èîíèçàöèè íå âîçíèêàåò, áîëüøèå ðàçëè÷èÿ â óñêîðåíèÿõ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâè ìàññèâíûõ èîíèçèðîâàííûõ àòîìîâ ìîãóò ìîãóò âûçâàòü ïîÿâëåíèå çàðÿæåííûõçîí. Åñëè æå ïîëå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñðåäå ñ íåíóëåâîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäîâ,òî íóëåâîìó çíà÷åíèþ ρ íà ãðàíèöå ïîëÿ ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ ôèçè÷åñêóþ190èíòåðïðåòàöèþ.
Ïóñòü âíåøíåå ïîëå íàñòîëüêî èíòåíñèâíî, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîåïîëå çàðÿäîâ ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ èçëó÷àåìûì èìè ïåðåìåííûì ýëåêòðîìàãíèòíûìïîëåì. Òîãäà çàðÿäû, íà êîòîðûå åùå íå óñïåëî ïîäåéñòâîâàòü ïîëå, ñëåäóåòèãíîðèðîâàòü è ñ÷èòàòü îòñóòñòâóþùèìè äî òîãî ìîìåíòà, êàê îíè ïðèîáðåòóòóñêîðåíèå. Ýòî ðàññóæäåíèå òàêæå ãîäèòñÿ äëÿ îïèñàíèèÿ ïðîöåññà èîíèçàöèèïîä äåéñòâèåì ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ ïîëÿ, êîãäà çíà÷èòåëüíî áîëåå ìàññèâíûåïîëîæèòåëüíûå èîíû èìåþò îòíîñèòåëüíî ìàëûå óñêîðåíèÿ è, ïî ýòîé ïðè÷èíå,ìîãóò áûòü ïðîèãíîðèðîâàíû.Ïîñêîëüêó â òîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè òîêà j, êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå(ïðè äðóãîì âûáîðå ôóíêöèè ψ ) íå îáÿçàíà äåëèòüñÿ íà χ, ïðèñóòñòâóåò ñëàãàåìîå¡¢4τ 2 a = 4 r2 a + (τ 2 − r2 )a = 4a(x2 + y 2 + z 2 ) + 4χa ,òî êîìïîíåíòû ïëîòíîñòè òîêà ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó:½µµ¶¶4π∂axx∂ajx = 2χ 6ax + 2τ+ 2 (a, r) − τ r,+c∂ττ∂τ·µ¸¸¶)·∂a∂a∂a,r −, r + [rot(a), r]x + r,++∂y∂z∂xzyµ¶χ2 ∂ 2 ax∂2ψ++ rot(rot(a))x +,2∂τ 2∂τ ∂x½µµ¶¶4π∂ayy∂ajy = 2χ 6ay + 2τ+ 2 (a, r) − τ r,+c∂ττ∂τ·µ·¸¸¶¾∂a∂a∂a+,r −, r + [rot(a), r]y + r,+∂z∂x∂yxzµ¶∂ 2ψχ2 ∂ 2 ay+ rot(rot(a))y +,+2∂τ 2∂τ ∂y½µµ¶¶4π∂azz∂ajz = 2χ 6az + 2τ+ 2 (a, r) − τ r,+c∂ττ∂τ·¸·¸µ¶)∂a∂a∂a+,r −, r + [rot(a), r]z + r,+∂x∂y∂zyxµ¶∂ 2ψχ2 ∂ 2 az+ rot(rot(a))z +.+2∂τ 2∂τ ∂z àíàëîãè÷íîé ÷àñòè âûðàæåíèè äëÿ ρ ïðèñóòñòâóåò ñëàãàåìî嵶r2(a, r)(a, r) 22224τ (a, r) − 4ψ(x + y + z ) = 4(a, r) τ −(τ − r2 ) = 4χ.=4τττ191Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ôîðìóëû¶µ¶µ¶µ∂∂a∂∂a∂∂a,r =(a, r) − ax ,,r =(a, r) − ay ,,r =(a, r) − az ,∂x∂x∂y∂y∂z∂z·¸·¸∂a∂a∂∂,r −,r =[a, r]z − [a, r]y − 2ax ,∂y∂z∂y∂zzy·¸·¸∂∂∂a∂a,r −,r =[a, r]x −[a, r]z − 2ay ,∂z∂x∂z∂xxz·¸·¸∂∂∂a∂a,r −,r =[a, r]y −[a, r]x − 2az ,∂x∂y∂x∂yyxìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòåé òîêîâ è çàðÿäîâ:µ¶¾½∂a(a, r)4π∂a 1j = 2χ 3a + 2τ−r,r + 2 r + rot[a, r] + [rot(a), r] + grad(a, r) +c∂ττ∂ττµ¶χ2 ∂ 2 a∂ 1++ rot(rot(a)) +grad(r, a) ,(4.16)2 ∂τ 2∂τ τ½µ¶ µ¶¾7(a, r) 2da∂a4πρ = 2χ+r,+ r,− τ · div(a) +ττdr∂τµ¶1∂χ2− ∆(r, a) −div(a) .(4.17)+2τ∂τÏðîèçâîë ðàññìàòðèâàåìîé êîíñòðóêöèè îáóñëîâëåí âûáîðîì ïîëÿ a(τ, x, y, z), ÷åðåçêîòîðîå âûðàæàåòñÿ ôóíêöèÿ ψ (4.7).Òåïåðü ìû îãðàíè÷èì ïðîèçâîë â âûáîðå ïîëÿ a, ñëåäóÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè[22].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
