Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ïîýòîìó îí êàñàåòñÿ ñâåòîâîãî êîíóñà áóäóùåãîΘ0 = {(r, t) : |r − r0 | = c(t − t0 ), t > t0 }.174Ôèçè÷åñêè î÷åâèäíî, ÷òî Θ0 ñîïðèêàñàåòñÿ ñ Θ â òî÷êå p = (r, t). Ñëåäîâàòåëüíîâåêòîð ξ ëåæèò Tp Θ.Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1, çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿâûðîæäàåòñÿ (è äàæå îáíóëÿåòñÿ) â êàæäîé òî÷êå íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ. Âãëàâå 3 ââåäåíî ïîíÿòèå êîíòàêòíîãî âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû, ÷òîâ äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ìîæíî îïðåäåëèòü òàê.Ïðåäëîæåíèå 2 Ïóñòü p ∈ Θ è χ ëþáàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ â îêðåñòíîñòè Oòî÷êè p, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþχ(O ∩ Θ) = 0 ,dq χ 6= 0∀q ∈ O ∩ Θ .(4.2)Âûðîæäåíèå ôîðìû ω â òî÷êå p ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà â ëþáûõ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ïôàôôèàí P f (ωq ) èìååò ïîðÿäîê χ3 (q) ïðèΘ 63 q → p.Äëÿ ëþáîé êîñîñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöû ω = (ωij ) ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåíP f (ω) ∈ Z[ω1,2 , .
. . , ω2n−1,2n ]¡¢2(ò.í. ïôàôôèàí), êîòîðûé ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì P f (ω) =det(ω). Åñëè n = 2, òî ±P f (ω) = ω12 ω34 − ω13 ω24 + ω23 ω14 .  äàííîì ñëó÷àåP f (ω) = −(E, H) .Äëÿ ëþáûõ êîîðäèíàò x íà O âñå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè P f (ω)(x), ïîðÿäêîâ îò0 äî 2 âêëþ÷èòåëüíî, ðàâíû íóëþ íà O ∩ Θ. Óñëîâèå êîíòàêòíîñòè ýêâèâàëåíòíîñóùåñòâîâàíèþ õîòÿ áû îäíîé íåíóëåâîé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà 3.
Äîñòàòî÷íîïðîâåðèòü ýòî â êàêîé-íèáóäü îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Çíà÷åíèåì ôóíêöèè χ(r, t),íàïðèìåð, ìîæåò áûòü åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå â R3t îò òî÷êè r äî íóëåâîãî ôðîíòà Ft .Ãàìèëüòîíîâî âåêòîðíîå ïîëå ñ ýíåðãèåé f îáîçíà÷àåòñÿ sgrad(f ) [30]. Äëÿ ëþáîéf ∈ C ∞ (O) â êàæäîé òî÷êå p ∈ O ∩ Θ ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåëlim χ2 (q)sgrad(f )(q) = vχ,f (p) ∈ Tp Θ ,Θ63q→pãëàäêî çàâèñÿùèé îò p.
Âñåâîçìîæíûå âåêòîðû vχ,f (p) ïîðîæäàþò äâóìåðíîåïîäïðîñòðàíñòâî Πp ⊂ Tp Θ. Ðàñïðåäåëåíèå p 7−→ Πp íåèíòåãðèðóåìî, â ñèëó ÷åãîîïðåäåëÿåò íà O ∩ Θ êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó. Îíà ìîòèâèðóåò òåðìèí êîíòàêòíîåâûðîæäåíèå è íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêîé (ñì. 3.2.1). Åñëè ω èìååò êîíòàêòíîå175âûðîæäåíèå â êàæäîé òî÷êå Θ, òî êàíîíè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà Π îïðåäåëåíà íà âñåéãèïåðïîâåðõíîñòè Θ.Îáîçíà÷èì [v]+ íàïðàâëåíèå âåêòîðà v 6= 0, ò.å.
[v]+ = ∪λ>0 λv . Ïðè dp f 6= 0îáîçíà÷èì Hp (f ) êàñàòåëüíóþ ãèïåðïëîñêîñòü ê f −1 (f (p)) â òî÷êå p. Ïóñòü |v| íîðìàPâåêòîðà v , ò.å. |v|2 = i (v i )2 . Åñëè ω èìååò êîíòàêòíîå âûðîæäåíèå â òî÷êå p ∈ Θ èdp f (Πp ) 6= 0, òî íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü O 3 p, ÷òî â êàæäîé òî÷êå p0 ∈ O ∩ Θñóùåñòâóåò ïðåäåëlim [sgrad(f )(q 0 )]+ ,Θ63q 0 →p0èíöèäåíòíûé ïðÿìîé Πp0 ∩ Hp0 (f ) è ãëàäêî çàâèñÿùèé îò p0 (òåîðåìà 6, § 3.3). Ïðèýòîìlim|sgrad(f )(q 0 )| = +∞.00Θ63q →pÈç ñëåäóþùåé òåîðåìû ìû èçâëå÷åì ôèçè÷åñêîå îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ âáëèçè òî÷åê êîíòàêòíîãî âûðîæäåíèÿ åãî òåíçîðà.Òåîðåìà 1 Ïóñòü Θ íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ïîëÿ ñ ôîðìîé ω , èìåþùåéêîíòàêòíîå âûðîæäåíèå â íåêîòîðîé òî÷êå p0 ∈ Θ.
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿîêðåñòíîñòü O 3 p0 , ÷òî S = O ∩ Θ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ èìàòðèöà ω íåâûðîæäåíà íà O \ Θ. Åñëè ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρ ðàâíà íóëþ íà S ,òî äëÿ ëþáîé òî÷êè p = (r, t) ∈ S ñóùåñòâóþò ãëàäêî çàâèñÿùèå îò p, âçàèìíîîðòîãîíàëüíûå â R3t ïðåäåëûlim [E(q)]+ ⊂ Tr FtΘ63q→pèlim [H(q)]+ ⊂ Tr Ft ,Θ63q→pè êàæäàÿ èç âåëè÷èí |E(q)| è |H(q)| ïðè Θ 63 q → p èìååò ïîðÿäîê χ(q), ãäå χ(r, t) åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå â R3t îò òî÷êè r äî íóëåâîãî ôðîíòà Ft .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü τ = ct.  îêðåñòíîñòè êîíòàêòíîé òî÷êè p0 ñóùåñòâóþòêîîðäèíàòû (χ, x2 , x3 , x4 ), â êîòîðûõ¡¢ω = d χ2 (dx2 + x3 dx4 ) .Ðàññìàòðèâàÿ 1-ôîðìóα = dx2 + x3 dx4 = ατ dτ + αx dx + αy dy + αz dzè âåêòîðíîå ïîëå a = (αx , αy , αz ), âûðàçèì êîìïîíåíòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ÷åðåç âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A = −χ2 a è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë ϕ = χ2 ατ :E=−∂(−χ2 a)∂χ∂a− grad(χ2 ατ ) = 2χ· a + χ2− 2χατ grad(χ) − χ2 grad(ατ ) ,∂τ∂τ∂τ176H = rot(−χ2 a) = −χ[grad(χ), a] − χ2 rot(a) .(4.3)Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî 1-ôîðìà α îïðåäåëÿåò êàíîíè÷åñêóþ êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó,ò.å.Π2p = Tp S ∩ α−1 (0) .Äîêàæåì, ÷òî ïëîñêîñòè Π2p è R3t òðàíñâåðñàëüíû â R4 .
 ñëó÷àå Π2p ⊂ Tp R3t ìû èìåëèáû:αταxαyαz = 2.rk ∂χ∂χ∂χ∂χxyz τ1000Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðû ap è grad(χ)p êîëëèíåàðíû, ò.å. [grad(χ), a]p = 0.Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî div(E) = 0 ïîëó÷èì(a∂χ/∂τ − ατ grad(χ), grad(χ)) = 0.Ñëåäîâàòåëüíîa∂χ/∂τ − ατ grad(χ) = 0è, â ñèëó (4.3), âåëè÷èíà (E, H) èìååò ïîðÿäîê χ4 ïðè q → p . Ïîñëåäíåå íåâîçìîæíîèç-çà êîíòàêòíîñòè êàæäîé òî÷êè p ∈ S , äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê p0 .Òàêèì îáðàçîì, dp τ (Π2p ) 6= 0 â ëþáîé òî÷êå p = (r, t) ∈ S . Ñëåäîâàòåëüíî,ñóùåñòâóåò ïðåäåëlim [sgrad(τ )(q)]+ ⊂ Π2p ,Θ63q→pêîòîðûé ãëàäêî çàâèñèò îò p.
Ïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ sgrad(τ ) =−H/(E, H) è H â òî÷êå p ñîâïàäàþò. Ïîñêîëüêó[grad(χ), a]p 6= 0,ap ∂χ/∂τ − ατ grad(χ)p 6= 0,òî ïðè q → p ïðåäåë [E]+ îðòîãîíàëåí grad(χ)p , à áåñêîíå÷íî ìàëûå E è H èìåþòïîðÿäîê χ (4.3). Ïîñêîëüêó −P f (ω) = (E, H) èìååò ïîðÿäîê χ3 , òî íàïðàâëåíèÿlim[E]+ è lim[H]+ âçàèìíî îðòîãîíàëüíû â R3t 2.Èòàê, åñëè ïëîòíîñòü çàðÿäîâ íà íóëåâîì ôðîíòå òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ,òî â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé áëèçîñòè îò êîíòàêòíîé òî÷êè (r0 , t0 ) ∈ Θýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå óñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âåëè÷èíû âåêòîðîâ E èH ïðîïîðöèîíàëüíû ðàññòîÿíèþ äî íóëåâîãî ôðîíòà Ft , ïðè ýòîì ïðåäåëüíûåíàïðàâëåíèÿ E è H êàñàþòñÿ ôðîíòà è ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè.177Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè E è H îòëè÷àåòñÿ îò ïðÿìîãî íà âåëè÷èíó, êîòîðàÿïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ äî ôðîíòà Ft (è ðàâíà íóëþ íà Ft ) (ðèñ.
14).Óñëîâèå ρ(S) = 0 ôèçè÷åñêè åñòåñòâåííî. Îíî çàâåäîìî âûïîëíåíî â òèïè÷íîéñèòóàöèè ïîëÿ â ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé ñðåäå, ãäå ρ ≡ 0.Èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå êîíòàêòíîé ñòðóêòóðû Π íà 2n + 1 - ìåðíîììíîãîîáðàçèè K , èìåþùåå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ðàçìåðíîñòü n, íàçûâàåòñÿëåæàíäðîâûì [4].Ñëåäñòâèå 1 Ïóñòü S ⊂ Θ ñîñòîèò èç òî÷åê êîíòàêòíîãî âûðîæäåíèÿôîðìû ω è ρ(S) = 0.
Òîãäà â êàæäîé òî÷êå p = (r, t) ∈ S ïëîñêîñòü Π2pêàíîíè÷åñêîé êîíòàêòíîé ñòðóêòóðû íà S òðàíñâåðñàëüíà R3t .  êàæäîé òî÷êåp ∈ S íàïðàâëåíèå limΘ63q→p [H(q)]+ èíöèäåíòíî ïðÿìîé Π2p ∩ R3t . Èíòåãðàëüíûåêðèâûå ïîëÿ ïðåäåëüíûõ íàïðàâëåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ H ÿâëÿþòñÿ ëåæàíäðîâûìèïîäìíîãîîáðàçèÿìè â êîíòàêòíîì ìíîãîîáðàçèè (S, Π).Äîêàçàòåëüñòâî.
 êàæäîé òî÷êå p ∈ S ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèåI+ (p) ïîëÿ sgrad(τ ), êîòîðîå ãëàäêî çàâèñèò îò p è èíöèäåíòíî ïðÿìîé Π2p ∩ R3t .Èíòåãðàëüíûå êðèâûå ïîëÿ I+ íà S , áóäó÷è èíòåãðàëüíûìè êðèâûìè ðàñïðåäåëåíèÿïðÿìûõ Π2p ∩ R3t , ÿâëÿþòñÿ ëåæàíäðîâûìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè 2. îòëè÷èè îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ H, ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿE íå èíöèäåíòíî Π2p . Èíà÷å ïëîñêîñòü Π2p îêàçàëàñü áû â R3t , ÷òî íåâîçìîæíî âñèëó dp τ (Π2p ) 6= 0. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíòàêòíîé ïëîñêîñòè Π2p äîñòàòî÷íî óêàçàòüëþáîé åå âåêòîð w, íå êàñàþùèéñÿ R3t . Ïóñòü A è ϕ ïîòåíöèàëû, ââåäåííûå ïðèäîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.
Âûáåðåì ëþáîé âåêòîð v ∈ R3t , íåîðòîãîíàëüíûé A/ϕ èóäîâëåòâîðÿþùèé âòîðîìó èç óðàâíåíèé (4.5):w=³Acϕ, v´∂∂t+ vx∂∂∂+ vó+ vz ,∂x∂ó∂z³ A ∂χ´+ grad(χ), v = 0.cϕ ∂t(4.5)Ïðè ατ 6= 0 èñêîìûì âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ w.  ñàìîì äåëå, òîãäà A/ϕ = −a/ατ èâòîðîå óðàâíåíèå (4.5) îçíà÷àåò¡¢a∂χ/∂τ − ατ grad(χ), v = 0 ,ò.å. dp χ(w) = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (4.5) ñëåäóåò (ατ dτ +αx dx+αy dy +αz dz)(w) = 0.  ñëó÷àå ατ = 0 èìååì ϕ(p) = 0. Òîãäà a 6= 0 è èñêîìûé âåêòîð w ∈ Π2p èìååòêîîðäèíàòû (vt , v), ãäå v ëþáîé îðòîãîíàëüíûé ap âåêòîð èvt ∂χ/∂t + (grad(χ), v) = 0 .178Ðàññìîòðèì ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñ ÿñíîé ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé, óêîòîðîãî ïî÷òè âñÿ íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõ îñîáåííîñòåé.Îíà íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöû, ò.ê. Θ ∩ ∂U = ∅.Ïðèìåð 3.
Ïóñòü â òî÷êå 0 ïîñòîÿííî íàõîäèòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q(t) =q0 f (t) (ðèñ. 12). Ïàðàìåòðû t0 > 0 è q0 > 0 ôèêñèðîâàíû. Ñîãëàñíî òåîðèèîòíîñèòåëüíîñòè, â ëþáîé òî÷êå r ∈ R3 , r 6= 0 ìãíîâåííîå èçìåíåíèå çàðÿäà q(t)ïðîÿâëÿåòñÿ ÷åðåç âðåìÿ r/c. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì t > 0 :³r´ rE(r, t) = kq0 f t −,c r3∀ r 6= 0 ,ãäå k åñòü êîíñòàíòà Êóëîíà.
Ïîýòîìó E = 0 íà ñôåðå r = ct.Ðàññìîòðèì ïàðó òî÷å÷íûõ ìàãíèòîâ â òî÷êå 0, ñîçäàþùèõ òîæäåñòâåííûåñòàòè÷åñêèå ïîëÿ H0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïåðèîä âðåìåíè [−t0 ; t0 ] îäèí èç ìàãíèòîââðàùàåòñÿ â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, è óãîë ïîâîðîòà α(t) = π + f (t)π . Ïðè t = 0ïîëþñà N è S ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, à ïðè t = t0 âîçâðàùàþòñÿ â èñõîäíîå ïîëîæåíèå.Òàêèì îáðàçîì, ïðè t = 0 ñèëîâûå ëèíèè îäíîãî èç äâóõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ìåíÿþòíàïðàâëåíèÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå (ðèñ. 12).  ýòîò ìîìåíò ðåçóëüòèðóþùåå ïîëåH ïàðû ìàãíèòîâ ðàâíî íóëþ.
Êàê è ïðåæäå çàêëþ÷àåì, ÷òî H = 0 â êàæäîéòî÷êå ñôåðû r = ct. Ïîýòîìó îíà ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì ôðîíòîì Ft ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ ñ êîìïîíåíòàìè E è H. Ïðè êàæäîì t > 0 îáîçíà÷èì H0α(t) âåêòîðíîå ïîëå,ÿâëÿþùååñÿ ðåçóëüòàòîì ïîâîðîòà ìàãíèòà íà óãîë α(t). Çàìåòèì, ÷òî ýòî ïîëåîòíþäü íå ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ïîâîðîòîì èñõîäíîãî ïîëÿ. Îáîçíà÷èì β(r, t)óãîë â R3t ìåæäó âåêòîðàìè E(r, t) èH(r, t) = H0α(t) (r, t) + H0 (r) .Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðè χ → 0 êàæäàÿ èç âåëè÷èí E è H èìååò ïîðÿäîê ìàëîñòèχ = ct − r.
Ñëåäîâàòåëüíî cos β → 0 ïðè χ → 0. Âáëèçè ëþáîé òî÷êè ñôåðû Ft , ãäåðàäèóñ r íå îðòîãîíàëåí H0 (r), óãîë ìåæäó ñèëîâûìè ëèíèÿìè H0α(t) è H0 ïðè r → ctèìååò ïîðÿäîê H . Ïîýòîìó cos β åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîðÿäêà χ. Èç ïðåäëîæåíèÿ2 ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ãèïåðïîâåðõíîñòèΘ = {(r, t) ∈ R4 : r = ct, t > 0},â êîòîðîé z 6= 0, ôîðìà ω èìååò êîíòàêòíîå âûðîæäåíèå.179§4.3.
Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçè ñâåòîâîãî êîíóñà.Ðàññìîòðèì âàæíûé ñëó÷àé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ó êîòîðîãî íóëåâàÿãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ⊂ R4 (r, t) ñîâïàäàåò ñ êîíóñîìc2 t2 − r2 = 0,t>0.Ïóñòü (r, t0 ) ∈ Θ. Ìèðîâàÿ ëèíèÿ íåïîäâèæíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè r ∈ R3 ïðè t = t0ïðîõîäèò ÷åðåç (r, t0 ) òðàíñâåðñàëüíî êîíóñó Θ. Íà ýòîé ëèíèè ïôàôôèàíP f (ω)(r, t) = −(E, H)ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè t − t0 ñ ìîìåíòà, êàê ïîëå äîñòèãëî òî÷êè r â R3 .Èç ïðåäëîæåíèÿ 2 ñëåäóåò, ÷òî âûðîæäåíèå ôîðìû ω â òî÷êå (r, t0 ) ÿâëÿåòñÿêîíòàêòíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè t → t0 + 0 áåñêîíå÷íî-ìàëàÿ(E(r, t), H(r, t)) èìååò ïîðÿäîê (t − t0 )3 . êà÷åñòâå ôóíêöèè χ, êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ íà íóëåâîé ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ,áóäåì èñïîëüçîâàòü (ëîðåíö èíâàðèàíòíûé) êâàäðàò ðåëÿòèâèñòñêîãî èíòåðâàëàìåæäó ñîáûòèÿìè, ò.å.χ = c2 t2 − r 2 = τ 2 − r 2 .Ïðåäëîæåíèå 3 Ïóñòü íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ⊂ R4 (r, t) íåêîòîðîãîýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âëîæåíà â ñâåòîâîé êîíóñ c2 t2 − r2 = 0, t > 0.
Òîãäàíà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U ïîäìíîãîîáðàçèÿ Θ ñóùåñòâóþò ïîòåíöèàëû ïîëÿ¡¢2A = c2 t2 − r 2 a ,¡¢2ϕ = c2 t2 − r2 ψ ,(4.6)ãäå a(r, t) è ψ(r, t) íåêîòîðûå ãëàäêèå ôóíêöèè. Åñëè ρ(Θ) = 0 è ïîòåíöèàëû (4.6)óäîâëåòâîðÿþò íà U êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ(A, r) − ctϕ = 0 ,(4.7)òî íà ìíîæåñòâå U ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:χ2rot(a),2³1¡¢ 1¡¢ 1¡∂a ¢´ 32 2P f (ω) =c t a − (a, r)r, rot(a) +grad(a, r), a, r + a, r,χ + O(χ4 ),ctctc∂tµ¶µ¶∂a1∂a(a, r)4πj = 2cχ 3a + 2t− 2 r,r + 2 2 · r + rot[a, r] + [rot(a), r] + grad(a, r) +∂tct∂tctE = −2ctχa −χ2 ∂a(a, r)χ2+ 2χr−grad(a, r),2c ∂tct2ct180H = 2χ[a, r] +µ¶χ2 ∂ 2 a∂ 12++ c rot(rot(a)) +grad(r, a) ,2c ∂t2∂t tµµ¶¶¢ 15(a, r)2¡∂a4πρ = 2χ+grad(a, r), r +r,− ct · div(a) +ctctc∂tµ¶χ21∂+− ∆(r, a) − div(a) .2ct∂t(4.8)Åñëè ρ(Θ) = 0 è ôóíêöèè a(r, t) , ψ(r, t) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè, òî âíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè Θ ñóùåñòâóþò àíàëèòè÷åñêèå ïîòåíöèàëû(4.6), óäîâëåòâîðÿþùèå (4.7).Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
