Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ïðîèçâîëüíàÿ çàìåíà ïîòåíöèàëîâ âèäàA0 = A + grad(f ),ϕ0 = ϕ −∂f∂τíå ìåíÿåò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîõðàíÿÿ òî æå ñàìîå ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâρ(x, y, z, t) è òîêîâ j(x, y, z, t). Íåîïðåäåëåííîñòü ïîòåíöèàëîâ A è ϕ ïîçâîëÿåòââîäèòü ðàçëè÷íûå êàëèáðîâî÷íûå óñëîâèÿ, ñðåäè êîòîðûõ íàèáîëåå âàæíûìÿâëÿåòñÿ óñëîâèå Ëîðåíöà:div(A) +1 ∂ϕ= 0.c ∂tÏîñêîëüêó χ = τ 2 − x2 − y 2 − z 2 , òî ïðè óñëîâèè (4.13) èìååò ìåñòî:µ 2 ¶¶µ1 ∂ϕ∂ϕχ∂ χ2div(A) += div(A) += diva +ψ =c ∂t∂τ2∂τ 2µ¶χ2∂ (r, a)= −2χ(r, a) + 2χτ ψ +div(a) +.2∂τ τ192 ñèëó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ψ (4.13) èìååì τ ψ = (r, a), ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àåóñëîâèå Ëîðåíöà îçíà÷àåò ñëåäóþùåå:µ¶∂aτ, r + τ 2 div(a) − (r, a) = 0.∂τÅãî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèä嵶∂at, r + c2 t2 div(a) − (r, a) = 0 .∂tÑ òî÷êè çðåíèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè ìîäåëè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿâàæíî îòíîøåíèå j/ρ.  ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò íàéòè ïðåäåë:j|j|= lim.χ→0 ρχ→0 ρlimÂåêòîð j/ρ âûðàæàåò ñêîðîñòü v íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ çàðÿäîâ.
Ïîñêîëüêóâåëè÷èíà j âåêòîðà j = jn ðàâíà çàðÿäó, ïðîòåêøåìó çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåçåäèíèöó ïëîùàäè â íàïðàâëåíèè n ÷åðåç ïëîùàäêó dS , îðòîãîíàëüíóþ n, òîj/ρ =ρdVρdSvdtdqn/ρ =n/ρ =n/ρ = vn = v.dSdtdSdtdSdt ôèçèêå òàêæå ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî v åñòü ñðåäíåâçâåøåííàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿòî÷å÷íûõ (ýëåìåíòàðíûõ) çàðÿäîâ, ò.å.v=NXi=1NXqivi .ki vi =dqi=1Çäåñü ÷èñëà ki ÿâëÿþòñÿ âåñàìè,dq =NXqjj=1åñòü ïîëíûé çàðÿä â áåñêîíå÷íî-ìàëîé îáëàñòè dV ñ öåíòðîì P ∈ dS è N îáùåå÷èñëî òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ â ýòîé îáëàñòè, vi ñêîðîñòü i - ãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà(÷àñòèöû).Åñëè íàéäåííàÿ âåëè÷èíà âåêòîðà v îêàæåòñÿ áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà c, òîïîñòðîåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü âîéäåò â ïðîòèâîðå÷èå ñ ðåëÿòèâèñòñêîéìåõàíèêîé, à çíà÷èò ñ ýëåêòðîäèíàìèêîé. Îäíàêî ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àåíóëåâîé ïëîòíîñòè çàðÿäîâ (ρ = 0), íî â ïðèñóòñòâèè òîêà j 6= 0 îïðåäåëåíèåñêîðîñòè v = j/ρ òåðÿåò ñìûñë.
Òàê áûâàåò, íàïðèìåð, â ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûõïðîâîäíèêàõ ñ òîêîì (èëè ïîëóïðîâîäíèêàõ). ñâÿçè ñ êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì (4.7) èíòåðåñåí âîïðîñ î åãî ñîâìåñòèìîñòèñ óñëîâèåì Ëîðåíöà. Âîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííîãî íàëîæåíèÿ íà ïîòåíöèàëû ýòèõäâóõ óñëîâèé, âîîáùå ãîâîðÿ, íèîòêóäà íå ñëåäóåò.193Çàìå÷àíèå 1 Äëÿ ïîòåíöèàëîâ âèäà (4.6), (4.7) óñëîâèå Ëîðåíöà ýêâèâàëåíòíîñëåäóþùåìó òîæäåñòâó:1 ∂ψ+ div(a) = 0.t ∂tÇàìåòèì, ÷òî ýòî òîæäåñòâî âïîëíå àíàëîãè÷íî óñëîâèþ Ëîðåíöà.Ïðåäëîæåíèå 6 Ïóñòü3-ìåðíîåìíîãîîáðàçèåS⊂R4 ,ÿâëÿþùååñÿïîäìíîæåñòâîì ãðàíèöû Θ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, âëîæåíî â êîíóñc2 t2 − r2 = 0,t>0,è íà ãèïåðïîâåðõíîñòè S ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè P0 ∈ S ïîòåíöèàëû âèäà2(c2 t2 − r2 )· a(r, t),A=22(c2 t2 − r2 )ϕ=· (a(r, t), r)2ctóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëîðåíöà.
Åñëè â êàæäîé íåîñîáîé òî÷êå, äîñòàòî÷íîáëèçêîé ê P0 , ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρ îòëè÷íà îò íóëÿ, òî¡¢¡¢r(P ), j(P )r(P ), j(P )lim=lim=c.Θ63P →P0 ρ(P )|r(P )|P →P0 , χ(P )>0 ρ(P ) · r(P )Äîêàçàòåëüñòâî.  äàííîì ñëó÷àå óñëîâèå Ëîðåíöà ýêâèâàëåíòíî:¶µ∂a, r + τ 2 div(a) − (r, a) = 0 .τ∂τÏî îäíîé èç ôîðìóë âåêòîðíîãî àíàëèçà èìååì :µ=rot[a, r] = (r, ∇)a − (a, ∇)r + div(r)a − div(a)r =¶µ¶∂a∂a∂a∂a∂a∂ax+y+z − a + 3a − div(a)r =x+y+z + 2a − div(a)r,∂x∂y∂z∂x∂y∂zµ¶da(rot[a, r], r) = r,+ 2(a, r) − r2 div(a).drÈñïîëüçóÿ ýòè ôîðìóëû, èç (4.16) è (4.17) ïîëó÷èì:³¡¢´4π(j, r) = 2χ 8(a, r) + (r2 − 3τ 2 )div(a) + 2 r, (r, ∇)a +c¶µχ2 ∂ 2 a∂++ rot(rot(a)) +(grad(ψ), r) ,2 ∂τ 2∂τµ¶¢ r7r2r ¡4πrρ = 2χ(a, r) +r, (r, ∇)a + (a, r) − rτ div(a) − rτ · div(a) +τττ¶µrχ2∂+div(a) .−∆ψ −2∂τ194Òàê êàê ïðè χ = 0 èìååì r = τ , îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî¡¢8(a, r) + (r2 − 3τ 2 )div(a) + 2 r, (r, ∇)a(j, r)¡¢lim·c=c= limχ→0 rρχ→0 8r(a, r)/τ + 2r r, (r, ∇)a /τ − 2rτ div(a)2.Êàê ìû âèäåëè âåêòîð v = j/ρ âûðàæàåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿçàðÿæåííûõ ÷àñòèö.
Âáëèçè ãðàíèöû ïîëÿ òàêîâûìè ìîãóò áûòü ýëåêòðîíû. Âòî÷êå p0∈ Θ ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ïðîåêöèè v íà ðàäèàëüíîå íàïðàâëåíèår ðàâíî c. Âîçìîæíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âáëèçè ãðàíèöû ïîëÿ ρ 6= 0,òî êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå (4.7) ôèçè÷åñêè íåñîâìåñòèìî ñ óñëîâèåì Ëîðåíöà.Ñëåäóþùåå âûñêàçûâàíèå Ï.À.Ì. Äèðàêà, îäíàêî, ïðåäîñòåðåãàåò îò ïîñïåøíûõâûâîäîâ: "Èçìåðåíèå ïðîåêöèè ñêîðîñòè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà âñåãäà ïðèâîäèò êðåçóëüòàòó ±c.
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî çàêëþ÷åíèå îñòàåòñÿ â ñèëå òàêæå âïðèñóòñòâèå ïîëÿ. ... Ýòî, îäíàêî, íå ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ïðîòèâîðå÷èåì,ïîñêîëüêó òåîðåòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü â âûøåïðèâåäåííîì çàêëþ÷åíèè åñòü ñêîðîñòüâ îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, òîãäà êàê íàáëþäàåìûå ñêîðîñòè âñåãäà ÿâëÿþòñÿñðåäíèìè ñêîðîñòÿìè ïî íåêîòîðîìó êîíå÷íîìó èíòåðâàëó âðåìåíè" [10, ñòð. 361]. ñàìîì äåëå, ïðè íóëåâîì çíà÷åíèè êîîðäèíàòû χ ïîëå ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåòâ òîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, ãäå îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîêàæäûé ýëåêòðîí íà ãðàíèöå ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì. Åñëè ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿïîëå èîíèçèðóåò ñðåäó èëè êàê-ëèáî èíà÷å ïîðîæäàåò ñâîáîäíûå çàðÿäû, òîòåîðåòè÷åñêè íà ãðàíèöå ïîëÿ èõ íåò. Íî ïðàêòè÷åñêè, î÷åâèäíî, îäèíî÷íûåýëåêòðîíû äîëæíû ïðèñóòñòâîâàòü õîòÿ áû â ñèëó êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé. Èç-çàíè÷òîæíîé (ρ = 0) ïëîòíîñòè çàðÿäîâ íèêàêîãî íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâíà ãðàíèöå áûòü íå ìîæåò. Ïîýòîìó ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè v íà ãðàíèöåïîëÿ, ïî-âèäèìîìó, èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñêîðîñòè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà. Ýòîäîëæíî áûòü òàê åùå è ïîòîìó, ÷òî âáëèçè äâèæóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà ôðîíòàïîëÿ èçìåðåíèå ñðåäíèõ âåëè÷èí åäâà ëè âîçìîæíî.
Âûøå ìû âèäåëè ïðèìåð ïîëÿ(ïðèìåð 4), â êîòîðîì ïðè ρ ≡ 0 ñîâìåùàþòñÿ óñëîâèÿ (4.7) è Ëîðåíöåâî.Çàìå÷àíèå 2 Åñëè ïîòåíöèàëû âèäà (4.6) óäîâëåòâîðÿþò (4.7) è óñëîâèþËîðåíöà, òî èìåþò ìåñòî òîæäåñòâà:µ¶ 2µ¶∂aχ1 ∂ 2a4πj = 2χ 3a + 2t+ div(a)r + rot[a, r] + [rot(a), r] + grad(a, r) −∆a − 2 2 ,c∂t2c ∂tµ¶¡¢¢ χ22χ ¡∂div(a)2 24πρ =6(a, r) + 2 grad(a, r), r − 2c t div(a) −(∆a, r) + 2div(a) + t.ct2ct∂tÄîêàçàòåëüñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóë (4.16) è (4.17) èëè èç (4.8).195Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Àïïåëüðîò Ã.Ã.
Íå âïîëíå ñèììåòðè÷íûå òÿæåëûå ãîðîñêîïû.Äâèæåíèåòâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè.  Ñáîðíèêå, ïîñâÿùåííîì Ñ.Â.Êîâàëåâñêîé. Ì.; Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1940, 61155. M., 1940.[2] Àðíîëüä Â.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì.: "Íàóêà",1979.[3] Àðíîëüä Â.È. Îñîáåííîñòè êàóñòèê è âîëíîâûõ ôðîíòîâ. Ì.: "Ôàçèñ", 1996.[4] Àðíîëüä Â.È., Ãèâåíòàëü À.Á. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ñîâðåìåííûåïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäàìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ.
Ì.: ÂÈÍÈÒÈ, 4 (1985),7-139.[5] Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Èíòåãðèðóåìûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íà àëãåáðàõ Ëè,âîçíèêàþùèå â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåðèÿ ìàò.48 (1984), 5, 883-938.[6] Áîëñèíîâ À.Â., Ìàòâååâ Ñ.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿèíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Óñïåõèìàò. íàóê. 45 (1990), 2, 49-77.[7] Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò.
Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû.Òîïîëîãèÿ. Ãåîìåòðèÿ. Êëàññèôèêàöèÿ. Èæåâñê: "Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò",1999.[8] Âëàäèìèðîâ Â.Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: "Íàóêà", 1988, 217.[9] Ãèéåìèí Â., Ñòåðíáåðã Ñ. Ãåîìåòðè÷åñêèå àñèìïòîòèêè. Ì.: "Ìèð", 1981.[10] Äèðàê Ï.À.Ì. Ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ì.: "Ôèçìàòãèç", 1960.[11] Äóáðîâèí Á.À., Íîâèêîâ Ñ.Ï., Ôîìåíêî À.Ò. Ñîâðåìåííàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.:"Íàóêà", 1979.[12] Çîòüåâ Ä.Á. Î ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ìíîãîîáðàçèé ñ ïî÷òè âñþäóíåâûðîæäåííîé çàìêíóòîé 2-ôîðìîé. Ìàò. çàìåòêè.
76 (2004), 1, 66-77.[13] Çîòüåâ Ä.Á. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â SO(2) - ñèììåòðè÷íîìäâîéíîì ñèëîâîì ïîëå. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû. 34(2004), 66-71.196[14] Çîòüåâ Ä.Á. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ I êëàññà Àïïåëüðîòà âîë÷êà Êîâàëåâñêîé âìàãíèòíîì ïîëå. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà.
12 (2006), 1, 95-128.[15] Çîòüåâ Ä.Á. Îá îäíîì ÷àñòíîì èíòåãðàëå, êîòîðûé ìîæíî èçâëå÷ü èçìàòðèöû Ïóàññîíà. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà. 3 (2007), 1, 75-80.[16] Çîòüåâ Ä.Á. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì. Ìàòåìàòè÷åñêèéñáîðíèê. 198 (2007), 4, 47-78.[17] Çîòüåâ Ä.Á., Õàðëàìîâ Ì.Ï. Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ è îáëàñòèâîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â äâîéíîì ïîëå ñèë.Íåëèíåéíàÿäèíàìèêà. 1 (2005), 1, 23-31.[18] Êàìêå Ý. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ì.:"Íàóêà", 1976, 511 (ïï. 6.165).[19] Êàðòàí Ý. Èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû.
M.-Ë.: "Ãîñòåõèçäàò", 1940, 137.[20] Êèðèëëîâ À.À. Ëîêàëüíûå àëãåáðû Ëè. Óñïåõè ìàò. íàóê. 31 (1976), 4, 57-76.[21] Êîâàëåâñêàÿ Ñ.Â. Çàäà÷à î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. êíèãå "Íàó÷íûå ðàáîòû". Ì.: "Íàóêà", 1948, 153-220.[22] Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Òåîðèÿ ïîëÿ. M.: "Ôèçìàòãèç", 1962.[23] Íîâèêîâ Ñ.Ï. Ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì è ìíîãîçíà÷íûé àíàëîã òåîðèè Ìîðñà.Óñïåõè ìàò. íàóê. 37 (1982), 5, 3-49.[24] Îøåìêîâ À.À. Òîïîëîãèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé è áèôóðêàöèîííûåäèàãðàììû èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà íà SO(4).
Óñïåõèìàò. íàóê. 42 (1990), 2, 199 - 200.[25] Ïóàíêàðå À. Íîâûå ìåòîäû íåáåñíîé ìåõàíèêè. Èçáð. òðóäû, 1 ò. Ì.: "Íàóêà",1971.[26] ÒîïàëîâÏ.É.Âêëþ÷åíèå áóòûëîê Êëåéíà â òåîðèþ òîïîëîãè÷åñêîéêëàññèôèêàöèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì. Óñïåõè ìàò. íàóê. 49 (1994), 1, 227228.[27] Ôîìåíêî À.Ò. Òåîðèÿ Ìîðñà èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì.ÑÑÑÐ. 287 (1986), 5, 1071-1072.197ÄÀÍ[28] Ôîìåíêî À.Ò. Òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ýíåðãèè èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì è ïðåïÿòñòâèÿ ê èíòåãðèðóåìîñòè. Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ,ñåðèÿ ìàòåì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
