Главная » Просмотр файлов » Симплектические многообразия с контактными особенностями

Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 34

Файл №1097875 Симплектические многообразия с контактными особенностями (Симплектические многообразия с контактными особенностями) 34 страницаСимплектические многообразия с контактными особенностями (1097875) страница 342019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

. . , x2k , s1 , . . . , sn−k , ϕ1 , . . . , ϕn−k ), çàäàííûõ íà U ⊃ T0n , ôîðìà ωïðèâîäèòñÿ ê âèäóω=Xωij dxi ∧ dxj +n−kXdsl ∧ dϕl ,l=11≤i<j≤2kãäå ôóíêöèè sl ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè äàííîé ñèñòåìû, à ϕ1 , . . . , ϕn−k åñòü óãëîâûåêîîðäèíàòû íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ T n . Òîãäà ìàêñèìàëüíûå, èíòåãðàëüíûå, k - ìåðíûåïîäìíîãîîáðàçèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ T n 3 y 7−→ Zy ∩ Ty T n ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè íàêàæäîì òîðå T n ⊂ U ∩ Θ.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî â êàæäîé òî÷êå y ∈ U ∩ Θ ÿäðî Zy íàòÿíóòî íàâåêòîðû ∂/∂x1 , . .

. , ∂/∂x2k . Ïîýòîìó ïðè T n ⊂ U ∩ Θ òîð T k ⊂ T n , îòâå÷àþùèéïîñòîÿííûì çíà÷åíèÿì óãëîâûõ êîîðäèíàò ϕ1 , . . . , ϕn−k , ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûìïîäìíîãîîáðàçèåì ðàñïðåäåëåíèÿ T n 3 y 7−→ Zy ∩ Ty T n 2.Ïðèìåð 11. Èç ïðåäëîæåíèÿ 15 ñëåäóåò, ÷òî ôîðìà ω èç ïðèìåðà 8 íå ìîæåòáûòü ïðèâåäåíà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó íè â êàêîé îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîãî òîðàËèóâèëëÿ T 2 ⊂ Θ.Ïðåäëîæåíèå 16 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè U ⊃ T0n è êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ∩ Θ íåêîòîðîå (è òîãäàëþáîå) ìàêñèìàëüíîå, èíòåãðàëüíîå, 2k − 1 ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ðàñïðåäåëåíèÿU ∩ Θ 3 y 7−→ Zy ∩ Ty Θ ,164(3.36)èìåþùåå íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ T n , ïåðåñåêàåòñÿ ñ ýòèì òîðîì ïî k - ìåðíîìó,êîìïàêòíîìó ïîäìíîãîîáðàçèþ.

Òîãäà, åñëè îêðåñòíîñòü U äîñòàòî÷íî ìàëà, òîíà íåé îïðåäåëåíû íåçàâèñèìûå ôóíêöèè x, s2 , . . . , sn , ÿâëÿþùèåñÿ èíòåãðàëàìèïóàññîíîâà äåéñòâèÿ íà U \ Θ. Ïðè ýòîì íà U îïðåäåëåíû òàêèå êîîðäèíàòû(x, s2 , . . . , sn , ϕ1mod 2π, . . . , ϕnmod 2π),÷òî (ìíîãîçíà÷íûå) ôóíêöèè ϕ1 , . . . , ϕn ÿâëÿþòñÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè íàòîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U .  ñëó÷àå k > 1 ôîðìà ω èìååò íà U êàíîíè÷åñêèé âèäkn³ x2 ¡XX¢´ω=ddϕ1 +sj dϕj +dsi ∧ dϕi ,2j=2i=k+1à â ñëó÷àå k = 1 ôîðìà ω èìååò íà U êàíîíè÷åñêèé âèäω = xdx ∧ ϕ1 +nXdsi ∧ dϕi .i=2Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëåììû 1 §1.2, ðàñïðåäåëåíèå (3.36) ÿâëÿåòñÿèíòåãðèðóåìûì. Èç òåîðåìû 7 ñëåäóåò, ÷òî óêàçàííûå â óñëîâèè èíòåãðàëüíûåìíîãîîáðàçèÿ (3.36) âûñåêàþò íà òîðàõ T n ⊂ U ∩ Θ òîðû T k ⊂ T n .

Ïîñòðîèìãëàäêîå, n - ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òîðîâ T k , êàæäûé èç êîòîðûõ âëîæåí â òîðËèóâèëëÿ T n , ÷òîáû ñîîòâåòñòâèå T k 7−→ T n áûëî âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì. Ïðè ýòîìíà êàæäîì T n ⊂ U äîëæåí áûòü òîð T k äàííîãî ñåìåéñòâà, è ïóñòü åãî âëîæåíèåáóäåò íåòðèâèàëüíûì (ò.å. èíäóöèðóåò ìîíîìîðôèçì π1 (T k ) → π1 (T n )).Âîçüìåì ëþáîå ìàêñèìàëüíîå, èíòåãðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå Z 2k−1 ðàñïðåäåëåíèÿ(3.36), ïåðåñåêàþùåå T0n , è áóäåì ñ÷èòàòü ÷ëåíàìè èñêîìîãî ñåìåéñòâà âñå òîðû T k ,êîòîðûå Z 2k−1 âûñåêàåò íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U . Ïîëó÷èì k − 1 ïàðàìåòðè÷åñêîåñåìåéñòâî. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî êàæäûé èíòåãðàë Fk+1 , .

. . , Fn èç òåîðåìû 7ïîñòîÿíåí íà Z 2k−1 â ñèëó dFi (Zy ) ≡ 0. Âàðüèðóÿ çíà÷åíèÿ ýòèõ èíòåãðàëîâ, ïîëó÷èìn − 1 ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òîðîâ T k . Çàòåì ïðè ðàçëè÷íûõ, íî âñÿêèé ðàçôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ èíòåãðàëîâ F2 , . . . , Fn âñå òîðû T k íà ñîîòâåòñòâóþùèõ(ýòèì çíà÷åíèÿì) òîðàõ T n ⊂ U ∩ Θ ðàçíåñåì â ïîòîêå grad(F1 ) â îáå ñòîðîíû îòãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩ Θ. Ïîëó÷èì èñêîìîå ñåìåéñòâî òîðîâ T k ñî ñâîéñòâàìè, îêîòîðûõ áûëî ñêàçàíî âûøå.Òåïåðü èñïîëüçóåì êàæäûé òîð T k⊂T n , êàê íà÷àëî îòñ÷åòà äëÿóãëîâûõ êîîðäèíàò ϕk+1 , . . . , ϕn , îïðåäåëÿåìûõ ïîëÿì sgrad(Fi ), ãäå èíòåãðàëû Fiçàäàíû ôîðìóëîé (3.27). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ãàìèëüòîíîâû ïîëÿ ñîõðàíÿþò ïîëå165èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé (3.36).

Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿêîîðäèíàò ϕi è èíòåãðàëîâ Fi ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì òàêîãîðàñïðåäåëåíèÿ Z , ÷òî Zy = Zy â êàæäîé òî÷êå y ∈ U ∩ Θ. Ôèêñèðóåì ëþáîååãî èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå Z 2k , ïåðåñåêàþùåå T0n , è ïðèâåäåì ôîðìó ω|Z 2kê êàíîíè÷åñêîìó âèäó âáëèçè òîðà T0k = Z 2k ∩ T0n (òåîðåìà 8). Ïðîäîëæèìêàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ Z 2k íà U , ïîëàãàÿ ïîñòîÿííûìè âäîëü òðàåêòîðèésgrad(Fi ) è sgrad(ϕi ). Ïîñëåäíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíû íà U â ñèëó dϕi (Zy ) ≡ 0.Îñòàëîñü îáîçíà÷èòü Fi êàê si 2.166Ãëàâà 4. Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.§4.1.

Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âàêóóìå.Òðàäèöèîííî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ëîêàëüíî, à åãî ãðàíèöàñ÷èòàåòñÿ ðàñïîëîæåííîé â áåñêîíå÷íîñòè. Ìåæäó òåì ïîëå èìååò êðàé, êîòîðûé÷ðåçâû÷àéíî áûñòðî óäàëÿåòñÿ îò èñòî÷íèêîâ. Ýòèì âûçâàíà ïðèíöèïèàëüíàÿ è,âîçìîæíî, íåïðåîäîëèìàÿ òðóäíîñòü åãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçó÷åíèÿ. Îäíàêîîíî ñâÿçàíî ñ çàäà÷åé âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà åãî çàðîæäåíèÿ, àòàêæå íàáëþäåíèÿ ïîëÿ â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò èñòî÷íèêîâ. Êðîìå ýòîãî,âîïðîñ îá óñòðîéñòâå ïîëÿ âáëèçè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöû èíòåðåñåíñ îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.

Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïðåïÿòñòâèÿ ê ðàñïðîñòðàíåíèþïîëÿ (ñòåíêè), à òàêæå ïîâåðõíîñòíûå èñòî÷íèêè ÿâëÿþòñÿ îáû÷íûì ïðåäìåòîìèññëåäîâàíèÿ, â âûøåóïîìÿíóòîì ñìûñëå ãðàíèöà ïîëÿ, ïî-âèäèìîìó, íèêîãäàïðåæäå íå ðàññìàòðèâàëàñü.Ïðèìåð 1.Ïóñòü ïîëå ñîçäàåòñÿ çàðÿäàìè, êîòîðûå ðàñïðåäåëåíû âäîëüãëàäêîé (ðåãóëÿðíîé) êðèâîé γ(s) â R3 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíè îäíîâðåìåííî íà÷àëèèçëó÷àòü ïîëå â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, à äî ýòîãî íèêàêîãî ïîëÿ íå áûëî.

Åñëèèçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà÷àëîñü â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, òî ôðîíòÿâëÿåòñÿ îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ñôåð(x − γx (s))2 + (y − γy (s))2 + (z − γz (s))2 = c2 t2 .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ñôåð (ò.å. ïåðåäíèé ôðîíò ïîëÿ) ÿâëÿåòñÿòðóáêîé ïîñòîÿííîãî ðàäèóñà ct, îñüþ ñèììåòðèè êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ γ . Ñòî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå î÷åâèäåí.  ÷àñòíîñòè, åñëè êðèâàÿçàìêíóòà è èìååò äîñòàòî÷íî áîëüøîé ðàäèóñ êðèâèçíû, òî ôðîíò ïîëÿ ÿâëÿåòñÿâëîæåííûì òîðîì T 2 , êîòîðûé ïðè âîçðàñòàíèè t ïåðåñòðàèâàåòñÿ â ñôåðó (ñíåãëàäêèì îñîáåííîñòÿìè). Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû çàðÿäû íà êðèâîé ïðèõîäèëè âäâèæåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî îò òî÷êè γ(0), ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ ïîëÿ âäîëü êðèâîé(êàê ýòî ðåàëüíî ïðîèñõîäèò ïðè âêëþ÷åíèè ýëåêòðè÷åñêîé ëèíèè), òî ôðîíò ïîëÿâ äàííîì ñëó÷àå áûë áû ñôåðîé ðàäèóñà ct ñ öåíòðîì â òî÷êå γ(0) 2. ãëàâå 3 áûëà äàíà ëîêàëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì âîêðåñòíîñòÿõêîíòàêòíûõòî÷åê.Ïîñëåäíèåèìåþòîáùååïîëîæåíèåíàãèïåðïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùåé èç òî÷åê âûðîæäåíèÿ ìàòðèöû 2-ôîðìû.

 òèïè÷íîéñèòóàöèè ïî÷òè â êàæäîé òî÷êå òàêîé ïîâåðõíîñòè êîðàíã ìàòðèöû ðàâåí 2.167Âûðîæäåíèÿ êîðàíãà 2k ≥ 4 ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ñïåöèàëüíûìè, îäíàêî â ñëó÷àå 2k = 4òåîðèÿ êîíòàêòíûõ âûðîæäåíèé íàøëà åñòåñòâåííîå ïðèëîæåíèå â êëàññè÷åñêîéýëåêòðîäèíàìèêå. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ òåíçîðàïîëÿ ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè. Íàéäåíû ôîðìàëüíûå ìîäåëè òàêèõ âûðîæäåíèé, íåïðîòèâîðå÷àùèå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå.Ðàñcìàòðèâàÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ â 4-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè R4ìû, òåì íå ìåíåå, èñïîëüçóåì ÿçûê âåêòîðíîãî àíàëèçà, êàê ýòî ïðèíÿòî âêëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå.

Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðîâ è òî÷åê èç ïðîñòðàíñòâàR3 èñïîëüçóåòñÿ æèðíûé øðèôò. Ëþáîé âåêòîð v ∈ R3 , ðàññìàòðèâàåìûé â òî÷êår = (x, y, z) â ìîìåíò âðåìåíè t, ñ÷èòàåòñÿ êàíîíè÷åñêè âëîæåííûì âTp R4 =e R3 × Râ âèäå 4-âåêòîðà (v, 0), ãäå p = (r, t) = (x, y, z, t) êîîðäèíàòàõ (τ, x, y, z) ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè R4 , ñâÿçàííûõ ñ èíåðöèàëüíîéñèñòåìîé îòñ÷åòà, ãäå τ = ñt è c ñêîðîñòü ñâåòà, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â âàêóóìåîïðåäåëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì òåíçîðîì0 −Ex E0 x(ωij ) =  Ey −HzE z Hyω ñ ìàòðèöåé−Ey −EzHz −Hy .0Hx −Hx0Ñîîòâåòñòâóþùàÿ 2-ôîðìà ω èìååò âèä:ω = −cdt ∧ (Ex dx + Ey dy + Ez dz) + dx ∧ (Hz dy − Hy dz) + Hx dy ∧ dz .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî det ω = (E, H)2 .

Åñëè (E, H) 6= 0, ò.å. ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿêîìïîíåíòû ïîëÿ íåîðòîãîíàëüíû, òî ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà0HxHyHz¡ ij ¢0−Ez Ey 1  −Hxω =−.(E, H)  −Hy Ez0−Ex−Hz −Ey Ex0Çàìêíóòîñòü ôîðìû ω ýêâèâàëåíòíà ïåðâîé ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:div(H) = 0,div(E) = 4πρ,rot(E) = −rot(H) =1681 ∂H,c ∂t1 ∂E 4π+j,c ∂tc(4.1)ãäå ρ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ è j ïëîòíîñòü òîêîâ [22].Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîòåíöèàëû A è ϕ [22], òàê ÷òîH = rot(A),E=−1 ∂A− grad(ϕ) .c ∂tÏîòåíöèàëû ïîëÿ ñóùåñòâóþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ëîêàëüíî.

Îíè îïðåäåëåíû ñòî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿA0 = A + grad(f ),ϕ0 = ϕ −1 ∂f,c ∂tãäå f ëþáàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå Ëîðåíöàdiv(A) +1 ∂ϕ= 0,c ∂tòî ïîòåíöèàëû óäîâëåòâîðÿþò âîëíîâûì óðàâíåíèÿì:∆A −1 ∂2A4π=−j,c2 ∂t2c∆ϕ −1 ∂ 2ϕ= −4πρ .c2 ∂t2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà÷àëîñü ïðè t = 0.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèA(r, 0) ≡ 0,ϕ(r, 0) ≡ 0,∂A(r, 0)≡ 0,∂t∂ϕ(r, 0)≡ 0.∂tÏðè òàêèõ óñëîâèÿõ, èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èìååì j(r, 0) ≡ 0 è ρ(r, 0) ≡ 0.

Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ñèëû, êîòîðûå ïîðîäèëè è ïðèâåëè â äâèæåíèå ñîçäàþùèå ïîëå çàðÿäû,íà÷èíàþò äåéñòâîâàòü ïîñòåïåííî (èìåÿ ïðè t = 0 íóëåâûå çíà÷åíèÿ). Ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè âûðàæàåòñÿ ò.í. âîëíîâûìè èëè çàïàçäûâàþùèìè ïîòåíöèàëàìè´³Zj r, t − |r0c−r|A(r0 , t) =dV (r),c|r0 − r|Dt3 (r0 )³´|r0 −r|Zρ r, t − cdV (r),ϕ(r0 , t) =|r0 − r|Dt3 (r0 )ãäå øàð Dt3 (r0 ) ⊂ R3 îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì |r0 − r| ≤ ct [8,22]. Êàæäûéâåêòîð r0 − r èäåò èç òî÷êè r = (x, y, z) â òî÷êó ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r0 , â êîòîðîéâ ìîìåíò t ïðîèñõîäèò "íàáëþäåíèå" ïîëÿ.

Áóäó÷è ãëàäêèìè íà ïîëóïðîñòðàíñòâåt ≥ 0, ôóíêöèè A(r, t) è ϕ(r, t) íå ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè íè íà êàêîé îêðåñòíîñòèãèïåðïëîñêîñòè R30 [8]. Òî æå îòíîñèòñÿ ê ôóíêöèÿì E(r, t) è H(r, t), êîòîðûåîïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëû. Õîòÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ⊂ {t > 0} çàâèñèò îòðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ è òîêîâ, ìíîæåñòâî ñèíãóëÿðíûõ òî÷åê ∂U \ Θ ñîâïàäàåò ñR30 .169Ðàññìîòðèì òî÷êó (r0 , t) ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöû Θ. Èñòî÷íèêè,ëîêàëèçîâàííûå â òî÷êå r ∈ Dt3 (r0 ), èçëó÷àþò íåêîòîðîå ïîëå. Åãî ôðîíò äîñòèãàåòòî÷êè r0 â òå÷åíèè âðåìåíè t − t0 , ãäåt0 = t −|r0 − r|.cÏîñêîëüêó èçëó÷åíèå ýòîãî ïîëÿ íà÷àëîñü â ìîìåíò t0 , òî î÷åâèäíî, ÷òî ρ(r, t0 ) = 0è j(r, t0 ) = 0. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî A(r0 , t) = 0 è ϕ(r0 , t) = 0. Ëåãêî âèäåòü,÷òî ρ(r, t00 ) = 0 è j(r, t00 ) = 0 ïðè ëþáîì t00 < t0 .

Èíà÷å èçëó÷åííîå â òî÷êå rïîëå óñïåëî áû äîñòèãíóòü r0 ðàíüøå ìîìåíòà t, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò âêëþ÷åíèþr0 ∈ Ft . Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèè ρ, j íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûìè çàêëþ÷àåì,÷òî ∂t j(r, t0 ) = 0 è ∂t ρ(r, t0 ) = 0. Äàëåå èìååìµµ¶¶Z∂t j (r, t0 ) ∂−|r0 − r|∂1∂A0(r0 , t) =+ j (r, t )dV (r) = 0 ,∂x0c|r0 − r| ∂x0c∂x0 c|r0 − r|Dt3 (r0 )ãäå r0 = (x0 , y0 , z0 ). Àíàëîãè÷íî, ðàâíû íóëþ âñå ïðîèçâîäíûå èíòåãðàëîâ ïîêîîðäèíàòàì òî÷êè r0 , à òàêæå ïî t. Ñëåäîâàòåëüíî E(r0 , t) = 0 è H(r0 , t) = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее