Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 34
Текст из файла (страница 34)
. . , x2k , s1 , . . . , sn−k , ϕ1 , . . . , ϕn−k ), çàäàííûõ íà U ⊃ T0n , ôîðìà ωïðèâîäèòñÿ ê âèäóω=Xωij dxi ∧ dxj +n−kXdsl ∧ dϕl ,l=11≤i<j≤2kãäå ôóíêöèè sl ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè äàííîé ñèñòåìû, à ϕ1 , . . . , ϕn−k åñòü óãëîâûåêîîðäèíàòû íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ T n . Òîãäà ìàêñèìàëüíûå, èíòåãðàëüíûå, k - ìåðíûåïîäìíîãîîáðàçèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ T n 3 y 7−→ Zy ∩ Ty T n ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè íàêàæäîì òîðå T n ⊂ U ∩ Θ.Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî â êàæäîé òî÷êå y ∈ U ∩ Θ ÿäðî Zy íàòÿíóòî íàâåêòîðû ∂/∂x1 , . .
. , ∂/∂x2k . Ïîýòîìó ïðè T n ⊂ U ∩ Θ òîð T k ⊂ T n , îòâå÷àþùèéïîñòîÿííûì çíà÷åíèÿì óãëîâûõ êîîðäèíàò ϕ1 , . . . , ϕn−k , ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûìïîäìíîãîîáðàçèåì ðàñïðåäåëåíèÿ T n 3 y 7−→ Zy ∩ Ty T n 2.Ïðèìåð 11. Èç ïðåäëîæåíèÿ 15 ñëåäóåò, ÷òî ôîðìà ω èç ïðèìåðà 8 íå ìîæåòáûòü ïðèâåäåíà ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó íè â êàêîé îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîãî òîðàËèóâèëëÿ T 2 ⊂ Θ.Ïðåäëîæåíèå 16 Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 7 ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè U ⊃ T0n è êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U ∩ Θ íåêîòîðîå (è òîãäàëþáîå) ìàêñèìàëüíîå, èíòåãðàëüíîå, 2k − 1 ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ðàñïðåäåëåíèÿU ∩ Θ 3 y 7−→ Zy ∩ Ty Θ ,164(3.36)èìåþùåå íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ T n , ïåðåñåêàåòñÿ ñ ýòèì òîðîì ïî k - ìåðíîìó,êîìïàêòíîìó ïîäìíîãîîáðàçèþ.
Òîãäà, åñëè îêðåñòíîñòü U äîñòàòî÷íî ìàëà, òîíà íåé îïðåäåëåíû íåçàâèñèìûå ôóíêöèè x, s2 , . . . , sn , ÿâëÿþùèåñÿ èíòåãðàëàìèïóàññîíîâà äåéñòâèÿ íà U \ Θ. Ïðè ýòîì íà U îïðåäåëåíû òàêèå êîîðäèíàòû(x, s2 , . . . , sn , ϕ1mod 2π, . . . , ϕnmod 2π),÷òî (ìíîãîçíà÷íûå) ôóíêöèè ϕ1 , . . . , ϕn ÿâëÿþòñÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè íàòîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U .  ñëó÷àå k > 1 ôîðìà ω èìååò íà U êàíîíè÷åñêèé âèäkn³ x2 ¡XX¢´ω=ddϕ1 +sj dϕj +dsi ∧ dϕi ,2j=2i=k+1à â ñëó÷àå k = 1 ôîðìà ω èìååò íà U êàíîíè÷åñêèé âèäω = xdx ∧ ϕ1 +nXdsi ∧ dϕi .i=2Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëåììû 1 §1.2, ðàñïðåäåëåíèå (3.36) ÿâëÿåòñÿèíòåãðèðóåìûì. Èç òåîðåìû 7 ñëåäóåò, ÷òî óêàçàííûå â óñëîâèè èíòåãðàëüíûåìíîãîîáðàçèÿ (3.36) âûñåêàþò íà òîðàõ T n ⊂ U ∩ Θ òîðû T k ⊂ T n .
Ïîñòðîèìãëàäêîå, n - ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òîðîâ T k , êàæäûé èç êîòîðûõ âëîæåí â òîðËèóâèëëÿ T n , ÷òîáû ñîîòâåòñòâèå T k 7−→ T n áûëî âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì. Ïðè ýòîìíà êàæäîì T n ⊂ U äîëæåí áûòü òîð T k äàííîãî ñåìåéñòâà, è ïóñòü åãî âëîæåíèåáóäåò íåòðèâèàëüíûì (ò.å. èíäóöèðóåò ìîíîìîðôèçì π1 (T k ) → π1 (T n )).Âîçüìåì ëþáîå ìàêñèìàëüíîå, èíòåãðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå Z 2k−1 ðàñïðåäåëåíèÿ(3.36), ïåðåñåêàþùåå T0n , è áóäåì ñ÷èòàòü ÷ëåíàìè èñêîìîãî ñåìåéñòâà âñå òîðû T k ,êîòîðûå Z 2k−1 âûñåêàåò íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ T n ⊂ U . Ïîëó÷èì k − 1 ïàðàìåòðè÷åñêîåñåìåéñòâî. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî êàæäûé èíòåãðàë Fk+1 , .
. . , Fn èç òåîðåìû 7ïîñòîÿíåí íà Z 2k−1 â ñèëó dFi (Zy ) ≡ 0. Âàðüèðóÿ çíà÷åíèÿ ýòèõ èíòåãðàëîâ, ïîëó÷èìn − 1 ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òîðîâ T k . Çàòåì ïðè ðàçëè÷íûõ, íî âñÿêèé ðàçôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ èíòåãðàëîâ F2 , . . . , Fn âñå òîðû T k íà ñîîòâåòñòâóþùèõ(ýòèì çíà÷åíèÿì) òîðàõ T n ⊂ U ∩ Θ ðàçíåñåì â ïîòîêå grad(F1 ) â îáå ñòîðîíû îòãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩ Θ. Ïîëó÷èì èñêîìîå ñåìåéñòâî òîðîâ T k ñî ñâîéñòâàìè, îêîòîðûõ áûëî ñêàçàíî âûøå.Òåïåðü èñïîëüçóåì êàæäûé òîð T k⊂T n , êàê íà÷àëî îòñ÷åòà äëÿóãëîâûõ êîîðäèíàò ϕk+1 , . . . , ϕn , îïðåäåëÿåìûõ ïîëÿì sgrad(Fi ), ãäå èíòåãðàëû Fiçàäàíû ôîðìóëîé (3.27). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè ãàìèëüòîíîâû ïîëÿ ñîõðàíÿþò ïîëå165èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé (3.36).
Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿêîîðäèíàò ϕi è èíòåãðàëîâ Fi ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì òàêîãîðàñïðåäåëåíèÿ Z , ÷òî Zy = Zy â êàæäîé òî÷êå y ∈ U ∩ Θ. Ôèêñèðóåì ëþáîååãî èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå Z 2k , ïåðåñåêàþùåå T0n , è ïðèâåäåì ôîðìó ω|Z 2kê êàíîíè÷åñêîìó âèäó âáëèçè òîðà T0k = Z 2k ∩ T0n (òåîðåìà 8). Ïðîäîëæèìêàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ Z 2k íà U , ïîëàãàÿ ïîñòîÿííûìè âäîëü òðàåêòîðèésgrad(Fi ) è sgrad(ϕi ). Ïîñëåäíèå êîððåêòíî îïðåäåëåíû íà U â ñèëó dϕi (Zy ) ≡ 0.Îñòàëîñü îáîçíà÷èòü Fi êàê si 2.166Ãëàâà 4. Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.§4.1.
Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âàêóóìå.Òðàäèöèîííî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ëîêàëüíî, à åãî ãðàíèöàñ÷èòàåòñÿ ðàñïîëîæåííîé â áåñêîíå÷íîñòè. Ìåæäó òåì ïîëå èìååò êðàé, êîòîðûé÷ðåçâû÷àéíî áûñòðî óäàëÿåòñÿ îò èñòî÷íèêîâ. Ýòèì âûçâàíà ïðèíöèïèàëüíàÿ è,âîçìîæíî, íåïðåîäîëèìàÿ òðóäíîñòü åãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èçó÷åíèÿ. Îäíàêîîíî ñâÿçàíî ñ çàäà÷åé âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ, íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà åãî çàðîæäåíèÿ, àòàêæå íàáëþäåíèÿ ïîëÿ â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò èñòî÷íèêîâ. Êðîìå ýòîãî,âîïðîñ îá óñòðîéñòâå ïîëÿ âáëèçè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöû èíòåðåñåíñ îáùåé òî÷êè çðåíèÿ.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ïðåïÿòñòâèÿ ê ðàñïðîñòðàíåíèþïîëÿ (ñòåíêè), à òàêæå ïîâåðõíîñòíûå èñòî÷íèêè ÿâëÿþòñÿ îáû÷íûì ïðåäìåòîìèññëåäîâàíèÿ, â âûøåóïîìÿíóòîì ñìûñëå ãðàíèöà ïîëÿ, ïî-âèäèìîìó, íèêîãäàïðåæäå íå ðàññìàòðèâàëàñü.Ïðèìåð 1.Ïóñòü ïîëå ñîçäàåòñÿ çàðÿäàìè, êîòîðûå ðàñïðåäåëåíû âäîëüãëàäêîé (ðåãóëÿðíîé) êðèâîé γ(s) â R3 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíè îäíîâðåìåííî íà÷àëèèçëó÷àòü ïîëå â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, à äî ýòîãî íèêàêîãî ïîëÿ íå áûëî.
Åñëèèçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà÷àëîñü â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, òî ôðîíòÿâëÿåòñÿ îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ñôåð(x − γx (s))2 + (y − γy (s))2 + (z − γz (s))2 = c2 t2 .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ñôåð (ò.å. ïåðåäíèé ôðîíò ïîëÿ) ÿâëÿåòñÿòðóáêîé ïîñòîÿííîãî ðàäèóñà ct, îñüþ ñèììåòðèè êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ γ . Ñòî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå î÷åâèäåí.  ÷àñòíîñòè, åñëè êðèâàÿçàìêíóòà è èìååò äîñòàòî÷íî áîëüøîé ðàäèóñ êðèâèçíû, òî ôðîíò ïîëÿ ÿâëÿåòñÿâëîæåííûì òîðîì T 2 , êîòîðûé ïðè âîçðàñòàíèè t ïåðåñòðàèâàåòñÿ â ñôåðó (ñíåãëàäêèì îñîáåííîñòÿìè). Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû çàðÿäû íà êðèâîé ïðèõîäèëè âäâèæåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî îò òî÷êè γ(0), ïî ìåðå ïðîäâèæåíèÿ ïîëÿ âäîëü êðèâîé(êàê ýòî ðåàëüíî ïðîèñõîäèò ïðè âêëþ÷åíèè ýëåêòðè÷åñêîé ëèíèè), òî ôðîíò ïîëÿâ äàííîì ñëó÷àå áûë áû ñôåðîé ðàäèóñà ct ñ öåíòðîì â òî÷êå γ(0) 2. ãëàâå 3 áûëà äàíà ëîêàëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì âîêðåñòíîñòÿõêîíòàêòíûõòî÷åê.Ïîñëåäíèåèìåþòîáùååïîëîæåíèåíàãèïåðïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùåé èç òî÷åê âûðîæäåíèÿ ìàòðèöû 2-ôîðìû.
 òèïè÷íîéñèòóàöèè ïî÷òè â êàæäîé òî÷êå òàêîé ïîâåðõíîñòè êîðàíã ìàòðèöû ðàâåí 2.167Âûðîæäåíèÿ êîðàíãà 2k ≥ 4 ÿâëÿþòñÿ âåñüìà ñïåöèàëüíûìè, îäíàêî â ñëó÷àå 2k = 4òåîðèÿ êîíòàêòíûõ âûðîæäåíèé íàøëà åñòåñòâåííîå ïðèëîæåíèå â êëàññè÷åñêîéýëåêòðîäèíàìèêå. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ òåíçîðàïîëÿ ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè. Íàéäåíû ôîðìàëüíûå ìîäåëè òàêèõ âûðîæäåíèé, íåïðîòèâîðå÷àùèå òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå.Ðàñcìàòðèâàÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ â 4-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè R4ìû, òåì íå ìåíåå, èñïîëüçóåì ÿçûê âåêòîðíîãî àíàëèçà, êàê ýòî ïðèíÿòî âêëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå.
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðîâ è òî÷åê èç ïðîñòðàíñòâàR3 èñïîëüçóåòñÿ æèðíûé øðèôò. Ëþáîé âåêòîð v ∈ R3 , ðàññìàòðèâàåìûé â òî÷êår = (x, y, z) â ìîìåíò âðåìåíè t, ñ÷èòàåòñÿ êàíîíè÷åñêè âëîæåííûì âTp R4 =e R3 × Râ âèäå 4-âåêòîðà (v, 0), ãäå p = (r, t) = (x, y, z, t) êîîðäèíàòàõ (τ, x, y, z) ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè R4 , ñâÿçàííûõ ñ èíåðöèàëüíîéñèñòåìîé îòñ÷åòà, ãäå τ = ñt è c ñêîðîñòü ñâåòà, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â âàêóóìåîïðåäåëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷åñêèì òåíçîðîì0 −Ex E0 x(ωij ) = Ey −HzE z Hyω ñ ìàòðèöåé−Ey −EzHz −Hy .0Hx −Hx0Ñîîòâåòñòâóþùàÿ 2-ôîðìà ω èìååò âèä:ω = −cdt ∧ (Ex dx + Ey dy + Ez dz) + dx ∧ (Hz dy − Hy dz) + Hx dy ∧ dz .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî det ω = (E, H)2 .
Åñëè (E, H) 6= 0, ò.å. ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿêîìïîíåíòû ïîëÿ íåîðòîãîíàëüíû, òî ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà0HxHyHz¡ ij ¢0−Ez Ey 1 −Hxω =−.(E, H) −Hy Ez0−Ex−Hz −Ey Ex0Çàìêíóòîñòü ôîðìû ω ýêâèâàëåíòíà ïåðâîé ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:div(H) = 0,div(E) = 4πρ,rot(E) = −rot(H) =1681 ∂H,c ∂t1 ∂E 4π+j,c ∂tc(4.1)ãäå ρ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ è j ïëîòíîñòü òîêîâ [22].Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîòåíöèàëû A è ϕ [22], òàê ÷òîH = rot(A),E=−1 ∂A− grad(ϕ) .c ∂tÏîòåíöèàëû ïîëÿ ñóùåñòâóþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ëîêàëüíî.
Îíè îïðåäåëåíû ñòî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿA0 = A + grad(f ),ϕ0 = ϕ −1 ∂f,c ∂tãäå f ëþáàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå Ëîðåíöàdiv(A) +1 ∂ϕ= 0,c ∂tòî ïîòåíöèàëû óäîâëåòâîðÿþò âîëíîâûì óðàâíåíèÿì:∆A −1 ∂2A4π=−j,c2 ∂t2c∆ϕ −1 ∂ 2ϕ= −4πρ .c2 ∂t2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà÷àëîñü ïðè t = 0.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèA(r, 0) ≡ 0,ϕ(r, 0) ≡ 0,∂A(r, 0)≡ 0,∂t∂ϕ(r, 0)≡ 0.∂tÏðè òàêèõ óñëîâèÿõ, èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èìååì j(r, 0) ≡ 0 è ρ(r, 0) ≡ 0.
Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ñèëû, êîòîðûå ïîðîäèëè è ïðèâåëè â äâèæåíèå ñîçäàþùèå ïîëå çàðÿäû,íà÷èíàþò äåéñòâîâàòü ïîñòåïåííî (èìåÿ ïðè t = 0 íóëåâûå çíà÷åíèÿ). Ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè âûðàæàåòñÿ ò.í. âîëíîâûìè èëè çàïàçäûâàþùèìè ïîòåíöèàëàìè´³Zj r, t − |r0c−r|A(r0 , t) =dV (r),c|r0 − r|Dt3 (r0 )³´|r0 −r|Zρ r, t − cdV (r),ϕ(r0 , t) =|r0 − r|Dt3 (r0 )ãäå øàð Dt3 (r0 ) ⊂ R3 îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì |r0 − r| ≤ ct [8,22]. Êàæäûéâåêòîð r0 − r èäåò èç òî÷êè r = (x, y, z) â òî÷êó ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r0 , â êîòîðîéâ ìîìåíò t ïðîèñõîäèò "íàáëþäåíèå" ïîëÿ.
Áóäó÷è ãëàäêèìè íà ïîëóïðîñòðàíñòâåt ≥ 0, ôóíêöèè A(r, t) è ϕ(r, t) íå ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè íè íà êàêîé îêðåñòíîñòèãèïåðïëîñêîñòè R30 [8]. Òî æå îòíîñèòñÿ ê ôóíêöèÿì E(r, t) è H(r, t), êîòîðûåîïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëû. Õîòÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ⊂ {t > 0} çàâèñèò îòðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ è òîêîâ, ìíîæåñòâî ñèíãóëÿðíûõ òî÷åê ∂U \ Θ ñîâïàäàåò ñR30 .169Ðàññìîòðèì òî÷êó (r0 , t) ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ãðàíèöû Θ. Èñòî÷íèêè,ëîêàëèçîâàííûå â òî÷êå r ∈ Dt3 (r0 ), èçëó÷àþò íåêîòîðîå ïîëå. Åãî ôðîíò äîñòèãàåòòî÷êè r0 â òå÷åíèè âðåìåíè t − t0 , ãäåt0 = t −|r0 − r|.cÏîñêîëüêó èçëó÷åíèå ýòîãî ïîëÿ íà÷àëîñü â ìîìåíò t0 , òî î÷åâèäíî, ÷òî ρ(r, t0 ) = 0è j(r, t0 ) = 0. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî A(r0 , t) = 0 è ϕ(r0 , t) = 0. Ëåãêî âèäåòü,÷òî ρ(r, t00 ) = 0 è j(r, t00 ) = 0 ïðè ëþáîì t00 < t0 .
Èíà÷å èçëó÷åííîå â òî÷êå rïîëå óñïåëî áû äîñòèãíóòü r0 ðàíüøå ìîìåíòà t, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò âêëþ÷åíèþr0 ∈ Ft . Ïðåäïîëàãàÿ ôóíêöèè ρ, j íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûìè çàêëþ÷àåì,÷òî ∂t j(r, t0 ) = 0 è ∂t ρ(r, t0 ) = 0. Äàëåå èìååìµµ¶¶Z∂t j (r, t0 ) ∂−|r0 − r|∂1∂A0(r0 , t) =+ j (r, t )dV (r) = 0 ,∂x0c|r0 − r| ∂x0c∂x0 c|r0 − r|Dt3 (r0 )ãäå r0 = (x0 , y0 , z0 ). Àíàëîãè÷íî, ðàâíû íóëþ âñå ïðîèçâîäíûå èíòåãðàëîâ ïîêîîðäèíàòàì òî÷êè r0 , à òàêæå ïî t. Ñëåäîâàòåëüíî E(r0 , t) = 0 è H(r0 , t) = 0.