Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ñíà÷àëà ïóñòü k = n. Èíòåãðàëû f2 , . . . , fn ïåðåîáîçíà÷èìF2 , . . . , Fn . Ïóñòü ðîëü êîîðäèíàòû x1 èãðàåò ôóíêöèÿ F1 . Íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèO(ρ) îíà âêëþ÷àåòñÿ â òàêîé íàáîð êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò x1 , . . . , x2n , ÷òîãàìèëüòîíîâ ïîòîê ëþáîé ôóíêöèè (ëîêàëüíî) îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé1 ∂fẋ = − x1 ∂x2³ 1´ ∂f∂f∂f∂f ẋ2 = x11 ∂x1 − x221 x3 ∂x3 + x5 ∂x5 + . .
. + x2k−1 ∂x2k−1 ´³∂f∂f2ẋ=x−,2j+12j+1 ∂x2∂x2j+2x21∂f2ẋ2j+2 = x2 ∂x2j+1(1 ≤ j ≤ n − 1) .1Ïðè ýòîì äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ O(ρ)∩Θ êîîðäèíàòû x ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáûèìåëî ìåñòî x(y) = 0. Òîãäà â òî÷êå y èìååò ìåñòî:00 ...2sgrad(x1 Fα /2) = − ∂Fα ∂x2j+2 ∂Fα ∂x2j+1...,2sgrad(x1 /2) = 01 ... .0 0 ...Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíûå ïîëÿ vα = sgrad(x21 Fα /2) è v1 = sgrad(x21 /2) êîððåêòíîîïðåäåëåíû è, â ñîâîêóïíîñòè, ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà O(ρ).  ëþáîé òî÷êå ýòè ïîëÿêàñàþòñÿ ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íåå ãèïåðïîâåðõíîñòè F1 = const. Ïîñêîëüêó êàæäîå èçíèõ ñîõðàíÿåò ôóíêöèþ x1 = F1 |O(ρ) , ïîëÿ êîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé.  ëþáîé òî÷êåìíîæåñòâà O(ρ) ýòè ïîëÿ êàñàþòñÿ ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç íåå òîðà Ëèóâèëëÿ. ßñíî, ÷òîíà O(ρ) ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû (x1 , θ1 , F2 , θ2 , .
. . , Fα , θα , . . . , Fn , θn ), îòíîñèòåëüíîêîòîðûõ êàæäàÿ êîîðäèíàòíàÿ ëèíèÿ θs â êàæäîé òî÷êå èìååò âåêòîð ñêîðîñòè vs ,ãäå 1 ≤ s ≤ n. Äàëåå,¢¡∂x1 x21 ∂Fα+,ω ∂/∂Fs , vα = x1 Fα∂Fs2 ∂Fs¢¡∂x1ω ∂/∂Fs , v1 = x1.∂FsÍà ëþáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè x1 = const ïðè 1 < α, β ≤ n¢¡dµ ∂/∂Fβ , v1 = 0 ,¢¡dµ ∂/∂Fβ , vα = δβα ,141ãäå (â ñèëó ëåììû 1 § 3.1) ôîðìà dµ íà ìíîæåñòâå O(ρ) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìω = d(F12 µ/2) = F1 dF1 ∧ µ + F12 dµ/2 = x1 dx1 ∧ µ +x21dµ .2Åñëè x1 6= 0, òî dµ(v1 , vα ) = 0 â ñèëó òîãî, ÷òî âñå ïîëÿ v1 , vα ïîïàðíîêîñîîðòîãîíàëüíû îòíîñèòåëüíî ω è íà êàæäîì èç íèõ dx1 ≡ 0. Åñëè x1 = 0, òîdµ(v1 , vα ) = 0 ïî íåïðåðûâíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, â êîîðäèíàòàõ (θ1 , F2 , θ2 , . . . , Fn , θn )íà ãèïåðïîâåðõíîñòè x1 = const èìååò ìåñòîdµ =nXdFα ∧ dθα .α=2Äàëüøå, ïîâòîðÿÿ øàãè äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 4 ((3.16), (3.17), (3.18)), äëÿíåêîòîðîé ôóíêöèè f (x1 , θ1 , F2 , θ2 , . . . , Fn , θn ) èìååìn³X´nx21 Xω = x1 dx1 ∧Fα dθα + df +dFα ∧ dθα .2 α=2α=2Èç óñëîâèÿ êîíòàêòíîñòè òî÷êè ρ ñëåäóåò, ÷òî ∂f /∂θ1 (ρ) 6= 0.
Çàìåíÿÿ êîîðäèíàòóθ1 ôóíêöèåé f , ïðèâîäèì ôîðìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäón³ x2 ¡X¢´1ω=ddf +Fα dθα .2α=2Îòñþäà ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû 5 ïðè k = n .Ïóñòü 1 ≤ k < n. Âûáåðåì ëþáîå z - ðàñïðåäåëåíèå Z íà ìíîæåñòâå O(ρ)(îïðåäåëåíèå 2 § 3.2). Òîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ 2k - ìåðíûì, èíòåãðèðóåìûì, è â êàæäîéòî÷êå y ∈ O(ρ) ∩ Θ ïëîñêîñòü Zy ñîâïàäàåò ñ Zy . Äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ O(ρ)îáîçíà÷èì Zx2k ñîäåðæàùåå åå ïîäìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ (ìàêñèìàëüíûì)èíòåãðàëüíûì äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Z íà O(ρ).
Êàæäûé òîð Ëèóâèëëÿ, âëîæåííûéâ Θ è ïåðåñåêàþùèé ïðîèçâîëüíîå Zx2k , ïåðåñåêàåòñÿ ñ íèì ïî k - ìåðíîìóïîäìíîãîîáðàçèþ. Ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ òåîðåìû è ïðåäëîæåíèÿ 13. Îäíàêîòîð Ëèóâèëëÿ T n ⊂ M \ Θ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ïåðåñåêàòüñÿ ñ íåêîòîðûì Zx2kïî ìíîãîîáðàçèþ ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè (íî íå áîëüøåé, åñëè îêðåñòíîñòü O(ρ)äîñòàòî÷íî ìàëà). Ðàñïðåäåëåíèå Z ìîæíî ïîñòðîèòü òàê, ÷òîáû ïðè óõîäå òîðàñ ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ ðàçìåðíîñòü åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ëþáûì Zx2k íå óìåíüøàëàñü.Ëåììà 6 Âáëèçè òî÷êè ρ ñóùåñòâóåò òàêîå z - ðàñïðåäåëåíèå Z , ÷òî êàæäîååãî 2k - ìåðíîå, èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ïåðåñåêàåòñÿ ïî k - ìåðíîìóìíîãîîáðàçèþ ñ ëþáûì òîðîì Ëèóâèëëÿ, ñ êîòîðûì ýòî ïîäìíîãîîáðàçèå èìååòíåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.142Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì â îêðåñòíîñòè ρ âñïîìîãàòåëüíûå êîîðäèíàòû x1 =F1 |O(ρ) , z2 , .
. . , z2n , òàê ÷òî ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ρ êîîðäèíàòíûå ëèíèè zn+1 , . . . , z2nëåæàò íà òîðå T0n , ëèíèè z2 , . . . , zk êàñàþòñÿ êîíòàêòíîé ïëîñêîñòè Πρ , à ëèíèÿ x1êàñàåòñÿ ÿäðà Zρ . Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ êîîðäèíàò âûòåêàåò èç ïðèâåäåííûõ âûøåðàññóæäåíèé î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè òîðà è ÿäåð ôîðìû.
Òîãäà ìàòðèöà ßêîáèôóíêöèé F1 , f2 , . . . , fn â òî÷êå ρ âûãëÿäèò òàê:10 ... 00... 00∂f2∂f2 ∂f2 ∂f2 . . . ∂f2. . . ∂z0 ∂x1 ∂z2∂zk∂zk+1n ... ... ... ... ... ... ... ...∂fn∂fn∂fnnn. . . ∂f0. . . ∂f∂x1∂z2∂zk∂zk+1∂zn...00 .... ... ... 0...Ïîñêîëüêó ðàíã ìàòðèöû ßêîáè ìàêñèìàëåí, òî ñòîëáöû ñ íîìåðàìè îò 2 äîk ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ÷òî âëå÷åò çà ñîáîé ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íåêîòîðûõêîâåêòîðîâµ∂fj1∂fj1, ...,∂z2∂zk¶µ,...,∂fjk−1∂fjk−1, ...,∂z2∂zk¶.Ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíåíî dfjs (Πρ ) 6= 0, ãäå 1 ≤ s ≤ k − 1. Ïåðåíóìåðóåì èíòåãðàëûfjs è îáîçíà÷èì èõ F2 ,.
. . , Fk .Èç (3.26) ñëåäóåò, ÷òî ïîëÿ v1 = sgrad(x21 /2) è vα = sgrad(x21 Fα /2) êîððåêòíîîïðåäåëåíû è ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà âñåé îêðåñòíîñòè O(ρ), ãäå 2 ≤ α ≤ k .Äîêàçàòåëüñòâî âïîëíå àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ k = n, êîòîðûé áûë ðàññìîòðåí âûøå.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîïàðíî êîììóòèðóþùèå ïîëÿ v1 , vα ïîðîæäàþò k - ìåðíîå,èíòåãðèðóåìîå ðàñïðåäåëåíèå ζ , êîòîðîå ìû ñ÷èòàåì çàäàííûì íà ìíîæåñòâå O(ρ).Êàæäîå èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ζ âëîæåíî â íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ,ïîñêîëüêó ïîëÿ v1 , vα êàñàþòñÿ òîðîâ. Äëÿ ëþáîãî y ∈ Θ ∩ O(ρ) èìååì ζy ⊂ Zy .Ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå èñêîìîãî z - ðàñïðåäåëåíèÿ.
Âûáåðåì è çàôèêñèðóåìêàêóþ-íèáóäü ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòüP 2n−1−k ⊂ Θ ∩ O(ρ) ,êîòîðàÿ ñ êàæäûì òîðîì Ëèóâèëëÿ T n (åñëè ïåðåñå÷åíèå ñ íèì íåïóñòî) ïåðåñåêàåòñÿïî n − k ìåðíîìó ìíîãîîáðàçèþ. Ïóñòü îíî èìååò òðàíñâåðñàëüíîå â T n ïåðåñå÷åíèåñ êàæäûì ìíîãîîáðàçèåì Zy2k ∩ T n 6= ∅ (âáëèçè òî÷êè ρ ∈ P 2n−1−k ). Çàìåòèì,÷òî ïðè y ∈ Θ ∩ O(ρ) ïîäìíîãîáðàçèÿ âèäà Zy2k ∩ Θ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëüíûìè äëÿðàñïðåäåëåíèÿ 2k − 1 ìåðíûõ ïëîñêîñòåé Zy ∩ Ty Θ è, ïî óñëîâèþ òåîðåìû, îíè èìåþòòîëüêî k - ìåðíûå ïåðåñå÷åíèÿ ñ òîðàìè Ëèóâèëëÿ T n ⊂ Θ.143Âûáåðåì ëþáîå âåêòîðíîå ïîëå w íà O(ρ) ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ êàæäîãîy ∈ Θ ∩ O(ρ) âåêòîð wy òðàíñâåðñàëåí Θ è wy ∈ Zy . Ïîâåðõíîñòü P 2n−1−k ,äðåéôóþùàÿ â ïîòîêå w, çàìåòàåò 2n − k ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ìûîáîçíà÷èì Q2n−k .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîO(ρ) =[ζak ,a∈Q2n−kãäå ζak åñòü èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ζ , ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó a.e.Òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü èñêîìîå z - ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èì ZCíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî ëþáîå èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå N 2k−1 ðàñïðåäåëåíèÿy 7−→ Zy ∩ Ty Θ, èìåþùåå âáëèçè òî÷êè ρ íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ ïîâåðõíîñòüþP 2n−1−k , ïåðåñåêàåòñÿ ñ íåé ïî ìíîãîîáðàçèþ ðàçìåðíîñòè k − 1 (ò.å.
òðàíñâåðñàëüíîâ Θ). Äåëî â òîì, ÷òî Tρ P 2n−1−k + Tρ N 2k−1 ⊂ Tρ Θ âëå÷åò(2n − 1 − k) + (2k − 1) − dim Tρ P 2n−1−k ∩ Tρ N 2k−1 ≤ 2n − 1,ò.å. dim Tρ P 2n−1−k ∩ Tρ N 2k−1 ≥ k − 1. Íî ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà áûòü íå ìîæåò,ïîñêîëüêó Tρ P 2n−1−k ∩ ζρ = 0, à k - ìåðíàÿ ïëîñêîñòü ζρ = Tρ T0n ∩ Zρ ëåæèò â Tρ Θ(ïîëó÷èëîñü áû ïðîòèâîðå÷èå ñ dim Zρ ∩ Tρ Θ = 2k − 1).Ïóñòü W k åñòü ïîäìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ïîâåðõíîñòü P 2n−1−k ∩ N 2k−1 çàìåòàåòâ ïîòîêå w, èZe2k (N 2k−1 ) =[ζak .a∈W ke2k (N 2k−1 )Âàðüèðóÿ N 2k−1 ïîëó÷èì ñëîåíèå O(ρ) íà èíòåãðàëüíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Ze.
Óñëîâèå Zey = Zy ïðè ëþáîì y ∈ O(ρ) ∩ Θ âûïîëíåíî âèñêîìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Zñèëó òîãî, ÷òî: ïðè y ∈ P 2n−1−k èìååò ìåñòî dim Zy ∩ Ty Q2n−k = k (ïî ïîñòðîåíèþ); ïëîñêîñòü ζy = Ty ζyk äîïîëíÿåò Zy ∩ Ty Q2n−k â ïîäïðîñòðàíñòâå Zy ; ëîêàëüíîå äåéñòâèå ãðóïïû Rk (ïîòîêè v1 , vα ) ñîõðàíÿåò ïîëå ÿäåð ω .e2k (N 2k−1 ) ïåðåñåêàåòñÿ ñ òîðîì Ëèóâèëëÿ T n âÅñëè ïîäìíîãîîáðàçèå Zíåêîòîðîé òî÷êå x, òî â ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷èì k - ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå â ñèëó òîãî,e2k (N 2k−1 ), à îíà íåîáõîäèìî âëîæåíà â T n .÷òî x ëåæèò â íåêîòîðîé îðáèòå ζak ⊂ ZÈòàê, ìû îïðåäåëèëè èñêîìîå z - ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå â äàëüíåéøåìîáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé Z (áåç âîëíû).
Êàæäîå åãî 2k - ìåðíîå, èíòåãðàëüíîåïîäìíîãîîáðàçèå ïåðåñåêàåòñÿ ïî k - ìåðíîìó ìíîãîîáðàçèþ ñ ëþáûì òîðîìËèóâèëëÿ, ñ êîòîðûì èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå. Ëåììà 6 äîêàçàíà 2. äàëüíåéøåì áóäåò èñïîëüçîâàíà ñëåäóþùàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ.144Îïðåäåëåíèå 8 Ïóñòü 1 ≤ m < n è â íåêîòîðîå ìíîãîîáðàçèå M 2n âëîæåí 2-äèñêD02 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïðåäåëåíû cåìåéñòâà© 2ªD1 (x1 ) x1 ,© 2ªD2 (x2 ) x2 ,© 2ªDj (xj ) x ,...,j...,© 2ªDm (xm ) xm2-äèñêîâ Dj2 (xj ), âëîæåííûõ â M 2n è ãëàäêî çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðîâ xj . Ïðè ýòîìêàæäûé ïàðàìåòð xj ïðîáåãàåò ìíîæåñòâîD2j =[©ª22Dj−1(xj−1 ) : x1 ∈ D02 , x2 ∈ D12 (x1 ) , . . . , xj−1 ∈ Dj−2(xj−2 ) ,2(xj−1 ) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì äèñêà Dj2 (xj ), ãäå 1 ≤ j ≤ m.è êàæäàÿ òî÷êà xj ∈ Dj−1Åñëè xj 6= x0j , òî äèñêè Dj2 (xj ) è Dj2 (x0j ) íå ïåðåñåêàþòñÿ.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå,÷òî äëÿ ëþáîãî j ìíîæåñòâî D2j ÿâëÿåòñÿ âëîæåííûì, 2j - ìåðíûì äèñêîì, è∀xj ∈ D2jTxj Dj2 (xj ) ∩ Txj D2j = 0,Dj2 (xj ) ∩ D2j = {xj } .Òîãäà íàáîð îòîáðàæåíèéD02 = D2 3 x1 7−→ D12 (x1 ) ,...,...,D2j 3 xj 7−→ Dj2 (xj ) , . . .2D2m 3 xm 7−→ Dm(xm )©ªíàçîâåì D2 èåðàðõèåé ãëóáèíû m.
Ïðè ýòîì ñåìåéñòâî Dj2 (xj ) x íàçûâàåòñÿ jj- ì óðîâíåì, à D02 íàçûâàåòñÿ ñòàðøèì äèñêîì äàííîé D2 èåðàðõèè.Åñëè ëþáûå äâà ïîäìíîãîîáðàçèÿ V è W ïåðåñåêàþòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå xè Tx V ∩ Tx W = 0, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî V è W íîðìàëüíû (ïî îòíîøåíèþ äðóã êäðóãó), èëè ÷òî îíè íîðìàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå x.Åñëè÷åðåçêàæäóþòî÷êóèíòåãðàëüíîãîìíîãîîáðàçèÿZρ2kïðîâåñòèìàêñèìàëüíûé êóñîê òîðà Ëèóâèëëÿ, ëåæàùèé â ìíîæåñòâå O(ρ), òî ïîëó÷èòñÿ n + kìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå Vρn+k .
Çàôèêñèðóåì â íåì ëþáîé ìàëûé îòðåçîê D1 (ρ) ñöåíòðîì ρ, âëîæåííûé â T0n ∩ O(ρ), òàê ÷òîTρ D1 (ρ) ∩ Zρ = 0 ,ãäå Zρ = Tρ Zρ2k .Çàòåì âêëþ÷èì D1 (ρ) â ãëàäêîå, 1-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî àíàëîãè÷íûõ îòðåçêîâD1 (y), âëîæåííûõ â ïîäìíîãîîáðàçèÿ Vyn+k (è â òîðû Ëèóâèëëÿ!), ãäå òî÷êà yïðîáåãàåò ïðîèçâîëüíûé ãëàäêèé îòðåçîê I ñ öåíòðîì ρ, êîòîðûé íîðìàëåí Vρn+kâ òî÷êå ρ. Ïîäìíîãîîáðàçèÿ Vyn+k îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî Vρn+k .Îòðåçêè D1 (y) çàìåòàþò ìàëûé äèñê D2 ⊂ O(ρ) c öåíòðîì ρ, êîòîðûé íîðìàëåíèíòåãðàëüíîìó ìíîãîîáðàçèþ Zρ2k . Èòàê, äèñê D2 ðàññëîåí íà îòðåçêè D1 (y), êàæäûé145èç êîòîðûõ âëîæåí â íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îòðåçêàìèè òîðàìè ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
