Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ïðè ýòîì ∂ 2k−3 F/∂x2k−36= 01135è, êàê ëåãêî ïîíÿòü, èç âñåõ ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà 2k − 3 òîëüêî ýòà îòëè÷íà îòíóëÿ. Òîæå ñàìîå èìååò ìåñòî â êîîðäèíàòàõ z, åñëè z1 (Θ ∩ O(ρ)) = 0 äëÿ íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè O(ρ) òî÷êè ρ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî z(ρ) = 0. Èñïîëüçóåì ôîðìóëóÒåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì:2nF(z) =X ∂ 2k−2 F(θz) z 2k−3 zj∂ 2k−3 F(0) z12k−31+,2k−32k−3(2k − 3)! j=1 ∂z1 ∂zj (2k − 2)!∂z10<θ<1.Èç ëåììû 3 è îïðåäåëåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî ïðè z → 0 ïôàôôèàí P f (ωz ) èìååò ïîðÿäîêz12k−1 . Îòñþäà, âû÷èñëÿÿ ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå sgrad(f ) â òî÷êå ρ, ïîëó÷èì:¸··¸F(z)F(z)= limlim [sgrad(f )(y)]+ = lim=Θ63y→ρz→0, z1 6=0 P f (ωz )z→0, z1 6=0 z 2k−1+1+· µ¶¸1 F(z)= lim= sgrad∞ (f )(ρ) .z→0, z1 6=0 z12z12k−3 +Ïðè z → 0 âåêòîð F(z)/z12k−3 ñòðåìèòñÿ ê âåêòîðó ∂ 2k−3 F(0)/∂z12k−3 , êîòîðûé çàäàåòíåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå sgrad(f ) â òî÷êå ρ 2.Ïðèìåð 7.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1-ãî ïîðÿäêàµf∂u∂uu,,...,, q 1 , . . . , qn∂q1∂qn¶=0(n > 1)îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè u(q1 , . . . , qn ). ×àñòíûå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿÿâëÿþòñÿ ëåæàíäðîâûìè ïîäìíîãîîáðàçèÿìè â êîíòàêòíîì ïðîñòðàíñòâå 1-ñòðóéK = J 1 Rn =e R2n+1 ,ñíàáæåííîì êîíòàêòíîé ôîðìîé θ = du −Pipi dqi [4]. Ïîäíèìåì ôóíêöèþ f ñK =Ke 0 íà çàìêíóòóþ ñèìïëåêòèçàöèþ L. Òîãäà âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 6,è õàðàêòåðèñòèêè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëüíûìè êðèâûìè 1-ìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ, îáðàçîâàííîãî íåñîáñòâåííûìè ïðåäåëüíûìè ïîëîæåíèÿìè ïîëÿsgrad(f ) 2.Äàäèì ãåîìåòðè÷åñêîå òîëêîâàíèå 2k − 2 ìåðíûì ïîäïðîñòðàíñòâàì Πρ èçòåîðåìû 6. Íàïîìíèì, ÷òî îíè îïðåäåëÿþò êàíîíè÷åcêóþ êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó íàêàæäîì èíòåãðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè 2k − 1 ìåðíîãî, èíòåãðèðóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,êîòîðîå ÿäðà ôîðìû ω âûñåêàþò íà îñîáîé ïîâåðõíîñòè Θ.
Ïóñòü χ å ñòüëþáàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U êîíòàêòíîé òî÷êè ρ ∈ Θ,óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿìχ(S) = 0,dρ χ 6= 0 ∀ρ ∈ S,136S =U ∩Θ .Ïðîèçâîëüíîå, íåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå R+ v ⊂ Tρ M ïîëÿ sgrad(f ) âòî÷êå ρ îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ yn 6∈ Θ, yn → ρ, òàê ÷òîlim [sgrad(f )(yn )]+ = [v]+ ,n→∞v 6= 0,lim |sgrad(f )(yn )| = +∞ ,n→∞ãäå | · | îáîçíà÷àåò äëèíó âåêòîðà â ïðîèçâîëüíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå. Ïîñëåäíååóñëîâèå de facto îçíà÷àåò îáðàùåíèå â áåñêîíå÷íîñòü õîòÿ áû îäíîé èç êîîðäèíàòâåêòîðà sgrad(f ) â òî÷êå ρ. Èç (3.26) âèäíî, ÷òî ñóøåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåëlim χ2 (yn ) · sgrad(f )(yn ) = v ,n→∞êîòîðûé îòëè÷åí îò íóëÿ åñëè è òîëüêî åñëè îòëè÷íà îò íóëÿ õîòÿ áû îäíà èç âåëè÷èí∂f /∂xj â òî÷êå ρ, ãäå 3 ≤ j ≤ 2n, ò.å.
ïðè óñëîâèè df (Πρ ) 6= 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àåv = 0 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü |sgrad(f )(yn )| ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîðÿäêàíèæå χ−2 (yn ) èëè äàæå îãðàíè÷åííîé. Ïîäâåäåì èòîã íàøèõ ðàññóæäåíèé.Ïðåäëîæåíèå 10  êîíòàêòíîé òî÷êå ρ ∈ Θ, â êîòîðîé dim Zρ > 2,ïðîñòðàíñòâîΠρíàòÿíóòîíàíåñîáñòâåííûåïðåäåëüíûåïîëîæåíèÿâñåâîçìîæíûõ êîñûõ ãðàäèåíòîâ, ÿâëÿþùèõñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè ïîðÿäêàχ−2 ïðèy → ρ,y 6∈ Θ, ãäå χ åñòü ðàññòîÿíèå äî îñîáîé ïîâåðõíîñòè Θ âïðîèçâîëüíîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå (çàäàííîé íà M èëè âáëèçè òî÷êè ρ).Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè îáùåãî ïîëîæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþdf (Zρ ∩ Tρ Θ) = 0ðàçâå ëèøü â òî÷êàõ ïîäìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû â Θ.
Äëÿ ýòèõ ôóíêöèé òåîðåìà6 äàåò èñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ïîâåäåíèÿ ïîòîêà sgrad(f ) â îñîáûõ òî÷êàõ,ñîñòàâëÿþùèõ ïëîòíîå è îòêðûòîå â Θ ïîäìíîæåñòâî. Òàêîå ïîâåäåíèå ïîòîêà,ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íûì.  îêðåñòíîñòè êîíòàêòíîé òî÷êè, â êîòîðîédim Ker(ω) > 2, òèïè÷íûé ïîòîê sgrad(f ) èìååò ãëàäêîå ïîëå íàïðàâëåíèé è ñáåñêîíå÷íî áîëüøîé ñêîðîñòüþ îáòåêàåò ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ.Ïðåäëîæåíèå 11 Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè c îñîáåííîñòÿìè M ,âñå îñîáûå òî÷êè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ êîíòàêòíûìè, çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k > 1 â êàæäîé òî÷êå x ∈ Θ èìååò ìåñòîdim Zx = 2k è df (Πx ) = 0.Òîãäà ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà íà èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ 2k − 1 ìåðíîãî,èíòåãðèðóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿZ0 : Θ 3 x 7−→ Zx ∩ Tx Θ .137Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 1 § 1.2 ðàñïðåäåëåíèå Z0 äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿèíòåãðèðóåìûì.
Òàê êàê df (Πx ) = 0 â òî÷êå x ∈ Θ, òî Πx ⊂ Hx (f ), ñëåäîâàòåëüíîΠx ⊂ Hx (f ) ∩ Zx ∩ Tx Θ = Px .Çàìåòèì, ÷òî Zx ∩ Tx Θ åñòü êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü Tx Sx ê èíòåãðàëüíîìóìíîãîîáðàçèþ Sx ðàñïðåäåëåíèÿ Z0 , ïðîõîäÿùåìó ÷åðåç òî÷êó x.Åñëèdf (Tx Sx ) 6= 0,òîdim Px = 2k − 2,Πx = Px .Òîãäà ýòî èìååò ìåñòî â êàæäîé îñîáîé òî÷êå y , äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê x.Ñëåäîâàòåëüíî Πy ýòî êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè ê 2k − 2 ìåðíûì ïîäìíîãîîáðàçèÿì,êîòîðûåÿâëÿþòñÿïîâåðõíîñòÿìèòðàíñâåðñàëüíûìèóðîâíÿôóíêöèèf.ïåðåñå÷åíèÿìèÝòîìíîãîîáðàçèéïðîòèâîðå÷èòSyñíåèíòåãðèðóåìîñòèðàñïðåäåëåíèÿ y 7−→ Πy . Èòàê df (Zx ∩ Tx Θ) = 0 â êàæäîé òî÷êå x ∈ Θ 2.Ñëåäñòâèå 7 Åñëè â óñëîâèÿõ ïðåäëîæåíèÿ 11 èìååò ìåñòî dim M = dim Zx ,òî óñëîâèþdf (Πx ) ≡ 0 óäîâëåòâîðÿþò òå è òîëüêî òå ôóíêöèè f , êîòîðûåïîñòîÿííû íà ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ.Ðàññìîòðèìâîïðîñîïðåäåëüíîìïîâåäåíèèêîñûõãðàäèåíòîâòàêèõ"íåïðàâèëüíûõ" ôóíêöèé.
 òèïè÷íîì ñëó÷àå îíî òàêæå îêàçûâàåòñÿ "ïðàâèëüíûì".Ïðåäëîæåíèå 12 Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f , â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U êîíòàêòíîéòî÷êè ρ óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ∀y ∈ U ∩ Θdf (Πy ) = 0,df (Zy ) 6= 0,íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(ρ) ⊂ U îïðåäåëåíî òàêîå ãëàäêîå ïîëå ïðÿìûõ ly , ÷òîsgrad∞± (f ) ⊂ lyly = [sgrad(f )(y)] ∀y ∈ O(ρ) \ Θ,∀y ∈ O(ρ) ∩ Θ .Êàæäîå èç ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé sgrad∞± (f ) èìååò êâàçè-ïîðÿäîê 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèþ χ (ðàññòîÿíèå äî Θ) ìîæíî ïðèíÿòü çà x1 .
Óìíîæèìïîëå (3.26) íà x1 è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∂f /∂x2 = 0 â êàæäîé òî÷êåy ∈ U ∩ Θ, ïîëó÷èì èñêîìûå ïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ¶µ∂ 2f∂ 2f∂ 2f∂ 2f∂f, −2, 2, . . . , −2, 2, 0, . . . , 0 2.± 0,∂x1∂x4 ∂x1 ∂x3 ∂x1∂x2k ∂x1 ∂x2k−1 ∂x1138Ïðè óñëîâèÿõ ïðåäëîæåíèÿ 12, â øàðîâîé îêðåñòíîñòè ρ ïîòîê sgrad(f )ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ îáòåêàåò ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ â äâóõ âñòðå÷íûõíàïðàâëåíèÿõ, (ëîêàëüíî) îòâå÷àþùèõ äâóì ñòîðîíàì Θ.Äëÿ ôóíêöèé, íå óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òåîðåìû 6 è ïðåäëîæåíèÿ 12,ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ïîëÿ sgrad(f ) â êîíòàêòíîé òî÷êå ρ ìîæåò áûòü õàîòè÷íûì. ñëó÷àå dim Zρ = 2 òèïè÷íàÿ ñèòóàöèÿ òàêîãî õàîñà îïèñàíà â ïðåäëîæåíèè 2 § 1.2(ñì.
òàêæå ïðèìåð 2 ê ïðåäëîæåíèþ 2).Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå dim Zρ = 2 ïðè df (Zρ ) 6= 0 óñëîâèå êîíòàêòíîñòèòî÷êè ρ íå òðåáóåòñÿ (òåîðåìà 4 § 1.2), è äàæå çàìêíóòîñòü ôîðìû ω ìîæåò íåèìåòü ìåñòà. Òîãäà â øàðîâîé îêðåñòíîñòè òî÷êè ρ ïîòîê sgrad(f ) ñ áåñêîíå÷íîéñêîðîñòüþ îáòåêàåò ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ â äâóõ âñòðå÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ, (ëîêàëüíî)îòâå÷àþùèõ äâóì ñòîðîíàì Θ (ñëåäñòâèå 1, § 1.2).3.3.2. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.Âåðíåìñÿ ê èíòåãðèðóåìûì ãàìèëüòîíîâûì ñèñòåìàì íà ñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòÿìè. Ïðè óñëîâèè êîíòàêòíîñòè âûðîæäåíèé ôîðìûω â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, áëèçêèå ê êëàññè÷åñêîé òåîðåìåËèóâèëëÿ.Ïðåäëîæåíèå 13 Ïóñòü(M 2n , ω)åñòüñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèåñîñîáåííîñòüþ.
Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî, ñâÿçíîãî, n - ìåðíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿS ⊂ Θ ôîðìà ω|S ðàâíà íóëþ, òî∀y ∈ S ,dim Ty S ∩ Zy ≥ k =1dim Zy .2Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ρ ∈ S è dim Tρ S ∩Zρ = s. Âûáåðåì òàêîé áàçèñ e1 , . . . , e2nïðîñòðàíñòâà Tρ M 2n , ÷òî âåêòîðû e1 , . . . , e2k ëåæàò â Zρ , à âåêòîðû e2k+1 , . .
. , e2k+n−sëåæàò â Tρ S \ Zρ .  ýòîì áàçèñå ìàòðèöà ω ñîñòîèò èç íóëåé, çà èñêëþ÷åíèåì ïðàâîéíèæíåé ïîäìàòðèöû ðàçìåðà (2n − 2k) × (2n − 2k). Ýòà ïîäìàòðèöà, â ñâîþ î÷åðåäü,â ëåâîì-âåðõíåì óãëó èìååò íóëåâóþ ïîäìàòðèöó ðàçìåðà (n − s) × (n − s) è ÿâëÿåòñÿíåâûðîæäåííîé. Ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî, åñëè n − s > n − k , ñëåäîâàòåëüíî s ≥ k 2.Ðàçìåðíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâà Tρ T0n ∩ Zρ ìîæåò áûòü áîëüøå k , íî îíà íå ìîæåòáûòü ìåíüøå k (ïðåäëîæåíèå 13).
Ïðè ëþáîì, äîñòàòî÷íîì ìàëîì ñìåùåíèè òî÷êèρ ∈ T0n ÷èñëî dim Tρ S ∩ Zρ íå ìîæåò óâåëè÷èòüñÿ. Ïîýòîìó â òåîðåìå 7 îïèñàí ñëó÷àéîáùåãî ïîëîæåíèÿ. Ñëåäóÿ ðàáîòå [59], óäîáíî îïðåäåëèòü èíòåãðèðóåìóþ ñèñòåìó÷åðåç ïóàññîíîâî äåéñòâèå.139Òåîðåìà 7 Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòüþ (M 2n , ω)çàäàíû ãëàäêèå ôóíêöèè f1 , . . . , fn , îïðåäåëÿþùèå íåðåçîíàíñíîå, ïóàññîíîâîäåéñòâèå ãðóïïû Rn íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n \Θ, ω). Ïðåäïîëîæèì,÷òî îáðàç Θ îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F : M → Rn èìååò ìåðó íîëü,è íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ T0n ⊂ Θ ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõ òî÷åê y , â êîòîðûõdim Ty T0n ∩ Zy = k,dim Zy = 2k ≥ 2 .Òîãäà íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà T0n îïðåäåëåíû òàêèå ôóíêöèè F1 , .
. . , Fn ,ÿâëÿþùèåñÿ èíòåãðàëàìè íà U \ Θ, ÷òî Θ ∩ U = F1−1 (0) è êîâåêòîðû dF1 , . . . , dFn£¤ëèíåéíî íåçàâèñèìû íà U . Ïðè ýòîì ïîëå ïðÿìûõ sgrad(F1 ) , ïîëÿ íàïðàâëåíèé[sgrad(Fα )]+ è âåêòîðíûå ïîëÿ sgrad(Fi ) ãëàäêî ïðîäîëæàþòñÿ ñ U \ Θ íà âñåìíîæåñòâî U , ãäå 2 ≤ α ≤ k è k + 1 ≤ i ≤ n. Äëÿ ëþáîãî òîðà ËèóâèëëÿT n ⊂ U ∩ Θ â êàæäîé òî÷êå ρ ∈ T n èìååò ìåñòî¡¢ £¤Tρ T n = Zρ ∩ Tρ T n ⊕ sgrad(Fk+1 )(ρ), . .
. , sgrad(Fn )(ρ) ,£¤∞∞Zρ ∩ Tρ T n = sgrad∞± (F1 )(ρ), sgrad (F2 )(ρ), . . . , sgrad (Fk )(ρ) .Ïðè ýòîì èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëåé sgrad(Fi ) è èíòåãðàëüíûå êðèâû壤ðàñïðåäåëåíèésgrad∞[sgrad∞ (Fα )] ÿâëÿþòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêèìè± (F1 ) ,îáìîòêàìè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ óãëîâûõ êîîðäèíàò, ãëàäêî çàâèñÿùèõîò òîðà T n ⊂ U ; ïðè k > 1 â êàæäîé òî÷êå ρ ∈ T n èìååò ìåñòΠρ ∩ Tρ T n = sgrad∞ (F2 )(ρ), . .
. , sgrad∞ (Fk )(ρ) ,ãäå Πρ åñòü ïëîñêîñòü êàíîíè÷åñêîé êîíòàêòíîé ñòðóêòóðû íà ëþáîì,ïðîõîäÿùåì ÷åðåç òî÷êó ρ èíòåãðàëüíîì ìíîãîîáðàçèè èíòåãðèðóåìîãî, 2k − 1ìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ y 7−→ Zy ∩ Ty Θ, îïðåäåëåííîãî íà ãèïåðïîâåðõíîñòè U ∩ Θ.Èíòåãðàëû Fi ìîãóò áûòü ÿâíî âûðàæåíû ôîðìóëàìè (3.27), è â ýòîì ñëó÷àåâñå èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëåé sgrad(Fi ) ÿâëÿþòñÿ 2π - ïåðèîäè÷åñêèìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà T0n ñóùåñòâóåò èíòåãðàëF1 , êîòîðûé ðàâåí íóëþ è èìååò íåíóëåâîé äèôôåðåíöèàë â êàæäîé òî÷êå U ∩ Θ(ïðåäëîæåíèå 4 § 2.2).
Îäíó èç ôóíêöèé f1 , . . . , fn çàìåíèì íà F1 , à îñòàëüíûåïåðåíóìåðóåì òàê, ÷òî íàáîð íåçàâèñèìûõ íà U , êîììóòèðóþùèõ èíòåãðàëîâ òåïåðüèìååò âèä F1 , f2 , . . . , fn .Ëåììà 5 Íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(ρ) òî÷êè ρ ∈ T0n ñóùåñòâóþò íàáîðíåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ F1 , . . . , Fn , ôóíêöèîíàëüíî âûðàæàþùèõñÿ ÷åðåç f1 , . . . , fn ,140è òàêèå êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû (x, p, q) ∈ R2k × Rn−k × Rn−k , ÷òî:x1 = F1 |O(ρ) ,pi−k = Fi ,x2α−1 = Fα ,2 ≤ α ≤ k,k+1≤i≤n .Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
