Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 26
Текст из файла (страница 26)
êîíôîðìíîìó âðåìåíè, ïðèìåíÿåìîìó â êîñìîëîãèè. Ïðè ýòîì âñå îñòàëüíûåôàçîâûå êîîðäèíàòû, â òîì ÷èñëå ṫ = 2χχ̇ , îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïîïðîáóåì äàòüôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîé, ïîêà åùå ôîðìàëüíîé îïåðàöèè.Óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïðè t > 0 âûãëÿäÿò òàê:ẗ =¡ 2¢¢k ¡2222−sinψθ̇+sinθϕ̇−ψ̇,2c2ψ̈ =¢ ψ̇ ṫsin 2ψ ¡ 2θ̇ + sin2 θϕ̇2 −,2t(3.23)θ̇ṫϕ̇2 sin 2θϕ̇ṫ− 2θ̇ψ̇ cot ψ −,ϕ̈ = −2ϕ̇θ̇ cot θ − 2ϕ̇ψ̇ cot ψ −,2ttãäå òî÷êè îáîçíà÷àþò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ïàðàìåòðó τ , êîòîðûé íà êàæäîéθ̈ =ãåîäåçè÷åñêîé îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîé. Ôóíêöèÿ H ÿâëÿåòñÿèíòåãðàëîì ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà, â ñèëó ÷åãî íà êàæäîé ãåîäåçè÷åñêîé òðàåêòîðèèäëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû h òîæäåñòâåííî¡¢c2 ṫ2 − kt ψ̇ 2 + sin2 ψ(θ̇2 + sin2 θϕ̇2 ) = 2h .Îòñþäà è èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (3.23) ñëåäóåò, ÷òî âäîëü òðàåêòîðèè òîæäåñòâåííî:2tẗ + ṫ2 − 2h/c2 = 0 .Ñîãëàñíî [18], ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èíòåãðèðóåòñÿ çàìåíîé ṫ = p(t), p2 (t) = u(t), âðåçóëüòàòå êîòîðîé íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:2htu̇(t) + u(t) − 2 = 0,c2h C4u= 2 +,ctṫ =√u=r2h C4+.c2tÏðè íà÷àëüíîì óñëîâèè t(0) = 0 ðåøåíèå ïîñëåäíåãî èç ýòèõ óðàâíåíèé:√c pc · C4C4√ln √τ=t(C4 + 2ht) +.3/22h(2h)C4 + 2ht + 2ht125Ïðè t → +0 çàìåíèì óðàâíåíèå ïðèáëèæåííûì ṫ =pC4 /t, îòêóäà:t = Ñ5 · τ 2/3 .(3.24)Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî íà ãèïåðïîâåðõíîñòè t = 0 îïðåäåëåíî ãëàäêîå ïîëåïðåäåëüíûõ ïðè t → +0, ôàçîâûõ íàïðàâëåíèé ãåîäåçè÷åñêîãî ïîòîêà.
Îòñþäà èèç (3.23) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïðè äîñòàòî÷íîìàëûõ t > 0 äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé:ψ̈ = −ψ̇ ṫ2= − ψ̇,t3τθ̈ = −θ̇ṫ2= − θ̇,t3τϕ̈ = −ϕ̇ṫ2= − ϕ̇ .t3τÇäåñü ìû èñïîëüçîâàëè ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî (3.24). Îòñþäàψ = aτ 1/3 + ψ0 ,θ = bτ 1/3 + θ0 ,ϕ = cτ 1/3 + ϕ0 .Çàäàâàÿ ïðè ëþáîì τ0 è äîñòàòî÷íî ìàëîì t0 > 0 íà÷àëüíûå óñëîâèÿψ(τ0 ), θ(τ0 ), ϕ(τ0 ), ψ̇(τ0 ), θ̇(τ0 ), ϕ̇(τ0 ) ,âûðàæàÿ C5 ÷åðåç (3.24), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ ïðèìàëîì t > 0 :√ψ = Ñ1 t + ψ 0 ,αC1 = √,C5βC2 = √,C5√θ = Ñ2 t + θ0 ,γC3 = √,C5√ϕ = Ñ3 t + ϕ 0 ,C5 = (3/2)2/3 · (C4 )1/3 · c−2/3 ,2/3ψ0 = ψ(τ0 ) − ατ02/3θ0 = θ(τ0 ) − βτ0α = 3ψ̇(τ0 )τ0 ,β = 3θ̇(τ0 )τ0 ,2/3γ = 3ϕ̇(τ0 )τ0 ,(3.25)1/31/31/3ϕ0 = ϕ(τ0 ) − γτ0.Ýòè ôîðìóëû äàþò ïðèåìëåìóþ òî÷íîñòü â ïåðèîäàõ âðåìåíè ìåæäó íåñêîëüêèìèïåðâûìè äíÿìè è íåñêîëüêèìè ïåðâûìè ìåñÿöàìè ïîñëå ìîìåíòà t = 0.Èç (3.25) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî â ïåðâûå ìåñÿöû ïîñëå Áîëüøîãîâçðûâà ñâîáîäíîå äâèæåíèå âñåõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áûëî ïðÿìîëèíåéíûì èïðîèñõîäèëî ñ óìåíüøàþùåéñÿ ñêîðîñòüþ èçìåíåíèÿ êîîðäèíàò ψ, θ, ϕ.
Ïðè t → +0ýòà ñêîðîñòü ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, îäíàêî íèêàêîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ñî ÑÒÎ íåâîçíèêàåò. Äåëî â òîì, ÷òî 3-ìåðíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîéòî÷êè â ãðàâèòàöèîíîì ïîëå, ò.å., âäîëü ãåîäåçè÷åñêîé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì:dl=v=dt√ ¡ 2¢1/2√ qkt dψ + sin2 ψ(dθ2 + sin2 θdϕ2 )= kt ψ̇ 2 + sin2 ψ(θ̇2 + sin2 θϕ̇2 ) ,dt126ãäå òî÷êà îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t. Èç (3.25) ñëåäóåò, ÷òî v êîíñòàíòà.Ïîýòîìó, åñëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ C1 , C2 , C3 âûáðàíû êîððåêòíî,òî v = const < c ïðè ëþáîì, äîñòàòî÷íî ìàëîì t > 0.
Ñëåäóåò ïîÿñíèòü, ÷òîãåîäåçè÷åñêèå ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè ëèøü â óãëîâûõ êîîðäèíàòàõ ñôåðû St3 , ñ êîòîðîéìû îòîæäåñòâëÿåì Ìèð â ìîìåíò âðåìåíè t. Îäíàêî, ïîñêîëüêó â ýòèõ êîîðäèíàòàõñâîáîäíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíûì, òî êîîðäèíàòûψ, θ, ϕ ìîæíî ñ÷èòàòü äåêàðòîâûìè. Âìåñòî âðåìåíè t ââåäåì ïåðåìåííóþ√χ= t,êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ðàäèóñó Âñåëåííîé R(t) è êîíôîðìíîìó âðåìåíè. Áóäåìñ÷èòàòü åå äîñòàòî÷íî ìàëîé. Èç (3.25) ñëåäóåò, ÷òî íà ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîéêîîðäèíàòû ψ, θ, ϕ ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè χ. Íàçîâåì χ âðåìåíåìïðîñìîòðà.Ðàññìîòðèì íàãëÿäíóþ ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà â íà÷àëå Áîëüøîãî âçðûâà, êîòîðàÿîòëè÷àåòñÿ îò ïðèâû÷íîãî îáðàçà ðàñøèðÿþùåéñÿ ñèíãóëÿðíîé òî÷êè.
Ðàññìîòðèìñòàíäàðòíóþ ñôåðó S 3 â ïðîñòðàíñòâå R4 . Ïðåäñòàâèì òåïåðü, ÷òî ýòà ñôåðàñóùåñòâóåò âíå âñÿêîãî îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà è ïîêà ëèøåíà ìåòðèêè.Ôîðìàëüíî ìû ïåðåõîäèì ê ìíîãîîáðàçèþ S 3 , íà êîòîðîì ïî÷òè âñþäó çàäàíûèñõîäíûå, óãëîâûå êîîðäèíàòû ψ, θ, ϕ. Íà îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ýòèõ êîîðäèíàòçàôèêñèðóåì åâêëèäîâó ìåòðèêó, êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé. Áóäåìñ÷èòàòü ñôåðó S 3 íåèçìåííî ñóùåñòâóþùåé âî âðåìåíè, òå÷åíèå êîòîðîãî èçìåðÿåòñÿïåðåìåííîéχ ∈ [0; ε)äëÿ íåêîòîðîãî, äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåìïëîñêîå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ S 3 × [0; ε) è âñå ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, îïðåäåëÿåìûååâêëèäîâîé ìåòðèêîé (ïî÷òè âñþäó) â S 3 , ñ÷èòàåì ïàðàìåòðèçîâàííûìè χ. Êàæäàÿèç ãåîäåçè÷åñêèõ, òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âèäàψ = Ñ1 χ + ψ 0 ,θ = Ñ2 χ + θ0 ,ϕ = Ñ3 χ + ϕ 0 ,√êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (3.25) çàìåíîé ïàðàìåòðà χ =t. Îñòàëîñü "îæèâèòü"ýòó ìîäåëü, êîòîðàÿ ôîðìàëüíî îïèñûâàåò ãåîìåòðèþ è ðàñïðåäåëåíèå ìàòåðèè âïðîñòðàíñòâå â íà÷àëüíîé ñòàäèè Áîëüøîãî âçðûâà.Ïðåäïîëîæèì,÷òîýâîëþöèþÂñåëåííîéôèêñèðóåòèçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè ÷àñòîòîé êàäðîâ n = n(t), ãäån0n(t) = √ ,2 t127âèäåîêàìåðàcè n0 åñòü îáû÷íàÿ äëÿ íàñ ÷àñòîòà êàäðîâ.
Ïðè ýòîì åäèíèöó èçìåðåíèÿ t ìû âûáåðåìòàê, ÷òîáû ñîâðåìåííîñòè îòâå÷àëî çíà÷åíèå t = 1/4. Òîãäà èìååì n(1/4) = n0 , ò.å.,ôàíòàñòè÷åñêàÿ ïî ñâîèì âîçìîæíîñòÿì êàìåðà ñíèìàåò Ìèð ñ íà÷àëà Áîëüøîãîâçðûâà äî íàøèõ äíåé, ïðè ýòîì 0 < t ≤ 1/4. Ñêîðîñòü ñúåìêè áåñêîíå÷íî âîçðàñòàåòïðè t → +0, íî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè t îíà óáûâàåò. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ýòà ñêîðîñòüîòâå÷àåò îáû÷íîìó çíà÷åíèþ n0 ÷àñòîòû êàäðîâ. Òîãäà çà ìàëîå âðåìÿ [t; t + dt]äàííàÿ êàìåðà ñäåëàåò N ñíèìêîâ, ãäån0n0N = n(t)dt = √ dχ2 = p 2χdχ = n0 dχ .2 t2 χ2Òàêèì îáðàçîì, ïðîñìàòðèâàÿ ïîëó÷åííóþ âèäåîçàïèñü ñ ÷àñòîòîé êàäðîâ n0 , çàâðåìÿ ïðîñìîòðà [χ; χ + dχ] ìû óâèäèì âñå êàäðû ðåàëüíûõ ñîáûòèé, êîòîðûåáûëè ñíÿòû â ïåðèîä âðåìåíè [t; t + dt].
Åñëè îí äîñòàòî÷íî áëèçîê ê íà÷àëóÁîëüøîãî âçðûâà, òî, ïðîñìàòðèâàåìûå â çàïèñè ñîáûòèÿ, íåçàâèñèìî îò èõôèçè÷åñêîé ïðèðîäû, âûãëÿäÿò ïðîèñõîäÿùèìè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. ßñíî,÷òî çàïîëíÿþùàÿ åãî â ýòî âðåìÿ ìàòåðèÿ âûãëÿäèò ðàñïðåäåëåííîé ðàâíîìåðíî èîäíîðîäíî.3.2.4. Êîíòàêòíî-ñâÿçíàÿ ñóììà.Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 6, ôîðìà ω êàíîíè÷åñêè îïðåäåëÿåò íà ìíîãîîáðàçèè Θêîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó ρ 7−→ Πρ (çäåñü ω = 0 â êàæäîé òî÷êå Θ). Ñîãëàñíîïðåäëîæåíèþ 10, 2n − 2 - ìåðíàÿ ïëîñêîñòü Πρ ⊂ Tρ Θ íàòÿíóòà íà ïðåäåëüíûåíàïðàâëåíèÿ âñåâîçìîæíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé sgrad(f ), ÿâëÿþùèõñÿ áåñêîíå÷íîáîëüøèìè ïîðÿäêà χ−2 ïðè χ → 0.
Ïðè ýòîì χ åñòü ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà (3.22)â îêðåñòíîñòè òî÷êè ρ. Êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà ìíîãîîáðàçèÿ Θ ëîêàëüíî çàäàåòñÿP1-ôîðìîé α = dx2 + j x2j−1 dx2j , ãäåk´´³ x2 ³X1dx2 +x2j−1 dx2j.ω=d2j=2Òàêèå êîîðäèíàòû x, ñóùåñòâóþùèå â ñèëó òåîðåìû 3, íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè.Ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0.  êà÷åñòâå ôóíêöèè χ âñåãäàìîæíî âûáðàòü êîîðäèíàòó x1 è îáðàòíî.Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèþ (êîíòàêòíî-ñâÿçíîé ñóììû), êîòîðàÿ ïðèâåäåò íàñê ìíîãîîáðàçèÿì ñ êîíòàêòíî-îáíóëÿþùèìèñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèìè ñòðóêòóðàìè, âöåëîì íå ÿâëÿþùèìñÿ S - ñèìïëåêòèçàöèÿìè.Ïóñòü F : M → N ãëàäêîå îòîáðàæåíèå 2n - ìåðíîãî, ñâÿçíîãî ìíîãîîáðàçèÿM â 2n - ìåðíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå (N, Ω), ãäå n > 1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî128äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè q0 ∈ N è íåêîòîðîé ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ ⊂ M èìååòìåñòî:1) rk(dp F ) = 2n â êàæäîé òî÷êå p ∈ M \ Θ ;2) F (Θ) = q0 ;3) rk(dp F ) = 1 â êàæäîé òî÷êå p ∈ Θ .Îòîáðàæåíèå F : M \ Θ → N \ {q0 } ÿâëÿåòñÿ íàêðûòèåì. Èç óñëîâèÿ 2)âûòåêàåò, ÷òî rk(dp F ) ≤ 1 â êàæäîé òî÷êå p ∈ Θ, ïîýòîìó óñëîâèå 3) âûäåëÿåòîòîáðàæåíèÿ îáùåãî ïîëîæåíèÿ èç òåõ, êîòîðûõ ïåðåâîäÿò ãèïåðïîâåðõíîñòü Θâ òî÷êó q0 . Ïðåäïîëàãàÿ âûïîëíåííûìè 1) è 2), ðàññìîòðèì çàìêíóòóþ 2-ôîðìóω = F ∗ (Ω) íà M . ßñíî, ÷òî ω = 0 â êàæäîé òî÷êå Θ. Ïóñòü F (p) = q è â îêðåñòíîñòÿõU , V òî÷åê p, q çàäàíû êîîðäèíàòû x, y .
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîP f (ωp ) = ±det(∂y/∂x)P f (Ωq ) .Îòñþäà ñëåäóåò íåâûðîæäåííîñòü ω íà M \ Θ.  ñèëó ëåììû 3 âñå ïðîèçâîäíûåôóíêöèè P f (ω)(x), ïîðÿäêîâ îò 0 äî 2n−2 âêëþ÷èòåëüíî, ðàâíû íóëþ íà U ∩Θ. Åñëèrk(dp F ) = 0, òî ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà U ∩ Θ ðàâíû íóëþ è âñå ïðîèçâîäíûå P f (ω)(x)ïîðÿäêà 2n − 1. Ïîñëåäíåå íåñîâìåñòèìî ñ êîíòàêòíîñòüþ òî÷êè p, ïîýòîìó óñëîâèå3) íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû ôîðìà ω ìîãëà èìåòü êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ.Ïîäâåäåì èòîã. Ëþáîå ãëàäêîå îòîáðàæåíèå ìíîãîîáðàçèÿ M â ñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèå N , ïåðåâîäÿùåå íåêîòîðóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ⊂ M â òî÷êó èÿâëÿþùååñÿ íàêðûòèåì íà M \ Θ, îïðåäåëÿåò íà M çàìêíóòóþ 2-ôîðìó ω , êîòîðàÿíåâûðîæäåíà íà M \ Θ è ðàâíà íóëþ íà Θ.
Òî÷êà p ∈ Θ ìîæåò áûòü êîíòàêòíîéòîëüêî â ñëó÷àå ìàêñèìàëüíîñòè ðàíãà dp F , ò.å. åñëè rk(dp F ) = 1.Ïóñòü 2n > 2. Ðàññìîòðèì øàð D2n ⊂ R2n , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîìx21 + . . . + x22n ≤ 1, è îòîáðàæåíèåF0 : S 2n−1 × [−1; 1] → D2n ,F0(s, t) 7−→st ,ãäå s ∈ S 2n−1 = ∂D2n è t ∈ [−1; 1]. Ââåäåì â R2n ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòûx1 = r cos θ1 cos θ2 . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
