Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ñëåäîâàòåëüíî èç òåõ, ÷òî èìåþò ïîðÿäîê 2k − 2, òîëüêîïðîèçâîäíàÿ ïî x1 ìîæåò áûòü îòëè÷íîé îò íóëÿ. Òîãäà âñå åå íåíóëåâûå ñëàãàåìûåÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè íà ∂ 2 f /∂x1 ∂xj ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà 2k − 3 îò (3.13) ïîx1 , ãäå i2 = 1. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå j > 1, îòêóäà ∂ 2 f /∂x1 ∂xj = 0.Äîêàçàíî, ÷òî âñå ïðîèçâîäíûå F(x) ïîðÿäêà îò 0 äî 2k − 2 ðàâíû íóëþ ïðèx1 = 0. Òîãäà èç ïðîèçâîäíûõ ïîðÿäêà 2k − 1 òîëüêî ∂ 2k−1 F/∂x2k−1ìîæåò áûòü1îòëè÷íîé îò íóëÿ. Èñïîëüçóÿ ëåììó 3, ïîëó÷èì êîíå÷íûå ðÿäû Òåéëîðà:2nX ∂ 2k F(µx) x2k−1 xj∂ 2k−1 F(0) x2k−111F(x) =+,2k−1 (2k − 1)!2k−1(2k)!∂x1∂x∂xj1j=12nP f (ω)(x) =X ∂ 2k P f (ω)(ηx) x2k−1 xj∂ 2k−1 P f (ω)(0) x2k−111+,2k−12k−1(2k−1)!(2k)!∂x1∂x∂xj1j=1äëÿ íåêîòîðûõ 0 < µ < 1 è 0 < η < 1.
Òîãäàlim sgrad(f )(y) =Θ63y→ρ∂ 2k−1 F(0)/∂x2k−1F(x)1.= 2k−1x1 6=0 P f (ω)(x)∂P f (ω)(0)/∂x2k−11limx→0,Èòàê, íà U (ρ) îïðåäåëåíî ãëàäêîå ïîëå sgrad(f ), êîòîðîå ïî íåïðåðûâíîñòèñîõðàíÿåò ôîðìó ω , â ñèëó ÷åãî êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè Θ ∩ U (ρ) 2.Äëÿ ëþáîé êîíòàêòíîé òî÷êè p ∈ Θ ñóùåñòâóåò òàêàÿ åå îêðåñòíîñòü U , ÷òîêàæäàÿ òî÷êà q ∈ U ∩ Θ ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé. Îáîçíà÷èì XU (p) ìíîæåñòâî âñåõãëàäêèõ ôóíêöèé f íà U , êàæäàÿ èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ df (Zq ) ≡ 0.102Ïðåäëîæåíèå 3 Ìíîæåñòâî XU (p) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ëè îòíîñèòåëüíî ñêîáêèÏóàññîíà, êîòîðàÿ êîððåêòíî îïðåäåëåíà íà XU (p) × XU (p).Äîêàçàòåëüñòâî:¡¢¡¢d{f1 , f2 }(Zq ) = ωq Zq , sgrad{f1 , f2 }(q) = ωq Zq , [sgrad(f1 ), sgrad(f2 )](q) =µ¶¢¢¡d¡ ∗= ωq Zq , Lsgrad(f1 ) sgrad(f2 ) = ωq Zq ,ϕ sgrad(f2 ) (q) =dt t¢ ¢¡dd ¡= ωq (ϕ∗t Z)q , ϕ∗t sgrad(f2 ) (q) = ωq (Zq , sgrad(f2 )(q)) = 0,dtdtãäå ϕt ëîêàëüíûé ïîòîê ãëàäêîãî ïîëÿ sgrad(f1 ), îïðåäåëåííîãî â îêðåñòíîñòè pè ñîõðàíÿþùåãî ôîðìó ω âìåñòå ñ ïîëåì åå ÿäåð.
Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè òî, ÷òîâáëèçè òî÷êè p èìååò ìåñòî:ωq (Zq , sgrad(f2 )(q)) ≡ 0,¡ϕ∗t Z¢q≡ Zq2. óñëîâèÿõ ëåììû 4 ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ìíîãîîáðàçèè N çàäàíà ãëàäêàÿôóíêöèÿ f . Ïóñòü x ∈ Θ ⊂ M ⊂ N . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèå df (Zx ) = 0ýêâèâàëåíòíî ñîâïàäåíèþ ðàíãîâ ñëåäóþùèõ0{F1 , F2 } −{F , F }012...... −{F1 , F2m } −{F2 , F2m }{F1 , f }{F2 , f }ìàòðèö Ïóàññîíà:. .
. {F1 , F2m }. . . {F2 , F2m } (x),.........0...{F2m , f }0{F1 , F2 }. . . {F1 , F2m } −{F , F }0. . . {F2 , F2m }12............−{F1 , F2m } −{F2 , F2m } . . .0 (x).Ñîâïàäåíèå ðàíãîâ ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë a1 , . . . , a2m :sgrad(f )(x) −2mXaβ · sgrad(Fβ )(x) ∈ Tx M.β=1Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå df (Zx ) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êîñîîðòîãîíàëüíàÿïðîåêöèÿ âåêòîðà sgrad(f )(x) íà ïëîñêîñòü Tx M . Ñóùåñòâîâàíèå êîñîîðòîãîíàëüíîéïðîåêöèè â êàæäîé îñîáîé òî÷êå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèÿ ãëàäêîãîâåêòîðíîãî ïîëÿ íà Θ, ÿâëÿþùåãîñÿ êîñîîðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé ïîëÿ sgrad(f ).103Äåëî â òîì, ÷òî ýòà ïðîåêöèÿ îïðåäåëåíà ïîmod Z§ .
Ñîãëàñíî òåîðåìå 1, åñëèâñå òî÷êè îñîáîé ïîâåðõíîñòè Θ ⊂ M ÿâëÿþòñÿ êîíòàêòíûìè, òî ñóùåñòâîâàíèåêîñîîðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè vx (f ) âåêòîðà sgrad(f )(x) íà ïîäïðîñòðàíñòâî Tx M âêàæäîé îñîáîé òî÷êå x âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå ãëàäêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ sgradM (f |M ).Ïðè ýòîì∀x ∈ ΘsgradM (f |M )(x) = vx (f )mod Z§ .3.1.4.
Òåîðåìà Äàðáó.Ðàññìàòðèâàåòñÿ2n-ìåðíîåñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèå(M, ω)ñîñîáåííîñòüþ. Ïóñòü Θ ⊂ M åñòü ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê.Òåîðåìà 2 Åñëè ρ ∈ Θ êîíòàêòíàÿ òî÷êà è dim Zρ = 2k , òî â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè ρ ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû (x, p, q) ∈ R2k × Rn−k × Rn−k , â êîòîðûõ:ω=Xωαβ (x)dxα ∧ dxβ +n−kXdpi ∧ dqi ,(3.14)i=11≤α<β≤2k¡¢¡¢ãäå det ωαβ (x) 6= 0 ïðè x1 6= 0 è ωαβ (x) = 0 ïðè x1 = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ε êàê óãîäíî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ëèíåéíóþîáîëî÷êó âåêòîðîâ v1 , . . .
, vm îáîçíà÷àåì L(v1 , . . . , vm ). Ïðè k = n óòâåðæäåíèåòåîðåìû òðèâèàëüíî. Ïîëàãàåì 1 ≤ k < n.Ðàññóæäàåì ïî èíäóêöèè. Ïóñòü O äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè ρ.Íà O îïðåäåëåíî òàêîå èíòåãðèðóåìîå 2k - ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå Z , ÷òî Zy = Zyâ êàæäîé òî÷êå y ∈ Θ ∩ O (ëåììà 1 § 1.2). Âëîæèì â O äèñê D2n−2k òàê, ÷òîρ åãî öåíòð è Zρ òðàíñâåðñàëüíî D2n−2k . Ïóñòü f òàêàÿ ôóíêöèÿ íà D2n−2k ,÷òî dfρ 6= 0 è f (ρ) = 0. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî D2n−2k òðèâèàëüíî ðàññëàèâàåòñÿíà 2n − 2k − 1 - ìåðíûå äèñêè f −1 (t), ãäå |t| ≤ ε. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó äèñêàf −1 (t) ïðîâåäåì èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ðàñïðåäåëåíèÿ Z .
Ïîëó÷èòñÿ ãëàäêàÿãèïåðïîâåðõíîñòü Wt , êîòîðàÿ ñîïðèêàñàåòñÿ ñ Zy â êàæäîé òî÷êå y ∈ Wt ∩ Θ.Ãëàäêî ïðîäîëæèì ôóíêöèþ f íà O òàê, ÷òî f −1 (t) = Wt ïðè |t| ≤ ε. Ìûïîëó÷èëè ôóíêöèþ f íà O, äëÿ êîòîðîé df (Zy ) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ O ∩ Θ. Ïîòåîðåìå 1 íà O îïðåäåëåíî ãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå sgrad(f ). Ïóñòü D2n−2k−1 âëîæåííûé â D2n−2k äèñê ñ öåíòðîì ρ, òðàíñâåðñàëüíûé 2n − 2k − 1 - ìåðíîìó äèñêóW0 ∩ D2n−2k .
×åðåç êàæäóþ òî÷êó D2n−2k−1 ïðîâåäåì èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèåZ . Ïîëó÷èòñÿ ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü V , êîòîðàÿ ñîïðèêàñàåòñÿ ñ Zy â êàæäîéòî÷êå y ∈ V ∩ Θ. Åñëè ìû âûáåðåì äèñê D2n−2k−1 òàê, ÷òîáû îí áûë òðàíñâåðñàëåí104â D2n−2k ïðÿìîé¡ ¡¢¢L sgrad(f )(ρ) ⊕ Zρ ∩ Tρ D2n−2k ,òî âåêòîð sgrad(f )(ρ) áóäåò òðàíñâåðñàëåí V . Åñëè îêðåñòíîñòü O äîñòàòî÷íî ìàëà,òî êàæäàÿ òî÷êà y ∈ O ïîëó÷àåòñÿ èç íåêîòîðîé òî÷êè y 0 ∈ V ñäâèãîì íà tâäîëü òðàåêòîðèè sgrad(f ), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç y 0 .
Ïîëîæèì g(y) = t. Ïîëó÷àåìòàêóþ ôóíêöèþ g , ÷òî g −1 (0) = V . Î÷åâèäíî {f, g} ≡ 1, îòêóäà dgρ 6= 0. Òàê êàêïîòîê sgrad(f ) ñîõðàíÿåò ω è ðàçíîñèò V ïî ñåìåéñòâó ãèïåðïîâåðõíîñòåé g −1 (t),òî dg(Zy ) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ O ∩ Θ. Ñëåäîâàòåëüíî, â îêðåñòíîñòè O îïðåäåëåíîãëàäêîå âåêòîðíîå ïîëå sgrad(g). Òàê êàê {f, g} ≡ 1, òî êîâåêòîðû dgρ è dfρ ëèíåéíîíåçàâèñèìû. ÏóñòüN = {y ∈ O : f (y) = g(y) = 0},Ω = ω|N .Òàê êàê N = W0 ∩ V , òî Zy ⊂ Ty N äëÿ âñåõ y ∈ N . ßñíî, ÷òî âåêòîðû sgrad(f )(y)è sgrad(g)(y) êîñîîðòîãîíàëüíû Ty N ïðè âñåõ y ∈ N è êàñàþòñÿ Θ ïðè âñåõ y ∈ Θ.¡¢Ïëîñêîñòü L sgrad(f )(ρ), sgrad(g)(ρ) òðàíñâåðñàëüíà Tρ N , ò.ê.v = λ · sgrad(f )(ρ) + µ · sgrad(g)(ρ) ∈ Tρ N ⇒ df (v) = dg(v) = 0 ⇒ λ = µ = 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî N òðàíñâåðñàëüíî Θ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìà Ω âûðîæäàåòñÿ âòî÷êàõ ìíîæåñòâà ΘN = Θ ∩ N , ÿâëÿþùåãîñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ â N , è∀y ∈ ΘNKer(Ω) = Zy = Ker(ωy ) .Ïðîâåðèì, ÷òî ρ êîíòàêòíàÿ òî÷êà â N .
Î÷åâèäíî dim Ker(Ω) ≡ 2k . Òàê êàêZρ 6⊂ Tρ Θ, òî è Ker(Ωρ ) 6⊂ Tρ ΘN . Ïîäìíîãîîáðàçèå N â ïîòîêå sgrad(g) çàìåòàåòãèïåðïîâåðõíîñòü S .  ñâîþ î÷åðåäü S â ïîòîêå sgrad(f ) çàìåòàåò îêðåñòíîñòü òî÷êèρ. Ïîëÿ sgrad(f ) è sgrad(g) êîììóòèðóþò â ñèëó {f, g} ≡ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿëþáûõ êîîðäèíàò z ∈ R2n−2 íà N , â êîòîðûõ ïîäìíîãîîáðàçèå ΘN îïðåäåëÿåòñÿóðàâíåíèåì z1 = 0, ñóùåñòâóþò òàêèå êîîðäèíàòû (z, a, b) íà O, ÷òî:à) sgrad(f ) è sgrad(g) ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè ñêîðîñòè êîîðäèíàòíûõ ëèíèé a = tè, ñîîòâåòñòâåííî, b = t;á) ïîäìíîãîîáðàçèå N îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì a = b = 0;â) ïîäìíîãîîáðàçèå Θ ∩ O îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì z1 = 0.Òàê êàê ω(sgrad(f ), sgrad(g)) = 1, òî det(ω(z,0,0) ) = det(Ωz ).
ÑëåäîâàòåëüíîP f (ω)(z, 0, 0) = ±P f (Ω)(z) .105Î÷åâèäíî, ÷òî êîîðäèíàòíàÿ ëèíèÿ z1 = t â N , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ρ, ÿâëÿåòñÿòàêîâîé â M . Óñëîâèå d2k−1 P f (Ω)ρ 6= 0 ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî îãðàíè÷åíèå ôóíêöèèP f (Ω)(z) íà ýòó êîîðäèíàòíóþ ëèíèþ èìååò íåíóëåâóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà 2k − 1â òî÷êå z1 (ρ). Ïîýòîìó äàííîå óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ (èëè íå âûïîëíÿåòñÿ) â M è Nîäíîâðåìåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ρ ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé òî÷êîé âûðîæäåíèÿ ôîðìû Ω.Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ íà N ñóùåñòâóþò òàêèå êîîðäèíàòû (x, p, q) ∈R2k × Rn−k−1 × Rn−k−1 , ÷òîXΩ=ωαβ (x)dxα ∧ dxβ +n−k−1Xdpi ∧ dqi .i=11≤α<β≤2kÏðè ýòîì Ωαβ = 0 ïðè x1 = 0 è det(Ω) 6= 0 ïðè x1 6= 0. Ââåäåì â O êîîðäèíàòû(x, p, a, q, b) è îáîçíà÷èì a, b ÷åðåç pn−k , qn−k ñîîòâåòñòâåííî. Âñå êîîðäèíàòíûåïîâåðõíîñòè, îòâå÷àþùèå ôèêñèðîâàííûì çíà÷åíèÿì a è b, ïîëó÷àþòñÿ èç Nñäâèãàìè â ïîòîêàõ sgrad(g) è sgrad(f ), ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü ΘN çàìåòàåò Θ ∩ O.Ïîñêîëüêó äàííûå ïîòîêè ñîõðàíÿþò ôîðìó ω 赶∂∂ω,= ω(sgrad(f ), sgrad(g)) = {f, g} = 1,∂pn−k ∂qn−kòî èìååò ìåñòî (3.14) 2.Ïåðåíóìåðàöèåé êîîðäèíàò pi è qi ìàòðèöà ôîðìû ω ïðèâîäèòñÿ ê áëî÷íîäèàãîíàëüíîìó âèäó0ω1,2 ω2,10...... ω2k,1 ω2k,2.
. . ω1,2k. . . ω2,2k.........001−1 0...01−1 0.Ïðåäëîæåíèå 4 Ïóñòü ρ êîíòàêòíàÿ òî÷êà. Åñëè dim Zρ = dim M = 2n, òî âîêðåñòíîñòè ρ ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû x, â êîòîðûõn´´³ x2 ³X1x2j−1 dx2j .ω=ddx2 +2j=2106Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè n = 1, òî ëîêàëüíî ω = ω1,2 (x1 , x2 )dx1 ∧ dx2 è ω1,2 (0, x2 ) ≡ 0.
Òàê êàê (0, x2 )åñòü êîíòàêòíàÿ òî÷êà, òî ∂ω1,2 (0, x2 )/∂x1 6= 0. Ïðåäïîëàãàÿ ∂ω1,2 (0, x2 )/∂x1 > 0ñäåëàåì ãëàäêóþ çàìåíó:s Zxe1 = sgn(x1 ) 2sx1∂ex1 (0, x2 )=∂x1ω1,2 (t, x2 )dt,0∂ω1,2 (0, x2 ).∂x1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî xe1 ∂ex1 /∂x1 = ω1,2 , ñëåäîâàòåëüíî ω = xe1 dex1 ∧ dx2 .Ðàññìîòðèì ñëó÷àé n > 1. Ïî ëåììå 1 íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü O(ρ) ñêîîðäèíàòàìè x ∈ R2n è òàêàÿ 1-ôîðìà µ, ÷òîµ=2nXµβi dxi ,ω=di=1x21µ2¶= x1 dx1 ∧ µ +x21dµ .2(3.15)Ïóñòü S = Θ ∩ O(ρ) åñòü ãèïåðïîâåðõíîñòü x1 = 0 è d0 îáîçíà÷àåò âíåøíèéäèôôåðåíöèàë ïî ïåðåìåííûì x2 , . .
. , x2n , ò.å.,d0 µ = d(µ|{x1 =const} ) .Èç ïðåäëîæåíèÿ 1 ñëåäóåò, ÷òî ôîðìà µ|S îïðåäåëÿåò êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðóS , ïîýòîìó dµ|S íåâûðîæäåíà íà 2n − 2 ìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå (µ|S )−1ρ (0).Ñëåäîâàòåëüíî dµ|S èìååò îäíîìåðíîå ÿäðî â òî÷êå ρ. Ïî íåïðåðûâíîñòè ôîðìà d0 µ,ðàññìàòðèâàåìàÿ â îáëàñòè U ïðîñòðàíñòâà R2n−1 (x2 , . . . , x2n ) è ãëàäêî çàâèñÿùàÿîò ïàðàìåòðà x1 , èìååò îäíîìåðíîå ÿäðî â êàæäîé òî÷êå, äîñòàòî÷íî áëèçêîéê x0 (ρ) ∈ U .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
