Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ïîýòîìó ïðè ôèêñèðîâàííîì, äîñòàòî÷íî ìàëîì x1 ôîðìà d0 µîïðåäåëÿåò íà êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòè x1 = const ïðåäêàíîíè÷åñêóþ ñòðóêòóðó[30]. Ñëåäîâàòåëüíî, çàìåíîé êîîðäèíàò âèäàxe1 = x1 ,xei = fi (x1 , x0 )2 ≤ i ≤ 2nêàæäóþ èç ôîðì d0 µ ìîæíî ëîêàëüíî ïðèâåñòè ê âèäón−1Xdex2r+1 ∧ dex2r+2 .r=1Ñäåëàåì ýòî è îáîçíà÷èì íîâûå êîîðäèíàòû x1 , .
. . , x2n . Èç (3.15) ñëåäóåò, ÷òî¡¢¡¢Ker dµ|{x1 =const=c6=0} = Ker ω|{x1 =c} ,ïîýòîìó â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ìàòðèöà ω èìååò ñëåäóþùèé âèä:1070β2 x1 β3 x1 β4 x1000 −β2 x12x −β x1003 12x2 −β4 x10− 210............ −β2n−1 x1000−β2n x1000. . . β2n−1 x1 β2n x1...00...00...00............0x212...− 21x2.(3.16)0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f (x1 , . . .
, x2n ) èìååò ìåñòî:00dµ=d2n³X´βr dxr =r=22nX0d βr ∧ dxr =r=22nXr=2nXn³X´dx2j−1 ∧ dx2j = dx2j−1 dx2j ,j=2βr dxr =nXj=2x2j−1 dx2j + d0 f,j=2∂f∂f∂f,β2j = x2j−1 +,β2j−1 =∂x2∂x2j∂x2j−1Äàëåå èç (3.16) è (3.17) ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:β2 =2≤j≤n.n³X2nn´ x2 XX∂f1ω = x1 dx1 ∧x2j−1 dx2j +dxr +dx2j−1 ∧ dx2j .∂x2rr=2j=2j=2(3.17)(3.18)Ïî óñëîâèþ êîíòàêòíîñòè ρ ïôàôôèàí P f (ω)(x) íå äåëèòñÿ íà x2n1 (îïðåäåëåíèå 1). ñèëó ýòîãî èç (3.16) íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî β2 6= 0.
Ïîýòîìó èç (3.17) èìååì∂f(ρ) 6= 0 .∂x2Îñòàëîñü çàìåíèòü êîîðäèíàòó x2 ôóíêöèåé f , ïîëó÷àÿ èç (3.18) èñêîìûé âèä ω 2. ïîñòðîåííûõ âûøå êîîðäèíàòàõ ìàòðèöà ôîðìû ω èìååò âèä0x10 x1 x3 0 x1 x5 . . . 0 x1 x2n−1−x100000... 002x100000... 0022x −x1 x30 − 21000... 002x100000... 002x210... 00000−2 −x1 x5...... ... ... ... ... ...
......x21000000...02x21−x1 x2n−1 00000... − 20108.Òåîðåìà 3 Ïóñòü ρ êîíòàêòíàÿ òî÷êà è dim Zρ = 2k ≥ 2. Òîãäà â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè ρ ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû (x, p, q) ∈ R2k × Rn−k × Rn−k , â êîòîðûõ:kn−k³ x2 ³´´ XX1ω=ddx2 +x2j−1 dx2j +dpi ∧ dqi .2j=2i=1Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òåîðåìû 2 è ïðåäëîæåíèÿ 4 2.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî â êîîðäèíàòàõ (x, p, q) ôîðìà ω èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä.Ïîñëå çàìåíû êîîðäèíàòû x2 íàxe2 = x2 +nXx2j−1 x2j + F (x1 ),j=2ãäå F (x1 ) ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, ôîðìà ω ïðèìåò âèänn−k´´ X³ x2 ³X1ω=ddex2 −x2j dx2j−1 +dpi ∧ dqi ,2j=2i=1êîòîðûé òàêæå áóäåì íàçûâàòü êàíîíè÷åñêèì.
 ýòîì ñëó÷àå ïðè k = n â îêðåñòíîñòèîñîáîé òî÷êè ìàòðèöà ôîðìû âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:0x1 −x1 x40−x1 x60. . . −x1 x2n−x100000...0x1 x400x21200...0000...00x212...00...00x1 x600x21−200x210000−2...............x1 x2n00000...0000000...− 21... ......x200 0 0 0 0 ...
x21 2 0Ïðè k = 1 óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3 îçíà÷àåò ñëåäóþùåå.  îêðåñòíîñòè îñîáîéòî÷êè ρ, èìåþùåé îáùåå ïîëîæåíèå, çàìåíîé êîîðäèíàò çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ωïðèâîäèòñÿ ê âèäóω = x1 dx1 ∧ dx2 +n−1Xdpi ∧ dqi .i=1Ýòîò ðåçóëüòàò, â äðóãîé ôîðìóëèðîâêå, áûë ðàíåå ïîëó÷åí Æ. Ìàðòèíå [76].1093.1.5. Ñèìïëåêòè÷åñêèé îáúåì. îòëè÷èè îò îáû÷íûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé, ñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ íå îáÿçàíî áûòü îðèåíòèðóåìûì. Çàìêíóòóþ 2-ôîðìóñ êîíòàêòíûìè âûðîæäåíèÿìè , íàïðèìåð, ëåãêî çàäàòü íà ìíîãîîáðàçèè K 2 × T 2 ,ãäå K 2 åñòü áóòûëêà Êëåéíà (ïðèìåð 2 § 2.2).Ïðåäëîæåíèå 5 Åñëè ìíîãîîáðàçèå M îðèåíòèðóåìî è ñâÿçíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüΘ ⊂ M ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõ òî÷åê, òî îíà ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìîé.
Ïðèýòîì Θ ðàçðåçàåò M íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ, îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâà.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 3 ñëåäóåò, ÷òî â êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (x, p, q)èìååò ìåñòîP f (ω) = x2k−1/2k−1 .1Ïîýòîìó M ðàçðåçàíî íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ, íåïóñòûå, îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà{P f (ω) > 0} è {P f (ω) < 0}. Îíè îïðåäåëåíû èíâàðèàíòíî, ïîêîëüêó ïðè çàìåíåêîîðäèíàò èç îðèåíòèðóþùåãî àòëàñà ïôàôôèàí P f (ω) äåëèòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûéÿêîáèàí.
Òàê êàê âíå îñîáîé ïîâåðõíîñòè èìååì P f (ω) 6= 0, òî êîððåêòíî îïðåäåëåíûäâå ñòîðîíû ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ: íà îäíîé ñòîðîíå P f (ω) > 0, à íà äðóãîé P f (ω) < 02.Ñëåäñòâèå 2  óñëîâèÿõ ïðåäëîæåíèÿ 5 ìíîãîîáðàçèå M ñêëååíî èç äâóõñâÿçíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé M1 è M2 (ñ êðàÿìè) ïî íåêîòîðîìóäèôôåîìîðôèçìó ϕ : ∂M1 → ∂M2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìàëóþ òðóá÷àòóþ îêðåñòíîñòü U ãèïåðïîâåðõíîñòèΘ. Î÷åâèäíî, ÷òî M äèôôåîìîðôíî íåñâÿçíîìó ñèìïëåêòè÷åñêîìó ìíîãîîáðàçèþM \U , ó êîòîðîãî ñêëååíû ìåæäó ñîáîé äâå ñâÿçíûå êîìïîíåíòû êðàÿ, ñîñòàâëÿþùèåãðàíèöó îêðåñòíîñòè U =e Θ × (−1; 1) è îòîæäåñòâëÿþùèåñÿ ïî äèôôåîìîðôèçìóx × {−1} 7−→ x × {1} 2 .Òåîðåìà 4 Ïóñòü ω çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà íà îðèåíòèðóåìîì, êîìïàêòíîììíîãîîáðàçèè M (áåç êðàÿ).
Åñëè âñå òî÷êè âûðîæäåíèÿ ôîðìû ω ÿâëÿþòñÿêîíòàêòíûìè è îñîáàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ñâÿçíà, òî H2 (M, R) 6= 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim M = 2n. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìíîãîîáðàçèåMìîæíî ñ÷èòàòü ñâÿçíûì.  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 5 ãèïåðïîâåðõíîñòü Θîðèåíòèðóåìà. Ïóñòü n > 1 è N çàìûêàíèå ëþáîãî èç äâóõ ñâÿçíûõ ïîäìíîæåñòâ,110íà êîòîðûå Θ ðàçðåçàåò M . Åñëè ôîðìà ω òî÷íà íà V , òî ω = dα.  ñèëó òîãî, ÷òîω = 0 â êàæäîé òî÷êå Θ, ïî ôîðìóëå Ñòîêñà èìååì:ZZZ¡ n−1 ¢n∧i=1 ω =α ∧ ∧i=1 ω =0=0.N∂NΘÌíîãîîáðàçèå N èìååò íóëåâîé îáúåì, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó ïôàôôèàí P f (ω)çíàêîïîñòîÿíåí íà N .
Ñëåäîâàòåëüíî ôîðìà ω íå òî÷íà íà M , ïîýòîìó ãðóïïàêîãîìîëîãèé äå-Ðàìà H2 (M, R) îòëè÷íà îò íóëÿ. Åñëè n = 1, òî H2 (M, R) 6= 0 âñèëó òîãî, ÷òî íà ëþáîì 2-ìåðíîì, îðèåíòèðóåìîì, êîìïàêòíîì ìíîãîîáðàçèè (áåçêðàÿ) ôîðìà ïëîùàäè íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé 2.Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò êîìïàêòíûå ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ[58,79]. Ñëåäóþùèé ôàêò õîðîøî èçâåñòåí, íî â åãî äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçóåòñÿíîâàÿ êîíñòðóêöèþ êîíòàêòíî-ñâÿçíîé ñóììû (ï.
3.2.4).Ñëåäñòâèå 3 Câÿçíàÿ ñóììà N1 #N2 çàìêíóòûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéN1 è N2 èìååò íåíóëåâóþ ãðóïïó êîãîìîëîãèé äå-Ðàìà H2 (N1 #N2 , R).Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîãîîáðàçèå M = N1 #0 N2 =e N1 #N2 , áóäó÷è êîìïàêòíûì,ñèìïëåêòè÷åñêèì ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè â òî÷êàõ âëîæåííîé ñôåðû S 2n−1 ⊂M , èìååò íåíóëåâóþ ãðóïïó H2 (M, R) 2.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà M çàäàíà îðèåíòàöèÿ è ñâÿçíàÿ îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü Θñîñòîèò èç êîíòàêòíûõ òî÷åê.
Ïóñòü â êàðòå W , ñîäåðæàùåé îñîáûå òî÷êè, çàäàíûêàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû (x, p, q).  íèõ ôîðìà ñèìïëåêòè÷åñêîãî îáúåìà âûãëÿäèòòàê:Ω = ∧ns=1 ω =³´ ³´x2k−11n−k2k∧dx∧∧(dp∧dq).αjjα=1j=12k−1Êîîðäèíàòó x1 ìîæíî âûáðàòü â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè, òðàíñâåðñàëüíîì Θ,ïðè óñëîâèè ∂/∂x1 ∈ Zx .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x1 âîçðàñòàåò â íàïðàâëåíèè âåêòîðàíîðìàëè, çàäàþùåãî îðèåíòàöèþ ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ. Òîãäà, ïîñêîëüêó P f (ω) =x2k−1/2k−1 è ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ïôàôôèàí äåëèòñÿ íà ìàòðèöó ßêîáè, âñå òàêèå1êàíîíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû (x, p, q) ñîãëàñîâàíû ìåæäó ñîáîé è, ñòàëî áûòü, âñåñîãëàñîâàíû ñ îðèåíòàöèåé M èëè âñå ñðàçó íåñîãëàñîâàíû. Ïðè íåîáõîäèìîñòèîáðàùàÿ îðèåíòàöèþ Θ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå êîîðäèíàòû óêàçàííîãî âèäà èìåþòïîëîæèòåëüíóþ îðèåíòàöèþ.  ïðîèçâîëüíîé, äîñòàòî÷íî ìàëîé îáëàñòè U , íåïåðåñåêàþùåé Θ, ìîæíî ââåñòè ñèìïëåêòè÷åñêèå êîîðäèíàòû (P, Q) ∈ Rn × Rn , âêîòîðûõω = dP ∧ dQ,111P f (ω) = 1 .Åñëè íåïóñòîå ìíîæåñòâî U ∩ Wíàõîäèòñÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé ñòîðîíû îòãèïåðïîâåðõíîñòè Θ, òî êîîðäèíàòû (P, Q) èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ îðèåíòàöèþ, àåñëè ñ îòðèöàòåëüíîé ñòîðîíû, òî îòðèöàòåëüíóþ.Èòàê, ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ðàçäåëÿåò M íà äâà ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿM+ è M− , íà êàæäîì èç êîòîðûõ çàäàíà èñõîäíàÿ ôîðìà ω .
Ïðè ýòîìñèìïëåêòè÷åñêèå êîîðäèíàòû M+ èìåþò ïîëîæèòåëüíóþ îðèåíòàöèþ â M , àñèìïëåêòè÷åñêèå êîîðäèíàòû M− èìåþò îòðèöàòåëüíóþ îðèåíòàöèþ â M . Îòñþäàñëåäóåò, ÷òî åñëè M êîìïàêòíî è íà êàæäîì èç ïîäìíîãîîáðàçèé M+ è M−ôèêñèðîâàíà èñõîäíàÿ îðèåíòàöèÿ M , òîZZΩ=P f (ω)dx1 ∧ . . . ∧ dx2n > 0 ,M+M+ZZΩ=M−P f (ω)dx1 ∧ . . . ∧ dx2n < 0 .M−Ïîýòîìó ñèìïëåêòè÷åñêèé îáúåì, êîòîðûé ðàâåíZZZΩ=Ω+MM+Ω,M−â îáùåì ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê è äàæå áûòü ðàâíûì íóëþ.Ïðèìåð 4.
Ïóñòü f åñòü ôóíêöèÿ íà ñôåðå S 2 ðàäèóñà R, èìåþùàÿ ðîâíîîäèí ìàêñèìóì (â òî÷êå N ) è îäèí ìèíèìóì (â òî÷êå S ), è íå èìåþùàÿ äðóãèõêðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (N ) = 1, f (S) = −1 è ïîäìíîãîîáðàçèåf −1 (0) ñâÿçíî. Òîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ S01 ⊂ S 2 , ðàçðåçàþùåé ñôåðó íà äâà22äèñêà D+3 N è D−3 S . Åñëè σ ôîðìà ïëîùàäè ñôåðû, òî ôîðìà ω0 = f · σîïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòüþ. Ïðè ýòîìΘ = S01 è2) > 0,vol(D+2) < 0,vol(D−22),) + vol(D−vol(S 2 ) = vol(D+ãäå vol îáîçíà÷àåò ñèìïëåêòè÷åñêèé îáúåì, ò.å. vol =Rω0 .
Ïðîèçâîëüíî âûáèðàÿR è âàðüèðóÿ ôóíêöèþ f (âìåñòå ñ íåé îêðóæíîñòü S01 ) ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî,÷òîáû âåëè÷èíà vol(S 2 ) ðàâíÿëàñü íàïåðåä çàäàííîìó ÷èñëó. Óìíîæàÿ (S 2 , ω0 )íà êîìïàêòíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå (M 2n , ω), ïîëó÷èì ñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ (S 2 × M 2n , π1∗ ω0 + π2∗ ω), èìåþùåå ïðîèçâîëüíóþðàçìåðíîñòü. Åãî îáúåì ìîæíî ñäåëàòü êàêèì óãîäíî, â òîì ÷èñëå íóëåâûì èëèîòðèöàòåëüíûì. Çäåñü πi åñòü ïðîåêöèÿ íà i - é ñîìíîæèòåëü (1 ≤ i ≤ 2) 2.112Ñóùåñòâóþò ëè êîìïàêòíûå ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòüþ, âêîòîðûõ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü Θ ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõ òî÷åê ?  ñëó÷àå dim Zp = 2òàêîå ìíîãîîáðàçèå M ïîñòðîåíî â ïðèìåðå 4, ãäåM = S 2 × M 2n ,Θ=e S 1 × M 2n ,H2 (M, R) = H2 (S 2 × M 2n , R) 6= 0 . ñëó÷àå dim Zp > 2 ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ñîäåðæèòñÿ â ï.
3.2.4.§3.2. Êàíîíè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà Ëè.Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω íà 2n - ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè M âïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k > 0rk(ωx ) = 2n − 2k∀x ∈ Θ ,ãäå ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ ñîñòîèò èç êîíòàêòíûõ òî÷åê. Ïîñëåäíåå âëå÷åò,÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Θ íåò äðóãèõ òî÷åê âûðîæäåíèÿ ôîðìû ω êðîìå òåõ,êîòîðûå ñîñòàâëÿþò ìíîæåñòâî Θ.3.2.1. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ è ñòðóêòóðû Ëè.Îïðåäåëåíèå 2 Ëþáîå 2k - ìåðíîå èíòåãðèðóåìîå ðàñïðåäåëåíèå Z , îïðåäåëåííîåâ îêðåñòíîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ è òàêîå, ÷òî Zρ = Zρ â êàæäîé òî÷êå ρ ∈ Θ,íàçûâàåòñÿ z - ðàñïðåäåëåíèåì.Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 1 èç § 1.2 ñëåäóåò, ÷òî z - ðàñïðåäåëåíèå ñóùåñòâóåò.Òåîðåìà 5 Ïóñòü S åñòü èíòåãðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå z - ðàñïðåäåëåíèÿ Z ,èìåþùåå íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå c îñîáîé ïîâåðõíîñòüþ Θ.Òîãäà íà 2k − 1 ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè K = Θ ∩ S êîððåêòíî îïðåäåëåíà 1-ôîðìࢡµ = lim iX χ−1 ω|S ,χ→0ãäå âåêòîðíîå ïîëå X è ôóíêöèÿ χ çàäàíû íà ìíîãîîáðàçèè S .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
