Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 27
Текст из файла (страница 27)
cos θ2n−3 cos θ2n−2 cos ϕx2 = r cos θ1 cos θ2 . . . cos θ2n−3 cos θ2n−2 sin ϕx3 = r cos θ1 cos θ2 . . . cos θ2n−3 sin θ2n−2... ... ... ... ... ...x2n−1 = r cos θ1 sin θ2x2n = r sin θ1 ,129ãäå −π/2 < θi < π/2 è −π ≤ ϕ ≤ π .Åñëè â ýòèõ ôîðìóëàõ çàìåíèòü ñèìâîë r íà t, òî ïîëó÷èòñÿ êîîðäèíàòíàÿ çàïèñüîòîáðàæåíèÿ F0 öèëèíäðà S 2n−1 × [−1; 1] íà øàð D2n .
Åãî ãëàäêîñòü î÷åâèäíà.Îáîçíà÷èì Θ ñôåðó S 2n−1 × {0}, òîãäà F0 (Θ) = 0 è ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿîòîáðàæåíèÿ F = F0 âûïîëíåíî êàæäîå èç óñëîâèé 1), 2), 3). Ïóñòü íà øàðåD2n çàäàíà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ 2-ôîðìà Ω è ω = F0∗ (Ω). Ïîñêîëüêó â êîîðäèíàòàõ(t, ϕ, θ1 , . . . , θ2n−2 ) è x ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ F0 ðàâåít2n−1 cos2n−2 θ1 · . . .
· cos θ2n−2 ,òî ïðè t → 0 ïôàôôèàí P f (ω) èìååò ïîðÿäîê t2n−1 . Ýòî âëå÷åò çà ñîáîé êîíòàêòíîñòüêàæäîé òî÷êè ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ=Se 2n−1 .Çàìåòèì, ÷òî íà ñâÿçíîé ñóììå N1 #N2 ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé (N1 , Ω1 )è (N2 , Ω2 ) ðàçìåðíîñòè 2n>2 íåëüçÿ çàäàòü ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó,ñîãëàñîâàííóþ ñ Ω1 è Ω2 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ñêëåèâàÿ ìåæäó ñîáîé íåêîòîðûå äâàøàðà Dk2n ⊂ Nk , ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó íà ñôåðåS 2n , ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó H2 (S 2n , R) = 0.
Ñóùåñòâóþùèå êîíñòðóêöèè ïîçâîëÿþò,ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ, çàäàòü ñîãëàñîâàííóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó íà ò.í.ðàññëîåííîé ñóììå, äëÿ îáðàçîâàíèÿ êîòîðîé èç ñêëåèâàåìûõ ìíîãîîáðàçèé óäàëÿþòíîðìàëüíûå îêðåñòíîñòè ïîäìíîãîîáðàçèé ÷åòíîé êîðàçìåðíîñòè [63].Îòîáðàæåíèå F0 ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà ñâÿçíîé ñóììå N1 #N2ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè, ñîãëàñîâàííîé ñôîðìàìè Ω1 è Ω2 çà ïðåäåëàìè áåñêîíå÷íî-ìàëîé îêðåñòíîñòè ñôåðû S 2n−1 =∂De k2n ,ïî êîòîðîé ïîäìíîãîîáðàçèÿ Nk \ int (Dk2n ) ñêëåèâàþòñÿ â ñâÿçíóþ ñóììó N1 #N2 ,ãäå 1 ≤ k ≤ 2. Ïóñòü D2n ñòàíäàðòíûé åäèíè÷íûé øàð â R2n (x), íà êîòîðîìPôèêñèðîâàíà ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà Ω = ni=1 dxi ∧ dxn+i .Îïðåäåëåíèå 5 Ïóñòü 1 ≤ k ≤ 2 è (Nk , Ωk ) ñâÿçíûå ñèìïëåêòè÷åñêèåìíîãîîáðàçèÿ ðàçìåðíîñòè 2n ≥ 2. Äëÿ êàæäîãî k âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ ïàðó2nçàìêíóòûõ øàðîâ Dk2n è Dk , òàê ÷òî¡ 2n ¢Dk2n ⊂ int Dk ⊂ Nk2nè ñóùåñòâóþò ñèìïëåêòîìîðôèçìû fk : Dk → D2n .
Óäàëèì èç êàæäîãî Nk¡ 2n ¢îòêðûòûé øàð int Dk è ãëàäêî ïðèêëåèì öèëèíäð S 2n−1 ×[−1; 1], îòîæäåñòâëÿÿñôåðû2nS 2n−1 × {−1} = ∂D1è1302nS 2n−1 × {1} = ∂D2 .Ïðèêëåèâàíèå öèëèíäðà âûïîëíèì òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ s ∈ S 2n−1 è t ∈ [−1; −1/2]∪[1/2; 1] òî÷êà (s, t) îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ òî÷êîé f −1 ¡F (s, t)¢ ïðè − 1 ≤ t ≤ −1/201¡¢ f −1 F0 (s, t) ïðè 1/2 ≤ t ≤ 1.2Ïîëó÷èì ìíîãîîáðàçèå M , íà êîòîðîì êîððåêòíî îïðåäåëåíà òàêàÿ ãëàäêàÿ,çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω , ÷òî¯ω ¯N2nk \D kÏàðà(M, ω)¯= Ωk ¯N2nk \D kíàçûâàåòñÿ¯ω ¯S 2n−1 ×[−1;,êîíòàêòíî-ñâÿçíîé1]= F0∗ (Ω) .ñóììîéñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé (Nk , Ωk ) è îáîçíà÷àåòñÿ (N1 #0 N2 , Ω1 #0 Ω2 ). ñèëó òåîðåìû Äàðáó ñèìïëåêòîìîðôèçìû fk ñóùåñòâóþò.
Öèëèíäð S 2n−1 ×[−1; 1] ïðèêëåèâàåòñÿ òàê, ÷òî¡¢2nS 2n−1 × [−1; −1/2] = D1 \ int D12n ,¡¢2nS 2n−1 × [1/2; 1] = D2 \ int D22n ,S 2n−1 × {−1/2} = ∂D12n ,S 2n−1 × {1/2} = ∂D22n .Íà êàæäîé èç äâóõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ïîäìíîãîîáðàçèÿ¡¢M \ S 2n−1 × [−1/2; 1/2]ôîðìà ω ñîâïàäàåò ñ Ω1 èëè Ω2 . Ñ òî÷êè çðåíèÿ òîïîëîãèè îïåðàöèÿ N1 #0 N2 ÿâëÿåòñÿïðèêëåèâàíèåì ðó÷êè èíäåêñà 1 ê íåñâÿçíîìó îáúåäèíåíèþ N1 ∪N2 , ò.å.
îáðàçîâàíèåìñâÿçíîé ñóììû N1 #N2 (ðèñ. 10). ÏóñòüΘ = S 2n−1 × {0} ⊂ M = N1 #0 N2 .Çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω íåâûðîæäåíà íà M \ Θ è ðàâíà íóëþ íà ãèïåðïîâåðõíîñòèΘ. Âñå òî÷êè Θ, êàê ìû âèäåëè ïðè ðàññìîòðåíèè îòîáðàæåíèÿ F0 , ÿâëÿþòñÿêîíòàêòíûìè îòíîñèòåëüíî ω 2.Çàìå÷àíèå 3 Äëÿ ëþáûõ êîìïàêòíûõ, ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé (N1 , Ω1 )è(N2 , Ω2 )ñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèåñêîíòàêòíûìèîñîáåííîñòÿìè(N1 #0 N2 , Ω1 #0 Ω2 ) íå ÿâëÿåòñÿ S - ñèìïëåêòèçàöèåé íè äëÿ êàêîãî êîíòàêòíîãîìíîãîîáðàçèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñâÿçíàÿñóììàêîìïàêòíûõìíîãîîáðàçèéÿâëÿåòñÿêîìïàêòíîé, à S - ñèìïëåêòèçàöèÿ, î÷åâèäíî, ïîðîæäàåò òîëüêî íåêîìïàêòíûåìíîãîîáðàçèÿ.131§ 3.3. Ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû.3.3.1.
Ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ.Âñïîìíèì, ÷òî [v]+ = ∪λ>0 λv åñòü íàïðàâëåíèå âåêòîðà v 6= 0. Ïðè ýòîì ïðÿìàÿ∪λ∈R {λv} îáîçíà÷àåòñÿ [v]. Ëèíåéíóþ îáîëî÷êó âåêòîðîâ v1 , . . . , vm , ñîîòâåòñòâåííî,ìû îáîçíà÷àåì [v1 , . . . , vm ]. Åñëè l1 , . . . , ls åñòü âåêòîðû, íàïðàâëåíèÿ èëè ïðÿìûå, òî[l1 , . . . , ls ] åñòü ìèíèìàëüíîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L, èíöèäåíòíîå âñåì lj . îïðåäåëåíèè 2 èç ï.
1.2.2 áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå íåñîáñòâåííîãî ïðåäåëüíîãîïîëîæåíèÿ. Ñëåäóþøåå îïðåäåëåíèå ïîçâîëÿåò, â îïðåäåëåííîé ìåðå, ðàçëè÷àòüïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ïî ïîðÿäêàì îòâå÷àþùèõ èì, áåñêîíå÷íî áîëüøèõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé sgrad(f )(yn ), ãäå yn → ρ ∈ Θ.Îïðåäåëåíèå 6 Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòüþ (M, ω)çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f , è òî÷êà ρ ëåæèò â Θ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðîåíàïðàâëåíèå lρ+ ⊂ Tρ M åñòü íåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå sgrad(f ) â òî÷êåρ, è âáëèçè ρ ìíîæåñòâî Θ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàïðàâëåíèå lρ+ èìååò êâàçè-ïîðÿäîê δ > 0, åñëè äëÿíåêîòîðîé, ñõîäÿùåéñÿ ê ρ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê yn ∈ M \ Θ èìååò ìåñòîlim χδ (yn )sgrad(f )(yn ) = v 6= 0 ,lρ+ = [v]+ = lim [sgrad(f )(yn )]+ ,n→∞n→∞ãäå χ(y) åñòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè y äî ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ â ïðîèçâîëüíîéðèìàíîâîé ìåòðèêå.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî δ 0 < δ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî0lim χδ (yn )|sgrad(f )(yn )| = +∞ .n→∞Îäíî ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå lρ+ ⊂ Tρ M , âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûåêâàçè-ïîðÿäêè δ , êîòîðûå ñâÿçàíû ñ ðàçëè÷íûì ñïîñîáàìè ïðèáëèæåíèÿ ê òî÷êå ρ.Ýòèì îáñòîÿòåëüñòâîì îáóñëîâëåí òåðìèí êâàçè-ïîðÿäîê, õîòÿ ðå÷ü èäåò, â ñóùíîñòè,î ïîðÿäêå áåñêîíå÷íî áîëüøîé âåëè÷èíû.
Èç (3.26) ñëåäóåò, ÷òî â êîíòàêòíîé òî÷êåρ ∈ Θ íåò íåñîáñòâåííûõ ïðåäåëüíûõ ïîëîæåíèé êâàçè-ïîðÿäêîâ δ > 2.Îïðåäåëåíèå 7 Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòüþ (M, ω)çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ f , è òî÷êà ρ ëåæèò â ìíîæåñòâå Θ.1. Åñëè ñóùåñòâóåò limΘ63y→ρ sgrad(f )(y)=w∈Tρ M, òî âåêòîð wîáîçíà÷àåòñÿ sgrad(f )(ρ) è íàçûâàåòñÿ êîñûì ãðàäèåíòîì f â ρ.1322. Åñëè ïðè limΘ63y→ρ |sgrad(f )(y)| = +∞ ñóùåñòâóåòlim [sgrad(f )(y)]+ = lρ+ ⊂ Tρ M ,Θ63y→ρòî íåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå lρ+ îáîçíà÷àåòñÿ sgrad∞ (f )(ρ).3. Åñëè ïðè limΘ63y→ρ |sgrad(f )(y)| = +∞ íàéäåòñÿ øàðîâàÿ îêðåñòíîñòü Oòî÷êè ρ, ðàçäåëÿåìàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüþ O ∩ Θ íà äâà îòêðûòûõ ïîëóøàðèÿ O+ èO− , è ñóùåñòâóþò ïðîòèâîíàïðàâëåííûå ïðåäåëûlim [sgrad(f )(y)]+ ,lim [sgrad(f )(y)]+ ,O+ 3y→ρO− 3y→ρòî êàæäîå èç ýòèõ äâóõ íàïðàâëåíèé â Tρ M îáîçíà÷àåòñÿ sgrad∞± (f )(ρ).Èç òåîðåìû 3 ñëåäóåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè êîíòàêòíîé òî÷êè ρ ∈ Θ ãàìèëüòîíîâàñèñòåìà sgrad(f ), ðàññìàòðèâàåìàÿ íà ìíîæåñòâå M \ Θ, ïðèâîäèòñÿ ê âèäó: ẋ2 =1 ∂fx1 ∂x1−2x21ẋ2j+1∂fẋ1 = − x11 ∂x2³∂f∂fx3 ∂x+ x5 ∂x+ .
. . + x2k−1 ∂x∂f52k−1³3´∂f∂f2= x2 x2j+1 ∂x2 − ∂x2j+2 ,1∂f2x21 ∂x2j+1∂fṗi = − ∂qi∂fq̇i = ∂p,iẋ2j+2 =1 ≤ i ≤ n − k,´ (3.26)1≤j ≤k−1 .Çàìåíîé åäèíñòâåííîé êîîðäèíàòû âèäàxe2 = x2 +nXx2j−1 x2j + F (x1 )j=2ýòà ñèñòåìà ïðèâîäèòñÿ ê âèäó: ẋ2 =1 ∂fx1 ∂x1+ẋ2j+22x21³∂fẋ1 = − x11 ∂x2∂f∂fx4 ∂x+ x6 ∂x+ . . . + x2k ∂x∂f2k46ẋ2j+1 = − x22 ∂x∂f2j+21³´∂f2= x2 −x2j+2 ∂x2 + ∂x∂f2j+11∂fṗi = − ∂qiq̇i =´ .∂f∂piÅñëè âñå îñîáûå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ êîíòàêòíûìè, òî óñëîâèå df (Zρ ) ≡ 0íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ãàìèëüòîíîâî ïîëå sgrad(f ) áûëî133êîððåêòíî îïðåäåëåíî íà âñåì ìíîãîîîáðàçèè M (òåîðåìà 1). Òîãäà â êàíîíè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ (x, p, q), çàäàííûõ â îêðåñòíîñòè ρ ∈ Θ, â ïðîèçâîëüíîé îñîáîé òî÷êåâåêòîð v = sgrad(f )(x) èìååò ñëåäóþùèå êîìïîíåíòû:22v =∂2f∂x21³−2fv 1 = − ∂x∂1 ∂x23fx3 ∂x∂2 ∂x31³+3fx5 ∂x∂2 ∂x51+ ...
+∂3fv 2j+1 = 2 x2j+1 ∂x2 ∂x2 −1v2j+23x2k−1 ∂x2∂∂xf2k−11∂3f∂x21 ∂x2j+2´´3= 2 ∂x2∂∂xf2j+11∂fv 2k+2i−1 = − ∂qiv 2k+2i =èëè, ñîîòâåòñòâåííî,∂f,∂pi2fv 1 = − ∂x∂1 ∂x2v2 =∂2f∂x21³´3f∂3f∂3f+ 2 x4 ∂x∂2 ∂x+x+...+x6 ∂x2 ∂x62k ∂x2 ∂x2k41113v= −2 ∂x2∂∂xf2j+21´³3f∂3f2 −x2j+2 ∂x∂2 ∂x+2∂x1 ∂x2j+1212j+1v 2j+2 =∂fv 2k+2i−1 = − ∂qiv 2k+2i =1 ≤ i ≤ n − k,∂f,∂pi1≤j ≤k−1 .Ïðèìåð 6. Ïóñòü vf åñòü êîíòàêòíîå âåêòîðíîå ïîëå íà êîíòàêòíîììíîãîîáðàçèè K (ñì. § 1.1) è (L0 , Ω0 ) åñòü S - ñèìïëåêòèçàöèÿ K (îïðåäåëåíèå 4).Òîãäà èç (3.26) ñëåäóåò, ÷òî¡¢vf = lim sgrad χ2 f /2 ,χ→0ãäå ôóíêöèÿ χ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ χ(Θ) = 0,dρ χ 6= 0 ∀ρ ∈ Θ.
Êîíòàêòíûéãàìèëüòîíèàí f ðàññìàòðèâàåòñÿ, êàê ôóíêöèÿ íà L0 , êîòîðàÿ ïîñòîÿííà íà ñëîÿõêàíîíè÷åñêîé ïðîåêöèè π : L0 → Θ =e K . Ïîëå sgrad (χ2 f /2) êîððåêòíî îïðåäåëåíîíà âñåì ìíîãîîáðàçèè L0 2.Åñëè âáëèçè êîíòàêòíîé òî÷êè óñëîâèå df (Zρ ) ≡ 0 íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ïðåäåëüíîåïîâåäåíèå ïîëÿ sgrad(f ) ìîæåò áûòü õàîòè÷íûì. Íî ïðè íåêîòîðîì óñëîâèè, êîòîðîåÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì îáùåãî ïîëîæåíèÿ ôóíêöèé f íà M , ïîòîê sgrad(f ) â ïðåäåëåîñòàåòñÿ "ëàìèíàðíûì", õîòÿ åãî ôàçîâàÿ ñêîðîñòü îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü.Òåîðåìà 6 Ïóñòü dim Zρ = 2k ≥ 4 è f åñòü ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè êîíòàêòíîé òî÷êè ρ ∈ Θ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþdf (Πρ ) 6= 0 .134Òîãäà íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü O òî÷êè ρ, ÷òî ∀y ∈ O ∩ Θ ïîëå sgrad(f )èìååò òîëüêî îäíî ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå â òî÷êå y . Îíî èíöèäåíòíî 2k − 3ìåðíîé ïëîñêîñòè Πy ∩ Hy (f ) è ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì êâàçè-ïîðÿäêà 2. Ïðèýòîì íà ìíîæåñòâå O îïðåäåëåíî ãëàäêîå ïîëå íàïðàâëåíèé, ïðîäîëæàþùåå ïîëåíàïðàâëåíèé ïîòîêà sgrad(f ) è âêëþ÷àþùåå â ñåáÿ åãî ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ âòî÷êàõ O ∩ Θ.Äîêàçàòåëüñòâî.
 îêðåñòíîñòè O òî÷êè ρ ââåäåì êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû(x, p, q), â êîòîðûõ (x, p, q)(ρ) = 0 ∈ R2n . Ïëîñêîñòü Πρ íàòÿíóòà íà âåêòîðû∂(ρ),∂x3∂(ρ),∂x4∂(ρ),∂x2k−1...,∂(ρ) .∂x2kÈç (3.26) ñëåäóåò, ÷òî íåñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå íàïðàâëåíèå sgrad(f ) â òî÷êå ρîïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì ñ êîìïîíåíòàìè:v 1 = 0,v2 = 0v 2j+1 = − ∂x∂f2j+2v 2j+2 =∂f∂x2j+1v 2k+2i−1 = 0,1 ≤ i ≤ n − k,v 2k+2i = 0,1≤j ≤k−12.Òàêèì îáðàçîì, â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6 ñóùåñòâóåò sgrad∞ (f )(ρ) (îïðåäåëåíèå 7). êîîðäèíàòàõ (x3 , .
. . , x2k ) ïîëó÷åííûé âûøå âåêòîð v âûãëÿäèò, êàê êîñîé ãðàäèåíòôóíêöèè ∂ 2 f /∂x21 , âû÷èñëåííûé îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûk−1Xdx2j+1 ∧ dx2j+2 .j=1Çàìå÷àíèå 4  óñëîâèÿõ òåîðåìû 6 â ïðîèçâîëüíûõ êîîðäèíàòàõ z ∈ R2n ,äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(ρ) 3 ρ îòâå÷àþùèõ óñëîâèþ z1 (Θ ∩ O(ρ)) = 0,íàïðàâëåíèå sgrad∞ (f )(ρ) â òî÷êå ρ îïðåäåëÿåòñÿ íåíóëåâûì âåêòîðîì∂ 2k−3 F(ρ),∂z12k−3ãäå√F(z) = P f (ω)sgrad(f ) = ± det ω · sgrad(f ) .Äîêàçàòåëüñòâî.  êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ P f (ω)(x, p, q) = x2k−1/2k−1 ,1x2k−1F(x, p, q) = P f (ω)sgrad(f ) = 1k−1 sgrad(f )(x, p, q) .2Èç (3.26) ñëåäóåò, ÷òî âñå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè F, ïîðÿäêà îò 0 äî 2k − 4âêëþ÷èòåëüíî, òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ ïðè x1 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
