Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Òàêèì îáðàçîìòåîðèÿ êîíòàêòíûõ âûðîæäåíèé çàìêíóòûõ 2-ôîðì, êîòîðûå ïåðâîíà÷àëüíîíàçûâàëèñü ïðàâèëüíûìè [12], îêàçàëàñü ñâÿçàííîé ñ êîíòàêòíîé ãåîìåòðèåé.Ïîñëåäíÿÿ, òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëà íîâóþ ñèìïëåêòè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ,ñîãëàñíî êîòîðîé íà êîíòàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ïðîèñõîäÿò ìàêñèìàëüíî ãëóáîêèå,íî äîñòàòî÷íî ïðàâèëüíûå âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ñòðóêòóð. Ïðè ýòîìêîíñòðóêöèÿ êîíòàêòíî-ñâÿçíîé ñóììû ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé, ââåäåííàÿíèæå, ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ïðèìåðû êîìïàêòíûõ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè.
Ïîýòîìó êëàññ ìíîãîîáðàçèé ñ ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðîé, êîíòàêòíûì îáðàçîì îáíóëÿþùåéñÿ â òî÷êàõ ãèïåðïîâåðõíîñòè, íåèñ÷åðïûâàåòñÿ S - ñèìïëåêòèçàöèÿìè êîíòàêòíûõ ìíîãîîáðàçèé. Õîòÿ ñ ëîêàëüíîéòî÷êè çðåíèÿ íèêàêîé ðàçíèöû ìåæäó ýòèìè îáúåêòàìè íåò.Ñèìïëåêòèçàöèåé êîíòàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ (K, Π) íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïàðà(L, Ω), ÷òîL = { ζρ ∈ T ∗ K : ζρ 6= 0,ζρ (Πρ ) = 0 }è ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîðìà Ω íà L, èíäóöèðîâàííàÿ èç T ∗ K , ò.å. Ω = dϕ|L , ãäåϕζ (X) = ζ(π∗ (X))∀ζ ∈ T ∗ KËîêàëüíàÿ êîíòàêòíàÿ ôîðìà θ = du −∀X ∈ Tζ (T ∗ K),Pni=1π : T ∗K → K .pi dqi îïðåäåëÿåò íà L òàêèå êîîðäèíàòû(y, u, p, q), ÷òî y 6= 0 èζ = yθ,n´´³ ³Xpi dqi.Ωζ = d y du −(3.20)i=1Îïðåäåëåíèå 3 Ïóñòü Θ = {0 ∈ Tρ∗ K : ρ ∈ K} è L åñòü ñèìïëåêòèçàöèÿêîíòàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ K .Òîãäà çàìêíóòîé ñèìïëåêòèçàöèåé K íàçûâàåòñÿ ïàðà (L, Ω), ãäå L åñòüìíîãîîáðàçèå L ∪ Θ ñ ãëàäêîé ñòðóêòóðîé èç T ∗ K , à 2-ôîðìà Ω = dϕ|L ÿâëÿåòñÿîãðàíè÷åíèåì ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ìíîãîîáðàçèÿ T ∗ K . ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (y, u, p, q) íà L èìååò ìåñòî (3.20).
Ôîðìà Ωíåâûðîæäåíà íà L \ Θ è âûðîæäàåòñÿ â òî÷êàõ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ ⊂ L.120Ïîñëåäíÿÿ ëîêàëüíî îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì y = 0. Ðàíã ôîðìû Ω ðàâåí 2 â êàæäîéòî÷êå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Θ è Ω|Θ = 0.Ïóñòü α åñòü êîíòàêòíàÿ ôîðìà, çàäàííàÿ íà íåêîòîðîì îòêðûòîì ïîäìíîæåñòâåV ⊂ K . Òîãäà Ω|W = d(yπ ∗ α|W ), ãäåW = { λαρ : λ ∈ R,ρ ∈ V } = L ∩ π −1 (V ),ζρ = y(ζρ )αρ∀ζρ ∈ W.Åñëè ìíîæåñòâî V ÿâëÿåòñÿ êàðòîé ñ êîîðäèíàòàìè x1 , . .
. , x2n−1 , òî íà W îïðåäåëåíûêîîðäèíàòû y, π ∗ x1 , . . . , π ∗ x2n−1 . Êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè π ∗ xj , à òàêæå èõ çíà÷åíèÿáóäåì êðàòêî îáîçíà÷àòü xj . Çàìåíÿÿ êîîðäèíàòó y íà ôóíêöèþ √y, åñëè y ≥ 0χ=, −√−y, åñëè y < 0ïîëó÷èì êàðòó (W, χ, x1 , . . . , x2n−1 ), êîòîðóþ íàçîâåì ðàñòÿíóòîé (V, x, α) êàðòîé.Îíà ñîãëàñîâàíà ñ òåìè è òîëüêî òåìè êàðòàìè ïîäìíîãîîáðàçèÿ L ⊂ T ∗ K , îáëàñòèêîòîðûõ íå ïåðåñåêàþòcÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ W ∩ Θ.Îïðåäåëåíèå 4 Ïóñòü ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ = {0 ∈ Tρ∗ K : ρ ∈ K} ðàçðåçàåòçàìêíóòóþ ñèìïëåêòèçàöèþ (L, Ω) ñâÿçíîãî êîíòàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ (K, Π) íàäâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâà L± , ò.å.L = L+ ∪ L− ∪ Θ,L+ ∩ L− = ∅,Θ ∩ L± = ∅ .Îáîçíà÷èì L0 ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, ñòðóêòóðà êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íàòîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâå L ãëàäêèì àòëàñîì A0 , ñîñòîÿùèì èç âñåõðàñòÿíóòûõ (V, x, α) êàðò.Òîãäà S - ñèìïëåêòèçàöèåé ìíîãîîáðàçèÿ K íàçûâàåòñÿ ïàðà (L0 , Ω0 ), ãäåçàìêíóòàÿ 2-ôîðìà Ω0 íà L0 îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèé:¯¯¯¯Ω0 L+ = Ω L+¯¯Ω0 ¯L− = −Ω¯L−(Ω0 )ρ = 0 ∀ρ ∈ Θ.Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ 4.
Ïóñòü â äâóõ êàðòàõ àòëàñà A0 , îáëàñòèf ïåðåñåêàþòñÿ ïî ìíîæåñòâó U , çàäàíû êîîðäèíàòû (x1 , . . . , x2n ) èêîòîðûõ W è W(ex1 , . . . , xe2n ), ãäåy = ±x21 ,√x1 = ± ±y,ye = ±ex21 ,pxe1 = ± ±ey,121x1 (U ∩ Θ) = xe1 (U ∩ Θ) = 0 .Èç îïðåäåëåíèÿ êàðò àòëàñà A0 âûòåêàåò, ÷òî xe1 = f · x1 äëÿ íåêîòîðîé ãëàäêîéôóíêöèè f = f (x2 , . . . , x2n ) íà U . Îòñþäà âèäíà áåñêîíå÷íàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòüôóíêöèè xe1 (x1 , .
. . , x2n ). Ïóñòü 1 < i, j ≤ 2n. Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿêàÿ ÷àñòíàÿïðîèçâîäíàÿ âèäà¯∂ mxei∂ mxei¯(x,x,...,x)=(y,x,...,x),122n22n ¯m2nm2m2n2∂xm...∂x∂x...∂xy=±x2122n22náóäó÷è íåïðåðûâíîé ïî (y, x2 , . . . , x2n ), íåïðåðûâíà ïî âñåì ïåðåìåííûì x. Ïîñêîëüêóf ñ ïîìîøüþ ïðîåêöèè π : L → K ,ôóíêöèè x2 , . . . , x2n è xe2 , .
. . , xe2n ïîäíÿòû íà W è Wòîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ è, ñòàëî áûòü, íåïðåðûâíà ëþáàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿâèäà∂ mxei(x1 , . . . , x2n ) ,m1m22n∂x1 ∂x2 . . . ∂xm2níåçàâèñèìî îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì A0 åñòü àòëàñ êëàññàC ∞ íà L.Ïî óñëîâèþ òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî L0 = L ðàçðåçàíî ãèïåðïîâåðõíîñòüþΘ íà äâà îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâà L± , íà êîòîðûõ³´³´XXX X ∂αj22Ω = d ±x1αj dxj = ± 2x1 dx1 ∧αj dxj + x1dxi ∧ dxj .∂xij>1j>1j>1 i>1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êîîðäèíàòàõ (x1 , x2 , .
. . , x2n ) ôîðìà Ω0 âûãëÿäèò òàê:´X³X ∂αjΩ0 = x12αj dx1 + x1dxi ∧ dxj = d(x21 π ∗ α|W ) 2 .∂xij>1i>1(3.21)Ïîëó÷åííîå èç L ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå L0 ìîæíî íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü, êàêðåçóëüòàò ðàñòÿæåíèÿ áåñêîíå÷íî òîíêîãî ñëîÿ îêðåñòíîñòè ïîâåðõíîñòè Θ.Ýòî ñîîáðàæåíèå ïîäñêàçûâàåò òåðìèí S - ñèìïëåêòèçàöèÿ, ïðîèñõîäÿùèé îòàíãëèéñêîãî Stretched ðàñòÿíóòûé.
Íà îòêðûòûõ ïîäìíîæåñòâàõ L± ãëàäêèåñòðóêòóðû ìíîãîîáðàçèé L è L0 ñîãëàñîâàíû. Çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà Ω0 íåâûðîæäåíàíà L0 \ Θ è ðàâíà íóëþ â êàæäîé òî÷êå ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ. Ïîñëåäíÿÿ ÿâëÿåòñÿêîíòàêòíûì ìíîãîîáðàçèåì, êîíòàêòîìîðôíûì (K, Π). Êîíòàêòíûìè íà Θ ÿâëÿþòñÿ1-ôîðìû âèäà (π ∗ α)|Θ , ãäå α åñòü êîíòàêòíàÿ ôîðìà K . ñâÿçè ñ îïðåäåëåíèåì S - ñèìïëåêòèçàöèè âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ:íåëüçÿ ëè ïðîñòî ââåñòè ôîðìó Ω0 = (χ2 α) íà ïðîèçâåäåíèè Θ × R, êîòîðîåîïðåäåëÿåòcÿ ôèêñàöèåé ëþáîé êîíòàêòíîé ôîðìû α íà Θ ? Íåñìîòðÿ íàýñòåòè÷åñêóþ ïðèâëåêàòåëüíîñòü òàêîãî ïîäõîäà â ñðàâíåíèè ñ îïðåäåëåíèåì 4,îí èìååò ñåðüåçíûé íåäîñòàòîê.
Äåëî â òîì, ÷òî ïîëó÷àåìàÿ òàêèì îáðàçîì 2ôîðìà Ω0 íåîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êîíòàêòíîé ñòðóêòóðîé, ïîñêîëüêó çàâèñèò îò122êîíòàêòíîé ôîðìû α.  ñàìîì äåëå, ïóñòü äàíû êîíòàêòíûå ôîðìû α è αe = tα.Òîãäà χe = χ/t è³1´³1´d(eχ2 αe) = d 2 χ2 tα = d χ2 α 6= d(χ2 α) .ttÏðè ýòîì â êîíñòðóêöèè îáû÷íîé èëè çàìêíóòîé ñèìïëåêòèçàöèè ôîðìà d(χα) îòâûáîðà êîíòàêòíîé ôîðìû α óæå íå çàâèñèò.Çàìå÷àíèå 2 Îðèåíòèðóåìûå, ñâÿçíûå êîíòàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ èìåþò S ñèìïëåêòèçàöèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè.Äîêàçàòåëüñòâî.
Òî÷íîñòü îðèåíòèðóåìîãî êîíòàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ (K, Π)ýêâèâàëåíòíà (êî)îðèåíòèðóåìîñòè ïîëÿ êîíòàêòíûõ ãèïåðïëîñêîñòåé Π, ò.å.îðèåíòèðóåìîñòè åãî çàìêíóòîé ñèìïëåêòèçàöèè L. Ïîñëåäíÿÿ îðèåíòèðóåìà òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà (ñâÿçíàÿ è îðèåíòèðóåìàÿ) ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ =e K ðàçðåçàåòìíîãîîáðàçèå L íà äâà êóñêà 2.Ïðåäëîæåíèå 9 Ïóñòü (L0 , Ω0 ) åñòü S - ñèìïëåêòèçàöèÿ êîíòàêòíîãîìíîãîîáðàçèÿ (K, Π).
Òîãäà êàæäàÿ òî÷êà ρ∈Θ ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîéîòíîñèòåëüíî ôîðìû Ω0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðíîå ïîëå X è ôóíêöèþ χ âîêðåñòíîñòè U ïîâåðõíîñòè Θ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì:Xρ 6⊂ Tρ Θ,dρ χ 6= 0 ∀ρ ∈ Θ,χ(Θ) = 0 .(3.22)Ââåäåì 1-ôîðìó µ = limχ→0 iX (Ω0 /χ) íà ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ.
Èç (3.21) ñëåäóåò, ÷òîôîðìà µ ïðîïîðöèîíàëüíà ëþáîé êîíòàêòíîé ôîðìå α ìíîãîîáðàçèÿ Θ =e K .  ñèëóïðåäëîæåíèÿ 1 èìååì d2n−1 P f (Ω0 ) 6= 0 â êàæäîé òî÷êå Θ. Ïîýòîìó êàæäàÿ òî÷êàãèïåðïîâåðõíîñòè Θ ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé 2.3.2.3. Ðåøåíèÿ Ôðèäìàíà.Ðàññìîòðèì ôèçè÷åñêè ñîäåðæàòåëüíûé ïðèìåð S - ñèìïëåêòèçàöèè. 1922ã. Ë.À. Ôðèäìàí ïîëó÷èë ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà,èç êîòîðûõ ïîçäíåå ðîäèëàñü òåîðèÿ ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé. Ïðè ìàëîì tïðèáëèæåíèåì ê ðåøåíèÿì Ôðèäìàíà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ èíäåôèíèòíàÿ ìåòðèêàïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè:¡¡¢¢ds2 = c2 dt2 − kt dψ 2 + f 2 (ψ) dθ2 + sin2 θdϕ2 ,123ãäå k åñòü ýìïèðè÷åñêàÿ êîíñòàíòà è ψ, θ, ϕ åñòü ñòàíäàðòíûå êîîðäèíàòû íàåäèíè÷íîé 3-ìåðíîé ñôåðå èëè íà 3-ìåðíîì ãèïåðáîëîèäå [22]. Ñîîòâåòñòâåííî,â çàêðûòîé ìîäåëè èìååì f (ψ) = sin ψ (ïóëüñèðóùàÿ Âñåëåííàÿ), à â îòêðûòîéf (ψ) = sh ψ (íåîãðàíè÷åííîå ðàñøèðåíèå).
Èçëîæåííûå ðàññóæäåíèÿ íå çàâèñÿòîò òèïà ìîäåëè (îòêðûòàÿ èëè çàêðûòàÿ), ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèìf (ψ) = sin ψ . Ýòî îòâå÷àåò ïîïóëÿðíîé ãèïîòåçå î òîì, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíèÌèð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 3-ìåðíóþ ñôåðó St3 .Ïðè t > 0 ãåîäåçè÷åñêèé ïîòîê ãàìèëüòîíîâ îòíîñèòåëüíî ñèìïëåêòè÷åñêîé¡P4¢P4−1ôîðìû β = di,j gij q̇i dqj è ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H = 2ij gij q̇i q̇j :³¡¢´2H = c2 ṫ2 − kt ψ̇ 2 + sin2 ψ θ̇2 + sin2 θϕ̇2 ,∂∂∂∂+ ψ̇+ θ̇+ ϕ̇ +∂t∂ψ∂θ∂ϕ³´³¡ 2¢¢ ψ̇ ṫ ´ ∂ksin 2ψ ¡ 22222 ∂22+ 2 − sin ψ θ̇ + sin θϕ̇ − ψ̇+θ̇ + sin θϕ̇ −+2c2t ∂ ψ̇∂ ṫ³ ϕ̇2 sin 2θ³θ̇ṫ ´ ∂ϕ̇ṫ ´ ∂+− 2θ̇ψ̇ cot ψ −+ −2ϕ̇θ̇ cot θ − 2ϕ̇ψ̇ cot ψ −.2t ∂ θ̇t ∂ ϕ̇sgrad(H) = ṫÇàìêíóòàÿ 2-ôîðìà β íà ìíîãîîáðàçèè M =e T S 3 × R+ × R èìååò âûðîæäåííûåîñîáåííîñòè â òî÷êàõ åãî êðàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòèK = ∂M =e T S 3 × {0} × R,îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì t = 0.
 êàæäîé òî÷êå p ∈ K ÿäðî Zp = Ker(βp ) íàòÿíóòîíà âåêòîðû∂,∂ ψ̇∂,∂ θ̇∂,∂ ϕ̇∂ψ̇ ∂−k 2,∂ψc ∂ ṫ∂sin2 ψ θ̇ ∂−k,∂θc2 ∂ ṫ∂sin2 ψ sin2 θϕ̇ ∂−k∂ϕc2∂ ṫ.Ïîëå 6-ìåðíûõ ÿäåð Zp êàñàåòñÿ 7-ìåðíîé ïîâåðõíîñòè K è îïðåäåëÿåò íà íåé òî÷íóþêîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó p 7−→ Zp = Ker(βp ) = αp−1 (0) ñ êîíòàêòíîé 1-ôîðìîé³222´α = −k ψ̇dψ + sin ψ θ̇dθ + sin ψ sin θϕ̇dϕ − c2 dṫ .Îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî M \K ñ 2-ôîðìîé β = d(tα) ÿâëÿåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèììíîãîîáðàçèåì,êîòîðîåêàíîíè÷åñêèñèìïëåêòîìîðôíîñâÿçíîéêîìïîíåíòåcèìïëåêòèçàöèè (L, Ω), ðàñïîëîæåííîé ñ ïîëîæèòåëüíîé ñòîðîíû îò íóëåâîãîñå÷åíèÿ Θ.
Äàííûé ñèìïëåêòîìîðôèçì îäíîçíà÷íî ïðîäîëæàåòñÿ äî ñîõðàíÿþùåãî2-ôîðìó âëîæåíèÿ I ìíîãîîáðàçèÿ (M, β) â çàìêíóòóþ ñèìïëåêòèçàöèþ (L, Ω).124Î÷åâèäíî, ÷òî I(K) = Θ. Ïóñòü (L0 , Ω0 ) åñòü S - ñèìïëåêòèçàöèÿ ìíîãîîáðàçèÿ(K, Z). Ãîìåîìîðôèçì I êàæäîé òî÷êå (t, ψ, θ, ϕ, ṫ, ψ̇, θ̇, ϕ̇) ∈ M ñîîòíîñèò òî÷êót = χ2 .(χ, ψ, θ, ϕ, ṫ, ψ̇, θ̇, ϕ̇) ∈ L0 ,Çàôèêñèðóåì íà M èíäóöèðîâàííóþ îòîáðàæåíèåì I −1 ãëàäêóþ ñòðóêòóðóïîäìíîãîîáðàçèÿ L0 è 2-ôîðìó ω = I ∗ (Ω0 ). Òîãäà çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà¡¢ω = d χ2 αîáíóëÿåòñÿ íà ãèïåðïîâåðõíîñòè K = ∂M , ñîñòîÿùåé èç êîíòàêòíûõ òî÷åê.Ïî ñóùåñòâó, ïåðåõîä ê S - ñèìïëåêòèçàöèè ñâîäèòñÿ â äàííîì ñëó÷àå ê√çàìåíå êîñìè÷åñêîãî âðåìåíè t ïåðåìåííîé χ =t, êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíàò.í.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
