Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. . ω2n−1,2n−ω2k+1,2n...0Â ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ñëàãàåìîå ïôàôôèàíà P f (ω), êîòîðîå èìååòñëåäóþùèé âèä:ωi1 ,j1 ωi2 ,j2 · . . . · ωit ,jt ωit+1 ,jt+1 . . . ωin ,jn ,it ≤ 2k,it+1 > 2k,is < is+1 ,is < jsi1 = 1,∀s ∈ {1, .
. . , n}.Ïîñêîëüêó i2 > 1, òî (êàê ìû âèäåëè ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3) âñå ýëåìåíòûωi2 ,j2 , . . . , ωit ,jt âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè 1-ãî ïîðÿäêà ðàâíû íóëþ ïðè x1 = 0. Òàêêàê ýòèõ ýëåìåíòîâ ωi2 ,j2 , . . . , ωit ,jt íå ìåíüøå, ÷åì k − 1, òî èç âñåõ ñëàãàåìûõ,ñîñòàâëÿþùèõ ëþáóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ P f (ω) ïîðÿäêà îò 0 äî 2k − 1, òîëüêîñëàãàåìûå âèäà∂ 2 ωik ,jk∂ω1,j1 ∂ 2 ωi2 ,j2...ωik+1 ,jk+1 .
. . ωin ,jn ,∂x1 ∂x21∂x21ik ≤ 2k,ik+1 > 2kìîãóò áûòü îòëè÷íûìè îò íóëÿ. Èõ ñóììà ñ ó÷åòîì çíàêîâ ñîîòâåòñòâóþùèõïåðåñòàíîâîê σ êàê ðàç ðàâíà ïôàôôèàíó âûøåóêàçàííîé ìàòðèöû. Ñëåäîâàòåëüíî,åå íåâûðîæäåííîñòü ðàâíîñèëüíà êîíòàêòíîñòè îñîáîé òî÷êè 2.97Ïðèìåð 2.  óñëîâèÿõ ïðåäëîæåíèÿ 1 êîíòàêòíîå ìíîãîîáðàçèå Θ ñîñòîèò èçòî÷åê, êîíòàêòíûõ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.Êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå áëèæå ñëó÷àé, êîãäà çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ω íà ÷åòíîìåðíîé ïîâåðõíîñòè M ⊂ N èíäóöèðîâàíà èç ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ(N, Ω). Êîñîé ãðàäèåíò ôóíêöèè f íà M , âû÷èñëåííûé îòíîñèòåëüíî ôîðìû ω =Ω|M , îáîçíà÷àåì sgradM (f ). Ïóñòü ρ ∈ M è Lρ êîñîîðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå Tρ Mâ Tρ N . Åñëè ïëîñêîñòü Lρ òðàíñâåðñàëüíà Tρ M , òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè F : N → Râåêòîð sgradM (F |M )(ρ) ÿâëÿåòñÿ êîñîîðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé sgrad(F )(ρ) íà Tρ M[30].
Êàê ïðàâèëî, ýòà ïðîåêöèÿ íå îïðåäåëåíà â òî÷êàõ âûðîæäåíèÿ ôîðìû ω . Âêàæäîé òî÷êå ρ ∈ Θ ⊂ Mdim(Lρ + Tρ M ) < dim Tρ N,Zρ = Ker(ωρ ) = Lρ ∩ Tρ M.Ëåììà 4 Ïóñòü â 2n + 2m - ìåðíîì ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (N, Ω)ïîäìíîãîîáðàçèå M ⊂ N ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ íóëåâîãî óðîâíÿ íåçàâèñèìûõôóíêöèé F1 , . .
. , F2m , è ω = Ω|M . Òîãäà â ëþáûõ êîîðäèíàòàõ âèäà(F, x) = (F1 , . . . , F2m , x1 , . . . , x2n )ïðè F = 0 èìååò ìåñòî:¡¢¡¢ ¡¢P f ωij (x) = ±P f Ωrs (0, x) P f {Fα , Fβ } ,(1 ≤ i, j ≤ 2n,1 ≤ α, β ≤ 2m,(3.7)1 ≤ r, s ≤ 2n + 2m) .Äîêàçàòåëüñòâî.  îáëàñòè O, ïåðåñåêàþùåéñÿ ñ Θ ⊂ M , ââåäåì êîîðäèíàòû¡ ¢¡(F, x) è ðàññìîòðèì ìàòðèöû A = ωij , B = {Fα , Fβ }. Ìàòðèöà Ïóàññîíà P èìàòðèöà ôîðìû Ω ñóòü âçàèìíî îáðàòíûå. Ïîñêîëüêó âåêòîðû ∂/∂xj ïðè F = 0êàñàþòñÿ ïîâåðõíîñòè Θ, òî A åñòü ïðàâûé-íèæíèé, óãëîâîé 2n - ìèíîð ìàòðèöûΩ.
À òàê êàê B åñòü ëåâûé-âåðõíèé, óãëîâîé 2m - ìèíîð ìàòðèöû P , òî det(A) =det(B) det(Ω). Îòñþäà ñðàçó ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3.7) 2.Ïðåäëîæåíèå 2  óñëîâèÿõ ëåììû 4 ïóñòü ρ ∈ Θ ⊂ M è S òàêàÿ ãëàäêàÿãèïåðïîâåðõíîñòü â M , ÷òî ρ ∈ S ⊂ Θ è äëÿ íåêîòîðîãî k > 0¡¢rk {Fα , Fβ } (y) = 2m − 2k98∀y ∈ S .(3.8)Òî÷êà ρ ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ òàêîé íàáîðèíäåêñîâ p = (p1 , .
. . , p2n ) è íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå (c1 , . . . , c2m ) ñèñòåìû (3.10), ÷òîäëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(ρ) è âñåõ (0, x) ∈ S ∩ O(ρ) èìååò ìåñòî:¡¢∂ 2k−2 P f {Fα , Fβ }(0, x) ≡ 0,∂xp11 . . . ∂xp2n2n¡¢2n2m XX∂ 2k−1 P f {Fα , Fβ }{Fγ , xj }(ρ) 6= 0 .cγp2np1...∂x∂x∂xj12nγ=1 j=1(3.9)Äîêàçàòåëüñòâî. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.10) îïðåäåëÿåò íàáîð êîýôôèöèåíòîâ cγ , äëÿPêîòîðîãî âåêòîð vρ = 2mγ=1 cγ sgrad(Fγ )(ρ) êàñàåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèÿ M :2mX{Fα , Fγ }(ρ) · cγ = 01 ≤ α ≤ 2m.(3.10)γ=1Ïî ôîðìóëå Ý. Êàðòàíà dim Ker(ω) = const = 2k íà S [19,58], ïðè ýòîì Zρ = Tρ M ∩Lρ , ãäå ïîäïðîñòðàíñòâî Lρ íàòÿíóòî íà âåêòîðû sgrad(Fα ).Èç ëåììû 3 è ôîðìóëû (3.7) ñëåäóåò, ÷òî â êîíòàêòíîé òî÷êå ρ ∈ S ðàâíû íóëþ¡¢âñå ïðîèçâîäíûå P f {Fα , Fβ } (0, x), ïîðÿäêîâ îò 0 äî 2k − 2 âêëþ÷èòåëüíî.
Ïðèýòîì íàéäåòñÿ ìóëüòèèíäåêñ p = (p1 , . . . , p2n ), äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿ ∂x2k−2P f èìååòpíåíóëåâîé äèôôåðåíöèàë â òî÷êå ρ. Òîãäà íåðàâåíñòâî (3.9) ýêâèâàëåíòíî vρ 6∈ Tρ S .Òàêîé âåêòîð vρ , à çíà÷èò è íàáîð ÷èñåë cγ íàéäóòñÿ â ñèëó óñëîâèÿ Zρ 6⊂ Tρ S .Îáðàòíî, â ñèëó (3.9) íàéäåòñÿ ìóëüòèèíäåêñ p = (p1 , . . . , p2n ), äëÿ êîòîðîãîôóíêöèÿ ∂x2k−2P f èìååò íåíóëåâîé äèôôåðåíöèàë â òî÷êå ρ.
Òîãäà vρ 6∈ Tρ S , à çíà÷èòpè Zρ 6⊂ Tρ S . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ëåììû 3 èç (3.8) è ôîðìóëû (3.7) âûòåêàåò, ÷òî âñå¡¢ïðîèçâîäíûå P f {Fα , Fβ } (0, x), ïîðÿäêîâ îò 0 äî 2k − 2 âêëþ÷èòåëüíî, ðàâíû íóëþíà S . Ñ ó÷åòîì ýòîãî è (3.9), èñïîëüçóÿ (3.7) ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî d2k−1 P f (ω)ρ 6= 0.Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà ρ êîíòàêòíàÿ 2.Ïðèìåíèìïðåäëîæåíèå2âî÷åíüðàñïðîñòðàíåííîéñèòóàöèè,êîãäàïîäìíîãîîáðàçèå M ⊂ N îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèéF1 = F2 = 0.Òîãäà m = 1 è (3.8) îçíà÷àåò, ÷òî {F1 , F2 }|S ≡ 0.  äàííîì ñëó÷àå k = 1 è ÿäðîZρ íàòÿíóòî íà âåêòîðû sgrad(F1 ) è sgrad(F2 ). Óñëîâèå (3.8) è òîæäåñòâî (3.9)âûïîëíåíû àâòîìàòè÷åñêè.
Ðåøåíèåì (3.10) ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ïàðà ÷èñåë (c1 , c2 ), èíåðàâåíñòâî (3.9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåc1 {{F1 , F2 }, F1 } + c2 {{F1 , F2 }, F2 } 6= 0.Èòàê, ìíîæåñòâî Θ ⊂ M îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì {F1 , F2 } = 0.99Ñëåäñòâèå 1 Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ïàðû ãëàäêèõ ôóíêöèé F1 è F2 íàñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè N ïîäìíîãîîáðàçèå M ⊂ N ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîéïîâåðõíîñòü óðîâíÿ F1 = F2 = 0, òî òî÷êàρ ∈ Θ = {y ∈ M : {F1 , F2 }(y) = 0}ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà{{F1 , F2 }, F1 }(ρ) 6= 0èëè{{F1 , F2 }, F2 }(ρ) 6= 0.(3.11)Ïðèìåð 3.
 § 2.3 îïèñàíà ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ I êëàññà îñîáî çàìå÷àòåëüíûõäâèæåíèé (ïî Àïïåëüðîòó) âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ìàãíèòíîì ïîëå. Ôîðìà ωíà èíâàðèàíòíîì ïîäìíîãîîáðàçèè M4 ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì ñèìïëåêòè÷åñêîéôîðìû Êèðèëëîâà-Êîíñòàíòà, îïðåäåëåííîé íà îðáèòå O6 ñîîòâåòñòâóþùåãîêîïðåäñòàâëåíèÿ. Âëîæåíèå M4 ⊂ O6 îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè Z1 = Z2 = 0.2Îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü Θ ⊂ M4 åñòü ïîäìíîãîîáðàçèå M3 =Se 00× S 1 (ïðåäëîæåíèå 7, §2.3) íóëåâîãî óðîâíÿ áîòòîâñêîãî èíòåãðàëà1F = {Z1 , Z2 }|M4 .4Ïðèìåíÿÿ êðèòåðèé (3.11) â ñèëó (2.5) çàêëþ÷àåì, ÷òî âñå òî÷êè îñîáîãîìíîãîîáðàçèÿ Θ ÿâëÿþòñÿ êîíòàêòíûìè.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå òî÷êè âûðîæäåíèÿôîðìû ω èìåþò îáùåå ïîëîæåíèå â ñìûñëå (1.2) 2. ðàññìîòðåííîì ñëó÷àå óñëîâèå (3.11) ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òîdim Zρ = 2,¡¢dρ P f (ω) (Zρ ) 6= 0.(3.12)Äëÿ ëþáîãî ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòüþ âñÿêàÿ òî÷êà ρ ∈ Θïðè óñëîâèè (3.12) ÿâëÿåòñÿ êîíòàêòíîé. Îáðàòíî, â ëþáîé êîíòàêòíîé òî÷êå ρ âñëó÷àå dim Zρ = 2 ñïðàâåäëèâî (3.12). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëó÷àå dim Zρ = 2îñîáàÿ òî÷êà ρ èìååò îáùåå ïîëîæåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿêîíòàêòíîé. Ïîýòîìó ïðè óñëîâèè (3.11) ôîðìà ω èìååò îáùåå ïîëîæåíèå â òî÷êå ρ.Êàê óæå îòìå÷àëîñü â ï.
1.2.2, ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëàlimy→ρ, y6∈Θsgrad(f )(y),ρ∈Θâñåãäà âëå÷åò df (Zρ ) = 0, ïîcêîëüêó∀v ∈ Zρ¡¢dfρ (v) = ωρ v, lim sgrad(f )(y) = 0.y→ρ100Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî (ïðèìåð 3, § 1.2). Îäíàêî, åñëè âñå òî÷êè ρ ∈ Θÿâëÿþòñÿ êîíòàêòíûìè, òî â ñëó÷àå df (Z)ρ ≡ 0 íà ìíîãîîáðàçèè M êîððåêòíîîïðåäåëåíî ãëàäêîå ãàìèëüòîíîâî ïîëå sgrad(f ). Ýòî óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èçñëåäóþùåé òåîðåìû.3.1.3. Ïðîäîëæåíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé.Êàê îòìå÷àëîñü â § 1.2, âîïðîñ î êîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè ãàìèëüòîíîâûõïîëåé sgrad(f ) â òî÷êàõ âûðîæäåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ω ðàññìàòðèâàåòñÿäîâîëüíî äàâíî. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå df (Ker(ω)) ≡ 0 äàëåêî íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íûì, è êàêèõ-ëèáî îáùèõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîì íàïðàâëåíèè íåò.
 ñëó÷àåêîíòàêòíûõ âûðîæäåíèé äîñòàòî÷íîñòü äàííîãî óñëîâèÿ âûòåêàåò èç ñëåäóþùåéòåîðåìû, êîòîðàÿ èìååò êëþ÷åâîå çíà÷åíèå äëÿ âñåé òåîðèè.Òåîðåìà 1 Ïóñòü ρ êîíòàêòíàÿ òî÷êà è f ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà M . Åñëèdf (Zy ) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ Θ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê ρ, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåëlim sgrad(f )(y),Θ63y→ρïðèíàäëåæàùèé Tρ Θ è ãëàäêî çàâèñÿùèé îò òî÷êè ρ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì êîîðäèíàòû x = (x1 , . . . , x2n ) â îêðåñòíîñòè U (ρ) òàê,÷òî x(ρ) = 0 è ïîâåðõíîñòü Θ∩U (ρ) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0. Òîãäà df (Zx ) =0 îçíà÷àåò ∂f /∂xα = 0 ïðè âñåõ 1 ≤ α ≤ 2k .Ïóñòü σ ∈ S2n òàêàÿ ïåðåñòàíîâêà âèäà (i, j, i2 , j2 , .
. . , in , jn ), ÷òî is < js èis < is+1 , è Σσ îáîçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì óêàçàííîãî âèäà,òîãäà:ω ij P f (ω) = −Xsgn(σ)ωi2 j2 . . . ωin jn = −Aij ,σ¡P¢i − 2nj=1 Aij ∂f /∂xjsgrad(f )(x) =.P f (ω)Ðàññìîòðèì âåêòîð-ôóíêöèþ:F(x) = P f (ω)(x) · sgrad(f )(x),iF (x) = −2nXj=1Aij∂f∂xj(1 ≤ i ≤ 2n).Äîêàæåì, ÷òî âñå åå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà îò 0 äî 2k − 2 ðàâíû íóëþ ïðè x1 = 0.Êàæäîå Aij ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ âèäàωi2 ,j2 .
. . ωit ,jt ωit+1 ,jt+1 . . . ωin ,jn ,101it ≤ 2k, it+1 > 2k, t ≥ k.(3.13)Åñëè i2 > 1, òî âñå ωi2 ,j2 , . . . , ωit ,jt âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè 1-ãî ïîðÿäêà ðàâíû íóëþïðè x1 = 0 (ëåììà 3). Òàê êàê ýëåìåíòîâ ωi2 ,j2 , . . . , ωit ,jt íå ìåíüøå, ÷åì k − 1, òî èçâñåõ ñëàãàåìûõ, ñîñòàâëÿþùèõ ëþáóþ ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ (3.13) ïîðÿäêà îò 0 äî2k − 2, òîëüêî∂ 2 ωi2 ,j2∂ 2 ωik ,jk...ωik+1 ,jk+1 . .
. ωin ,jn ,∂x21∂x21ik ≤ 2k, ik+1 > 2kìîæåò áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ. Òîãäà (i, j, i2 , j2 , . . . , ik , jk , ik+1 , jk+1 , . . . , in , jn ) åñòüïåðåñòàíîâêà íàáîðà (1, . . . , 2n), â êîòîðîé 2n − 2k ÷èñåë áîëüøå 2k è îòëè÷íî îòj , â ñèëó ÷åãî j ≤ 2k è ∂f /∂xj = 0.Åñëè i2 = 1, òî èç âñåõ ñëàãàåìûõ, ñîñòàâëÿþùèõ ïðîèçâîäíóþ (3.13) ïîðÿäêà îò0 äî 2k − 3, òîëüêî∂ 2 ωik ,jk∂ω1,j2 ∂ 2 ωi3 ,j3...ωik+1 ,jk+1 . . . ωin ,jn ,∂x1 ∂x21∂x21ik ≤ 2k, ik+1 > 2kìîæåò áûòü îòëè÷íûì îò íóëÿ. Íî òîãäà ñíîâà j ≤ 2k è ∂f /∂xj = 0.Èòàê, âñå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Aij ∂f /∂xj , ïîðÿäêà îò 0 äî 2k−3 âêëþ÷èòåëüíî,ðàâíû íóëþ ïðè x1 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
