Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Îíà íàêðûâàåò êðèòè÷åñêóþ3îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ïðîåêòèðóåòñÿ â íåêîòîðóþ òî÷êó (h0 , f ) âåòâè f3 . Çàìåòèì, ÷òîïðè h → +∞ îáå âåòâè f3 íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàþòñÿ ê ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîéf = 0.Êàê ìû âèäåëè âûøå, îêðóæíîñòü β+ (h) ñêëåèâàåòñÿ â âîñüìåðêó ïðè h → h3 −0è ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïðè h > h3 . Ýòà âîñüìåðêà ïðîåêòèðóåòñÿ íà ñåãìåíò ïàðàáîëû,ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êè A, G è C (ðèñ. 6). Åñëè f äîñòàòî÷íî ìàëî, òî ïðîåêöèÿîêðóæíîñòè µ+,m(f ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèâóþ âíóòðè øåñòèóãîëüíèêà ABCDEF ,3êàê óãîäíî áëèçêóþ ê ýòîìó ñåãìåíòó.
 òî âðåìÿ, êàê îêðóæíîñòü µ+,m(f ) äðåéôóåò3â ïîòîêå ∇Hf , åå ïðîåêöèÿ óäàëÿåòñÿ îò îòðåçêà [AF ] â íàïðàâëåíèè îòðåçêà[BC]. Ïðè ýòîì ïðîåêöèÿ ìàêñèìàëüíîé îêðóæíîñòè f3+ (h) ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿê îòðåçêó [AF ], òàê êàê ρ → 0 ïðè h → +∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì(f ), äðåéôóÿ â ïîòîêå ∇Hf , íå ìîæåò íàêðûâàòü ìàêñèìàëüíóþf îêðóæíîñòü µ+,m3îêðóæíîñòü íàä âåòâüþ f3 . Èç ñîîáðàæåíèé ñâÿçíîñòè ëåãêî çàêëþ÷èòü, ÷òî ýòî æåèìååò ìåñòî ïðè ëþáîì f . Äîêàçàíî, ÷òî öèêë µ±,m(f ) ÿâëÿåòñÿ ìåðèäèàíîì "ñâîåãî"3ïîëíîòîðèÿ.Òåïåðü ìû íàéäåì ìàòðèöû ñêëåéêè ñåäåë ñ ïîëíîòîðèÿìè, êîòîðûå ïîÿâèëèñüïðè h > h0 âìåñòå ñ íîâûìè àòîìàìè A (ðèñ. 4).
Öèêë µ±,m(f ) ìîæíî âêëþ÷èòü â3äîïóñòèìûé áàçèñ ìèíèìàêñíîãî ïîëíîòîðèÿ â Q3h , îòâå÷àþùåãî âåòâè f3 (ðèñ. 8).Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëíîòîðèå íàä îòðåçêîì [i+ ; k+ ], ÿâëÿþùååñÿ êîìïîíåíòîéFh−1 [f3+ (h)−δ; f3+ (h)], è ñêëååííîå ñ íèì ñåäëî, ÿâëÿþùååñÿ êîìïîíåíòîé Fh−1 [f4+ (h)−δ; f4+ (h) + δ]. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òîð T+2 (h, f0 ) íàä òî÷êîé i+ îäíîâðåìåííî ãðàíè÷èòñ ïîëíîòîðèåì è ñåäëîì, ò.å. ÷òîf0 = f3+ (h) − δ = f4+ (h) + δ.Òîãäà áàçèñ (λ+,m(f0 ), −µ+,m(f0 )) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì íà òîðå T+2 (h, f0 ), êàê íà33êðàå ñåäëà, à áàçèñ (−µ+,m(f0 ), λ+,m(f0 )) ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì íà ýòîì æå òîðå, êàê33íà êðàå ïîëíîòîðèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ñêëåéêè èìååò âèä (2.8).  òî÷êå i−ïîëó÷èì òîò æå ðåçóëüòàò.Ñêëåèâàþùèå èçîòîïèè, êîòîðûå ïîïàðíî ñîåäèíÿþò ìåæäó ñîáîé àòîìû B èïðîõîäÿò ÷åðåç íóëåâîé óðîâåíü èíòåãðàëà F , âïîëíå àíàëîãè÷íû ïðåäøåñòâóþùèì.Îíè òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ ìàòðèöàìè ñêëåéêè (2.11), ïîýòîìó çäåñü ìû íåîñòàíàâëèâàåìñÿ.872.3.8.
Ìåòêè ïðè h > h3 .Ïðè h < h3 ïðîåêöèåé ìíîæåñòâà Q3h ∩ {M3 = 0} ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [KL] (ðèñ.6). Åñëè çíà÷åíèå h ïðîõîäèò ÷åðåç h3 , òî ïîäìíîãîîáðàçèå Q3h ðàçðûâàåòñÿ âäîëüïàðû îêðóæíîñòåé γ3± . Ïðè h > h3 îíî èìååò äâå ñâÿçíûõ êîìïîíåíòû, îòâå÷àþùèõïðîòèâîïîëîæíûì çíàêàì êîîðäèíàòû M3 . Ýòè äâå êîìïîíåíòû ÿâëÿþòñÿ σ ñèììåòðè÷íûìè. Êîìïîíåíòà {M3 > 0} ñîäåðæèò êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè f1+ (h),f2+ (h) è ïàðó îêðóæíîñòåé f3− (h). Ïðè ýòîì êîìïîíåíòà {M3 < 0} ñîäåðæèò f1− (h),f2− (h) è ïàðó f3+ (h).
Äâóì êîìïîíåíòàì Q3h îòâå÷àþò äâå ðàçëè÷íûõ ìîëåêóëû (ðèñ.4).Ðàññìîòðèì êîìïîíåíòó M3>0 è âû÷èñëèì ìàòðèöû ñêëåéêè ñåäëàFh−1 [f2+ (h) − δ; f2+ (h) + δ] ñ äâóìÿ ïîëíîòîðèÿìè, ÿâëÿþùèìèñÿ ñâÿçíûìèêîìïîíåíòàìè ïîäìíîãîîáðàçèÿ Fh−1 [f3− (h); f3− (h) + δ]. Ãðàíè÷íûå òîðû ýòèõïîëíîòîðèé ïðîåêòèðóþòñÿ â òî÷êó i− , à ñêëååííûå ñ íèìè ãðàíè÷íûå òîðû ñåäëàïðîåêòèðóþòñÿ â òî÷êó n+ (ðèñ.
9). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êè i− è n+ èìåþòêîîðäèíàòû (h, f1 ) è (h, f2 ), ãäåf1 = f3− (h) + δ,f2 = f2+ (h) − δ.222 ïðåäåëå ïðè f → +0 òîð T+,s(h0 , f ) ñîâïàäàåò ñ òîðîì T+,m(h3 + δ, 0) èëè T+,s(h3 +2δ, 0). Îáîçíà÷èì åãî T02 . Ñåìåéñòâî âñåõ òîðîâ T+,s(h0 , f ), ãäå f > 0, íåïðåðûâíî2ïðîäîëæàåòñÿ òîðîì T02 è òîðàìè T+,m(h0 , f ) ïðè f < 0. Åñëè f < 0, òî ñäâèíåìêàæäûé öèêë µ+,m(f ) âäîëü òðàåêòîðèé ∇Hf . Òàê ìû ïîëó÷èì ìåðèäèàí ïîëíîòîðèÿ3â Q3h , îòâå÷àþùåãî ìèíèìàëüíîé îêðóæíîñòè f3− (h). Ýòî ïîëíîòîðèå ïðîåêòèðóåòñÿíà îòðåçîê [i− ; k− ] (ðèñ. 9).Îïðåäåëåííàÿ âûøå òðàíñôîðìàöèÿ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà íà ñåìåéñòâî òîðîâT+2 (h0 , f ) íàä êðèâîé n− n+ , ãäå f1 ≤ f ≤ f2 .
Ïîëó÷èì ñêëåèâàþùóþ èçîòîïèþ òîðà2T+,m(h, f1 ) íà òîð T+2 (h, f2 ), êîòîðàÿ ïðîåêòèðóåòñÿ íà îòðåçîê [i− ; n+ ]. Åñëè f > 0,+,s+òî ïðè èçîòîïèè öèêë µ+3 (f ) ïåðåõîäèò â öèêë −µ3 (f ), à öèêë λ3 (f ) ïåðåõîäèò+,m+(f ),â öèêë λ+,s3 (f ). Åñëè æå f < 0, òî öèêë µ3 (f ) ñîâìåùàåòñÿ ñ öèêëîì −µ3+,mà öèêë λ+(f ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ñêëåèâàþùåé3 (f ) ñîâìåùàåòñÿ ñ öèêëîì λ3+èçîòîïèè áàçèñ (λ+,m(f1 ), −µ+,m(f1 )) ïåðåõîäèò â áàçèñ (µ+332 (f2 ), λ2 (f2 )). Òîãäà áàçèñû+3(µ+,m(f1 ), λ+,m(f1 )) è (λ+332 (f2 ), µ2 (f2 )) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè â Qh .
 ýòèõ áàçèñàõìàòðèöà ñêëåéêè âûãëÿäèò, êàê ïåðâàÿ èç ìàòðèö (2.12):−1 01 0,.(1) (2) 0 10 −188(2.12)Òî÷íî òàêàÿ ìàòðèöà îòâå÷àåò âòîðîìó ïîëíîòîðèþ íàä [i− ; k− ]. Ìåòêè: r = −1/0 =∞ è ε = sgn(−1) = −1. Ñåìåé â äàííîì ñëó÷àå íåò. êîìïîíåíòå {M3 < 0} àíàëîãè÷íàÿ èçîòîïèÿ ïðîåêòèðóåòñÿ íà îòðåçîê[i+ ; n− ] (ðèñ. 9).
Ïóñòü i+ = (h, f1 ) è n− = (h, f2 ). Áàçèñû (−µ±,m(f1 ), λ±,m(f1 ))33±3è (λ±2 (f2 ), −µ2 (f2 )) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè â Qh Ïî ýòîé ïðè÷èíå äâå "íèæíèå"ìàòðèöû ñêëåéêè íà ðåáðàõ B B èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè è âûãëÿäÿò, êàêâòîðàÿ èç ìàòðèö (2.12). Èç-çà ýòîãî äâå ε - ìåòêè èçìåíèëèñü íà ïðîòèâîïîëîæíûå2.2.3.9. Òîïîëîãèÿ îñîáîé ïîâåðõíîñòè. ïï. 2.3.4 - 2.3.8 âû÷èñëåíû âñå ìåòêè ìîëåêóë W ∗ (Q3h ), ïðåäñòàâëÿþùèõðàçëè÷íûå èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà I ∗ (Q3h ) èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Î.È.Áîãîÿâëåíñêîãî. Èíâàðèàíòû I ∗ (Q3h ) áûëè âïåðâûå îïóáëèêîâàíû â [95].
Ïðè ýòîìáûëè äîïóùåíû íåçíà÷èòåëüíûå îøèáêè â ε - ìåòêàõ, êîòîðûå íå ïîâëèÿëèíà çíà÷åíèÿ èíâàðèàíòîâ I ∗ (Q3h ), íî îòðàçèëèñü â ìîëåêóëàõ W ∗ (Q3h ). Ñëåäóåòíàïîìíèòü, ÷òî ε - ìåòêè ïðèíèìàþò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ ±1.  äàííîé ðàáîòåîøèáêè â ε - ìåòêàõ èñïðàâëåíû è, òàêèì îáðàçîì, íàéäåííûå ðàíåå èíâàðèàíòûÔîìåíêî-Öèøàíãà I ∗ (Q3h ) äîïîëíåíû òî÷íûìè çíà÷åíèÿìè ìîëåêóë W ∗ (Q3h ). Ýòîòðåçóëüòàò îïóáëèêîâàí â [14]. ×òîáû ïðèâåñòè ìîëåêóëû íà ðèñ. 4 ê âèäó, êîòîðûéîíè ïåðâîíà÷àëüíî èìåëè â [95], ñëåäóåò îáðàòèòü çíà÷åíèÿ ε - ìåòîê íà âñåõ ðåáðàõ,îêðóæàþùèõ íåêîòîðûå àòîìû. Ýòà îïåðàöèÿ îòâå÷àåò èçìåíåíèþ íàïðàâëåíèéïîòîêà sgrad(H) íà ñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìàõ.ÈíâàðèàíòûÔîìåíêî-Öèøàíãàìîæíîèñïîëüçîâàòü,â÷àñòíîñòè,äëÿâû÷èñëåíèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ òèïîâ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé Q3h .
 ðàáîòå[95] áûëî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Ìíîãîîáðàçèå Q3h ïðè h1 < h < h2 ãîìåîìîðôíî S 2 × S 1 , ïðè h2 < h < h3 îíîãîìåîìîðôíî òîðó T 3 = S 1 × S 1 × S 1 . Åñëè h > h3 , òî Q3h ñîñòîèò èç äâóõ ñâÿçíûõêîìïîíåíò, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ãîìåîìîðôíà S 2 × S 1 .Ïðîâåðèì ñêàçàííîå â ñëó÷àå h > h3 . Ðàññìîòðèì ìîëåêóëó W ∗ (Q3h ) ëþáîé (èçäâóõ) ñâÿçíîé êîìïîíåíòû Q3h ïîäìíîãîîáðàçèÿ H −1 (h) (ðèñ.
4). Ìåòêà r = 0 íà ðåáðåAB îçíà÷àåò ñëåäóþùåå. Ïîëíîòîðèå A òàê âêëååíî â ñåäëî B , ÷òî åãî ìåðèäèàíîòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ îäíîé èç ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé ïîâåðõíîñòè N 2 , ÿâëÿþùåéñÿñå÷åíèåì àòîìà B . Òàêèì îáðàçîì, îäíà èç äûðîê â N 2 çàêëåèâàåòñÿ äèñêîì D2 .Ïîëó÷àåòñÿ êîëüöî D02 = S 1 × D1 , óìíîæàÿ êîòîðîå íà îñåâóþ îêðóæíîñòü S01 àòîìàB ïîëó÷èì öèëèíäð S 1 × D1 × S01 . Îí ìîäåëèðóåò ðåçóëüòàò ñêëåèâàíèÿ àòîìîâ B è89A, ïðè êîòîðîì r - ìåòêà ðàâíà 0. Ïðèêëåèâàíèå äâóõ äðóãèõ àòîìîâ A, êîòîðîìóîòâå÷àþò äâå ìåòêè r = ∞, ìîæíî ñìîäåëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. ÖèëèíäðS 1 × D1 × S01 ñêëåèâàåòñÿ ñ ïàðîé ïîëíîòîðèé S 1 × D2 òàê, ÷òî èõ ìåðèäèàíû{pt} × ∂D2 îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ îêðóæíîñòÿìè âèäà {pt1 } × {pt2 } × S01 , ãäå òî÷êàpt2 ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç êîíöîâ îòðåçêà D1 = [0; 1].
Ïîñëåäíèå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéλ - öèêëû èñõîäíîãî àòîìà B â òî âðåìÿ, êàê ìåðèäèàíû ïðåäñòàâëÿþò λ - öèêëûàòîìîâ A. Ïîñêîëüêó öèëèíäð ñòÿãèâàåòñÿ íà òîð S 1 × {1/2} × S01 , ìíîãîîáðàçèåQ3h ìîæíî ñêëåèòü èç äâóõ ïîëíîòîðèé òàê, ÷òî íåêîòîðûå èõ ìåðèäèàíû ïðè ýòîìîòîæäåñòâëÿþòñÿ. Èìåííî òàê Q3h ñêëåèâàåòñÿ èç äâóõ ïîëíîòîðèé â ñëó÷àå ìîëåêóëûAA, åñëè r - ìåòêà ðàâíà ∞. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ìíîãîîáðàçèåS 2 × S 1 . Èñïîëüçóÿ ìîëåêóëó W ∗ (Q3h ), îòâå÷àþùóþ ëþáîìó h > h3 , ìû ïîëó÷èìíîâóþ èíôîðìàöèþ î òîïîëîãèè îñîáîé ïîâåðõíîñòè Θ = M3 è ìíîãîîáðàçèÿ M4 .Ïðåäëîæåíèå 7 Ìíîãîîáðàçèÿ M4 è M3 äèôôåîìîðôíû, ñîîòâåòñòâåííî,222ïðîèçâåäåíèÿì S00×S 1 ×R è S00×S 1 , ãäå S00 ñôåðà ñ äâóìÿ âûêîëîòûìè òî÷êàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó dF6= 0 â êàæäîé òî÷êå M4 , òî M4 =Me 3 × Rè ìíîãîîáðàçèå M3 = F −1 (0) äèôôåîìîðôíî F −1 (f ) äëÿ ëþáîãî f .
Âûáåðåìëþáîå f>0 òàê, ÷òîáû ñëîåíèå Ëèâèëëÿ íà ìíîãîîáðàçèè F=fîïèñûâàëîñü ãðàôîì, êîòîðûé èçîáðàæåí íà ðèñ. 7 (ãðàô F −1 (f )). Ôèêñèðóåìëþáîå èçîýíåðãåòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå Q3h ïðè h > h3 . Ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòàF = H × F îíî ïðîåêòèðóåòñÿ íà âåðòèêàëüíûé îòðåçîê (ðèñ. 5). Ïóíêòèðñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæàåò êîíñòðóêöèþ ïîñëîéíîãî äèôôåîìîðôèçìà (è äàæåïîñëîéíîé èçîòîïèè) ìíîãîîáðàçèÿ F −1 (f ) íà 3-ïîâåðõíîñòü Q3h , èç êîòîðîé óäàëåíûîáå ìèíèìàëüíûõ îêðóæíîñòè èíòåãðàëà F : Q3h → R. Çàìåòèì, ÷òî âåðõíèéôðàãìåíò âåòâè f3 äèàãðàììû Σ, îòìå÷åííûé íà ðèñ. 5 áóêâîé A, îòâå÷àåòìàêñèìàëüíûì îêðóæíîñòÿì èíòåãðàëà F íà äðóãîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòå H −1 (h).Ïîýòîìó, õîòÿ ïóíêòèðíûå ëèíèè ïåðåñåêàþò êðèâóþ A, íèêàêèõ ïåðåñòðîåêèçîòîïèðóåìûõ íàä íèìè òîðîâ T 2 íå ïðîèñõîäèò. Ïîñêîëüêó â äåêîìïîçèöèè Q3h =S 2 × S 1 óäàëåííûì èç Q3h ìèíèìàëüíûì îêðóæíîñòÿì îòâå÷àþò ïðîèçâåäåíèÿ íà S 1äâóõ òî÷åê ñôåðû S 2 , òî ìíîãîîáðàçèå Q3h , èç êîòîðîãî óäàëåíû ýòè äâå îêðóæíîñòè,2× S 1 . Ñëåäîâàòåëüíîäèôôåîìîðôíî S002M3 =e Q3h =e S00× S 1,2M4 =e M3 × R =e S00× S 1 × R 2.Ôàçîâîå ìíîãîîáðàçèå M4 äèôôåîìîðôíî S 2 × S 1 × R [95].
Ïðåäëîæåíèå 7îïèñûâàåò äðóãóþ ñòðóêòóðó ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà M4 .90Ãëàâà 3. Ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñ êîíòàêòíûìèîñîáåííîñòÿìè.§ 3.1. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì. öåíòðå âíèìàíèÿ äàííîé ðàáîòû íàõîäèòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ìíîæåñòâîΘ = {p ∈ M : det(ωp ) = 0} = {p ∈ M : Zp = Ker(ωp ) 6= 0},íàçûâàåìîå îñîáîé ïîâåðõíîñòüþ, ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüþ â M . Êàê è ïðåæäå(M, ω) ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ. Íàïîìíèì, ÷òî òî÷êè x ∈ Θíàçûâàþòñÿ îñîáûìè.
 ñëó÷àå dim Zp > 2 ïðåäïîëîæåíèå codim Θ = 1 âûäåëÿåòâåñüìà ñïåöèàëüíûé êëàññ âûðîæäåíèé, íå èìåþùèõ îáùåãî ïîëîæåíèÿ (ñì. ï.1.2.2). Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, òàêèå îáúåêòû íå áîëåå ýêçîòè÷íû, ÷åìêîíòàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ è ñòðóêòóðû Ëè.3.1.1. Êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà íà îñîáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè.Ðàññìîòðèì ôèçè÷åñêèé ïðèìåð ìàêñèìàëüíî ãëóáîêîãî âûðîæäåíèÿ çàìêíóòîé2-ôîðìû íà ãèïåðïîâåðõíîñòè.Ïðèìåð 1. Ïðèíöèï Ìîïåðòþè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôàçîâûå òðàåêòîðèèíàòóðàëüíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, îòâå÷àþùèå ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèèh, ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè â ìåòðèêågeij (x) = 2(h − U (x))gij (x).Çäåñü U (x) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, çàäàííàÿ íà êîíôèãóðàöèîííîì ìíîãîîáðàçèèM , à gij ìåòðèêà, îïðåäåëÿþùàÿ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ [7,36].Ðàññìîòðèì ñëó÷àé dim M = 3, õîòÿ àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû èìåþò ìåñòîïðè ëþáîì ÷èñëå ñòåïåíåé ñâîáîäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
