Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ïóñòü Mi , ξi , ηi äâîéñòâåííûåêîîðäèíàòû â êîàëãåáðå G ∗ , òîãäà{Mi , Mj } = εijk Mk ,{ξi , ξj } = 0,{Mi , ξj } = εijk ξk ,{ξi , ηj } = 0,64{Mi , ηj } = εijk ηk ,{ηi , ηj } = 0,à ñèñòåìà (2.4) çàäàíà â ïðîñòðàíñòâå G ∗ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà [5]:Ṁi = {H, Mi },ξ˙i = {H, ξi },η̇i = {H, ηi }.Èíâàðèàíòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå O ⊂ G ∗ ñîâìåñòíîãî óðîâíÿ èíòåãðàëîâ J1 = J3 = 1PP3P32è J2 = c îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé 3i=1 ξi2 = c1 ,i=1 ξi ηi = c2 ,i=1 ηi = c3 ,êîòîðàÿ ñîâìåñòíà òîëüêî ïðè c22 ≤ c1 c3 , ÷òî ðàâíîñèëüíî |c| ≤ 1. ÌíîæåñòâîO èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû G.
Åñëèc22 = c1 c3 , òî ïîäìíîãîîáðàçèå O èìååò äâå ñâÿçíûõ êîìïîíåíòû, äèôôåîìîðôíûõS 2 ×R3 , íà êàæäîé èç êîòîðûõ èñõîäíàÿ ñèñòåìà âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé.Ïðè ýòîì O ðàññëîåíî ñèíãóëÿðíûìè îðáèòàìè êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿãðóïïû G. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå O òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíîé îðáèòîé, êîãäà c22 < c1 c3 .  ïîñëåäíåì ñëó÷àå O = O6 =e RP 3 ×R3 . Êàæäàÿîðáèòà îáëàäàåò ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿôîðìîé Êèðèëëîâà [30, 58]. Îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (2.4) íà ñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèå O6 ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ẋ = {H, x} = sgrad(H)(x) .Îãðàíè÷èì åå íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâîM4 = Z −1 (0) ∩ O6 = {x ∈ O6 : Z1 (x) = Z2 (x) = 0},ñîñòîÿùåå èç òî÷åê ìèíèìóìà èíòåãðàëà Z : O6 → R.
Åñëè c1 = c3 è c2 = 0,òî êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü M4 èìååò òðàíñâåðñàëüíîå ñàìîïåðåñå÷åíèå ïîöèëèíäðó S 1 × R, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè:M1 = M2 = ξ3 = η3 = ξ1 − η2 = ξ2 + η1 = 0,Òîãäàêàæäàÿèçîýíåðãåòè÷åñêàÿïîâåðõíîñòüη12 + η22 = c3 .Q3hèìååòòðàíñâåðñàëüíîåñàìîïåðåñå÷åíèå. Òîïîëîãèÿ ýòîãî îñîáîãî ñëó÷àÿ îïèñàíà â [13].
ÏîäìíîæåñòâîM4 ⊂ O6 ÿâëÿåòñÿ 4-ìåðíûì ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàc22 < c1 c3 ,(c1 − c3 )2 + c22 6= 0 .Ýòè íåðàâåíñòâà ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè. Âëîæåíèå M4 ⊂ G ∗ =e R9 (M, ξ, η)îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:M12 − M22 + ξ1 − η2 = 0 2M1 M2 + ξ2 + η1 = 0ξ12 + ξ22 + ξ32 = c1ξ1 η1 + ξ2 η2 + ξ3 η3 = c2 η2 + η2 + η2 = c .332165Îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû sgrad(H) íà èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M4 íàçûâàåòñÿñëó÷àåì Áîãîÿâëåíñêîãî. Êîððåêòíî îïðåäåëåííàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà sgrad(H)íà M4 íå èìååò ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðÿìî ñâÿçàíî ñâûðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû. Åñëè áû M4 áûëîñèìïëåêòè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì, òî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ p ôóíêöèè H : M4 → Ríåîáõîäèìî èìåëî áû ìåñòî sgrad(H)(p) = 0.  äàííîì æå ñëó÷àå íåíóëåâîé âåêòîðsgrad(H)(p) ëåæèò â 2-ìåðíîì ÿäðå Zp , â ñèëó ÷åãî dp H = −isgrad(H)(p) ω = 0.Ãàìèëüòîíèàí H : M4 → R ïðèíèìàåò ñëåäóþøèå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ:h1 = H(γ1 ) = −1 p2c0 − 2ec,4I3h2 = H(γ2 ) =1 p2c0 − 2ec,4I31 p2c0 + 2ec,4I3 ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad(H)h3 = H(γ3+ ) = H(γ3− ) =ãäå γ1 , γ2 , γ3+ , γ3−[14]. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà sgrad(H) èìååò íåçàâèñèìûé èíòåãðàë F , ÿâëÿþùèéñÿîãðàíè÷åíèåì íà M4 ôóíêöèè1F = {Z1 , Z2 } = M3 (M12 + M22 ) + M1 ξ3 + M2 η3 ,4òî îíà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ.Îáîçíà÷èì ω îãðàíè÷åíèå ôîðìû Êèðèëëîâà c îðáèòû O6 íà ïîäìíîãîîáðàçèåM4 , òîãäà ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü M3 = F −1 (0) ñîñòîèò èç òî÷åê, â êîòîðûõ det(ωp ) = 0. ñàìîì äåëå, èíòåãðàë F : M4 → R ïîëó÷åí îãðàíè÷åíèåì ôóíêöèè {Z1 , Z2 }/4 íàM4 ⊂ O6 .
Òàê êàê ∀v ∈ Tp M4ωp (v, sgrad(Zi )) = dp Zi (v) = 0, ãäå 1 ≤ i ≤ 2, òîïîäïðîñòðàíñòâî Zp , íàòÿíóòîå íà âåêòîðû sgrad(Zi )(p), êîñîîðòîãîíàëüíî Tp M4 .À ò.ê. {Z1 , Z2 } = 0 âëå÷åò çà ñîáîé dZ2 (sgrad(Z1 )) = 0 è dZ1 (sgrad(Z2 )) = 0, òî âêàæäîé òî÷êå p ∈ M3 âåêòîðû sgrad(Zi ), âû÷èñëåííûå â ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðåîðáèòû O6 , ïîðîæäàþò 2-ìåðíîå ÿäðî Zp ôîðìû ωp .
Èíòåðåñíî, ÷òî ó ôóíêöèèF : M4 → R íåò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê [14]. Ïîýòîìó îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü Θ ÿâëÿåòñÿãëàäêèì (íåêîìïàêòíûì) 3-ìíîãîîáðàçèåìM3 = {p ∈ M4 : F (p) = 0},ðàññëîåííûì íà òîðû Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ M3 ∩ Q3h . Ýòî ñëîåíèå áûëî âïåðâûåèññëåäîâàíî â ðàáîòå [95], è îíî ñûãðàëî âàæíóþ ðîëü ïðè âû÷èñëåíèè ìåòîêèíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî-Öèøàíãà. Òîïîëîãèÿ ìíîãîîáðàçèÿ M3 áóäåò îïèñàíà íèæå.Ïðîâåðèì,÷òîâûðîæäåííûåîñîáåííîñòèôîðìûωíåïðåïÿòñòâóþòêîððåêòíîìó ïðèìåíåíèþ òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè. Äåëî â òîì, ÷òî66ïðè ëþáîì ðåãóëÿðíîì h ∈ F(M4 ) ÷èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèåì ôóíêöèèF : Q3h → R, ïîýòîìó ïîäìíîãîîáðàçèå M3 ∩ Q3h ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ òîðîâËèóâèëëÿ T 2 (1,2 èëè 4). Ñëåäîâàòåëüíî, ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãîìíîãîîáðàçèÿ M4 \ M3 ãëàäêî ïðîäîëæàåòñÿ èíâàðèàíòíûìè òîðàìè T 2 ⊂ M3 .Âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû 3 î÷åâèäíî (ðèñ.
5). Çàìåòèì, ÷òî ãîðèçîíòàëüíûéëó÷ (H × F )(Θ), îòâå÷àþùèé íóëåâîìó çíà÷åíèþ èíòåãðàëà F è ÿâëÿþùèéñÿ F îáðàçîì ïîäìíîãîîáðàçèÿ Θ = M3 , íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììûΣ è ëèøü ïåðåñåêàåòñÿ ñ íåé â òî÷êàõ (h1 , 0), (h2 , 0), (h3 , 0).Ïðîâåðèì íåðåçîíàíñíîñòü èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû sgrad(H) íà M4 . Ïîñêîëüêóäàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé, òî ðåçîíàíñíîñòü ñèñòåìû îçíà÷àëà áû,÷òî âñå òîðû Ëèóâèëëÿ åñòü ðåçîíàíñíûå [7].
Ïóñòü h0 < h < h3 . Ïðåäïîëàãàÿñèñòåìó ðåçîíàíñíîé íà Q3h ëåãêî ïðèéòè ê òîìó, ÷òî ðàññëîåíèå ìíîãîîáðàçèÿ Q3híà çàìêíóòûå òðàåêòîðèè èíäóöèðóåò ãîìîòîïèè ìåæäó λ - öèêëàìè íà ãðàíè÷íûõòîðàõ B - àòîìîâ.  ýòîì ñëó÷àå r - ìåòêà íà ñîîòâåòñòâóþùåì ðåáðå ðàâíÿëàñü áû1/0 = ∞, îäíàêî ôàêòè÷åñêè r = 0 (ðèñ. 4). Èòàê, ïðè h ∈ (h0 ; h3 ) ñèñòåìà sgrad(H)ÿâëÿåòñÿ íåðåçîíàíñíîé íà Q3h \ Θ.
Ìíîæåñòâî F(Θ) ⊂ R2 ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîéïðÿìîé f = 0, ïîýòîìó åãî ìåðà Ëåáåãà ðàâíà íóëþ 2.Òàêèì îáðàçîì, ïî òåîðåìå 3 ñëó÷àé Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî êîððåêòíî âêëþ÷àåòñÿâ ïðåäìåòíóþ îáëàñòü òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òîïîëîãèþ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íà ïîäìíîãîîáðàçèÿõQ3h õàðàêòåðèçóþò èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 4. Íèæåîïèñàíà òåõíèêà âû÷èñëåíèÿ ìåòîê, íå ñâÿçàííàÿ ñ ìåòîäîì êðóãîâûõ ìîëåêóëè ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþùàÿ òîïîëîãèþ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íà ãëàäêîé îñîáîéïîâåðõíîñòè M3 . Îíà áûëà ðàçðàáîòàíà åùå â [95], îäíàêî òîëüêî â áîëååïîçäíåé ðàáîòå [14] ýòà òåõíèêà èçëîæåíà â âèäå, ïðèãîäíîì äëÿ ïðàêòè÷åñêîãîèñïîëüçîâàíèÿ.Ñ òî÷êè çðåíèÿ òîïîëîãèè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòèäàííîé çàäà÷è íè÷åì ñåáÿ íå ïðîÿâëÿþò.
Ïðè ýòîì îíè ïîâëèÿëè íà çíà÷åíèÿíåêîòîðûõ ε - ìåòîê, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ñâÿçàíî òîëüêî ñ ïîâåäåíèåì ôàçîâîãîïîòîêà.  öåëîì ñëó÷àé Áîãîÿâëåíñêîãî íå ýêâèâàëåíòåí íè îäíîé èç èçâåñòíûõñåãîäíÿ èíòåãðèðóåìûõ çàäà÷.2.3.2. Êîíòàêòíûå îñîáåííîñòè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû â äàëüíåéøåì óñòàíîâèòü ôàêò êîíòàêòíîñòè âñåõ îñîáûõ òî÷åê67â ñëó÷àå Áîãîÿâëåíñêîãî, ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé:∀x ∈ M4{Z1 , F }(x) 6= 0 èëè {Z2 , F }(x) 6= 0.(2.5)Ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ (âûðîæäåííûõ) ñêîáîê Ïóàññîíà, çàäàííûõ â èñõîäíîì ôàçîâîìïðîñòðàíñòâå R9 (M, ξ, η), íå âûçûâàþò çàòðóäíåíèé. Îäíàêî, ïðè ýòîì ïîëó÷àþòñÿãðîìîçäêèå âûðàæåíèÿ. Ïîýòîìó ìû ïîñòóïèì èíà÷å è äîêàæåì (2.5) èç áîëåå îáùèõñîîáðàæåíèé.Âñå êîñûå ãðàäèåíòû âû÷èñëÿþòñÿ â ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðå ìíîãîîáðàçèÿM4 .
Ïîëå sgrad(H) êîððåêòíî îïðåäåëåíî íà M4 , ñëåäîâàòåëüíî dH(Zx ) = 0.Óñëîâèå (2.5) ýêâèâàëåíòíî dF (Zx ) 6= 0, ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäïîëîæèìïðîòèâíîå: â íåêîòîðîé òî÷êå x ∈ M3 èìååò ìåñòî dF (Zx ) = 0. Òîãäà â òî÷êå xñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî ñîáñòâåííîå ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ïîëÿ sgrad(F ).  ñàìîìäåëå, ïóñòü â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x ãèïåðïîâåðõíîñòü Θ = M3 èìååò óðàâíåíèåx1 = 0. C òî÷íîñòüþ äî íåïðåðûâíîãî ìíîæèòåëÿ, êîíå÷íîãî è îòëè÷íîãî îò íóëÿâ òî÷êå x (ñì. ôîðìóëó (3.7), § 3.1), ìîæíî ïðèíÿòü, ÷òî P f (ω) = {Z1 , Z2 } = 4F .Òàê êàê dF 6= 0 â êàæäîé òî÷êå ìíîãîîáðàçèÿ M4 , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ëîêàëüíîF ≡ x1 .
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè(sgrad(F )(x))i = −ÃX!−1ωij AijjAijj6=iXAij =X∂F,∂xjãäåsgn(σ)ωi2 j2 . . . ωin jn ,σ = (i, j, i2 , j2 , . . . , in , jn ) ∈ S2nis < js , is < is+1F(x) = sgrad(f )(x) · P f (ω)(x),F i (x) = −2nXj=1, j6=iAij∂F,∂xj1 ≤ i ≤ 2n.Êîîðäèíàòû x ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû â òî÷êå x ÿäðî Zx áûëî íàòÿíóòî íà 2é è 3-é êîîðäèíàòíûå âåêòîðû. Òîãäà êàæäîå ñëàãàåìîå âåëè÷èíû Ai,1 â òî÷êå xñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí òàêîé ñîìíîæèòåëü ωis ,js , ÷òî îäíî èç ÷èñåë is èëè js ðàâíî 2èëè 3.
Òîãäà â òî÷êå x èìååì ωis ,js = 0. Êàæäàÿ âåëè÷èíà Ai,j ïðè j > 1 âõîäèò â F i ñìíîæèòåëåì ∂F/∂xj , ðàâíûì íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð F ðàâåí íóëþ â òî÷êå x.Âîñïîëüçóåìñÿ êîíå÷íûìè ðÿäàìè Òåéëîðà è, ïðåíåáðåãàÿ êîíå÷íûì ìíîæèòåëåì,áóäåì èñêàòü ïðåäåë:1 X ∂F(θy)yj .y1 →0 y1∂xjjlim sgrad(F )(y) = limΘ63y→x68Ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå sgrad(F ) ìîæíî ïîëó÷èòü, íàïðèìåð, ïîëàãàÿ yj = y1 äëÿêàæäîãî j . Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûé âåêòîð ÷åðåç X .
Òîãäà X ∈ Tx M3 è, â ñèëó{H, F } = 0, èìååì X ∈ Tx Q3h . Ïîñêîëüêó ïîäìíîãîîáðàçèÿ M3 è Q3h ïåðåñåêàþòñÿòðàíñâåðñàëüíî, òîdim Tx M3 ∩ Tx Q3h = 2⇒Zx = Tx M3 ∩ Tx Q3h⇒X ∈ Zx ,÷òî ïðîòèâîðå÷èò dx F 6= 0.Äîêàçàíî (2.5), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ Θ 2-ìåðíîå ÿäðî Zxòðàíñâåðñàëüíî Θ = M3 .  ñèëó ï. 3.1 ïðåäëîæåíèÿ 1 § 1.2 ïîëå sgrad(F ) èìååòòîëüêî íåñîáñòâåííûå ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ M3 , èíöèäåíòíûåïðÿìîé Zx ∩Tx M3 . Ïîñêîëüêó P f (ω) ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîé ñòîðîíû Θ íàäðóãóþ, òî ýòèõ ïðåäåëüíûõ íàïðàâëåíèé ðîâíî 2 (ñì. ñëåäñòâèå 1 § 1.2). Èñïîëüçóåìíàéäåííûå ìîëåêóëû W ∗ (Q3h ) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåãî ôàêòà.Ïðåäëîæåíèå 5 Äëÿ ïî÷òè êàæäîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ M3 èíòåãðàëüíûåìíîãîîáðàçèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðÿìûõM3 3 x 7−→ Zx ∩ Tx M3 ,àòàêæåèíòåãðàëüíûåêâàçèïåðèîäè÷åñêèìè,âñþäóòðàåêòîðèèïëîòíûìèïîëÿîáìîòêàìèsgrad(H)T 2.Âÿâëÿþòñÿêàæäîéòî÷êåïðîèçâîëüíîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ M3 ýòè êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé, òî îáðàòíîå îçíà÷àëîáû, ÷òî âñå âûøåóêàçàííûå êðèâûå çàìêíóòû íà ñâîèõ òîðàõ. Òîãäà îíè îïðåäåëÿëèáû ðàññëîåíèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ M3 íà îêðóæíîñòè, êîòîðîå èíäóöèðîâàëî áûãîìîòîïèè ìåæäó λ - öèêëàìè íà ãðàíè÷íûõ òîðàõ B - àòîìîâ â M3 (áåç ó÷åòàîðèåíòàöèé).  ýòîì ñëó÷àå r - ìåòêà íà ðåáðå ðàâíÿëàñü áû 1/0 = ∞, îäíàêî âäàííîì ñëó÷àå r = 0 (ðèñ. 4) 2.Ïîëó÷åííàÿ èíôîðìàöèÿ î ïîâåäåíèè ïîòîêà sgrad(H) è ïîëÿ sgrad(F ) íà òîðàõËèóâèëëÿ T 2 ⊂ M3 , çà èñêëþ÷åíèåì ôàêòà íåçàìêíóòîñòè (ò.å. ïëîòíîñòè íà òîðå)òðàåêòîðèé sgrad(H) è ïðåäåëüíûõ òðàåêòîðèé sgrad(F ), âûòåêàåò èç òåîðåìû 7 âãëàâå 3.
Âìåñòî ýòîé òåîðåìû, îäíàêî, â ñëó÷àå ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíèÿìè ñâîáîäûìîæíî èñïîëüçîâàòü åå ÷àñòíûé ñëó÷àé, îòíîñÿùèéñÿ òîëüêî ê äâóì ãàìèëüòîíîâûìïîëÿì è ñðàâíèòåëüíî ëåãêî äîêàçûâàåìûé. Ñëåäóåò óìíîæèòü ïîëå sgrad(F ) íàêîîðäèíàòó x1 = F , è ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè x1 → 0. Ïîëó÷åííîå âåêòîðíîå ïîëåáóäåò îòëè÷íî îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå ãèïåðïîâåðõíîñòè x1 = 0 (ñîñòîÿùåé èç69îñîáûõ òî÷åê).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
