Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F åñòü ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû sgrad(H), òîïîëó÷åííîå âåêòîðíîå ïîëå êîììóòèðóåò ñ ïîëåì sgrad(H). Èõ íåçàâèñèìîñòü íà òîðåT 2 ⊂ Θ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîsgrad(H)(x) 6∈ Zx 3 lim x1 sgrad(F )(y) =Θ63y→x1lim sgrad(F 2 )(y).2 Θ63y→x2.3.3. Îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü.Äëÿ âû÷èñëåíèé áóäóò óäîáíû ñëåäóþùèå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû:ξ1 − η2 = ρ cos θξ2 + η1 = ρ sin θ −ξ2 + η1 = xξ1 + η2 = yξ3 = r cos ψη3 = r sin ψ, −π < ψ, θ < π r, ρ > 0(2.6)Ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé çàäàåò âëîæåíèå M4 ⊂ R9 =Ge ∗:xρ = −ec sin (θ − α0 ) − r2 sin (2ψ − θ)c cos (θ − α0 ) − r2 cos (2ψ − θ) yρ = ex2 + y 2 + ρ2 + 2r2 = 2c0√M1 = ∓ ρ sin 2θ M = ±√ρ cos θ ,22ãäå êîíñòàíòû îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé:q c =c +c ,ec = (c1 − c3 )2 + 4c22 ,013 cos α = (c − c )/ec,sin α = 2c /ec.01302Óñëîâèå c0 > ec > 0 ýêâèâàëåíòíî : c22 < c1 c3 è (c1 − c3 )2 + c22 6= 0.

Ïðîåêöèÿ M4 íàïëîñêîñòü R2 (y, ρ) îãðàíè÷åíà øåñòèóãîëüíèêîì ABCDEF :√√[AB] = {ρ = −y − 2c0 − 2ec, −ρ2 ≤ y ≤ − 2c0 − 2ec},√c, −ρ2 ≤ y ≤ −ρ1 },[BC] = {ρ = y + 2c0 + 2e[CD] = {ρ = ρ2 , −ρ1 ≤ y ≤ ρ1 },√[DE] = {ρ = −y + 2c0 + 2ec, ρ1 ≤ y ≤ ρ2 },√√[EF ] = {ρ = y − 2c0 − 2ec, 2c0 − 2ec ≤ y ≤ ρ2 },√√[AF ] = {ρ = 0, − 2c0 − 2ec ≤ y ≤ 2c0 − 2ec},70qãäå ρ1 =pc0 − c20 − ec2 ,qρ2 =c0 +pc20 − ec2 .

Òåìíûì öâåòîì íà ðèñ. 6èçîáðàæåíû ïðîåêöèè H −1 (h) ïðè ðàçëè÷íûõ h, ãäå 4I3 H = 2M32 + ρ − y .Äîêàæåì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå M2h = M3 ∩ H −1 (h) èìååò ñëåäóþùåå ÷èñëîñâÿçíûõ êîìïîíåíò: îäíó ïðè h1 < h < h2 , äâå ïðè h2 < h < h3 è ÷åòûðå ïðè h > h3 .6= 0 â êàæäîé òî÷êå M4 , òî M3 Ïîëîæèì 4I3 = 1.

Ïîñêîëüêó dFìíîãîîáðàçèå. Âûøå óêàçàíû êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ áîòòîâñêîé ôóíêöèè H : M3 →R è ñîîòâåòñòâóþùèå (íåâûðîæäåííûå) êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè γ1 , γ2 è γ3± .Ïðîåêöèÿìè íà ïëîñêîñòü R2 (y, ρ) ÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îòðåçêè [EF ], [AD] è[BC] (ðèñ. 6). Ïðè h > h1 è h 6= h2 , h3 êàæäàÿ èç ýòèõ êîìïîíåíò ÿâëÿåòñÿ âëîæåííûìòîðîì T 2 . Ïîäìíîãîîáðàçèå M2h ⊂ R9 îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé:c sin (θ − α0 ) − r2 sin (2ψ − θ) xρ = −ec cos (θ − α0 ) − r2 cos (2ψ − θ) yρ = er2 = ec cos(θ − α0 ) + hρ − ρ2ρ2 (y − ρ + h) = r2 ρ (1 − cos(2ψ − θ)) M = ∓√ρ sin θ , M = ±√ρ cos θ , M 2 = (y − ρ + h)/212322(2.7)Óðàâíåíèå 4 ñëåäóåò èç F = 0.

Íàì ïîòðåáóþòñÿ äâå ñèììåòðèè ìíîãîîáðàçèÿ M4 :σ(M1 , M2 , M3 , ρ, θ, x, y, r, ψ) = (−M1 , −M2 , −M3 , ρ, θ, x, y, r, ψ),s(M1 , M2 , M3 , ρ, θ, x, y, r, ψ) = (M1∗ , M2∗ , −M3 , ρ, θ∗ , −x, y, r, ψ ∗ ),ãäå θ∗ − α0 = α0 − θèψ∗ −α0α0=− ψ.22Åñëè h1 < h < h2 , òî áîòòîâñêàÿ ôóíêöèÿ F : H −1 (h) → R èìååò òîëüêî äâàêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿ max è min.

Î÷åâèäíî ÷òî, ìíîãîîáðàçèå M2h = F −1 (0) èìååòîäíó ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó òîð T 2 .Ïðè êàæäîì h∈(h1 ; h2 ) óðàâíåíèå θ=α0 îïðåäåëÿåò â M2h ïàðóíåïåðåñåêàþùèõñÿ s - ñèììåòðè÷íûõ îêðóæíîñòåé γ± (h), íåïðåðûâíî çàâèñÿùèõ îòh. Îíè ïðîåêòèðóåòñÿ íà îòðåçîê [KQ] ïðÿìîéy=2c0 − h2ρ − h,2ecçàêëþ÷åííûé ìåæäó òî÷êîé K è îòðåçêîì [DE] (ðèñ.

6). Ïðè h → h1 + 0 îêðóæíîñòèγ± (h) ñáëèæàþòñÿ, è â ïðåäåëå ñîâïàäàþò ñ γ1 . Àíàëîãè÷íî, îêðóæíîñòè γ± (h2 )ñîâïàäàþò ñ γ2 . Î÷åâèäíî, ÷òî γ+ (h) è γ− (h) ãîìîòîïíû íà òîðå M2h .  ñîîòâåòñòâèèñ òåîðèåé À.Ò. Ôîìåíêî, ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêèé óðîâåíü h = h2 âîçìîæíûòîëüêî äâå ðàçëè÷íûå áèôóðêàöèè òîðà M2h , â çàâèñèìîñòè îò òèïà ñåïàðàòðèñíîé71äèàãðàììû. Èì ñîîòâåòñòâóþò àòîìû A∗ è B . Òîëüêî ïðè îäíîé èç ýòèõ áèôóðêàöèé(òèïà B ) òîð ðàñïàäàåòñÿ íà äâà. Èç ïîâåäåíèÿ îêðóæíîñòåé γ± (h) âèäíî, ÷òî èìåííîýòà áèôóðêàöèÿ èìååò ìåñòî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè h2 < h < h3 ïîäìíîãîîáðàçèå M2hèìååò 2 ñâÿçíûõ êîìïîíåíòû.Ïðè h∈(h1 ; h2 ) óðàâíåíèå M1=M2=0 îïðåäåëÿåò â M2h ïàðóíåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé, ïðîåêòèðóþùèõñÿ íà îòðåçîê [KF ] è íåïðåðûâíîçàâèñÿùèõ îò h.

Íà ïåðâîé èç íèõ ψ ≡ α0 /2, à íà âòîðîé ψ ≡ α0 /2 ± π .Ïåðâóþ îêðóæíîñòü îáîçíà÷èì δ(h). Ïðîîáðàç òî÷êè K ïåðåñåêàåòñÿ ñ H −1 (h)ïî äâóì s - ñèììåòðè÷íûì òî÷êàì.  îäíîé èç íèõ îêðóæíîñòè δ(h) è γ+ (h)òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ è äðóãèõ ïåðåñå÷åíèé ó íèõ íåò. Ñëåäîâàòåëüíî,êàæäàÿ èç îêðóæíîñòåé íåãîìîòîïíà íóëþ íà òîðå M2h .

Îáîçíà÷èì P (h) òî÷êóδ(h) ∩ γ+ (h). Ïðè h → h1 + 0 îêðóæíîñòü δ(h) ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó P (h1 ), êîòîðàÿïðîåêòèðóåòñÿ â F , à ïðè h → h2 − 0 îêðóæíîñòü δ(h) ñêëåèâàåòñÿ â âîñüìåðêóS 1 ∨ S 1 . Âåðøèíîé ýòîé âîñüìåðêè ÿâëÿåòñÿ òî÷êà P (h2 ), ïðîåêòèðóþùàÿñÿ â A.Ïðè h > h2 âîñüìåðêà ðàñïàäàåòñÿ íà ïàðó íåïåðåñåêàþùèõñÿ σ - ñèììåòðè÷íûõîêðóæíîñòåé δ± (h). Îíè ïðîåêòèðóþòñÿ íà îòðåçîê [AF ]. ßñíî, ÷òî ñâÿçíûåêîìïîíåíòû M2h , ñîäåðæàùèå ýòè îêðóæíîñòè, òàêæå σ - ñèììåòðè÷íû. Ïóñòü Th2åñòü òàêàÿ êîìïîíåíòà M2h , ÷òî δ+ (h) ⊂ Th2 , òîãäà δ− (h) ⊂ σ(Th2 ).Ïðè êàæäîì h ∈ (h2 ; h3 ) óðàâíåíèå ψ = α0 /2 + πn (ãäå n ∈ Z) îïðåäåëÿåòïàðó íåïåðåñåêàþùèõñÿ, σ - ñèììåòðè÷íûõ îêðóæíîñòåé β± (h), òàêèõ ÷òî β+ (h) ⊂Th2 è β− (h) ⊂ σ(Th2 ). Êàæäàÿ èç ýòèõ îêðóæíîñòåé íåïðåðûâíî çàâèñèò îò h èïðîåêòèðóåòñÿ íà ñåãìåíò ïàðàáîëûecy = (ρ − h2 )(ec − (h − h2 )ρ),çàêëþ÷åííûé âíóòðè øåñòèóãîëüíèêà AKLDEF . Äàííûé ñåãìåíò ïðîõîäèò ÷åðåçòî÷êè A, G è L.

Ïðè h → h2 + 0 îêðóæíîñòè β± (h) ñáëèæàþòñÿ, è â ïðåäåëå îáåñîâïàäàþò ñ γ2 . Ïðè h → h3 −0 êàæäàÿ èç ýòèõ îêðóæíîñòåé ñêëåèâàåòñÿ â âîñüìåðêó.Âåðøèíàìè ýòèõ âîñüìåðîê ÿâëÿþòñÿ òî÷êè P± , ïðîåêòèðóþùèåñÿ â C (ðèñ. 6).Ïðè êàæäîì h ∈ (h2 ; h3 ) óðàâíåíèå ψ = α0 /2 ± π/2 îïðåäåëÿåò ÷åòûðåíåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòè α1,± (h), α2,± (h). Îêðóæíîñòè αb,+ (h) è αb,− (h)ÿâëÿþòñÿ σ - ñèììåòðè÷íûìè ∀b ∈ {1, 2}. Îêðóæíîñòè α1,+ (h) è α2,+ (h) ÿâëÿþòñÿ s ñèììåòðè÷íûìè, òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ ê α1,− (h) è α2,− (h). Âñå îíè ïðîåêòèðóþòñÿíà ñåãìåíò ïàðàáîëûecy = (ρ − h3 )(ec + (h − h3 )ρ),72çàêëþ÷åííûé âíóòðè øåñòèóãîëüíèêà AKLDEF . Äàííûé ñåãìåíò ïðîõîäèò ÷åðåçòî÷êè N è L.

Ïåðåñå÷åíèå ïðîîîáðàçà òî÷êè L c ïîâåðõíîñòüþ H −1 (h) ñîñòîèò èç4-õ òî÷åê.  îäíîé èç ýòèõ òî÷åê òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ îêðóæíîñòè α1,+ (h)è β+ (h), è â äðóãîé (s - ñèììåòðè÷íîé) òî÷êå òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ α2,+ (h)è β+ (h). Íèêàêèõ äðóãèõ ïåðåñå÷åíèé ó íèõ íåò. Ñëåäîâàòåëüíî: âñå ýòè îêðóæíîñòèíåãîìîòîïíû íóëþ, α1,+ (h) ãîìîòîïíà α2,+ (h) â Th2 è α1,− (h) ãîìîòîïíà α2,− (h) âσ(Th2 ).  ïðåäåëå ïðè h → h3 − 0 îêðóæíîñòè α1,+ (h) è α2,+ (h) ñëèâàþòñÿ ñ γ3+ .Àíàëîãè÷íî, îêðóæíîñòè α1,− (h3 ) è α2,− (h3 ) ñîâïàäàþò ñ γ3− .

Ïîýòîìó, ïðè ïåðåõîäå÷åðåç êðèòè÷åñêèé óðîâåíü h = h3 ñ êàæäûì èç òîðîâ Th2 è σ(Th2 ) ïðîèñõîäèòáèôóðêàöèÿ òèïà B . Ñëåäîâàòåëüíî ïðè h > h3 ïîäìíîãîîáðàçèå M2h èìååò 4 ñâÿçíûõêîìïîíåíòû. Óòâåðæäåíèå î ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõ ìíîãîîáðàçèÿ M2h äîêàçàíî.Ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 7, ãäå h âîçðàñòàåò ñâåðõó-âíèç. äàëüíåéøåì, ðàññìàòðèâàÿ íà ôèêñèðîâàííîì òîðå T 2 îðèåíòèðîâàííûåîêðóæíîñòè,ìûáóäåìíàçûâàòüèõöèêëàìè,íåðàçëè÷àÿãîìîòîïíûå(ãîìîëîãè÷íûå) öèêëû. Òåðìèí îêðóæíîñòü ìû èñïîëüçóåì òîëüêî äëÿ âëîæåííûõîêðóæíîñòåé, ðàññìàòðèâàåìûõ áåç îðèåíòàöèé.Íà ìíîãîîáðàçèè M3 = F −1 (0) ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþ, îïðåäåëÿåìóþ ëþáîéîðèåíòàöèåé M4 è ïîëåì grad(F ).

Îãðàíè÷èì ãàìèëüòîíèàí H íà M3 . ÌíîãîîáðàçèåM3 ðàññëîåíî íà òîðû, ÿâëÿþùèåñÿ êîìïîíåíòàìè M2h = H −1 (h). Ïóñòü ε äîñòàòî÷íî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ïîäìíîãîîáðàçèå H −1 [hi −ε; hi +ε] ïðè i = 1äèôôåîìîðôíî ïîëíîòîðèþ, à ïðè i ∈ {2, 3} îðèåíòèðîâàííîìó ñåäëó N 2 × S 1 èëèïàðå òàêèõ ñåäåë. Ñëîåíèå M3 íà òîðû ìîæíî èçîáðàçèòü íåêîìïàêòíûì ãðàôîì, óêîòîðîãî âåðøèíà A èçîáðàæàåò ïîëíîòîðèå, à âåðøèíû B èçîáðàæàþò ñåäëà (ðèñ.7). Ïîäîáíûå ãðàôû áûëè ââåäåíû À.Ò.

Ôîìåíêî äëÿ èçîáðàæåíèÿ òîïîëîãè÷åñêèõèíâàðèàíòîâ äî òîãî, êàê ïîñëåäíèå ñòàëè ïðåäñòàâëÿòü ìîëåêóëàìè [27, 28, 30].Íà êàæäîì ãðàíè÷íîì òîðå ìíîãîîáðàçèÿ H −1 [hi − ε; hi + ε] ôèêñèðóåì îðèåíòàöèþêðàÿ. Ñäâèãè âäîëü òðàåêòîðèé ïîëÿ grad(H) î÷åâèäíûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñêëåèâàþùèå äèôôåîìîðôèçìû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îòîæäåñòâëÿòü (ò.å. ñêëåèâàòüìåæäó ñîáîé) òîðû M2h1 +ε è M2h2 −ε , à òàêæå ïàðû òîðîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ñâÿçíûìèêîìïîíåíòàìè ïîäìíîãîîáðàçèé M2h2 +ε è M2h3 −ε .Îáñóäèì âàæíîå ïîíÿòèå ñêëåèâàþùåãî äèôôåîìîðôèçìà ϕij : Ti2 → Tj2 , ãäåTi2 è Tj2 êîìïîíåíòû ãðàíèö íåêîòîðûõ àòîìîâ, êîòîðûå ñâÿçàíû íåïðåðûâíûìñåìåéñòâîì òîðîâ Ëèóâèëëÿ.

Òîðû Ti2 è Tj2 ÿâëÿþòñÿ "êðàéíèìè" â ýòîì ñåìåéñòâå. òåîðèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äèôôåîìîðôèçì ϕij ñîïîñòàâëÿåò òî÷êå p ∈ Ti2 òàêóþ73òî÷êó q ∈ Tj2 , â êîòîðîé âûïóùåííàÿ èç p èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ ïîëÿ grad(F )ïðîòûêàåò òîð Tj2 . Ïðè ýòîì íåò íèêàêîé èíôîðìàöèè î ðèìàíîâîé ìåòðèêå íàQ3h , êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãðàäèåíòà. Ýòî íåóäèâèòåëüíî, ò.ê. ïðèðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ ïîëå grad(F ) íèêîãäà íå âû÷èñëÿþò.  ìåòîäå êðóãîâûõìîëåêóë î íåì äàæå íå âñïîìèíàþò. Âàæíî òî, ÷òî òîð Ti2 ïîäâåðãàåòñÿ íåïðåðûâíîéäåôîðìàöèè, ïîäíèìàÿñü íà áîëåå âûñîêèé óðîâåíü èíòåãðàëà F : Q3h → R èïðîõîäÿ ÷åðåç âñå ïðîìåæóòî÷íûå òîðû.

Характеристики

Список файлов диссертации