Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ïîñëåäíèå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé2π - ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè ïîëÿ sgrad Fe.Èòàê, êàæäîå ïîäìíîãîîáðàçèå U (Nc ) èìååò âñå ñâîéñòâà àòîìà, êîòîðûåÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííûìè ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè À.Ò. Ôîìåíêî. Ïîýòîìó êîððåêòíîîïðåäåëåíà ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà W ∗ (Q3h ). Òåîðåìà 3 äîêàçàíà 2.Çàìåòèì, ÷òî â ïï. 1, 2, 3 óñëîâèÿ òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ còàíäàðòíûéíàáîð ïðåäïîëîæåíèé, â êîòîðûõ âû÷èñëÿþòñÿ ìå÷åíûå ìîëåêóëû, âêëþ÷àÿòîïîëîãè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû íà Q3h .
Ïî ñóùåñòâó òåîðåìà 3 îçíà÷àåò,÷òî â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ ìîëåêóë W ∗ (Q3h ) ìîæíî èãíîðèðîâàòü ñèìïëåêòè÷åñêèåîñîáåííîñòè, åñëè ïîäìíîãîîáðàçèå Q3h òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿ ñ ãëàäêèìèêóñêàìè ìíîæåñòâà Θ (ñëó÷àé îáùåãî ïîëîæåíèÿ). Óñëîâèÿ òåîðåìû 3, íàïðèìåð,âûïîëíÿþòñÿ â ñëó÷àå Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî [5]. Çäåñü êàæäîå ðåãóëÿðíîåïîäìíîãîîáðàçèå Q3h ïåðåñåêàåòñÿ ñ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ Θ ïî îäíîìó, äâóìèëè ÷åòûðåì òîðàì Ëèóâèëëÿ, ëåæàùèì íà íóëåâîì óðîâíå èíòåãðàëà F .Åñëè êðèâàÿ F(Θ) íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììûè òîëüêî òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿ ñ åå ãëàäêèìè äóãàìè, òî, ïî-âèäèìîìó,â ñèòóàöèè òåîðåìû 3 íåò ôîðìàëüíûõ ïðåïÿòñòâèé äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäàêðóãîâûõ ìîëåêóë ïðè âû÷èñëåíèè ìåòîê r, ε, n [7, 44]. Îäíàêî, ýòîò âîïðîñíóæäàåòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì èçó÷åíèè.
 ñëó÷àå Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî ìåòêè áûëèâû÷èñëåíû áåç ïîìîùè ìåòîäà êðóãîâûõ ìîëåêóë, êîòîðûé îêàçàëñÿ íåïðèìåíèìûìèç-çà îòñóòñòâèÿ ó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ îñîáûõ òî÷åê ðàíãà 0 [14]. Òàêèåòî÷êè ÿâëÿþòñÿ îáðàçàìè ñòàöèîíàðíûõ òðàåêòîðèé sgrad H ïðè îòîáðàæåíèèìîìåíòà F .  îáû÷íîé ñèòóàöèè (áåç îñîáåííîñòåé) ëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ äëÿ H60òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òðàåêòîðèåé, ïîýòîìó èç íåå íå ìîæåò âûõîäèòüïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ sgrad H . Íî â ñëó÷àå Î.È.
Áîãîÿâëåíñêîãî äåëî îáñòîèòèìåííî òàê: còàöèîíàðíûõ òðàåêòîðèé íåò ñîâñåì, à îáðàùåíèå â íîëü êîâåêòîðàdH â êàæäîé òî÷êå êðèòè÷åñêîé äëÿ H òðàåêòîðèè îáóñëîâëåíî ïîïàäàíèåì âåêòîðàsgrad H 6= 0 â ÿäðî ôîðìû ω . Çàìåòèì, ÷òî â ñèòóàöèè òåîðåìû 3 â êàæäîé òî÷êå ρëþáîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè Sc1 ⊂ Nc ∩ Θ ÿäðî Zρ òðàíñâåðñàëüíî Sc1 , ïîýòîìósgrad H(ρ) 6∈ Zρ .Ïðèìåð 1. Ñëåäóþùèå ïðèìåðû èëëþñòðèðóþò ñèòóàöèè, êîòîðûå îïèñàíûâ òåîðåìå 3.
Ëåãêî ìîäèôèöèðîâàòü èõ òàê, ÷òîáû êîîðäèíàòû (x, y, p, q) áûëèóãëîâûìè íà òîðå T 4 , íî ôîðìóëû ñòàíóò áîëåå ãðîìîçäêèìè. Ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿëîêàëüíûìè êîíñòðóêöèÿìè, êîòîðûå ïðîÿñíÿþò ñóùåñòâî äåëà. ñëó÷àå dim S 0 = 3 ðàññìîòðèì ôîðìó ω = xdx ∧ dy + dp ∧ dq è ïàðóêîììóòèðóþùèõ èíòåãðàëîâ H = p + qx2 è F = x. Cèñòåìà sgrad H â êîîðäèíàòàõ(x, y, p, q) âûãëÿäèò òàê:0 2q sgrad H = . −x2 1Îíà êîððåêòíî îïðåäåëåíà âñþäó è ÿâëÿåòñÿ íåðåçîíàíñíîé, ïîñêîëüêó ïðîåêöèÿèíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèè íà "òîð" ñ êîîðäèíàòàìè y, p èìååò ÷èñëî âðàùåíèÿ−2q/x2 . Ãèïåðïîâåðõíîñòü S 0 = Θ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x = 0 è òðàíñâåðñàëüíîïåðåñåêàåòñÿ ñ Q3h ïî "òîðó Ëèóâèëëÿ" p = h, x = 0.Ïàðà èíòåãðàëîâ H = p + x2 y 2 è F = xy îòâå÷àåò ñëó÷àþ, êîãäà ãëàäêèé êóñîêîñîáîãî ñëîÿ ïîïàäàåò â ìíîæåñòâî Θ.  ýòîì ëîêàëüíîì îïèñàíèè åìó îòâå÷àåòïîâåðõíîñòü x = 0, ëåæàùàÿ â îñîáîì ñëîå xy = 0. ñëó÷àå dim S 0 = 2 ðàññìîòðèì ôîðìó ω = (x2 + y 2 )dx ∧ dy + dp ∧ dq èïàðó êîììóòèðóþùèõ èíòåãðàëîâ H = p + qx3 y 3 è F = xy .
Òîãäà ïîâåðõíîñòüS 0 = Θ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x = y = 0. Ñèñòåìà sgrad H êîððåêòíî îïðåäåëåíàâñþäó è ÿâëÿåòñÿ íåðåçîíàíñíîé. Ïîäìíîãîîáðàçèå Q3h òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿñ ïîâåðõíîñòüþ S 0 ïî ñåäëîâîé "îêðóæíîñòè" p = h, x = y = 0 (ãèïåðáîëè÷åñêàÿòðàåêòîðèÿ), êîòîðàÿ ëåæèò â ñëîå p = h, xy = 0.Ðàññìàòðèâàÿ ïàðó èíòåãðàëîâ H=p + q(x2 + y 2 )2 è F=x2 + y 2ïîëó÷èì êîððåêòíî îïðåäåëåííóþ, íåðåçîíàíñíóþ ñèñòåìó sgrad H . Ïðè ýòîìïîäìíîãîîáðàçèå Q3h òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ S 0 ïî ìèíèìàëüíîé61"îêðóæíîñòè" p = h, x = y = 0 (ýëëèïòè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ).Ðàññìàòðèâàÿ ïàðó èíòåãðàëîâ H = p + qx4 è F = x ïîëó÷èì êîððåêòíîîïðåäåëåííóþ, íåðåçîíàíñíóþ ñèñòåìó sgrad H . Ïîäìíîãîîáðàçèå Q3h òðàíñâåðñàëüíîïåðåñåêàåòñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ S 0 ïî "îêðóæíîñòè" p = h, x = y = 0, âëîæåííîé â "òîðËèóâèëëÿ" p = h, x = 0Ïðåäëîæåíèå 4 Ïóñòü M åñòü îðèåíòèðóåìîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèåñ îñîáåííîñòüþ è dim M = 2n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà M êîððåêòíî îïðåäåëåíàèíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ, íåðåçîíàíñíàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà sgrad(H), è Θÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ.Òîãäà äëÿ ëþáîãî òîðà Ëèóâèëëÿ T n ⊂ Θ íàéäåòñÿ åãî îêðåñòíîñòü U è òàêîéèíòåãðàë F ñèñòåìû sgrad(H), ÷òîx ∈ U ∩ Θ ⇔ F (x) = 0,dF (x) 6= 0∀x ∈ U ∩ Θ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü T0n ⊂ Θ è H(T0n ) = 0, Fk (T0n ) = 0 äëÿ âñåõ 1 ≤ k ≤ n − 1.Íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü U òîðà T0n äèôôåîìîðôíà T n × Dn (çäåñü ìû èñïîëüçóåìîðèåíòèðóåìîñòü M ), ïðè ýòîì â äèñêå Dn èçìåíÿþòñÿ êîîðäèíàòû (h, f1 , . . . , fn−1 ),ÿâëÿþùèåñÿ çíà÷åíèÿìè èíòåãðàëîâ H, Fk . Òî÷êà 0 ∈ Rn ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì äèñêàDn ⊂ Rn . Åñëè ïðè äèôôåîìîðôèçìå i : U → T n × Dn òî÷êå p ∈ U îòâå÷àåò ïàðà(x, y), òîy = (h, f1 , . . . , fn−1 ) ∈ Dn ,h = H(p),fk = Fk (p).Çàìåòèì, ÷òî i−1 (x, 0) öåíòð äèñêà Dxn = i−1 (x × Dn ), òðàíñâåðñàëüíîãî òîðó T0n .Ïóñòü p ∈ T0n , òîãäà i(p) = (x, 0).
Òàê êàê Dxn òðàíñâåðñàëåí Θ, òî Dxn ∩ Θ åñòüâëîæåííûé äèñê Dxn−1 ñ öåíòðîì p. Äèôôåîìîðôèçì i : Dxn → x × Dn èíäóöèðóåò íàDxn êîîðäèíàòû (h, f1 , . . . , fn−1 ) èç Dn . Â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ïîäìíîãîîáðàçèå Dxn−1 ⊂Dxn îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì F = 0 äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè F (h, f1 , . . . , fn−1 ).Ôóíêöèÿ F = F (H, F1 , . . . , Fn−1 ) íà U ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì sgrad(H). Äîêàæåì, ÷òîe), òîãäàF −1 (0) = U ∩ Θ. Ïóñòü pe ∈ U ∩ Θ è i(ep) = (ex, yF (ep) = F (H(ep), F(ep)) = F (h, f ),e.
Òàê êàê òî÷êà i−1 (x, ye) ∈ Dxn ëåæèò íà òîì æå òîðå Ëèóâèëëÿ, ÷òî èãäå (h, f ) = ype, òî îíà ëåæèò â Θ. Ñëåäîâàòåëüíî F (h, f ) = 0, ò.å. F (ep) = 0. Èòàê U ∩ Θ ⊂ F −1 (0),îáðàòíîå âêëþ÷åíèå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî 2.Èòàê, ïðè÷èíîé ðåçîíàíñíîãî âûðîæäåíèÿ ïîòîêà íà òîðå Ëèóâèëëÿ T n ìîãóòáûòü îñîáûå òî÷êè x ∈ T n , åñëè T n 6⊂ Θ. Òàê êàê ïîòîê sgrad(H) ñîõðàíÿåò ôîðìóω , òî ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç x òðàåêòîðèÿ íå ìîæåò áûòü âñþäó ïëîòíà íà ýòîì òîðå.62Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì áóòûëêó Êëåéíà K 2 èç ïðèìåðà 1 § 1.2, íà êîòîðîéêîððåêòíî îïðåäåëåíà 1-ôîðìà sin ϕdϕ. Ïóñòü M 4 = K 2 × T 2 è íà òîðå T 2 ââåäåíûóãëîâûå êîîðäèíàòû α, β (mod 2π ). Ñëåäóþùåå âûðàæåíèådα ∧ dψ + sin ϕdα ∧ dϕ + dψ ∧ dβ + sin ϕdβ ∧ dϕêîððåêòíî îïðåäåëÿåò íà M 4 çàìêíóòóþ 2-ôîðìó ω , íåâûðîæäåííóþ âñþäó, êðîìåòî÷åê ïîäìíîãîîáðàçèÿ Θ = {ϕ = 0, ±π}.
Ïîñëåäíåå èìååò äâå ñâÿçíûõ êîìïîíåíòû,êàæäàÿ èç êîòîðûõ äèôôåîìîðôíà òîðó T 3 . Âû÷èñëÿÿ îáðàòíóþ ìàòðèöó ôîðìûω ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî {α, β} = 0. Ïóñòü H = sin α èëè H = cos α, à F =sin β èëè F = cos β. Î÷åâèäíî, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà sgrad(H) èíòåãðèðóåìàïîñðåäñòâîì èíòåãðàëà F . Îäíàêî, îíà íå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííîé íà M 4 ,ò.ê. â êàæäîé òî÷êå x ∈ Θ ïîëå sgrad(H) îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü è èìååò ðîâíîäâà ïðåäåëüíûõ íàïðàâëåíèÿ íà ïðÿìîé Zx ∩ Tx Θ.
Òàêîå ïîâåäåíèå ïîòîêà áûëîïðåäñêàçàíî ñëåäñòâèåì 1 ï. 1.2.3. Êàæäîå èíòåãðàëüíîå ïîäìíîãîîáðàçèå F −1 (h, f )îòâå÷àåò ôèêñèðîâàííûì çíà÷åíèÿì α è β . Î÷åâèäíî, ÷òî îíî äèôôåîìîðôíîáóòûëêå Êëåéíà K 2 . Ïðè÷èíà äàííîãî ÿâëåíèÿ â òîì, ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå F −1 (h, f )íå ëåæèò â ìíîæåñòâå Θ, íî ïåðåñåêàåòñÿ ñ íèì ïî ïàðå îêðóæíîñòåé 2.§ 2.3. Ïðèìåð èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû c îñîáåííîñòüþ.Ðàññìîòðèì ïðèìåð ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì òåîðåìû 3. Çàäà÷àîïèñàíèÿ åå ôàçîâîé òîïîëîãèè, ïîñòàâëåíàÿ À.Ò. Ôîìåíêî â 1990ã., äàëà òîë÷îê êèññëåäîâàíèÿì ñèìïëåêòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â íàñòîÿùåéðàáîòå.2.3.1.
Cëó÷àé Áîãîÿâëåíñêîãî.Äàíî òâåðäîå òåëî ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, äâèæóùååñÿ â äâóõ îäíîðîäíûõè ñòàöèîíàðíûõ ñèëîâûõ ïîëÿõ. Íàïðèìåð, â ãðàâèòàöèîííîì è ìàãíèòíîì. Âïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà äèíàìèêó òåëà îïðåäåëÿþò ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿÝéëåðà-Ïóàññîíà:Ṁ = [M, ω] + mg[r, γ] + B[d, δ],γ̇ = [γ, ω],δ̇ = [δ, ω],ãäå m ìàññà, M êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò, ω óãëîâàÿ ñêîðîñòü, I1 , I2 , I3 ãëàâíûåìîìåíòû èíåðöèè (Mi = Ii ωi ), r ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ (r = const), gγ âåêòîð ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, Bδ âåêòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ, d ìàãíèòíûé ìîìåíòòåëà (d = const).63Äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëûJ1 = (γ, γ) = 1,J2 = (γ, δ) = c,J3 = (δ, δ) = 1,ôóíêöèîíàëüíî ïîðîæäàþùèå öåíòð àëãåáðû Ëè C ∞ (M 4 ) (ôóíêöèè Êàçèìèðà). Îíàòàêæå èìååò èíòåãðàë ýíåðãèè1H = (M, ω) − mg(r, γ) − B(d, δ).2Ïðåäïîëîæèì ÷òî, â äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì Ñ.Â.
Êîâàëåâñêîé, âåêòîð d îðòîãîíàëåír è ïàðàëëåëåí ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè, ò.å.I1 = I2 = 2I3 ,r = (r1 , 0, 0),d = (0, d2 , 0).Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ñèñòåìà èìååò èíòåãðàë Z = Z12 + Z22 , ãäåZ1 = M12 − M22 + 4I3 mgr1 γ1 − 4I3 Bd2 δ2 ,Z2 = 2M1 M2 + 4I3 mgr1 γ2 + 4I3 Bd2 δ1 ,êîòîðûé îáîáùàåò èíòåãðàë Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé [21]. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿξi =√c1 · γi ,c1 = (4I3 mgr1 )2 ,ηi =√c3 · δic3 = (4I3 Bd2 )2 ,(1 ≤ i ≤ 3),c2 = (4I3 )2 mgr1 Bd2 c,è ïåðåïèøåì èñõîäíóþ ñèñòåìó â ñëåäóþùåì âèäå:Ṁ1 =2M2 M3 + η34I3Ṁ2 = −2M1 M3 + ξ34I32M3 ξ2 − M2 ξ3 ˙M1 ξ3 − 2M3 ξ1ξ˙1 =ξ2 =2I32I32M3 η2 − M2 η3M1 η3 − 2M3 η1η˙1 =η˙2 =2I32I3 íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ èíòåãðàëû èìåþò âèä:Ṁ3 =ξ2 − η14I3M2 ξ1 − M1 ξ2ξ˙3 =2I3M2 η1 − M1 η2η˙3 =.2I3(2.4)¡¢H = (4I3 )−1 · M12 + M22 + 2M32 − ξ1 − η2 ,Z = (M12 − M22 + ξ1 − η2 )2 + (2M1 M2 + ξ2 + η1 )2 .Ïóñòü G ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå SO(3) ñ äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè R3 , è G àëãåáðàËè ãðóïïû G. Êàíîíè÷åñêèé èçîìîðôèçìTe G =e so(3) ⊕ R3 ⊕ R3 =e R9 (M 1 , M 2 , M 3 , ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , η 1 , η 2 , η 3 )ïîðîæäàåò â G êîîðäèíàòû M i , ξ i , η i , ãäå i ∈ {1, 2, 3}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
