Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïî ðèñ. 6 âèäíî,÷òî ρ̇(τ ) > 0. Èç (2.4) è (2.6) ñëåäóåò, ÷òî çíàê ẏ(ti ) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì M1 η3 − M2 ξ3â òî÷êå Pe(hi ), åñëè ρ äîñòàòî÷íî ìàëî. Ïîñêîëüêó ρ ìàëî, òî ẏ(ti ) > 0 ïðè êàæäîìi ∈ {1, 2}. Î÷åâèäíî, ÷òî ẏ(ρ) > 0 íà êàæäîé èç îêðóæíîñòåé γ+ (hi ). Îêîí÷àòåëüíîïîëó÷àåì, ÷òî τ̇ (ti ) > 0 ïðè êàæäîì i ∈ {1, 2}. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàæäîé èçîêðóæíîñòåé γ+ (hi ) ïàðàìåòðû t è τ çàäàþò îäèíàêîâûå îðèåíòàöèè. Î÷åâèäíî, ÷òîñêëåèâàþùàÿ èçîòîïèÿ ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèè, ïîðîæäåííûå ïàðàìåòðîì τ .
À òàê êàêîðèåíòàöèè öèêëîâ µ1 è λ2 ïîðîæäàþòñÿ ïàðàìåòðîì t, òî ñêëåèâàþùàÿ èçîòîïèÿñîõðàíÿåò ýòè îðèåíòàöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, â äîïóñòèìûõ áàçèñàõ (λ1 , µ1 ) è (λ2 , µ2 )ìàòðèöà ñêëåéêè èìååò âèä (2.8).78+++Àíàëîãè÷íî èç ôîðìóë (2.10) ñëåäóåò, ÷òî â áàçèñàõ (λ+2 , µ2 ) è (λ3 , µ3 ), à òàêæå−−−â áàçèñàõ (λ−2 , µ2 ) è (λ3 , µ3 ) ìàòðèöû ñêëåéêè èìåþò âèä (2.9). Äîêàæåì, ÷òî ýòèäâå ìàòðèöû ñîâïàäàþò.Ëåììà 1 Ñèììåòðèÿ σ îáðàùàåò îðèåíòàöèè ïîäìíîãîîáðàçèé M4 è Q3h , èñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ M3 . Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, σ - ñèììåòðè÷íàÿ ñèñòåìå(2.4), îòëè÷àåòñÿ îò íåå òîëüêî íàïðàâëåíèåì âðåìåíè.Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî.Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî ñèììåòðèÿ σ : M3 → M3 ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþêðàÿ ñåäëà H −1 [h2 − ε; h2 + ε], à òàêæå îðèåíòàöèþ êðàÿ êàæäîãî èç äâóõ ñåäåë,ñîñòàâëÿþùèõ H −1 [h3 − ε; h3 + ε].
Êàæäàÿ èç ñëåäóþùèõ ïàð îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿσ - ñèììåòðè÷íîé:λ±2,λ±3,µ±2,µ±3.Ïðè ε → +0 êàæäàÿ èç îêðóæíîñòåé λ±2 ðàâíîìåðíî ñáëèæàåòñÿ ñ êðèòè÷åñêîéòðàåêòîðèåé γ2 . Îäíîâðåìåííî ïàðà îêðóæíîñòåé λ±3 ñòðåìèòñÿ ê σ - ñèììåòðè÷íîéïàðå òðàåêòîðèé γ3± . Îòñþäà è èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî σ îáðàùàåò îðèåíòàöèè±öèêëîâ λ±2 è λ3 . Ïîýòîìó, ñîõðàíÿÿ îðèåíòàöèè ãðàíè÷íûõ òîðîâ, ñèììåòðèÿ σ±îáðàùàåò îðèåíòàöèè öèêëîâ µ±2 è µ3 .
Î÷åâèäíî, ÷òî σ - ñèììåòðèÿ ñêëåèâàþùåéèçîòîïèè òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñêëåèâàþùåé èçîòîïèåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà ñêëåéêè−−−++â áàçèñàõ (λ−2 , µ2 ) è (λ3 , µ3 ) ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé ñêëåéêè â áàçèñàõ (λ2 , µ2 )+è (λ+3 , µ3 ). Ïîÿñíèì ýòî. Ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðèìåðà, ÷òî ñêëåèâàþùàÿ èçîòîïèÿ+++ïåðåâîäèò öèêë λ+2 â öèêë µ3 , à öèêë µ2 â öèêë λ3 . Ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðàÿ−+−ñêëåèâàþùàÿ èçîòîïèÿ ïåðåâîäèò öèêë σ(λ+2 ) = −λ2 â öèêë σ(µ3 ) = −µ3 , à öèêë−+−−−σ(µ+2 ) = −µ2 â öèêë σ(λ3 ) = −λ3 . Íî òîãäà îíà ñîâìåùàåò öèêëû λ2 è µ3 , à òàêæå−µ−2 è λ3 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ èç äâóõ ìàòðèö ñêëåéêè èìååò îäèíàêîâûé âèä2.2.3.4. Îáîçíà÷åíèÿ. äàëüíåéøåì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà F = H × F : M4 → R2 áóäåì ïðîñòîíàçûâàòü ïðîåêöèåé, òàêæå êàê è ðàçëè÷íûå îáðàçû ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.
Çíà÷åíèÿôóíêöèè F : M4 → R áóäåì îáîçíà÷àòü f . Ïóñòü M3f = F −1 (f ) è Q3h =H −1 (h). Ïåðâîå èç ýòèõ ïîäìíîãîîáðàçèé îðèåíòèðîâàíî ïîëåì íîðìàëåé grad(F ),êîòîðîå â êàæäîé òî÷êå îòëè÷íî îò íóëÿ. Âòîðîå îðèåíòèðîâàíî ïîëåì íîðìàëåégrad(H), îòëè÷íûì îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå íåîñîáîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ Q3h . Íà M4ôèêñèðîâàíà ïðîèçâîëüíàÿ îðèåíòàöèÿ (M4 îðèåíòèðóåìî, áóäó÷è ïîâåðõíîñòüþ79óðîâíÿ Z1 = Z2 = 0 â îðèåíòèðóåìîì O6 ).
Îáîçíà÷èì Fh ôóíêöèþ F : Q3h → Rè Hf ôóíêöèþ H : M3f → R. Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ Fh áóäåì îáîçíà÷àòü fi±èëè fi± (h). Ïóñòü ∇Hf âåêòîðíîå ïîëå grad(Hf ), âû÷èñëåííîå â ìåòðèêå íàM3f , èíäóöèðîâàííîé ëþáîé ðèìàíîâîé ìåòðèêîé íà M4 . Ïðîåêöèè èíòåãðàëüíûõòðàåêòîðèé ïîëÿ ∇Hf èçîáðàæåíû ãîðèçîíòàëüíûìè ñòðåëêàìè. Ýòè òðàåêòîðèèèãðàþò âàæíóþ ðîëü â äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ. Áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó Σáóäåì ðàññìàòðèâàòü, êàê îáúåäèíåíèå ÷åòûðåõ êðèâûõ, îáîçíà÷àåìûõ f1 , f2 , f3 , f4(ðèñ. 8). Ýòè êðèâûå fi ìû áóäåì íàçûâàòü âåòâÿìè. Çàìåòèì, ÷òî âåòâü f3ñîñòîèò èç äâóõ êðèâûõ, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé f = 0.Âåòâè îãðàíè÷èâàþò ðåãóëÿðíûå îáëàñòè, êîòîðûå îòìå÷åíû öèôðàìè 1, 2, 4 ñîãëàñíî ÷èñëó òîðîâ Ëèóâèëëÿ íàä êàæäîé òî÷êîé (h, f ).
Êàæäûé èç ýòèõ òîðîâìû îáîçíà÷àåì T 2 (h, f ). Îí ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé ïîäìíîãîîáðàçèÿ {H =h, F = f }, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü M2 (h, f ). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òî÷êàq = (h, f ) 6∈ Σ áåñêîíå÷íî áëèçêà ê áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå (èëè ê âåòâè fi ),åñëè ðàññòîÿíèå îò q äî íåêîòîðîé âåòâè fi ìîæíî ñ÷èòàòü êàê óãîäíî ìàëûì.Ñäåëàåì íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ. Âîçüìåì òî÷êó q = (h, f ), áåñêîíå÷íî áëèçêóþ êâåòâè fi , ãäå i ∈ {2, 4}. Î÷åâèäíî, ÷òî íà âåòâè fi íàéäåòñÿ òàêàÿ ïàðà òî÷åê p è pe,÷òî p è q ëåæàò íà îäíîé âåðòèêàëè, à pe è q íà îäíîé ãîðèçîíòàëè. Çíà÷åíèÿ f2± (h)è f4± (h) ÿâëÿþòñÿ ñåäëîâûìè, ïîýòîìó òî÷êà p ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé îêðóæíîñòè S 1 ñåäëîâîé, êðèòè÷åñêîé äëÿ ôóíêöèè Fh . Îäíîâðåìåííî òî÷êà pe ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåéîêðóæíîñòè Se1 ñåäëîâîé, êðèòè÷åñêîé äëÿ ôóíêöèè Hf . Ñåïàðàòðèñíûå äèàãðàììûe. Îêðóæíîñòü λîêðóæíîñòåé S 1 è Se1 îïðåäåëÿþò íà òîðå T 2 (h, f ) öèêëû λ è λe áåñêîíå÷íî áëèçêà ê Se1 .
Èíòåãðàëüíûåáåñêîíå÷íî áëèçêà ê S 1 , à îêðóæíîñòü λòðàåêòîðèè, ïîðîæäàþùèå ñåäëîâûå îêðóæíîñòè S 1 è Se1 , òàêæå áåñêîíå÷íî áëèçêèe ãîìîòîïíû íà òîðå T 2 (h, f ).äðóã ê äðóãó. Ñëåäîâàòåëüíî, öèêëû λ è λÀíàëîãè÷íî, ïóñòü òî÷êà q = (h, f ) áåñêîíå÷íî áëèçêà ê âåòâè fi , ãäå i ∈ {1, 3}.e, âîçíèêàþùèå íà òîðå T 2 (h, f ) ÿâëÿþòñÿ ìåðèäèàíàìè äâóõ ïîëíîòîðèé,Öèêëû λ è λîäíî èç êîòîðûõ âëîæåíî â Q3h , à äðóãîå â M3f .
Íà ðèñ. 8 ïåðâîìó ïîëíîòîðèþîòâå÷àåò îòðåçîê [p; q], à âòîðîìó îòðåçîê [ep; q]. Î÷åâèäíî, ÷òî îäíî èç ïîëíîòîðèéìîæíî ãîìîòîïèðîâàòü â äðóãîå òàê, ÷òîáû òîð T 2 (h, f ) îñòàâàëñÿ íåïîäâèæíûì.Ïðè ýòîì îòðåçîê [p; q] ãîìîòîïèðóåòñÿ íà [ep; q], à òî÷êà p äâèæåòñÿ ïî âåòâè fie ÿâëÿþòñÿ ìåðèäèàíàìèäî ñîâïàäåíèÿ ñ òî÷êîé pe.
Ïîñêîëüêó îêðóæíîñòè λ è λîáùåãî ïîëíîòîðèÿ, òî îíè ãîìîòîïíû íà òîðå T 2 (h, f ). Îäíàêî, èõ îðèåíòàöèè ìîãóòîêàçàòüñÿ ðàçëè÷íûìè, ò.å. ñîîòâåòñòâóþùèå öèêëû ðàâíû ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà.80Ìû ìíîãîêðàòíî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ïóñòü f 6= 0 è òî÷êà q = (h, f ) îäíîé èç ðåãóëÿðíûõ îáëàñòåé áåñêîíå÷íî áëèçêàê âåòâè fi .
Ñîåäèíèì q ñ fi äâóìÿ îòðåçêàìè âåðòèêàëüíûì [p; q] è ãîðèçîíòàëüíûì[ep; q]. Ïóñòü k åñòü óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê êðèâîé fi â ïðîèçâîëüíîéòî÷êå, ëåæàùåé ìåæäó p è pe. Òîãäà äâå îðèåíòàöèè êðàÿ, èíäóöèðîâàííûå íàòîðå T 2 (h, f ) èç ìíîãîîáðàçèé Q3h è M3f , ñîâïàäàþò ïðè k > 0 è ÿâëÿþòñÿïðîòèâîïîëîæíûìè ïðè k < 0.Î÷åâèäíî, ÷òî k 6= 0 â ëþáîé òî÷êå êàæäîé âåòâè fi (ðèñ. 8). Âîçüìåìïðîèçâîëüíóþ òî÷êó òîðà T 2 (h, f ) è âû÷èñëèì â íåé âåêòîðû grad(F ), grad(H).Çàôèêñèðóåì â ýòîé òî÷êå âåêòîðû n è ne âíóòðåííèõ íîðìàëåé ê òîðó,ðàññìàòðèâàåìîìó â êà÷åñòâå êîìïîíåíòû ãðàíèö àòîìîâ â Q3h è M3f , êîòîðûåïðîåêòèðóþòñÿ íà îòðåçêè [p; q] è [ep; q] ñîîòâåòñòâåííî.
Ïàðû âåêòîðîâ (grad(H), n)è (grad(F ), ne) îïðåäåëÿþò íà òîðå T 2 (h, f ) îðèåíòàöèè ãðàíèö ýòèõ äâóõ àòîìîâ.Ïðè ëþáîì k ïðîåêöèÿ âåêòîðà grad(F ) íàïðàâëåíà ââåðõ, à ïðîåêöèÿ âåêòîðàgrad(H) íàïðàâëåíà âïðàâî. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà ne âñåãäà ãîðèçîíòàëüíà , à âåêòîðn èìååò âåðòèêàëüíóþ ïðîåêöèþ, îäíàêî íàïðàâëåíèÿ ýòèõ ïðîåêöèé ìîãóò áûòüðàçëè÷íûìè äëÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ ÷èñëà k . Îíè òàêæå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿòî÷êè q ïî îòíîøåíèþ ê âåòâè fi ñ îäíîé ñòîðîíû îò íåå èëè ñ äðóãîé. Çàìåòèì,÷òî ïðîåêöèè âåêòîðîâ n è ne âñåãäà íàïðàâëåíû â ñòîðîíó âåòâè fi .
Ðàññìàòðèâàÿ âñåâàðèàíòû ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîåêöèè ïàð (grad(H), n) è (grad(F ), ne) ïðè k > 0âñåãäà èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ â R2 (h, f ), à ïðè k < 0 èõ îðèåíòàöèè âñåãäàðàçëè÷íû.Ñïðàêòè÷åñêîéòî÷êèçðåíèÿýòèðàññóæäåíèÿïîçâîëÿòîïðåäåëÿòüλ - öèêëû íà ãðàíèöàõ àòîìîâ â Q3h , èñïîëüçóÿ ãîìîòîïíûå èì öèêëûe.
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì äåëàòü ýòî áåç îãîâîðîê. Çàìåòèì, ÷òî ñλôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ãîìîòîïíûå öèêëû ñîâïàäàþò, íî ìû íàçûâàåìöèêëàìè òàêæå è ïðåäñòàâëÿþùèå èõ îðèåíòèðîâàííûå îêðóæíîñòè. Èñïîëüçóÿñêëåèâàþùèå èçîòîïèè íà ïîäìíîãîîáðàçèè M3 , êîòîðûå áûëè ñêîíñòðóèðîâàíûïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 6, ìû ïîñòðîèì ñêëåèâàþùèå èçîòîïèè íà êàæäîììíîãîîáðàçèè Q3h . Îäíîâðåìåííî, äîïóñòèìûå áàçèñû èç ïðåäëîæåíèÿ 6 ïîìîãóò íàìçàäàòü äîïóñòèìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà âñåõ àòîìàõ, ñîñòàâëÿþùèõ Q3h . Áóäåìîáîçíà÷àòü δ ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ñ÷èòàÿ åãî íàñòîëüêî ìàëûì,íàñêîëüêî ýòî íåîáõîäèìî â êîíêðåòíîé ñèòóàöèè.2.3.5.
Ìåòêè ïðè h1 < h < h2 .81Ìíîãîîáðàçèå Q3h ñêëååíî èç äâóõ àòîìîâ A ïîëíîòîðèéFh−1 [f+ ; f1+ (h)] è Fh−1 [f1− (h); f− ],ïðîåêòèðóþùèõñÿ íà îòðåçêè [a+ ; b+ ] è [b− ; a− ]. Îêðóæíîñòü γ1 ïîðîæäåíà çàìêíóòîéèíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèåé ïîëÿ sgrad(H). Åãî êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè, îòâå÷àþùèåâñåâîçìîæíûì çíà÷åíèÿì f1± (h), âìåñòå ñ γ1 îðãàíèçîâàíû â íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî,ïðîåêòèðóþùååñÿ íà âåòâü f1 (ðèñ. 8). Îêðóæíîñòü γ1 ïðîåêòèðóåòñÿ â òî÷êó 1.Êðèâàÿ a− a+ ïîëó÷åíà ñäâèãîì f1 íà δ âïðàâî.Íà êàæäîì òîðå T 2 (h, f ), ïðîåêòèðóþùåìñÿ â òî÷êó êðèâîé a− a+ , ñóùåñòâóåòäîïóñòèìûé â M3f è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèé îò f áàçèñ (λ1 (f ), µ1 (f )), òàê ÷òî(λ1 (0), µ1 (0)) = (λ1 , µ1 ).Íàïîìíèì, ÷òî λ - öèêëû λ1 (f ) íà òîðàõ T 2 (h, f ) ÿâëÿþòñÿ ìåðèäèàíàìè ïîëíîòîðèéHf−1 [h − δ; h], â ñèëó ÷åãî îïðåäåëåíû ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèé. Äëÿ òîãî, ÷òîáûçàäàòü óêàçàííîå ñåìåéñòâî áàçèñîâ, ñëåäóåò ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ãîìîòîïèðîâàòüöèêë µ1 âäîëü ñåìåéñòâà òîðîâ T 2 (h, f ) íàä êðèâîé a− a+ òàê, ÷òîáû ñîõðàíÿëàñüåãî äîïîëíèòåëüíîñòü ïî îòíîøåíèþ ê λ1 .
Îãðàíè÷èâàÿ èíòåãðàë F íà öèëèíäð∪f T 2 (h, f ), äàííóþ èçîòîïèþ ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ïîëÿ ãðàäèåíòîâ.Âîçíèêàåò íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî öèêëîâ µ1 (f ). Ïîñêîëüêó èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ µ1 (f )è λ1 (f ) ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ, äîñòàòî÷íî ìàëûõ âîçìóùåíèÿõ ïàðàìåòðà f , èçñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ýòîãî ïàðàìåòðà ñëåäóåò, ÷òî ïðè âñåõ f èíäåêñïåðåñå÷åíèÿ ðàâåí ±1. Îðèåíòàöèè öèêëîâ µ1 (f ), îïðåäåëÿåìûå êðèòè÷åñêèìèòðàåêòîðèÿìè íàä f1 , îáðàçóþò íåïðåðûâíîå ïîëå. Ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíîåïîëå îðèåíòàöèé òîðîâ T 2 (h, f ) ãðàíèö ïîëíîòîðèé îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîå ïîëåîðèåíòàöèé öèêëîâ λ1 (f ).Ïðè h0 ≤ h è f− ≤ f ≤ f+ êàæäûé òîð T 2 (h0 , f ), ïðîåêòèðóþùèéñÿ â òî÷êóêðèâîé a− a+ , ñäâèíåì âäîëü òðàåêòîðèé ïîëÿ ∇Hf íà óðîâåíü H = h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
