Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà F = H × Fäàííîìó ñåìåéñòâó òîðîâ îòâå÷àåò âåðòèêàëüíûé îòðåçîê I ⊂ F (M4 ) \ Σ. Ìîæíîðàññìîòðåòü áîëåå îáùóþ ñèòóàöèþ, ãëàäêî äåôîðìèðóÿ ýòîò îòðåçîê òàê, ÷òîáûîí ïî-ïðåæíåìó ñîñòîÿë èç ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé F . Ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ¡ ¢êðèâàÿ I : [0; 1] → R2 (h, f ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî F (Ti2 ) = I(0) è F Tj2 = I(1), àîáúåäèíåíèå P 3 âñåõ òîðîâ íåïðåðûâíîãî ñåìåéñòâà σ , ñâÿçûâàþùåãî ìåæäó ñîáîé Ti2¡¢è Tj2 , ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé ìíîæåñòâà F −1 I[0; 1] . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî P 3 ⊂M 3 äëÿ íåêîòîðîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ M 3 ⊂ M4 , èíâàðèàíòíîãî îòíîñèòåëüíî ïîòîêàsgrad(H).
Ïîñêîëüêó ìû ñ÷èòàåì ñèñòåìó íåðåçîíàíñíîé, òî íà M 3 îäíîçíà÷íîîïðåäåëåíî íåêîòîðîå ñëîåíèå íà èíâàðèàíòíûå òîðû. Î÷åâèäíî, ÷òî ñëîåíèåöèëèíäðà P 3 =[0;e 1]×T 2 íà òîðû, ÿâëÿþùèåñÿ êîìïîíåíòàìè F −1 (I(t)), èíäóöèðîâàíîèç ìíîãîîáðàçèÿ M 3 .Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ èçîòîïèþ G : [0; 1] × T 2 → P 3 , ñâÿçûâàþùóþãðàíè÷íûå òîðû Ti2 = G (0, T 2 ) è Tj2 = G (1, T 2 ), è óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ¡¢¡¢G t, T 2 ⊂ F −1 I(t)∀t ∈ [0; 1].Ïóñòü ϕij : Ti2 → Tj2 äèôôåîìîðôèçì, äëÿ êàæäîãî p ∈ T 2 ñîïîñòàâëÿþùèéòî÷êå G(0, p) òî÷êó G(1, p).
Âûðåæåì èç ìíîãîîáðàçèÿ M 3 öèëèíäð P 3 , è ñêëåèìêðàÿ ðàçðåçà ïî äèôôåîìîðôèçìó ϕij . Òåì ñàìûì ìû îòîæäåñòâëÿåì òîðû Ti2f3 , ïîñëîéíî äèôôåîìîðôíîåè T 2 , è ïîëó÷àåì íåêîòîðîå íîâîå ìíîãîîáðàçèå Mj3M . Ïîñëîéíûé äèôôåîìîðôèçì îïðåäåëÿåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèåìåæäó àòîìàìè, ÿâëÿþùååñÿ ïî-ñóòè îòíîøåíèåì èõ ðàâåíñòâà. Ïîýòîìó èíâàðèàíòÔîìåíêî-Öèøàíãà ïðè ýòîé îïåðàöèè âûðåçàíèÿ-ñêëåèâàíèÿ íå èçìåíèòñÿ [7,43].Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññëîåííîå ìíîãîîáðàçèå M 3 ìîæíî ñ÷èòàòü ñêëååííûì èç àòîìîâïî äèôôåîìîðôèçìàì ϕij ãðàíè÷íûõ òîðîâ. Òàêèå äèôôåîìîðôèçìû, âîçíèêàþùèåde-facto èç èçîòîïèé, à òàêæå ñàìè ïîðîæäàþùèå èõ èçîòîïèè íàçûâàþòñÿñêëåèâàþùèìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñêëåèâàþùèõ èçîòîïèé íà Q3h ãîäèòñÿ â ò.÷.ïîëå grad(F ), âäîëü òðàåêòîðèé êîòîðîãî ãîìîòîïèðóþòñÿ òîðû Ëèóâèëëÿ. Èçïðèâåäåííûõ âûøå ðàññóæäåíèé ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî åñëè äâà äèôôåîìîðôèçìà74ϕij : Ti2 → Tj2 è ψij : Ti2 → Tj2 ãîìîòîïíû, òî â ðåçóëüòàòå îïðåäåëÿåìûõèìè ñêëåèâàíèé Ti2 =Te j2 ïîëó÷àòñÿ ïîñëîéíî äèôôåîìîðôíûå ìíîãîîáðàçèÿ.
Òàêèìîáðàçîì, êîíêðåòíûé âèä ñêëåèâàþùåé èçîòîïèè âíóòðè M 3 èìååò çíà÷åíèå òîëüêîñ òåõíè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ.Âåðíåìñÿ ê ìíîãîîáðàçèþ M3 , â êîòîðîì ïðèñóòñòâóþò òðè àòîìà òèïà B èîäèí àòîì A (ðèñ. 7). Îáðàçû êðèâûõ I : [0; 1] → R2 (h, f ), îòâå÷àþùèõ íåïðåðûâíûìñåìåéñòâàì òîðîâ â M3 , ÿâëÿþòñÿ ãîðèçîíòàëüíûìè îòðåçêàìè (ðèñ. 8). Èñõîäÿ èçâûøåñêàçàííîãî, äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïðîèçâîëüíóþ èçîòîïèþ G : [h0 ; h00 ] × T 2 →M3 , ñâÿçûâàþùóþ ãðàíè÷íûå òîðû àòîìîâ G (h0 , T 2 ) è G (h00 , T 2 ) è óäîâëåòâîðÿþùóþóñëîâèþ¡¢G h, T 2 ⊂ H −1 (h)∀h ∈ [h0 ; h00 ].Ñåé÷àñ ìû ñäåëàåì ýòî è ïîñòðîèì ñêëåèâàþùèå èçîòîïèè ìåæäó àòîìàìèìíîãîîáðàçèÿ M3 , êîòîðûå áóäóò èãðàòü êëþ÷åâóþ ðîëü â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿìåòîê ìîëåêóë W ∗ (Q3h ).Ïðåäëîæåíèå 6 Ïóñòü ε > 0 áåñêîíå÷íî ìàëî.1.
Íà òîðàõ M2h1 +ε è M2h2 −ε ñóùåñòâóþò òàêèå äîïóñòèìûå áàçèñû (λ1 , µ1 ) è(λ2 , µ2 ), â êîòîðûõ ìàòðèöà ñêëåéêè (2.1) èìååò âèä:0 1.1 0(2.8)2. Íà òîðàõ, ÿâëÿþùèõñÿ êîìïîíåíòàìè M2h2 +ε è M2h3 −ε , ñóùåñòâóþò±±±äîïóñòèìûå áàçèñû (λ±2 , µ2 ) è (λ3 , µ3 ) ñîîòâåòñòâåííî, â êîòîðûõ ìàòðèöûñêëåéêè ñîâïàäàþò è èìåþò âèä:0±1±10.(2.9)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìàòðèâàåì áîòòîâñêèé èíòåãðàë H : M3 → R, ÿâëÿþùèéñÿîãðàíè÷åíèåì ãàìèëüòîíèàíà H íà èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M3 . Èñïîëüçóåìîêðóæíîñòè, êîòîðûå ìû îïðåäåëèëè âûøå, è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:λ1 = δ(h1 + ε),µ1 = γ+ (h1 + ε)λ2 = γ+ (h2 − ε),µ2 = δ(h2 − ε)λ±2 = β± (h2 + ε),µ±2 = α1,± (h2 + ε)λ±3 = α1,± (h3 − ε),µ±3 = β± (h3 − ε).75(2.10)Ïðè ε → +0 îêðóæíîñòü λ1 ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó, â ñèëó ÷åãî îíà ÿâëÿåòñÿìåðèäèàíîì ïîëíîòîðèÿ H −1 [h1 ; h1 + ε].
Îäíîâðåìåííî îêðóæíîñòü µ1 ñëèâàåòñÿñ êðèòè÷åñêîé òðàåêòîðèåé γ1 . Íàïðàâëåíèå ïîòîêà sgrad(H) íà ýòîé òðàåêòîðèèîïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ñëîåâ ëþáîãî (èç Z) ðàññëîåíèé Çåéôåðòà íà ïîëíîòîðèè [7].Ïîýòîìó îðèåíòàöèÿ µ1 , ïî íåïðåðûâíîñòè îïðåäåëåííàÿ íàïðàâëåíèåì òðàåêòîðèèγ1 , îòâå÷àåò òðåáîâàíèþ ê îðèåíòàöèè öèêëà µ íà ãðàíèöå àòîìà A. Ïîñêîëüêóîêðóæíîñòü λ1 ÿâëÿåòñÿ ìåðèäèàíîì ïîëíîòîðèÿ H −1 [h1 ; h1 + ε], îíà ìîæåòïðåäñòàâëÿòü ñîáîé öèêë λ. Ôèêñèðóÿ åå îðèåíòàöèþ òàê, ÷òîáû ïàðà (λ1 , µ1 )îïðåäåëÿëà íà òîðå M2h1 +ε îðèåíòàöèþ êðàÿ ïîëíîòîðèÿ, ïîëó÷èì äîïóñòèìûé áàçèñöèêëîâ (λ1 , µ1 ) íà ãðàíèöå àòîìà A = H −1 [h1 ; h1 + ε]. ïðåäåëå ïðè ε → +0 îêðóæíîñòü λ2 , à òàêæå êàæäàÿ èç îêðóæíîñòåéλ±2 ñîâïàäàþò ñ γ2 .
Çàôèêñèðóåì èõ îðèåíòàöèè, êîòîðûå ïî íåïðåðûâíîñòèîïðåäåëÿåò ïåðèîäè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ γ2 . Ýòî èìåííî òå îðèåíòàöèè, êîòîðûåäàííûå îêðóæíîñòè èìåþò â êà÷åñòâå ñëîåâ (ãîìîòîïè÷åñêè åäèíñòâåííîãî)ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà, çàäàííîãî íà ñåäëå H −1 [h2 −ε; h2 +ε] è èìåþùåãî ñîãëàñîâàííûåñ íàïðàâëåíèåì sgrad(H) îðèåíòàöèè ñëîåâ.
Ïîýòîìó îíè ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîéöèêëû λ íà ãðàíèöå àòîìà B . Îêðóæíîñòü δ(h) ñêëåèâàåòñÿ â âîñüìåðêó, çàòåìðàñïàäàåòñÿ íà äâå îêðóæíîñòè δ± (h), êîãäà h âîçðàñòàåò îò h2 − ε äî h2 + ε. ßñíî,÷òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ âëîæåííûé äèñê ñ äâóìÿ äûðêàìè N 2 . Îêðóæíîñòü¡ 2 ¢−2δ+ (h2 + ε) ãîìîòîïíà µ+âT,àîêðóæíîñòüδ(h+ε)ãîìîòîïíàµâσTh2 +ε .−222h2 +εÝòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî èõ ïðîåêöèè, êàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ ñåãìåíò ïàðàáîëû N L èîòðåçîê [AF ], íå ïåðåñåêàþòñÿ (ðèñ.
6). Òàêèì îáðàçîì, îêðóæíîñòè µ2 è µ±2 ÿâëÿþòñÿêîìïîíåíòàìè ãðàíèöû íåêîòîðîãî ñå÷åíèÿ ðàññëîåíèÿ Çåéôåðòà. Ôèêñèðóåì èõ±îðèåíòàöèè òàê, ÷òîáû ïàðà öèêëîâ (λ2 , µ2 ) íà òîðå M2h2 −ε , à òàêæå ïàðû (λ±2 , µ2 )íà òîðàõ, ÿâëÿþùèõñÿ ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìè M2h2 +ε , îïðåäåëÿëè áû îðèåíòàöèè±êðàÿ ñåäëà. Ïîëó÷èì äîïóñòèìûå áàçèñû (λ2 , µ2 ) è (λ±2 , µ2 ) íà ãðàíèöå àòîìà B =H −1 [h2 − ε; h2 + ε].Ïðè ε → +0 ïàðà îêðóæíîñòåé λ±3 ñëèâàåòñÿ ñ ïàðîé ïåðèîäè÷åñêèõ òðàåêòîðèé±,1γ3± , à êàæäàÿ èç îêðóæíîñòåé µ±è µ±,23 ñêëåèâàåòñÿ â âîñüìåðêó.
Îáîçíà÷èì µ33ïðîèçâîëüíûå îêðóæíîñòè â M2h3 +ε , ïîïàðíî ñêëåèâàþùèåñÿ â ýòè æå âîñüìåðêèòàê, ÷òî â ïðåäåëå, ò.å. ïðè ε = 0 èìååò ìåñòî:µ+,1∪ µ+,2= µ+333,µ−,1∪ µ−,2= µ−333.±,2Çàìåòèì, ÷òî îêðóæíîñòè µ±,1âëîæåíû â ÷åòûðå òîðà, ÿâëÿþùèåñÿ3 , µ3êîìïîíåíòàìè ïîäìíîãîîáðàçèÿ M2h3 +ε . Ôèêñèðóåì îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûå öèêëû76λ±,1è λ±,233 .
Âñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíè ïîëó÷àþòñÿ èç ñåäëîâûõ êðèòè÷åñêèõòðàåêòîðèé ïîëÿ sgrad(H), ñäâèíóòûõ íà ãðàíè÷íûå òîðû. Öèêëû λ òàêæåîïðåäåëÿþòñÿ ïåðåñå÷åíèÿìè ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììû ñ ãðàíè÷íûìè òîðàìèàòîìà. Ïðè ýòîì èõ îðèåíòàöèè, ïî íåïðåðûâíîñòè, çàäàíû íàïðàâëåíèÿìèêðèòè÷åñêèõ òðàåêòîðèé.
Ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå. Ñåäëîâàÿ îêðóæíîñòü èîêðóæíîñòü λ íà ãðàíè÷íîì òîðå, âûðåçàííàÿ ñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììîé,îãðàíè÷èâàþò "òîíêóþ" ëåíòó, êîòîðàÿ äèôôåîìîðôíà êîëüöó S 1 × D1 . Åãî êðàÿS 1 × {0} è S 1 × {1} ñîîòâåòñòâóþò ýòèì äâóì îêðóæíîñòÿì, à ïîñêîëüêó íà îäèíêðàé äèôôåîìîðôèçì ïåðåíîñèò îðèåíòàöèþ ñåäëîâîé îêðóæíîñòè, íà äðóãîì êðàåòàêæå âîçíèêàåò îðèåíòàöèÿ. Ýòè äâå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé íåïðåðûâíûì ïîëåìíàïðàâëåíèé îêðóæíîñòåé S 1 × {t}, ãäå 0 ≤ t ≤ 1. Îáðàòíûé äèôôåîìîðôèçìèíäóöèðóåò èñêîìóþ îðèåíòàöèþ öèêëà λ.Äàëåå ìû çàôèêñèðóåì îðèåíòàöèè âñåõ äîïîëíèòåëüíûõ öèêëîâ µ òàê, ÷òîáûïîëó÷èòü äîïóñòèìûå ñèñòåì êîîðäèíàò íà ãðàíèöàõ äâóõ àòîìîâ B , ÿâëÿþùèõñÿêîìïîíåíòàìè H −1 [h3 − ε; h3 + ε].Èòàê, âñå äîïóñòèìûå áàçèñû îïðåäåëåíû.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîèòüñêëåèâàþùèåèçîòîïèè,äîñòàòî÷íîäëÿëþáîéïàðûñîñåäíèõàòîìîâïðîãîìîòîïèðîâàòü öèêëû λ è µ îò ãðàíèöû îäíîãî àòîìà äî ãðàíèöû äðóãîãî. Ïðèýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû â êàæäîì ïðîìåæóòî÷íîì ïîëîæåíèè ýòè öèêëû ëåæàëè íàòîðå Ëèóâèëëÿ è ÿâëÿëèñü íà íåì âçàèìíî äîïîëíèòåëüíûìè, ò.å. òðàíñâåðñàëüíîïåðåñåêàþùèìèñÿ â åäèíñòâåííîé îáùåé òî÷êå. Ïîñêîëüêó öèêëû ðàññìàòðèâàþòñÿñ òî÷íîñòüþ äî ãîìîòîïèé íà òîðàõ, ïîñëåäíåå óñëîâèå èìååò ãîìîòîïè÷åñêèèíâàðèàíòíóþ ôîðìóëèðîâêó: èíäåêñ ïåðåñå÷åíèÿ öèêëîâ ðàâåí ±1. Ïîñêîëüêóëþáàÿ ïàðà âçàèìíî äîïîëíèòåëüíûõ öèêëîâ îïðåäåëÿåò äèôôåîìîðôèçì òîðàËèóâèëëÿ íà ñòàíäàðòíûé òîð T 2 = S 1 × S 1 , ãîìîòîïèðóÿ óêàçàííûì îáðàçîì áàçèñ(λ, µ) ìû àâòîìàòè÷åñêè êîíñòðóèðóåì ñêëåèâàþùóþ èçîòîïèþ.
Ôîðìóëû (2.10) óæåñîäåðæàò â ñåáå âñå íåîáõîäèìîå. Ïðè ìîíîòîííîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðà ε êàæäûéèç öèêëîâ ãîìîòîïèðóåòñÿ èìåííî òàê, êàê íóæíî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêëåèâàþùåéèçîòîïèè.×òîáû âûïèñàòü ìàòðèöû ñêëåéêè ìîæíî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòüϕij : Ti2 → Tj2 ñêëåèâàþùèé äèôôåîìîðôèçì.
Ñëåäóÿ ñêëåèâàþùåé èçîòîïèè,ïðîãîìîòîïèðóåì äîïóñòèìûå áàçèñû (λi , µi ) è (λj , µj ) ñ òîðîâ Ti2 è Tj2 íà ëþáîé èçòîðîâ íåïðåðûâíîãî ñåìåéñòâà σ , ñîåäèíÿþùåãî Ti2 è Tj2 . Êîãäà âñå öèêëû îêàæóòñÿâ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå ýòîãî òîðà, íàì îñòàíåòñÿ òîëüêî âûðàçèòü áàçèñ (λj , µj )77÷åðåç áàçèñ (λi , µi ). Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîãî ïîäõîäà ïîëîæèì ε = (h2 − h1 )/2 âïåðâûõ äâóõ ôîðìóëàõ (2.10). Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäóîêðóæíîñòÿìè:λ1 (ε0 ) = µ2 (ε0 ),Ýòèðàâåíñòâàîçíà÷àþòµ1 (ε0 ) = λ2 (ε0 ),ñîâïàäåíèåε0 = (h2 − h1 )/2.îêðóæíîñòåéáåçó÷åòàîðèåíòàöèé.Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñññìàòðèâàÿ èõ êàê öèêëû, â ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïå π1òîðà M2ε èìååì:λ1 (ε0 )µ1 (ε0 ) = ±0 11 0·λ2 (ε0 )µ2 (ε0 ).Ïîñêîëüêó ñêëåèâàþùàÿ èçîòîïèÿ ñâÿçûâàåò (λ1 (ε0 ), µ1 (ε0 )) ñ äîïóñòèìûì áàçèñîì(λ1 , µ1 ) àòîìà A, à òàêæå (λ2 (ε0 ), µ2 (ε0 )) ñ äîïóñòèìûì áàçèñîì (λ2 , µ2 ) àòîìà B , òîñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ìàòðèöà ñêëåéêè èìååò âèä (2.8).Äîêàæåì, ÷òî îðèåíòàöèè öèêëîâ µ1 è λ2 ñîõðàíÿþòñÿ ïðè ãîìîòîïèè.
Ïðîâåäåìîòðåçîê [SR], äîñòàòî÷íî áëèçêî ê [KF ] (ðèñ. 6). Äëÿ êàæäîãî h ∈ [h1 ; h2 ] íàîêðóæíîñòè γ+ (h) âûáåðåì òàêóþ íåïðåðûâíî çàâèñÿùóþ îò h òî÷êó Pe(h), ÷òîïðîåêöèÿ òî÷êè Pe(h) ïðèíàäëåæèò [SR] è ïðîåêöèÿ Pe(h) åñòü òî÷êà [KQ] ∩ [SR].Èç (2.7) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ρ äîñòàòî÷íî ìàëî, òî â êàæäîé òî÷êå Pe(h) èìååì:³α0 ´√6= 0.M1 η3 − M2 ξ3 = ±r ρ cos ψ −2Ñëåäîâàòåëüíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî M1 η3 − M2 ξ3 > 0 â êàæäîé Pe(h). Ïóñòü τíàòóðàëüíûé ïàðàìåòð íà îêðóæíîñòè γ+ (h), çàäàþùèé íàïðàâëåíèå îò P (h) ê Pe(h).Ïóñòü t âðåìÿ äâèæåíèÿ âäîëü òðàåêòîðèè, ïîðîæäàþùåé îêðóæíîñòü γ+ (hi ), ãäåi = 1 èëè i = 2. Ïóñòü τ = τi è t = ti â òî÷êå Pe(hi ). Èç (2.7) ñëåäóåò, ÷òîM1 = M2 = M3 = 0 â êàæäîé òî÷êå P (h) è x = 0 â òî÷êàõ P (hi ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
