Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. ËîìîíîñîâàÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 514.154, 514.745.4,514.763.337, 514.763.34,517.938.5, 517.958Çîòüåâ Äìèòðèé Áîðèñîâè÷Ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñêîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè.Cïåöèàëüíîñòü 01.01.04 "ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿ"Äèññåðòàöèÿíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèäîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé êîíñóëüòàíòäîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê,ïðîôåññîð À.Â.
ÁîëñèíîâÌîñêâà - 20111ÑîäåðæàíèåÎáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ãëàâà 1. Ââåäåíèå.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .11§ 1.1. Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ è êîíòàêòíàÿ ãåîìåòðèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11§ 1.2. Âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.. . . . . . . . . . . . . . . .181.2.1. Èñõîäíûå ïîíÿòèÿ. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23§ 1.3. ×àñòíûé èíòåãðàë, ñâÿçàííûé ñ îñîáåííîñòüþ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðûèíâàðèàíòíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ãëàâà 2. Ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòè è òåîðèÿ À.Ò. Ôîìåíêî. . . . . . . . . . . . . . . 43§ 2.1. Òåîðèÿ À.Ò. Ôîìåíêî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43§ 2.2. Ïîïðàâêè íà ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53§ 2.3. Ïðèìåð èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû c îñîáåííîñòüþ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.1. Cëó÷àé Áîãîÿâëåíñêîãî.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.2. Êîíòàêòíûå îñîáåííîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.3. Îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.4. Îáîçíà÷åíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.5. Ìåòêè ïðè h1 < h < h2 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.6. Ìåòêè ïðè h2 < h < h0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3.7. Ìåòêè ïðè h0 < h < h3 . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3.8. Ìåòêè ïðè h > h3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3.9. Òîïîëîãèÿ îñîáîé ïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892Ãëàâà 3. Ñèìïëåêòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìè. . . . . . 91§ 3.1. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ çàìêíóòûõ 2-ôîðì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.1. Êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà íà îñîáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè. . . . . . . . . . .
. . . . . . . 913.1.2. Êîíòàêòíûå îñîáûå òî÷êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.1.3. Ïðîäîëæåíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1.4. Òåîðåìà Äàðáó. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.1.5. Ñèìïëåêòè÷åñêèé îáúåì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110§ 3.2.
Êàíîíè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà Ëè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.1. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ è ñòðóêòóðû Ëè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.2. Êîíòàêòíûå âûðîæäåíèÿ è ñèìïëåêòèçàöèÿ. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1193.2.3. Ðåøåíèÿ Ôðèäìàíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.4. Êîíòàêòíî-ñâÿçíàÿ ñóììà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 128§ 3.3. Ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.3.1. Ïðåäåëüíûå ïîëîæåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1323.3.2. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Ãëàâà 4. Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . 167§ 4.1. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âàêóóìå. . . . . . . . . . .
. . . 167§ 4.2. Íóëåâàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173§ 4.3. Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçè ñâåòîâîãî êîíóñà. . . . . . . . . . . . . . 180§ 4.4. Ïëîòíîñòü òîêîâ è çàðÿäîâ âáëèçè ñâåòîâîãî êîíóñà. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 188Ñïèñîê ëèòåðàòóðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Ðèñóíêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòûÀêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè.Ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, òàêæå êàê è ðèìàíîâà, èñõîäèò èç ïðåäïîëîæåíèÿî íåâûðîæäåííîñòè òåíçîðà ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðóêòóðû [4, 58]. Ýòî ïðåäïîëîæåíèåãåíåòè÷åñêè ñâÿçàíî ñ óðàâíåíèÿìè Ó.Ð.
Ãàìèëüòîíà [67]. Íàèáîëåå ãëóáîêèåïðèëîæåíèÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè îòíîñÿòñÿ ê íåáåñíîé ìåõàíèêå è äèíàìèêåòâåðäîãî òåëà [2, 36], ãäå ôàçîâûå ìíîãîîáðàçèÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõñèñòåì, áóäó÷è êîêàñàòåëüíûìè ðàññëîåíèÿìè èëè îðáèòàìè êîïðèñîåäèíåííûõïðåäñòàâëåíèé, â ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèìè. Îäíàêî, ïðè îãðàíè÷åíèèãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ñèìïëåêòè÷åñêèé òåíçîðìîæåò âûðîæäàòüñÿ. Åñòü ðàçóìíûå îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî, ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿðàçìåðíîñòåé èñõîäíûõ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ, íîâûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè âñå ÷àùåáóäóò ïîÿâëÿòüñÿ èìåííî íà èíâàðèàíòíûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ.
Ïåðâûé â äèíàìèêåòâåðäîãî òåëà ñëó÷àé, çàäàííûé íà ìíîãîîáðàçèè ñ âûðîæäåííûìè îñîáåííîñòÿìèñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû, îïèñàí Î.È. Áîãîÿâëåíñêèì â èçâåñòíîé ðàáîòå [5]. ñòàòüå [95], ñ êîòîðîé ñâÿçàí ãåíåçèñ ïðåäñòàâëåííîé òåîðèè, áûëè âû÷èñëåíûèíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà ýòîé ñèñòåìû è îáîñíîâàíà ïðèìåíèìîñòü ìåòîäîâòîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà [7, 43, 44], ðàçâèòûõ øêîëîé À.Ò. Ôîìåíêî [6, 24, 26, 27, 28,29, 30, 32, 42, 59, 81, 89].Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè åñòåñòâåííî äîïóñòèòü, ÷òî ìàòðèöà çàìêíóòîé 2ôîðìû âûðîæäàåòñÿ íà âñåì ìíîãîîáðàçèè èëè â íåêîòîðûõ òî÷êàõ.
Ïåðâûéñëó÷àé, ïðè óñëîâèè ïîñòîÿííîñòè ðàíãà, õîðîøî èçâåñòåí è ñðàâíèòåëüíî ïðîñò[58]. Âî âòîðîì ñëó÷àå, ò.å. ïðè íåâûðîæäåííîñòè ïî÷òè âñþäó, ñèìïëåêòè÷åñêàÿãåîìåòðèÿ èìååò îñîáåííîñòè, î êîòîðûõ ïðè ïàäåíèè ðàíãà íà 2k>2ïî÷òè íè÷åãî íå èçâåñòíî. Ñòàòüÿ Æ. Ìàðòèíå ñîäåðæèò ïåðâîå è, âîçìîæíî,åäèíñòâåííîå îáùåå èññëåäîâàíèå ïîäîáíûõ ñòðóêòóð [76]. Îäíàêî, â ýòîé ãëóáîêîéðàáîòå ñîáñòâåííî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ îãðàíè÷åíà ïðîñòåéøèì, õîòÿ èíàèáîëåå âàæíûì ñëó÷àåì âûðîæäåíèé êîðàíãà 2. Ïîñëåäóþùèå èññëåäîâàíèÿ,â îñíîâíîì, ïðîäîëæàþò ðåçóëüòàòû Ìàðòèíå è îòíîñÿòñÿ ê âûðîæäåíèÿì ñäâóìåðíûì ÿäðîì [50, 51, 62, 70, 83, 84, 87].
Âî ìíîãîì ýòî ñâÿçàíî ñîáúåêòèâíîé ñëîæíîñòüþ ïðîáëåìû, ò.ê., ñîãëàñíî ñïðàâåäëèâîìó çàìå÷àíèþ Â.È.Àðíîëüäà: "îòñóòñòâèå óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè â îïðåäåëåíèè ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû äåëàåò ëîêàëüíóþ êëàññèôèêàöèþ òàêèõ ñòðóêòóð íåîáîçðèìîé" [4].4Íàïðîòèâ, âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè ïóàññîíîâñêèõ ñòðóêòóð ñðàâíèòåëüíî ëåãêîïîääàþòñÿ èçó÷åíèþ, ò.ê.
îíè íå ìåøàþò ãàìèëüòîíîâûì ïîëÿì áûòü êîððåêòíîîïðåäåëåííûìè [23, 30, 90, 92, 93]. Ïîýòîìó íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â íåâûðîæäåííîìñëó÷àå ñèìïëåêòè÷åñêèå è ïóàññîíîâñêèå ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôíûìèîáúåêòàìè, èõ âûðîæäåíèÿ èìåþò ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå ïîñëåäñòâèÿ. Âîïðîñ îêîððåêòíîé îïðåäåëåííîñòè ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì â ðàáîòàõÑ.
Ïíåâìàòèêîñà, ãäå íà çàìêíóòûå 2-ôîðìû íàêëàäûâàåòñÿ åñòåñòâåííîå óñëîâèågeneriques [82, 83, 84, 85]. Îäíàêî, çà èñêëþ÷åíèåì ÿâíî çàäàííûõ â êîîðäèíàòàõ2-ôîðì íóæíîãî âèäà, â ñëó÷àå âûðîæäåíèé êîðàíãà 2k > 2 îòñóòñòâóåò ñïîñîáïðîâåðêè ýòîãî óñëîâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñêîëüêî-íèáóäü îáùåé òåîðèè ìíîãîîáðàçèéñ ñèìïëåêòè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè ñåãîäíÿ íå ñóùåñòâóåò. äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðàçâèòà òåîðèÿ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéñâûðîæäåííûìèîñîáåííîñòÿìè,êîòîðûåóäîâëåòâîðÿþòíîâîìóóñëîâèþêîíòàêòíîñòè. Ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì îáùåãî ïîëîæåíèÿ äëÿ çàìêíóòûõ2-ôîðì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âûðîæäàåòñÿ â òî÷êàõ ãèïåðïîâåðõíîñòè, áóäó÷èíåâûðîæäåííîé âíå åå.
Êëàññ íåñóùèõ íà ñåáå òàêèå ñòðóêòóðû ìíîãîîáðàçèé, âîïðåäåëåííîì ñìûñëå, âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñèìïëåêòèçàöèè êîíòàêòíûõ ìíîãîîáðàçèéè àíàëîãè÷íûå êîíñòðóêöèè äëÿ ëîêàëüíûõ àëãåáð Ëè [4, 20].  ñâÿçè ñ ýòèìíåêîòîðûå ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû, êîòîðàÿ íå èìååò ãåíåòè÷åñêèõ ñâÿçåé ñêîíòàêòíîé ãåîìåòðèåé, ñîïðèêàñàþòñÿ ñ îáëàñòüþ èññëåäîâàíèé åå "âëîæåíèé"â ñèìïëåêòè÷åñêóþ [52, 54, 56, 65, 75, 78]. Äëÿ êîíòàêòíî âûðîæäàþùèõñÿñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé îêàçàëîñü âîçìîæíûì èçó÷èòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèåãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé â îñîáûõ òî÷êàõ, ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å èõ ïðîäîëæåíèÿ ñîòêðûòîãî ïëîòíîãî ïîäìíîæåñòâà {det ω 6= 0}.
Íà ýòîé îñíîâå ïîñòðîåíà òåîðèÿ,êîòîðàÿ ñëåäóåò êëþ÷åâûì ïîíÿòèÿì è ôàêòàì ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè,âêëþ÷àÿ àíàëîãè ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì Äàðáó è Ëèóâèëëÿ.Èçâåñòíû ñîäåðæàòåëüíûå ïðèìåðû, âîçíèêàþùèå â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëàâ òèïè÷íîì ñëó÷àå dim Ker(ω)=2 [14, 15]. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ÿçûêäèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðì äàâíî ïðèìåíÿåòñÿ â ýëåêòðîäèíàìèêå [40, 49, 91],à óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ âàæíîé÷àñòüþ àïïàðàòà òåîðèè ïëàçìû [35, 47] (êàê âïðî÷åì è âñåé òåîðåòè÷åñêîéôèçèêè), ñîáñòâåííî ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, ïî-âèäèìîìó, íå íàøëà ôèçè÷åñêèñîäåðæàòåëüíûõ ïðèëîæåíèé â êëàññè÷åñêîé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âíàñòîÿùåé ðàáîòå òàêîâûå íàéäåíû äëÿ cëó÷àÿ dim Ker(ω) = 4.5Öåëè äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû.1.ÎáîñíîâàòüïðèìåíèìîñòüòåîðèèèíâàðèàíòîâÔîìåíêî-Öèøàíãàêèíòåãðèðóåìûì ñèñòåìàì, êîòîðûå âîçíèêàþò íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòÿìèñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
