Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Âñåèíòåãðàëû ïîïàðíî êîììóòèðóþò, ò.å. {Fi , Fj } = 0,1 ≤ i, j ≤ n .Òåîðåìà 1 (òåîðåìà Ëèóâèëëÿ) Ðàñcìîòðèì íåîñîáóþ ïîâåðõíîñòü{x ∈ M : H(x) = h, F1 (x) = f1 , . . . , Fn−1 (x) = fn−1 }.(1.1)Êîìïàêòíûå, ñâÿçíûå êîìïîíåíòû (1.1) ÿâëÿþòñÿ âëîæåííûìè òîðàìè T n ⊂M , îñòàâàÿñü òàêîâûìè ïðè âñåõ, äîñòàòî÷íî ìàëûõ èçìåíåíèÿõ ÷èñåë h, fi . Âíåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîãî T n îïðåäåëåíû òàêèå ðåãóëÿðíûå êîîðäèíàòû s, ϕ(äåéñòâèå-óãîë), ÷òî ôóíêöèè s1 , . . .
, sn âûðàæàþòñÿ ÷åðåç F1 , . . . , Fn , à ϕ1 , . . . , ϕnÿâëÿþòñÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè íà òîðàõ s = const, ãäå 1 ≤ ϕi ≤ 2π . Âêîîðäèíàòàõ äåéñòâèå-óãîë èìååò ìåñòîω=nXdsi ∧ dϕi ,i=1è ñèñòåìà sgrad(H) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:ṡi = 0ϕ̇i =∂H∂si12(1 ≤ i ≤ n).ÈíâàðèàíòíûåòîðûTnM , ÿâëÿþùèåñÿ ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìè⊂ïîäìíîãîîáðàçèé âèäà (1.1), íàçûâàþòñÿ òîðàìè Ëèóâèëëÿ. Èç òåîðåìû Ëèóâèëëÿñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ ïîëÿ sgrad(H), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó(s0 , ϕ0 ) ∈ T n , çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè âèäàϕk (t) = ϕ0k + ωk t,sk (t) = s0k = const .Ïðè ýòîì ÷àñòîòûωk =∂H∂skïîñòîÿííû íà òîðå {s = s0 }. Åñëè ñîîòíîøåíèånXmk ωk = 0,mk ∈ Zk=1íåâîçìîæíî â òîì ñëó÷àå, êîãäà õîòÿ áû îäíî mk 6= 0, òî êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ íàT n âñþäó ïëîòíà â íåì, è òîð T n íàçûâàåòñÿ íåðåçîíàíñíûì.
Èíà÷å ñóùåñòâóåòðàâíàÿ íóëþ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ÷àñòîò ñ öåëûìè êîýýôèöèåíòàìèmk . Òîãäà òîð T n íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì. Ïðè ýòîì îí îêàçûâàåòñÿ ðàññëîåííûìíà èíâàðèàíòíûå òîðû ðàçìåðíîñòè r<n, è êàæäàÿ òðàåêòîðèÿ íà T nÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáìîòêîé îäíîãî èç "ìàëîìåðíûõ" òîðîâ T r ⊂ T n [58]. Äëÿîêîí÷àòåëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ â êâàäðàòóðàõ äîñòàòî÷íî âûðàçèòü ãàìèëüòîíèàíH ÷åðåç s1 , . .
. , sn . Ðåøåíèå ïîñëåäíåé çàäà÷è ìîæåò áûòü ñâÿçàíî ñî çíà÷èòåëüíûìèàíàëèòè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè, õîòÿ ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ïåðåìåííûõ äåéñòâèÿ âïðèíöèïå èçâåñòåí [43].Òåîðåìà 2 (îòíîñèòåëüíàÿ ëåììà Ïóàíêàðå) Ïóñòü N ïîäìíîãîîáðàçèå âñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè M è ω k çàìêíóòàÿ k - ôîðìà, ðàâíàÿ íóëþ íàT N , ò.å. ω k |N = 0. Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïîäìíîãîîáðàçèÿ N ôîðìà ω kÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì k − 1 - ôîðìû, ðàâíîé íóëþ â êàæäîé òî÷êå N .Ïîñêîëüêó ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå âåêòîðíûå ïîëÿ sgrad(Fi ) êàñàþòñÿ òîðàËèóâèëëÿ T n èω(sgrad(Fi ), sgrad(Fj )) = {Fi , Fj } = 0 ,òî îãðàíè÷åíèå ôîðìû ω íà T n ðàâíî íóëþ.
Èç îòíîñèòåëüíîé ëåììå Ïóàíêàðå(òåîðåìà 2) ñëåäóåò, ÷òî ω = dα â îêðåñòíîñòè èçîòðîïíîãî òîðà T n . Ïóñòüf1 , . . . , fn , ϕ1mod 2π, . . . , ϕn13mod 2πåñòü òàêèå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòè T n , ÷òî ϕi ÿâëÿþòñÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìèòîðà f = const. Åñëè γi åñòü ëþáîé öèêë íà òîðå Ëèóâèëëÿ, ãîìîëîãè÷íûéîêðóæíîñòè ϕi = t, òî íà ýòîì òîðå èìååò ìåñòîZ1si =α.2π γiÂîáùåì,íåèíòåãðèðóåìîìïîäìíîãîîáðàçèÿ,íàêîòîðûõñëó÷àåñèñòåìàèíòåðåñíîìîæåòíàéòèîêàçàòüñÿèíâàðèàíòíûåèíòåãðèðóåìîé.Ýêâèâàëåíòíàÿ çàäà÷à ïîèñêà ãëîáàëüíûõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé áûëàñôîðìóëèðîâàíà À. Ïóàíêàðå [25]. Åãî ìåòàôîðà îá îñòðîâàõ ðåãóëÿðíîñòè â îêåàíåõàîñà õàðàêòåðèçóåò âàæíîñòü äàííîé ïðîáëåìû.Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ îïèñûâàåò îêðåñòíîñòü íåîñîáîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ (1.1),ðàññëîåííóþ èíâàðèàíòíûìè òîðàìè T n .
Ýòîé òåîðåìîé íå îõâàòûâàåòñÿ ñëó÷àé,êîãäà èíòåãðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü (1.1) ñîäåðæèò êðèòè÷åñêèå òî÷êè îòîáðàæåíèÿìîìåíòà¡¢F(p) = H(p), F1 (p), . . . , Fn−1 (p) .F : M → Rn ,Ïîýòîìó èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè íà èíâàðèàíòíûõ ïîâåðõíîñòÿõ ìîãóò áûòüèíòåðåñíûèòîãäà,êîãäàñèñòåìàèíòåãðèðóåìà âîáúåìëþùåìôàçîâîììíîãîîáðàçèè. Ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ F , êàê ïðàâèëî,ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íåñêîëüêèõ èíâàðèàíòíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé. Ìíîæåñòâî Σêðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé F íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé.Ïóñòü n > 0. Ìíîãîîáðàçèå K ðàçìåðíîñòè 2n +1 íàçûâàåòñÿ êîíòàêòíûì, åñëèíà íåì ôèêñèðîâàíî ãëàäêîå ïîëå 2n - ìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Πρ , óäîâëåòâîðÿþùååñëåäóþùåìó óñëîâèþ. Äëÿ êàæäîé òî÷êè ρ ∈ K ñóùåñòâóåò òàêàÿ åå îêðåñòíîñòü Uè 1-ôîðìà θ íà U , ÷òî¡¢θy ∧ ∧ni=1 dθ y 6= 0 ∀y ∈ U.θy (Πy ) = 0,Ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî θy =6 0 è dy θ íåâûðîæäåíà íà êàæäîì Πy .
Âíåêîòîðûõ êîîðäèíàòàõ (u, p, q) ôîðìà θ ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäóθ = du −nXpi dqii=1(òåîðåìàÄàðáó).ÈíòåãðàëüíîåìíîãîîáðàçèåðàñïðåäåëåíèÿΠ,èìåþùååìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ðàçìåðíîñòü n, íàçûâàåòñÿ ëåæàíäðîâûì.Åñëè 1-ôîðìà θ îïðåäåëåíà ãëîáàëüíî (ò.å. U = K ), òî êîíòàêòíîå ìíîãîîáðàçèåK íàçûâàåòñÿ òî÷íûì. Òîãäà ñîîòâåòñòâèå v 7−→ iv (θ) ìåæäó êîíòàêòíûìè14âåêòîðíûìè ïîëÿìè è ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè íà K ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé, â ñèëó ÷åãîâ C ∞ (K) âîçíèêàåò ñòðóêòóðà àëãåáðû Ëè:f = iv (θ),g = iw (θ)⇒[f, g] = i[v,w] (θ).Îïåðàöèÿ [·, ·] íàçûâàåòñÿ ñêîáêîé Ëàãðàíæà. Íà êîíòàêòíîì ìíîãîîáðàçèè, íåÿâëÿþùåìñÿ òî÷íûì, ýòè îáúåêòû îïðåäåëåíû ëîêàëüíî. Âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿêîíòàêòíûì, åñëè åãî ëîêàëüíûå ïîòîêè ñîõðàíÿþò êîíòàêòíóþ ñòðóêòóðó [4].Ëþáîå êîíòàêòíîå ïîëå äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f (êîíòàêòíîãî ãàìèëüòîíèàíà) âêàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ âûãëÿäèò òàê:¶¶µµ∂f∂∂f∂f∂∂f ∂v = vf = f − p++p−.∂p ∂u∂q∂u ∂p ∂p ∂qÐàññìîòðèì ïðèìåð êîíòàêòíîé ñòðóêòóðû, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé.Îòîæäåñòâèì êàæäóþ ïàðó òî÷åê (−π, τ, t) è (π, −τ, −t) â ìíîãîîáðàçèè{ (ϕ, τ, t) ∈ R3 : −π ≤ ϕ ≤ π,−1 < τ < 1,−1 < t < 1 }.Ïîëó÷èòñÿ ïîëíîòîðèå K =De 02 × S 1 , ãäå D02 = D2 \ ∂D2 .
Óðàâíåíèå(dt + τ dϕ)(Πρ ) = 0êîððåêòíî îïðåäåëÿåò êîíòàêòíîå ïîëå 2-ïëîñêîñòåé Πρ ⊂ Tρ K . Îáîçíà÷èì ÷åðåçµ âëîæåííûé â K ëèñò Ìåáèóñà τ = 0.  êàæäîé òî÷êå ρ îñåâîé îêðóæíîñòè S 1ëèñòà µ ïëîñêîñòü Πρ ïåðåñåêàåòñÿ ñ Tρ µ ïî ïðÿìîé, íàòÿíóòîé íà âåêòîð ∂/∂ϕ.Åñëè áû íà ïîëíîòîðèè K ñóùåñòâîâàëà êîíòàêòíàÿ ôîðìà θ, òî åå îãðàíè÷åíèåíà µ îïðåäåëÿëî áû îðèåíòàöèþ ëèñòà Ìåáèóñà µ.
Ïîýòîìó êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðàρ 7−→ Πρ íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé 2.Ëåãêîäîêàçàòü,÷òîîðèåíòèðóåìîåêîíòàêòíîåìíîãîîáðàçèåÿâëÿåòñÿòî÷íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ïîëå îðèåíòàöèéãèïåðïëîñêîñòåé Πρ⊂Tρ K . Åñëè α åñòü êîíòàêòíàÿ 1-ôîðìà òî÷íîãî,îðèåíòèðîâàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ (K, Π), òî 2-ôîðìà dα çàäàåò îðèåíòàöèþ êàæäîéêîíòàêòíîé ãèïåðïëîñêîñòèΠρ = αρ−1 (0) .Åñëè ïðè ýòîì K ÿâëÿåòñÿ êðàåì ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ (M, ω), òîèíäóöèðîâàííàÿ íà K îðèåíòàöèÿ êðàÿ è ïîëå íàïðàâëåíèé âîçðàñòàíèÿ ôîðìûα (íà ôàêòîð-ïðîñòðàíñòâàõ Tρ K/Πρ ) îïðåäåëÿþò íåïðåðûâíîå ïîëå îðèåíòàöèéïëîñêîñòåé Πρ .  ñëó÷àå ñîâïàäåíèÿ ýòèõ îðèåíòàöèé ñ òåìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ15ôîðìîé ω , ïî îïðåäåëåíèþ èìååì ω|Π > 0.
Åñëè æå ôîðìà ω çàäàåò îáðàòíóþîðèåíòàöèþ êàæäîãî Πρ , òî ω|Π < 0.Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå èíòåðïðåòàöèè êîíòàêòíûõ ìíîãîîáðàçèé, êàê îáúåêòîâñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè [52, 54, 56, 57, 61, 65, 75, 78]. Ïóñòü (K, Π) åñòü ñâÿçíîå,îðèåíòèðóåìîå, êîíòàêòíîå ìíîãîîáðàçèå, ÿâëÿþùååñÿ ãðàíèöåé ñèìïëåêòè÷åñêîãîìíîãîîáðàçèÿ (M, ω), ãäå dim M = 4 è dim K = 3.1. Åñëè α åñòü êîíòàêòíàÿ ôîðìà íà K = ∂M è ω|K = dα, òî (M, ω) íàçûâàåòñÿñèëüíûì ñèìïëåêòè÷åñêèì ïîïîëíåíèåì ìíîãîîáðàçèÿ (K, Π).  ñëó÷àå ω|Π > 0ãîâîðÿò î âûïóêëîì, à â ñëó÷àå ω|Π < 0 î âîãíóòîì ïîïîëíåíèè. Åñëè íà [0; +∞) × Kââåñòè 2-ôîðìó¡¢ω = d (π + 1)π ∗ α ,ãäå π(t, x) = t, òî ïîëó÷èì âûïóêëîå ïîïîëíåíèå êîíòàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ(K, Ker(α)).
Àíàëîãè÷íî, ôîðìà¡¢ω = d (1 − π)π ∗ αîïðåäåëÿåò íà [0; 1)×K ñòðóêòóðó âîãíóòîãî ïîïîëíåíèÿ.  îáîèõ ñëó÷àÿõ K =e {0}×K = π −1 (0).2. Åñëè ω|Π > 0, òî (M, ω) íàçûâàåòñÿ ñëàáûì ñèìïëåêòè÷åñêèì ïîïîëíåíèåì.Èçâåñòíî, ÷òî åñëè 2-ôîðìà ω òî÷íà â îêðåñòíîñòè K = ∂M , òî åå ìîæíî ïîäâåðãíóòüìàëîé äåôîðìàöèè â òàêóþ ôîðìó ωe , ÷òî (M, ωe ) ÿâëÿåòñÿ ñèëüíûì ñèìïëåêòè÷åñêèìïîïîëíåíèåì ìíîãîîáðàçèÿ (K, Π).Êîíòàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ ìîãóò âîçíèêàòü, êàê ãèïåðïîâåðõíîñòè âíóòðèñèìïëåêòè÷åñêèõ.  ñëó÷àå K ñ êîíòàêòíîé ôîðìîé α äîñòàòî÷íî ââåñòè 2-ôîðìó¡¢ω = d (π + 1)π ∗ αíà ìíîãîîáðàçèè M = (−1; +∞) × K , ÷òîáû ïîëó÷èòü èñêîìîå âëîæåíèå K =e {0} ×K ⊂ M . Ïðè ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè 2n > 2 ñèìïëåêòè÷åñêîãî ìíîãîîáðàçèÿ(M, ω), ëèóâèëëåâûì íàçûâàåòñÿ ëþáîå âåêòîðíîå ïîëå X íà M , óäîâëåòâîðÿþùååóñëîâèþ LX ω = ω .
Åñëè ω = dα, òî îïðåäåëÿåìîå iX ω = α ïîëå X ÿâëÿåòñÿëèóâèëëåâûì. Íà ëþáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè K ⊂ M , êîòîðàÿ â êàæäîé ñâîåéòî÷êå òðàíñâåðñàëüíà ëèóâèëëåâîìó ïîëþ X , 1-ôîðìà iX ω îïðåäåëÿåò êîíòàêòíóþñòðóêòóðó.Ñèìïëåêòèçàöèåé êîíòàêòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ K íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåN = { ζρ ∈ T ∗ K : ζρ 6= 0,16ζρ (Πρ ) = 0 }ñ êàíîíè÷åñêîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé Ω, èíäóöèðîâàííîé èç T ∗ K [4].
Ôîðìàθ îïðåäåëÿåò â N ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (χ, u, p, q), â êîòîðûõn³ ³´´XΩζ = d χ du −pi dqi .ζ = χθ,i=1Ñëåäóþùåå ìíîãîîáðàçèå M ìû íàçîâåì çàìêíóòîé ñèìïëåêòèçàöèåé :M = N ∪ K 0,K 0 = { 0 ∈ Tρ∗ K : ρ ∈ K } .Ñìûñë ýòîãî òåðìèíà î÷åâèäåí. Îãðàíè÷åíèå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû T ∗ Kîïðåäåëÿåò íà M çàìêíóòóþ 2-ôîðìó Ω. Îíà íåâûðîæäåíà íà N = M \ K 0 , íîâûðîæäàåòñÿ â òî÷êàõ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòè K 0 ⊂ M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
