Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. ωin jn .σ=(i,j,i2 ,j2 ,...,in ,jn )Ïîñêîëüêó ïðè x → 0 ìàòðèöà ω â ïðåäåëå0ω1,20000 −ω1,2 0 000ω3,4 00ω4,30 ...... ......00 ω2n,3 ω2n,4èìååò âèä...0...0...ω3,2n−1...ω4,2n−1....... . . ω2n,2n−100 ω3,2n ,ω4,2n ... 0òî èç âñåõ âåëè÷èí Aij (0) òîëüêî A1,2 (0) è A2,1 (0) ìîãóò áûòü îòëè÷íûìè îò íóëÿ. Âñàìîì äåëå, åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë i èëè j ïðåâûøàåò 2, òî â êàæäîé ïåðåñòàíîâêåâèäà(i, j, i2 , j2 , . . . , in , jn ) ,ãäå âñå is < js , õîòÿ áû îäíà èç ïàð is , js óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ is ≤ 2, js > 2.
Òîãäàωis js (0) = 0, ïîýòîìó âñå ñëàãàåìûå âåëè÷èíû Aij (0) ðàâíû íóëþ. ÑëåäîâàòåëüíîDi (0) = 0 äëÿ âñåõ i > 2. ÄàëååA1,2 (0) =Xsgn(σ)ωi2 j2 . . . ωin jn = P f (eω ),σ=(1,2,i2 ,j2 ,...,in ,jn )is < js , is < is+1 ,A1,2 (0) = −A2,1 (0),330ω3,4 ω04,3ωe=... ... ω2n−1,3 ω2n−1,4ω2n,3ω2n,4...ω3,2n−1ω3,2n...ω4,2n−1ω4,2n.........0. . . ω2n,2n−1ω2n−1,2n.0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî D1 (0) = −A1,2 (0)∂F /∂x2 , D2 (0) = A1,2 (0)∂F /∂x1 趵∂F1∂F0lim sgrad(F )(θ ) = lim, P f (eω), 0, . . .
, 0 =−P f (eω)θ0 →θθ0 →θ P f (ω)∂x2∂x1¶µ∂F ∂F1= lim−,, 0, . . . , 0 .θ 0 →θ ω1,2∂x2 ∂x1Ïî óñëîâèþ dF (Zθ ) 6= 0, ïîýòîìó âåêòîð-ñîìíîæèòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ â òî÷êåθ.  ñèëó dim Zθ= 2 ìàòðèöà ωe (0) íåâûðîæäåíà, ïîýòîìó çíàê P f (ω)(x)âáëèçè θ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì ω1,2 . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.Óñëîâèå çíàêîïîñòîÿíñòâà P f (ω) èíâàðèàíòíî, íî åãî çíàê íåèíâàðèàíòåí, ïîýòîìóíàïðàâëåíèÿ l± ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò ìîãóò ìåíÿòüñÿ ìåñòàìè 2. òåîðåìå 4 íå ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìêíóòîñòü ω , ïîýòîìó îíà ìîæåò áûòüèñïîëüçîâàíà äëÿ èçó÷åíèÿ âûðîæäåííûõ îñîáåííîñòåé ò.í.
ïî÷òè ñèìïëåêòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé [90]. Èç òåîðåìû 4 âûòåêàåò îáùåå óòâåðæäåíèå î òèïè÷íîì ïîâåäåíèèãàìèëüòîíîâûõ ïîòîêîâ âáëèçè îñîáîé òî÷êè p . Åäèíñòâåííûì ïðåäïîëîæåíèåì îïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííîé 2-ôîðìå ω ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîñòü åå ðàíãà â òî÷êåâûðîæäåíèÿ p, ÷òî ýêâèâàëåíòíî dim Ker(ωp ) = 2.Ñëåäñòâèå 1 Ïóñòü (M, ω) ñèìïëåêòè÷åñêîå (èëè ïî÷òè ñèìïëåêòè÷åñêîå)ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ è f ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèU (p) òàêîé òî÷êè p ∈ Θ, ÷òî dim(Zp ) = 2. Åñëè df (Zp ) 6= 0 è âáëèçè òî÷êèp ìíîæåñòâî Θ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì, òî äëÿ íåêîòîðîé øàðîâîéîêðåñòíîñòè O 3 p è ñâÿçíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ S = O ∩Θ èìååò ìåñòî cëåäóþùåå.1.
Ïðè codim S > 1 ïîëå íàïðàâëåíèé sgrad(f ) ãëàäêî ïðîäîëæàåòñÿ íà O.2. Ïðè codim S = 1 ãèïåðïîâåðõíîñòü S ðàçðåçàåò O íà ïîëóøàðèÿ O+ è O−òàê, ÷òî O = O+ ∪ O− è O+ ∩ O− = S . Åñëè ïôàôôèàí P f (ω) èìååò ïîñòîÿííûéçíàê íà ìíîæåñòâå O\S , òî ïîëå íàïðàâëåíèé sgrad(f ) ãëàäêî ïðîäîëæàåòñÿ íà O,èíà÷å îíî ãëàäêî ïðîäîëæàåòñÿ òîëüêî íà êàæäîå èç ïîëóøàðèé O± .  ïîñëåäíåìñëó÷àå â êàæäîé òî÷êå S ïðåäåëüíûå íàïðàâëåíèÿ sgrad(f ) èç O+ è O− ÿâëÿþòñÿïðîòèâîïîëîæíûìè.3.  áåñêîíå÷íîé áëèçîñòè îò S ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ïîòîêà sgrad(f ) áåñêîíå÷íîâåëèêà.34Âîçíèêàþùàÿ â ñëó÷àå codim S = 1 àëüòåðíàòèâà ñâÿçàíà ñî çíàêîì P f (ω) âáåñêîíå÷íî òîíêîì ñëîå, ïðèëåãàþùåì ê ãèïåðïîâåðõíîñòè S . Åñëè ïðè ïåðåõîäåèç ïîëóøàðèÿ O+ (p) â ïîëóøàðèå O− (p) ÷åðåç èõ îáùóþ ãðàíèöó S çíàê P f (ω) íåìåíÿåòñÿ, òî ïîëå íàïðàâëåíèé sgrad(f ) ãëàäêî ïðîäîëæàåòñÿ íà âåñü øàð O(p).Èíà÷å íà êàæäîì èç ïîëóøàðèé îíî ïðîäîëæàåòñÿ òàê, ÷òî â òî÷êàõ S ïðåäåëüíûåíàïðàâëåíèÿ èç ðàçíûõ ïîëóøàðèé îêàçûâàþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè. äàëüíåéøåì, íàêëàäûâàÿ íà îñîáûå òî÷êè óñëîâèå êîíòàêòíîñòè, ìû óçíàåìî ïðåäåëüíîì ïîâåäåíèè ãàìèëüòîíîâûõ ïîëåé ñóùåñòâåííî áîëüøå.
Ýòî ïîçâîëèòäîêàçàòü àíàëîã òåîðåìû Äàðáó äëÿ ìíîãîîáðàçèé ñ êîíòàêòíûìè îñîáåííîñòÿìèñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû, ò.å äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò, âêîòîðûõ ìàòðèöà ôîðìû ω ïðèâîäèòñÿ ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó (1.3). Ýòîòðåçóëüòàò ïîëó÷åí öåíîþ æåñòêîãî îãðàíè÷åíèÿ âîçìîæíûõ âûðîæäåíèé ôîðìû.Îäíàêî ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ñèìïëåêòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ñ îñîáåííîñòÿìèîáùíîñòü ôîðìóëèðîâêè òåîðåìû Âàéíøòåéíà íåäîñòèæèìà.Ïðåäëîæåíèå 3 Ïóñòü ìàòðèöà çàìêíóòîé, ïî÷òè âñþäó íåâûðîæäåííîé 2ôîðìû ω â ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõ x = (x1 , .
. . , x2k , x2k+1 , . . . , x2n ), çàäàííûõ âîêðåñòíîñòè òî÷êè ρ ∈ Θ, èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíûé âèä0ω1,2. . . ω1,2kω2,10. . . ω2,2k............ω2k,1 ω2k,2 . . .001−1 0...ãäå ïîäìàòðèöà Ω ðàâíà íóëþ â òî÷êå ρ. Òîãäà, åñëè äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèU (ρ) ìíîæåñòâî S = Θ ∩ U (p) ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì, òî ÿäðî Zρôîðìû ω â òî÷êå ρ òðàíñâåðñàëüíî Tρ S .Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó çàìêíóòîñòè ôîðìû ω ìàòðèöà Ω â ëåâîì âåðõíåì óãëó íåçàâèñèò îò êîîðäèíàò x2k+1 , . . . , x2n .  ñàìîì äåëå, ïðè 1 ≤ i, j ≤ 2k èìååì∂ω2k+s,j ∂ω2k+s,i∂ωi,j−+= 0,∂x2k+s∂xi∂xjω2k+s,j ≡ 0,35ω2k+s,i ≡ 0⇒∂ωi,j= 0.∂x2k+sÏîýòîìó â êîîðäèíàòàõ x ïîäìíîãîîáðàçèå S îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîé ñèñòåìîéóðàâíåíèé: f1 (x1 , .
. . , x2k ) = 0... ... ...fm (x1 , . . . , x2k ) = 0 .Ïîñêîëüêó ÿäðî Zρ íàòÿíóòî íà âåêòîðû∂∂, ...,,∂x1∂x2kåãî òðàíñâåðñàëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâó Tρ S î÷åâèäíà 2.Èç ïðåäëîæåíèÿ 3 âûòåêàåò, ÷òî â ïðèìåðàõ 2 è 3, ãäå ÿäðà ôîðì êàñàþòñÿîñîáûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé, â îêðåñòíîñòÿõ îñîáûõ òî÷åê èõ ìàòðèöû íåëüçÿ ïðèâåñòèê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó.§1.3. ×àñòíûé èíòåãðàë, ñâÿçàííûé ñ îñîáåííîñòüþ ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðû èíâàðèàíòíîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ.Ïóñòü ïîâåðõíîñòü M ⊂ N , êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû sgrad(H), çàäàíà êàê ñîâìåñòíûé óðîâåíü íåêîòîðûõ ôóíêöèé íàñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (N, Ω).
Ñóùåñòâóåò ëè ÷àñòíûé èíòåãðàë, êîòîðûéìîæíî ÿâíî ïîëó÷èòü èç ìàòðèöû Ïóàññîíà ýòèõ ôóíêöèé ? ×åòíî-ìåðíàÿ,èíâàðèàíòíàÿ ïîâåðõíîñòü M ìîæåò îêàçàòüñÿ ñèìïëåêòè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì,îäíàêî ðàçóìíåå îæèäàòü, ÷òî èíäóöèðîâàííàÿ íà íåé ôîðìà èìååò âûðîæäåííóþîñîáåííîñòü. Îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü Θ ⊂ M âñåãäà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîòîêàsgradΩ|M (H), åñëè òàêîâîé êîððåêòíî îïðåäåëåí íà M . Ïîýòîìó åñòåñòâåííî, ÷òî âíåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïîâåðõíîñòüΘ = {x ∈ M : det (Ω|M (x)) 6= 0}ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì óðîâíåì íåêîòîðîãî èíòåãðàëà sgrad(H).
Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü,÷òî îí ðàâåí îïðåäåëèòåëþ ìàòðèöû Ïóàññîíà ôóíêöèé, îïðåäåëÿþùèõ âëîæåíèåM ⊂ N . Äåëî â òîì, ÷òî îñîáàÿ ïîâåðõíîñòü Θ ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì óðîâíåì ýòîãîîïðåäåëèòåëÿ (ðàññìàòðèâàåìîãî íà M ).  äàííîì ïàðàãðàôå íàéäåíî íåîáõîäèìîåè äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òàêîãî ñîáûòèÿ. Âîçíèêàþùèé ÷àñòíûé èíòåãðàë íåòðèâèàëåí,åñëè è òîëüêî åñëè èíäóöèðîâàííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà íåâûðîæäåíà õîòÿáû â îäíîé òî÷êå. Ïîýòîìó èíâàðèàíòíàÿ ïîâåðõíîñòü äîëæíà áûòü ÷åòíî-ìåðíîé.Ðàññìîòðèì ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå (N, ω) è ãëàäêóþ ôóíêöèþ H íà N .36Îïðåäåëåíèå 3 Åñëè {f, H}(x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ M , ò.å. f |M ÿâëÿåòñÿïåðâûì èíòåãðàëîì (sgrad(H))|M , òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîìsgrad(H) íà M .Äëÿ íåêîòîðûõ íåçàâèñèìûõ ãëàäêèõ ôóíêöèé fj : N → R ðàññìîòðèìðåãóëÿðíîå ïîäìíîãîîáðàçèåonM = x ∈ N | f1 (x) = .
. . = f2n (x) = 0 ,(1.7)êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî sgrad(H), ò.å. sgrad(H)(x) ∈ Tx M äëÿ âñåõ x ∈M . Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ õîðîøî èçâåñòíûì ôàêòîì [30].Ïðåäëîæåíèå 4 Ïîâåðõíîñòü M èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî sgrad(H), åñëè èòîëüêî åñëè{H, fj } =2nXαj,k fk(1 ≤ j ≤ 2n)(1.8)k=1äëÿ íåêîòîðûõ ãëàäêèõ ôóíêöèé αj,k , êîòîðûå îïðåäåëåíû â îêðåñòíîñòè M .Ïî÷òè âñå èçâåñòíûå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû çàäàíû íàêîêàñàòåëüíûõ ðàññëîåíèÿõ èëè íà îðáèòàõ êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ.
Îäíàêîïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî â áóäóùåì ñòàíóò áîëåå àêòóàëüíûìè ñèñòåìû, êîòîðûå óäàåòñÿïðîèíòåãðèðîâàòü òîëüêî íà èíâàðèàíòíûõ ïîäìíîãîîáðàçèÿõ. Ïî-âèäèìîìó ïåðâûéñîäåðæàòåëüíûé ïðèìåð òàêîé çàäà÷è áûë îïèñàí â [5], à åå ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿèññëåäîâàíà â ðàáîòå [95]. Ýòà ñèñòåìà çàäàíà íà ïîäìíîãîîáðàçèènoM = x ∈ N | f1 (x) = 0, f2 (x) = 0 ,(1.9)ãäå N ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé 6-ìåðíîé îðáèòîé êîïðèñîåäèíåííîãî äåéñòâèÿ, è îíàîïèñûâàåò âîë÷îê Êîâàëåâñêîé â äâóõ ñèëîâûõ ïîëÿõ. Ôàçîâîå ìíîãîîáðàçèå Mÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ íóëåâîãî óðîâíÿ îáùåãî èíòåãðàëà âèäà f12 + f22 .
Ïîñëåäíèéïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàêîå îáîáùåíèå èíòåãðàëà Êîâàëåâñêîé, ÷òî M ñîîòâåòñòâóåò 1êëàññó Àïïåëüðîòà êëàññè÷åñêîé çàäà÷è (ñì. § 2.3). Äðóãèå 4-ìåðíûå èíâàðèàíòíûåïîäìíîãîîáðàçèÿ âèäà (1.9), êîòîðûå àíàëîãè÷íû 2, 3 è 4 êëàññàì Àïïåëüðîòà,áûëè íåäàâíî íàéäåíû â [71].
Âî âñåõ âûøåóêàçàííûõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàþò ÷àñòíûåèíòåãðàëû âèäà {f1 , f2 }, êîòîðûå íàáëþäàëèñü è â äðóãèõ çàäà÷àõ ìåõàíèêè òâåðäîãîòåëà. Èçâåñòíî è ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè{H, f1 } = ϕf2 ,{H, f2 } = ψf137ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ{f1 , f2 }÷àñòíûìèíòåãðàëîìñèñòåìûsgrad(H)íàïîäìíîãîîáðàçèè (1.9). Äðóãîå õîðîøî èçâåñòíîå óñëîâèå :{H, f1 } = gf1 ,{H, f2 } = −gf2 . îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååì òîæäåñòâîtrace(α)(x) = α1,1 + α2,2 = 0∀x ∈ M,ãäå ìàòðèöà α îïðåäåëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì (1.8) è n = 1.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåðíîîáðàòíîå: ïðè óñëîâèètrace(α)(x) = 0âñåãäà ñóùåñòâóåò ÷àñòíûé èíòåãðàë âèäà {f1 , f2 } (ò.ê. ïî ïðåäëîæåíèþ 5 ôóíêöèÿ4{f1 , f2 }2 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîì).  äàííîé ðàáîòå ýòîò, ïî-âèäèìîìó,âïåðâûå ñôîðìóëèðîâàííûé êðèòåðèé äîêàçàí è îáîáùåí äëÿ ëþáîãî n ≥ 1.Ëåììà 2 Ïóñòü 1 ≤ i, j ≤ 2n è P f (P) åñòü ïôàôôèàí ìàòðèöû Ïóàññîíà¡¢P = {fi , fj } ,ãäå ôóíêöèè fi çàäàíû íà M (1.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
