Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ýòè ñèñòåìûíàçûâàþòñÿ òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçìj : Q31 → Q32 , êîòîðûé ñîâìåùàåò ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ íà Q31 è Q32 , îðèåíòàöèèêðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé, èíäóöèðîâàííûå ïîòîêàìè sgrad H1 è sgrad H2 , àòàêæå îðèåíòàöèè ìíîãîîáðàçèé Q31 è Q32 .Î÷åâèäíî, ÷òî òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ñèñòåìû ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû.Îáðàòíîå íåâåðíî. Ïðè îòîæäåñòâëåíèè Q31=e Q32 , ñîâìåùàþùåì ñëîåíèÿËèóâèëëÿ, íàïðàâëåíèÿ ïîòîêîâ íà êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòÿõ, à òàêæå îðèåíòàöèèìíîãîîáðàçèé ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàçëè÷íûìè.Ïðè èçìåíåíèè îðèåíòàöèé ðåáåð çíà÷åíèÿ ìåòîê ìîãóò èçìåíèòüñÿ.
Ìåíÿþòñÿòîëüêî r - ìåòêè íà êîíå÷íûõ ðåáðàõ (r 6= ∞), òàê ÷òî íîâîå çíà÷åíèå r = δ/βmod 1. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèö ñêëåéêè îðèåíòàöèè ðåáåð çàäàþòñÿ èç ñîîáðàæåíèéóäîáñòâà èëè ñëó÷àéíî, è ïðè ñðàâíåíèè ìîëåêóë W ∗ (Q3 ) ýòî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü.Òåîðåìà 1 Ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû sgrad H1 è sgrad H2 , èíòåãðèðóåìûå âáîòòîâñêèõ èíòåãðàëàõ è íåðåçîíàíñíûå íà íåîñîáûõ, ñâÿçíûõ, çàìêíóòûõèçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ Q31 è Q32 , òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ìîëåêóëû W ∗ (Q31 ) è W ∗ (Q32 ) ðàâíû èëè ìîãóò áûòü ñäåëàíûðàâíûìè ïîñëå èçìåíåíèÿ îðèåíòàöèé íåêîòîðûõ ðåáåð.Ðàâåíñòâî W ∗ (Q31 ) = W ∗ (Q32 ) îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ãîìåîìîðôèçìà ãðàôîâW (Q31 ) è W (Q32 ), ïðè êîòîðîì ñîâïàäàþò îòîáðàæàåìûå äðóã â äðóãà âåðøèíû àòîìû, à òàêæå âñå ìåòêè íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåáðàõ è ñåìüÿõ.
Ïðè ýòîì îðèåíòàöèèðåáåð òàêæå äîëæíû ñîâïàäàòü.Ïðè îáðàùåíèè îðèåíòàöèè Q3h ñ ìåòêàìè ïðîèñõîäÿò îïðåäåëåííûå, ÿâíîîïèñàííûå èçìåíåíèÿ [7].Îáîçíà÷èì G(Q3h ) ãðàô, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ èç ìîëåêóëû W (Q3h ), åñëè êàæäûéåå àòîì âåðøèíó ñ÷èòàòü òî÷êîé.ÈíâàðèàíòîìÔîìåíêî-ÖèøàíãàI ∗ (Q3h )íàçûâàåòñÿìîëåêóëàW (Q3h )cîðèåíòèðîâàííûìè ðåáðàìè, ñíàáæåííàÿ òåìè æå ìåòêàìè r, n, ÷òî è ìå÷åíàÿ¢¡ìîëåêóëà W ∗ (Q3h ), à òàêæå êîöèêëîì [ε] ∈ H1 G(Q3h ), Z2 , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿçíà÷åíèÿìè ε - ìåòîê â W ∗ (Q3h ).52Çàìåíà êîöåïè ε ∈ C 1 (G(Q3h ), Z2 ) íà êîãîìîëîãè÷íóþ êîöåïü ε0 îòâå÷àåòèçìåíåíèþ çíà÷åíèé ε - ìåòîê ñëåäóþùåãî âèäà. Äëÿ íåêîòîðûõ âåðøèí ãðàôà G(Q3h )îáðàòèì çíà÷åíèÿ ε - ìåòîê âñåõ ðåáåð, âõîäÿùèõ è âûõîäÿùèõ èç ñîîòâåòñòâóþùèõàòîìîâ (íà âíóòðåííèõ ðåáðàõ àòîìîâ ε - ìåòêè íå ìåíÿþòñÿ).
Òàêàÿ îïåðàöèÿ íàä ε- ìåòêàìè îòâå÷àåò èçìåíåíèþ íàïðàâëåíèé ôàçîâûõ ïîòîêîâ íà íåêîòîðûõ àòîìàõ,÷òî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü ïîäõîäÿùåé çàìåíîé ãàìèëüòîíèàíà â êëàññå ãëàäêèõôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàÿ [ε] - êîöèêëû âìåñòî ε - ìåòîê, ìû de' factoàáñòðàãèðóåìñÿ îò íàïðàâëåíèé ïîòîêîâ íà êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòÿõ.Èíâàðèàíòû I ∗ (Q3 ) ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ìîëåêóëû W ∗ (Q3 ) ðàâíû áåç ó÷åòàε - ìåòîê, è ïðè ýòîì ñîâïàäàþò [ε] - êîöèêëû.
Ðàâåíñòâî [ε] - êîöèêëîâ ïðîâåðÿåòñÿïðîñòî. Íà ëþáîé èç ìîëåêóë W ∗ (Q3h ) ñëåäóåò âûáðàòü àòîì èëè íåñêîëüêî àòîìîâ èîáðàòèòü çíà÷åíèÿ ε - ìåòîê íà âñåõ ðåáðàõ, ïðèìûêàþùèõ ê ýòèì àòîìàì, òàê ÷òîáûñîâïàëè ε - ìåòêè íà îòâå÷àþùèõ äðóã äðóãó (ïðè ãîìåîìîðôèçìå ãðàôîâ W (Q3 ))ðåáðàõ ìîëåêóë. Ïîñëåäíèå ïðè ýòîì äîëæíû áûòü îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû.Òåîðåìà 2 Ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû sgrad H1 è sgrad H2 , èíòåãðèðóåìûå âáîòòîâñêèõ èíòåãðàëàõ è íåðåçîíàíñíûå íà íåîñîáûõ, ñâÿçíûõ, çàìêíóòûõèçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ Q31 è Q32 , ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà èíâàðèàíòû I ∗ (Q31 ) è I ∗ (Q32 ) ðàâíû èëè ìîãóò áûòü ñäåëàíûðàâíûìè ïîñëå èçìåíåíèÿ îðèåíòàöèé íåêîòîðûõ ðåáåð èëè ìíîãîîáðàçèé.§2.2.
Ïîïðàâêè íà ñèìïëåêòè÷åñêèå îñîáåííîñòè.Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå îáîáùàåò ñèòóàöèþ, êîãäà ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàðàññìàòðèâàåòñÿ íà èíâàðèàíòíîì ïîäìíîãîîáðàçèè ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè, íà êîòîðîìèíäóöèðîâàííàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà èìååò âûðîæäåííûå îñîáåííîñòè.Îïðåäåëåíèå 5 Ïóñòü M åñòü ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ,íà êîòîðîì çàäàíà ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ H . Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ãëàäêîå âåêòîðíîåïîëå X íà M , ÷òî Xp = sgrad H(p) äëÿ âñåõ p ∈ M \ Θ, òî X íàçûâàåòñÿãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé, êîððåêòíî îïðåäåëåííîé íà M .
Ïðè ýòîì â êàæäîéòî÷êå p ∈ M âåêòîð Xp îáîçíà÷àåòñÿ sgrad H(p). äàëüíåéøåì M îáîçíà÷àåò ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ.Ïîñêîëüêó isgrad H(ρ) ω = −dρ H , òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îïðåäåëåííîñòè ãëàäêîãîïîëÿ sgrad H íà M ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâî dH(Ker ω) ≡ 0.  ñëó÷àå òèïè÷íûõñèìïëåêòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé îíî ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, íî â îáùåì íåò [16].53Ïðåäëîæåíèå 1 Ïóñòü íà M çàäàíà ãëàäêàÿ (êëàññà C ∞ ) ôóíêöèÿ H . Åñëè âêàæäîé òî÷êå ρ ∈ Θ ñïðàâåäëèâî (1.2) è dH(Zρ ) = 0, òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàsgrad H êîððåêòíî îïðåäåëåíà íà M .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç òåîðåìû 1 § 3.1, ãäå óñëîâèå (1.2) îáîáùåíî íàñëó÷àé ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè ÿäðà ôîðìû (ïðè ýòîì òèïè÷íûå îñîáåííîñòèïåðåñòàþò áûòü òèïè÷íûìè è ñòàíîâÿòñÿ êîíòàêòíûìè) 2.Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â [82], ïðè ýêâèâàëåíòíîì (1.2)óñëîâèè ëîêàëüíîé ïðèâîäèìîñòè ôîðìû ω ê âèäó x1 dx1 ∧ dx2 + dp ∧ dq.Âïðàêòè÷åñêèâàæíîìñëó÷àåìíîãîîáðàçèåMÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíîéïîâåðõíîñòüþ ñîâìåñòíîãî óðîâíÿ ôóíêöèé F1 è F2 , çàäàííûõ íà ñèìïëåêòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè M ⊃ M .
Òîãäà ïîäìíîæåñòâî Θ ⊂ M îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì{F1 , F2 } = 0, ãäå ñêîáêà Ïóàññîíà âû÷èñëÿåòñÿ â M. Òî÷êà ρ ∈ Θ óäîâëåòâîðÿåò(1.2) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà {{F1 , F2 }, F1 }(ρ) 6= 0 èëè {{F1 , F2 }, F2 }(ρ) 6= 0 [16].Îïðåäåëåíèå 6 Ïóñòü dim M = 2n è íà M êîððåêòíî îïðåäåëåíà ãàìèëüòîíîâàñèñòåìà sgrad H , èìåþùàÿ ïåðâûå èíòåãðàëû F1 , . . . Fn−1 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿòàêèìè ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè íà M , ÷òî {Fi , Fj } = 0 íà ñèìïëåêòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè M \Θ. Åñëè êîâåêòîðû dH, dF1 , . .
. , dFn−1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû ïî÷òèâñþäó íà M , è âñå ðåãóëÿðíûå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëîâ H, F1 , . . . , Fn−1ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè, òî ñèñòåìà sgrad H íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé.Èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìå îòâå÷àåò îòîáðàæåíèå ìîìåíòà F : M → Rn , ãäå F(p) =¡¢H(p), F1 (p), . . . , Fn−1 (p) = (h, f ). Åãî áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îáîçíà÷àåòñÿ Σ.Îïðåäåëåíèå 7 Ïóñòü íà M êîððåêòíî îïðåäåëåíà èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìàsgrad H c îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà F . Åñëè ìíîæåñòâî F(Θ) ⊂ Rn (h, f ) èìååòìåðó íîëü, è ïî÷òè âñå òîðû Ëèóâèëëÿ T n ⊂ M \ Θ ÿâëÿþòñÿ íåðåçîíàíñíûìè, òîñèñòåìà sgrad H íàçûâàåòñÿ íåðåçîíàíñíîé.Çàìåòèì, ÷òî èç êàæäîé p ∈ Θ âûõîäèò òðàåêòîðèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç òî÷åê Θ.Åñëè îíà âñþäó ïëîòíà íà òîðå T n , òî T n ⊂ Θ.
Óñëîâèå µ(F(Θ)) = 0 èñêëþ÷àåòñóùåñòâîâàíèå ïîäìíîæåñòâ V ⊂ F (Θ), ÿâëÿþùèõñÿ îòêðûòûìè â Rn . Äîïóñêàÿîáðàòíîå, ïî÷òè âñå òîðû T n ⊂ F −1 (h, f ) ïðè (h, f ) ∈ V è T n ∩ Θ 6= ∅ ñëåäóeò ñ÷èòàòüçàìûêàíèÿìè òðàåêòîðèé sgrad H (íåðåçîíàíñíîñòü). Íî T n ⊂ Θ íåâîçìîæíî äëÿïî÷òè âñåõ (h, f ) ∈ V , ò.ê. ìíîæåñòâî Θ èìååò íóëåâóþ ìåðó â M .54Ïðåäëîæåíèå 2 Ïóñòü dim M = 2n è íà M êîððåêòíî îïðåäåëåíà íåðåçîíàíñíàÿ,èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà sgrad H . Òîãäà äëÿ ëþáîãî ðåãóëÿðíîãî çíà÷åíèÿ (h, f )îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà F êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ïîäìíîãîîáðàçèÿ F −1 (h, f ),èìåþùàÿ íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ Θ, ÿâëÿåòñÿ âëîæåííûì â M òîðîì T n .Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ëþáîé òîð Ëèóâèëëÿ, íå ïåðåñåêàþùèé ìíîæåñòâî Θè íàõîäÿùèéñÿ â áåñêîíå÷íî ìàëîé, òðóá÷àòîé îêðåñòíîñòè U ñâÿçíîé êîìïîíåíòûF −1 (h, f ).
Ñóùåñòâîâàíèå äàííîãî òîðà âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî F(Θ) èìååòìåðó íîëü â Rn . Î÷åâèäíî, ÷òî âñå êîìïîíåíòû F - ïðîîáðàçîâ òî÷åê (h, f ), êîòîðûåíàõîäÿòñÿ âíóòðè U , äèôôåîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó äàííàÿ êîìïîíåíòàF −1 (h, f ) ÿâëÿåòñÿ âëîæåííûì òîðîì T n 2 .Ïðè óñëîâèÿõ ïðåäëîæåíèÿ 2, äëÿ ëþáîãî ðåãóëÿðíîãî çíà÷åíèÿ (h, f ) êàæäóþêîìïîíåíòó F −1 (h, f ) (â ò.÷. ñîäåðæàùóþ òî÷êè Θ) áóäåì íàçûâàòü òîðîì Ëèóâèëëÿ.Ïðåäëîæåíèå 3 ÏóñòüíàMêîððåêòíîîïðåäåëåíàèíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà sgrad H , è ìíîæåñòâî Θ = {p ∈ M :íåðåçîíàíñíàÿ,det ωp = 0}ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî (h, f ) ∈ F (M ) êàæäîåñâÿçíîå ìíîæåñòâî S , ëåæàùåå â F −1 (h, f ) è íå ñîäåðæàùåå êðèòè÷åñêèõ òî÷åêîòîáðàæåíèÿ F , íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ìíîæåñòâîì Θ èëè öåëèêîì ëåæèò â íåì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim M = 2n è Fi0 = Fi |Θ , ãäå 1 ≤ i ≤ n. Èç óñëîâèÿ,÷òî F(Θ) èìååò ìåðó íîëü ñëåäóåò ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ôóíêöèé F10 , .
. . , Fn0íà Θ. Ïóñòü p ∈ S ∩ Θ, òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(p) ∩ Θ îäíà èç ôóíêöèé0Fi0 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå, íàïðèìåð Fn0 = G(F10 . . . , Fn−1). Ñëåäîâàòåëüíîèíòåãðàë F = Fn − G(F1 . . . , Fn−1 ) îáðàùàåòñÿ â íîëü íà O(p) ∩ Θ, íî dp F =6 0 âñèëó F (p) 6∈ Σ. Òàê êàê F = const íà S , òî O(p) ∩ S ⊂ Θ, åñëè îêðåñòíîñòü O(p)äîñòàòî÷íî ìàëà.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè òî÷êè p ∈ S ∩ Θ è ñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà S ,êàæäàÿ òî÷êà S ëåæèò â Θ 2 .Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ñòàòüè îòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ dim M = 4, êîòîðûé íàèáîëååèçó÷åí ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì [7]. Çàìåòèì, ÷òîîïðåäåëåíèå 5 ïðèìåíèìî ê ñèñòåìàì, êîððåêòíî îïðåäåëåííûì íà ñèìïëåêòè÷åñêèõ4 ìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòüþ è îãðàíè÷åííûì íà ïîäìíîãîîáðàçèÿ Q3h ⊂ H −1 (h).Íàçîâåì ãëàäêèì êîìïëåêñîì òàêîå ïîäìíîæåñòâî ìíîãîîáðàçèÿ M , èìåþùååêîíå÷íîå ÷èñëî ñâÿçíûõ êîìïîíåíò, ÷òî âñå åãî êîìïîíåíòû ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìèïîäìíîãîîáðàçèÿìè.
Ðàçìåðíîñòè ïîñëåäíèõ ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè. Ñâÿçíûéãëàäêèé êîìïëåêñ, â ÷àñòíîñòè, ýòî ïðîñòî ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå.55Òåîðåìà 3 Ïóñòü íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòüþ (M 4 , ω)êîððåêòíîèíòåãðàëîìîïðåäåëåíàFïîäìíîãîîáðàçèåèíåðåçîíàíñíàÿ,äàíîçàìêíóòîå,èíòåãðèðóåìàÿñâÿçíîå,Q3h ⊂ H −1 (h). Ïóñòüñèñòåìàðåãóëÿðíîå,sgrad HcîðèåíòèðîâàííîåQ3h òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåòñÿ ñíåêîòîðûì ãëàäêèì êîìïëåêñîì S , êîòîðûé ñîñòîèò èç òî÷åê ìíîæåñòâàΘ = {ρ ∈ M 4 :det ωρ = 0}, òàê ÷òîQ3h ∩ Θ = Q3h ∩ S ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèìêîìïëåêñîì. Ïðåäïîëîæèì òàêæå ñëåäóþùåå.1. Ïî÷òè âñå òîðû Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ Q3h ÿâëÿþòñÿ íåðåçîíàíñíûìè.2.
Èíòåãðàë F : Q3h → R ÿâëÿåòñÿ òàêîé ôóíêöèåé Áîòòà, ÷òî âñå ååêðèòè÷åñêèå ïîäìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ âëîæåííûìè îêðóæíîñòÿìè.3. Äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0 è öåëîãî m > 1 ïðè ëþáîì h0 ∈ [h − ε; h + ε]ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èíòåãðàëà F : Q3h0 → R ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì1îáúåäèíåíèåì m âëîæåííûõ îêðóæíîñòåé S11 (h0 ), S21 (h0 ), . . . , Sm(h0 ). Ïðè ýòîìêàæäàÿ îêðóæíîñòü Si1 (h0 ) ãëàäêî çàâèñèò îò h0 , è îáðàçîì öèëèíäðà[ ©ªSi1 (h0 ) : h − ε ≤ h0 ≤ h + εîòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ F = (H, F ) ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíàÿ êðèâàÿ σi , êîòîðàÿòðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàåò îòðåçîê F(Q3h ) â òî÷êå (h, F (Si1 (h))).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
