Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ëþáûå äâå êðèâûåσi è σj íå ïåðåñåêàþòñÿ èëè ñîâïàäàþò, ãäå 1 ≤ i, j ≤ m.Òîãäà ëþáàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà S 0 ãëàäêîãî êîìïëåêñà S èìååò ðàçìåðíîñòü3 èëè 2. Åñëè dim S 0 = 3, òî êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà Q3h ∩ S 0 ïðåäñòàâëÿåòñîáîé òîð Ëèóâèëëÿ èëè ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîìíåêîòîðîãî, êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ èíòåãðàëà F : Q3h → R. Åñëè dim S 0 = 2, òîñâÿçíûå êîìïîíåíòû Q3h ∩S 0 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âëîæåííûå îêðóæíîñòè, êîòîðûåÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè èëè ñîñòîÿò èç ðåãóëÿðíûõ òî÷åê èíòåãðàëà F : Q3h → R.Äëÿ ëþáîãî, äîñòàòî÷íî ìàëîãî ε > 0 ìíîãîîáðàçèå Q3h ñêëååíî èç ñâÿçíûõêîìïîíåíò U (Nc ) ïîäìíîãîîáðàçèé F −1 [fc − ε ; fc + ε], âûáðàííûõ ïî âñåìêðèòè÷åñêèì çíà÷åíèÿì fc èíòåãðàëà F:Q3h→R. Ïðè ýòîì êàæäîåïîäìíîãîîáðàçèå U (Nc ) íåñåò íà ñåáå ñòðóêòóðó àòîìà, êîòîðûé òîïîëîãè÷åñêèýêâèâàëåíòåí àòîìó íåêîòîðîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû íà ñèìïëåêòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè áåç îñîáåííîñòåé, è îïðåäåëåíà ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà W ∗ (Q3h ).
Ëþáàÿe íà ìíîãîîáðàçèè Qe3 ñ ìå÷åíîé ìîëåêóëîé W ∗ (Qe3 )èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà sgrad Hòîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå sgrad H íà Q3h òîãäà è òîëüêî òîãäà,e3 ) = W ∗ (Q3 ) èëè ýòè ìîëåêóëû ìîãóò áûòü ñäåëàíû ðàâíûìè ïîñëåêîãäà W ∗ (Qhèçìåíåíèÿ îðèåíòàöèé íåêîòîðûõ ðåáåð.56Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîãîîáðàçèå Q3h ⊂ H −1 (h) ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, ò.å.,h åñòü ðåãóëÿðíîå çíà÷åíèå ãàìèëüòîíèàíà H : M 4 → R. Òîãäà â êàæäîé òî÷êå p ∈ Q3hâåêòîð sgrad H(p) îòëè÷åí îò íóëÿ, ïîñêîëüêó èç sgrad H(p) = 0 ñëåäóåò dp H = 0.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî â ε - îêðåñòíîñòè ëþáîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ fc ôóíêöèèF : Q3h → R íå äîëæíî áûòü äðóãèõ åå êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé.Ñëó÷àé dim S 0= 1 íåâîçìîæåí, ò.ê.
èç ëþáîé òî÷êè Q3h ∩ S 0 âûõîäèòíåñòàöèîíàðíàÿ òðàåêòîðèÿ sgrad H , öåëèêîì ëåæàùàÿ â ìíîæåñòâå Q3h ∩ Θ(êîððåêòíî îïðåäåëåííûé ãàìèëüòîíîâ ïîòîê ñîõðàíÿåò 2-ôîðìó ω ).Ïóñòü â ñëó÷àå dim S 0 = 3 ãëàäêîå ïîäìíîãîîáðàçèå L2 ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîéêîìïîíåíòîé Q3h ∩ S 0 . Åñëè íåêîòîðûé òîð Ëèóâèëëÿ T 2 ïåðåñåêàåòñÿ ñ L2 , òî âñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3 èìååò ìåñòî T 2 ⊂ L2 , ñëåäîâàòåëüíî L2 = T 2 .  ýòîì ñëó÷àåíå âîçíèêàåò íèêàêèõ òðóäíîñòåé ñ êîððåêòíûì îïðåäåëåíèåì ìîëåêóëû W ∗ (Q3h ).Äåëî â òîì, ÷òî ñêëåèâàþùèå èçîòîïèè ìåæäó ãðàíè÷íûìè òîðàìè àòîìîâ U (Nc )îïðåäåëÿþòñÿ âíå ñâÿçè ñ ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé, êàê ñäâèãè âäîëü òðàåêòîðèéïîëÿ grad F (â ëþáîé ðèìàíîâîé ìåòðèêå).Âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà L2 ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì íåêîòîðîãî, êðèòè÷åñêîãîñëîÿ Nc ⊂ F −1 (fc ).
Òîãäà ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü L2 ñêëååíà èç íåñêîëüêèõ êîëåö S 1 ×D1 ïî ãðàíè÷íûì îêðóæíîñòÿì, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñåäëîâûìè, êðèòè÷åñêèìè äëÿôóíêöèè F : Q3h → R. Ýòîò ñëó÷àé áóäåò ðàññìîòðåí íèæå.Ïóñòü dim S 0 = 2. Òîãäà êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ïîäìíîãîîáðàçèÿ S 0 ∩ Q3hÿâëÿåòñÿ âëîæåííîé îêðóæíîñòüþ ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèåé sgrad H , êîòîðàÿëåæèò íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèè F : Q3h → R. Åñëè òàêèåîêðóæíîñòè âëîæåíû â òîðû Ëèóâèëëÿ, òî îíè íå ïðåïÿòñòâóþò êîððåêòíîéîïðåäåëåííîñòè ìîëåêóëû W ∗ (Q3h ). Îáîñíîâàíèå íå îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîãîâûøå ñëó÷àÿ dim S 0 = 3.Ïóñòü íåêîòîðûé, êðèòè÷åñêèé ñëîé Nc ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïîäìíîãîîáðàçèåì S 0ïî îäíîé èëè íåñêîëüêèì îêðóæíîñòÿì.
Ëþáàÿ èç ýòèõ îêðóæíîñòåé ÿâëÿåòñÿêðèòè÷åñêîé èëè íå ñîäåðæèò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ôóíêöèè F : Q3h → R. Ïðè ýòîìâîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè â Nc íå ñîäåðæàò òî÷åê èç Θ.Íàì íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äîñòàòî÷íî ìàëàÿ, íîðìàëüíàÿ îêðåñòíîñòü U (Nc )ñëîÿ Nc èìååò âñå ñâîéñòâà àòîìà, êîòîðûå ñóùåñòâåííû ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèèÀ.Ò. Ôîìåíêî. Îêðóæíîñòè Sr1 , êîòîðûå ëåæàò â ìíîæåñòâå Nc ∩ Θ è íå ÿâëÿþòñÿêðèòè÷åñêèìè äëÿ F , ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé çàìêíóòûå òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad H .Çàìåòèì, ÷òî îíè íå ñòÿãèâàþòñÿ íà Nc , ò.ê. èíà÷å â íåêîòîðîé òî÷êå sgrad H = 0.57Ðàññìîòðèì ñóùåñòâåííûå ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðèè, îòíîñÿùèåñÿ ê êðèòè÷åñêèìîêðóæíîñòÿì Sc1 èíòåãðàëà F : Q3h → R. Ïåðâûì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå áîòòîâîñòèF , ÷òî â äàííîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî. Âòîðîå: ñåïàðàòðèñíûå äèàãðàììû ñåäëîâûõîêðóæíîñòåé äîëæíû îïðåäåëÿòü íåòðèâèàëüíûå öèêëû íà áëèçêèõ ê íèì òîðàõËèóâèëëÿ.
Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ëþáîé òîð Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ Q3h ,äîñòàòî÷íî áëèçêèé ê îêðóæíîñòè Sc1 ⊂ S 0 , íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ìíîæåñòâîì Θ. Ïîýòîìóïîòîê sgrad H íà òîðå T 2 âûïðÿìëÿåòñÿ, è äàëüøå ìîæíî äîñëîâíî ïîâòîðèòüäîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.2 [7].Òðåòüå: îðèåíòàöèè âñåõ êðèòè÷åñêèõ òðàåêòîðèé Sc1 ⊂ Nc äîëæíû áûòüñîãëàñîâàíû ìåæäó ñîáîé (ñì. íèæå). Ñëåäóÿ èäåå ïðåäëîæåíèÿ 3.8 [7] äîêàæåìñóùåñòâîâàíèå òàêîãî èíòåãðàëà Fe íà V , ÷òî âñå òðàåêòîðèè (êîððåêòíîîïðåäåëåííîãî) ïîëÿ sgrad Fe ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè.Êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü Nc èìååò òðàíñâåðñàëüíûå ñàìîïåðåñå÷åíèÿ âòî÷êàõ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé Sc1 ⊂ Nc .  íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé èçòàêèõ îêðóæíîñòåé ôîðìà ω òî÷íà â ñèëó îòíîñèòåëüíîé ëåììû Ïóàíêàðå.
Îíàòî÷íà è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè èçîòðîïíîãî ñëîÿ Nc , èç êîòîðîãî óäàëåíû âñåêðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè âìåñòå ñ èõ ìàëûìè, íîðìàëüíûìè 4 îêðåñòíîñòÿìè.Ëþáûå äâå èç ïåðâîîáðàçíûõ ω îòëè÷àþòñÿ íà òî÷íóþ 1-ôîðìó. Ïîñêîëüêó ìûáóäåì èíòåãðèðîâàòü ýòè ïåðâîîáðàçíûå ïî öèêëàì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íà íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè V ñëîÿ Nc äëÿ íåêîòîðîé 1-ôîðìû α íà V èìååò ìåñòî ω|V = dα.Ðàññóæäàÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 3.2 [7] ïðîâåðèì, ÷òî, ñòî÷íîñòüþ äî çíàêà, èíòåãðàë Fe ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ôîðìóëîéFe(Nc ) = 0 ,1Fe(T 2 ) =2πZα,γ ⊂ T2 .γÍà ëþáîì òîðå Ëèóâèëëÿ T 2 ⊂ V , ñ òî÷íîñòüþ äî îðèåíòàöèè, öèêë γ îïðåäåëÿåòñÿñåïàðàòðèñíîé äèàãðàììîé ëþáîé èç êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé Sñ1 ⊂ Nc , êîòîðûåäîñòàòî÷íî áëèçêè ê òîðó T 2 .
Âáëèçè ëþáîé òî÷êè p ∈ Nc \ Θ ëîêàëüíî îïðåäåëåíàïàðà âåêòîðíûõ ïîëåé sgrad Fe, îòëè÷àþùèõñÿ ëèøü çíàêîì. Íåîïðåäåëåííîñòü çíàêàñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî a'priori öèêëû γ ìîãóò ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå îðèåíòàöèè îòðàçëè÷íûõ òðàåêòîðèé Sc1 , áëèçêèõ ê äàííîìó òîðó [7]. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ýòèëîêàëüíûå ïîëÿ èìåþò 2π - ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîéîêðóæíîñòè S01 ⊂ Nc ∩ Θ â êàæäîé òî÷êå p ∈ S01 îïðåäåëåíà ïàðà âåêòîðîâlimΘ63q→p sgrad Fe(q) 6= 0, êîòîðûå íåîáõîäèìî êîëëèíåàðíû âåêòîðó sgrad H(p).58Äàëåå, â ëþáîé òî÷êå ïîäìíîãîîáðàçèÿ Nc \ Θ èìååò ìåñòîsgrad Fe = ±a · sgrad F ± b · sgrad H .(2.2)Çàâèñèìîñòü âèäà (2.2) òàêæå èìååò ìåñòî íà ëþáîì, äîñòàòî÷íî áëèçêîì ê Ncòîðå Ëèóâèëëÿ, ïðè ýòîì ÷èñëà a è b ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè.
Ñëåäîâàòåëüíî,êîýôôèöèåíòû a è b ïîñòîÿííû íà âñåì ñëîå Nc .Åñëè õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå ρ êàêîé-íèáóäü êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè Sc1 ⊂ Nc ∩Θíå ñóùåñòâóåò ïðåäåë limΘ63y→ρ sgrad F (y), òî êîýôôèöèåíò a â òî÷êå ρ äîëæåí áûòüðàâåí íóëþ. Ýòî âåðíî â ñèëó òîãî, â òî÷êå ρ îïðåäåëåíû äâà äðóãèõ âåêòîðà èçóðàâíåíèÿ (2.2). Òîãäà a = 0 íà Nc , ïîýòîìó åñëè êàê óãîäíî ôèêñèðîâàòü çíàêêîýôôèöèåíòà ±b 6= 0, òî íà âñåì ñëîå Nc áóäåò îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íîå ïîëå sgrad Fe,òàê ÷òî (2.2) ñòàíåò òîæäåñòâîì íà Nc . Äðóãîé a'priori âîçìîæíûé ñëó÷àé ñîñòîèòâ òîì, ÷òî ïîëå sgrad F îïðåäåëåíî è íåïðåðûâíî íà âñåì ñëîå Nc . Òîãäà õîòÿ áûîäíî èç ÷èñåë a è b îòëè÷íî îò íóëÿ.
Åñëè, íàïðèìåð, b 6= 0, òî ìîæíî çàôèêñèðîâàòüçíàê ±b, ïîñëå ÷åãî ïîëå sgrad Fe áóäåò îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî íà âñåì ñëîå Nc .Ïîñëåäíèå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû òàêæå è â ñëó÷àå, êîãäà íåêîòîðîå, ãëàäêîå,çàìêíóòîå ìíîãîîáðàçèå L2 , ÿâëÿþùååñÿ ïîäìíîæåñòâîì Nc , öåëèêîì ëåæèò â Θ.Òîãäà íåêîòîðûå èç êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé Sc1 âëîæåíû â L2 .  ñèëó áîòòîâîñòèôóíêöèè F : Q3h → R âáëèçè êàæäîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè Sc1 ⊂ L2 íàéäåòñÿòàêàÿ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü K 2 =e S 1 × D1 , òðàíñâåðñàëüíî ïåðåñåêàþùàÿ L2 ïîîêðóæíîñòè Sc1 , ÷òî (K 2 \ Sc1 ) ∩ Θ = ∅.
Ïîâåðõíîñòü K 2 ëåãêî âûáðàòü òàê, ÷òîáû íàíåé áûëà îïðåäåëåíà ïàðà ïîëåé sgrad Fe, èìåþùèõ 2π - ïåðèîäè÷åñêèå òðàåêòîðèè.Îäíîé èç òàêèõ òðàåêòîðèé ÿâëÿåòñÿ Sc1 . Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ êðèòè÷åñêàÿîêðóæíîñòü S 1 ⊂ L2 ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèåé ëþáîãî èç ïàðû ïîëåé sgrad Fe. Ó÷èòûâàÿcïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî, à òàêæå ñòðîåíèå ëîêàëüíûõ ïîòîêîâ sgrad Fe âíå îñîáîãîñëîÿ Nc ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ýòè 2π - ïåðèîäè÷åñêèå ïîòîêè ëîêàëüíî îïðåäåëåíûè íà ïîâåðõíîñòè L2 . Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìîæíîîïðåäåëèòü îäíîçíà÷íîå ïîëå sgrad Fe íà Nc , òàê ÷òî (2.2) ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâîìäëÿ íåêîòîðîãî, ïîñòîÿííîãî íà Nc çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ±b . Ïðè ýòîì a = 0, ò.ê.íè â îäíîé èç íåêðèòè÷åñêèõ òî÷åê p ∈ L2 âåêòîð sgrad F (p) íå îïðåäåëåí â ñèëódF (Zp ) 6= 0 (èíà÷å áûëî áû sgrad H(p) ∈ Zp è dp H = 0).
Ïîýòîìó íè â îäíîé èçòî÷åê ρ ∈ Sc1 ⊂ L2 íå ñóùåñòâóåò limΘ63y→ρ sgrad F (y), ñëåäîâàòåëüíî êîýôôèöèåíòa = a(ρ) = a(Nc ) ðàâåí íóëþ â ñèëó óðàâíåíèÿ (2.2).Ñóùåñòâóåò åùå îäíî ïîëå sgrad Fe (ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì), è íàñ óñòðîèòëþáîå èç ýòèõ äâóõ. ßñíî, ÷òî îäíîçíà÷íîå ïîëå sgrad Fe îïðåäåëåíî íà íåêîòîðîé,59èíâàðèàíòíîé îêðåñòíîñòè V ñëîÿ Nc . Íà êàæäîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè Sc1 ⊂ Ncèìååò ìåñòîsgrad Fe = (ak + b) · sgrad H ,(2.3)ãäå dF = k · dH â êàæäîé òî÷êå Sc1 , ïðè÷åì â ñëó÷àå L2 èìååì a = 0.Èç ïï.
3 ñëåäóåò, ÷òî Sc1 âêëþ÷àåòñÿ â ãëàäêîå, 1-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâîêðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé, âîçíèêàþùåå ïðè âîçìóùåíèè h. Ñîîòâåòñòâóþùèéöèëèíäð îòîáðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì F íà ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ σi ⊂ Σ, òðàíñâåðñàëüíîïåðåñåêàþùóþ îòðåçîê F(Q3h ) â íåêîòîðîé òî÷êå (h, fc ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî k åñòüóãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê êðèâîé σi â äàííîé òî÷êå. Ïîñêîëüêó äðóãèõêðèâûõ σj ÷åðåç (h, fc ) íå ïðîõîäèò (ïï. 3), òî ÷èñëà k íà âñåõ îêðóæíîñòÿõ Sc1 ⊂ Ncðàâíû ìåæäó ñîáîé. Òîãäà èç (2.3) ñëåäóåò ñîãëàñîâàííîñòü íàïðàâëåíèé ïîòîêàsgrad H íà êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòÿõ â Nc , ò.ê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
