Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ïóñòü (q, q̇) ∈ R3 × R3 êîîðäèíàòû â T M .e : T M → T ∗ M ñîîòíîñèò âåêòîðó (q, q̇) êîâåêòîð (p, q),Ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà Φãäåpi =3Xgeij q̇ j ,1 ≤ i ≤ 3.j=1Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ãàìèëüòîíèàí:31XeH(q, q̇) =geij q̇ i q̇ j .2 i,j=1e , ðàññìàòðèâàåìûé íà èíâàðèàíòíîì ïîäìíîãîîáðàçèèÏîòîê sgrad(H){x ∈ T M : U (x) < h, H(x) = h},91e ãëàäêî ñîïðÿãàåòñÿ ñ ãåîäåçè÷åñêèì ïîòîêîì ìåòðèêèïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèÿ Φgeij [2].Ïðåîáðàçîâàíèå Ëåæàíäðà ïîðîæäàåò â T M ñèìïëåêòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ñe ∗ Ω ãäå Ω êàíîíè÷åñêàÿîñîáåííîñòÿìè. Åå îïðåäåëÿåò çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà ωe = Φñèìïëåêòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ìíîãîîáðàçèÿ T ∗ M .
Òàê êàêP f (eω ) = 8(h − U )3 det(g),òî ôîðìà ωe âûðîæäàåòñÿ â òî÷êàõ ïîäìíîæåñòâà Θ = {U = h}, ò.å. îäíîâðåìåííîñ ìåòðèêîé ge. Èòàê, â äàííîì ñëó÷àå Θ ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ. òåõ îñîáûõ òî÷êàõ, ãäå âåêòîðû ∇U = grad(U ) è p íå êîëëèíåàðíû â R3 , ÿäðîKer(eω ) íàòÿíóòî íà âåêòîðûb23∂∂∂− b13+ b12,∂q1∂q2∂q3ïðè ýòîì ÷èñëà bij ðàâíû:¶3 µX∂U∂Ugi1 −gi2 q̇ i ,b12 =∂q∂q21i=1b13 =∂,∂ q̇1b23 =∂,∂ q̇2∂,∂ q̇33 µX∂Ui=1¶∂Ugi2 −gi3 q̇ i ,∂q3∂q23 µX∂Ui=1¶∂Ugi1 −gi3 q̇ i .∂q3∂q1 îñòàëüíûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè Θ ÿäðî ôîðìû èìååò ðàçìåðíîñòü 6.
Íà îòêðûòîì,ïëîòíîì â Θ ïîäìíîæåñòâå Θ0 = {x :dim Zx = 4} èìååò ìåñòî Zx ⊂Tx Θ. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå Z : x 7−→ Zx íåèíòåãðèðóåìî, íî îíî íåîïðåäåëÿåò êîíòàêòíîé ñòðóêòóðû íà 5-ìåðíîì ìíîãîîáðàçèè Θ0 . Äåëî â òîì,÷òî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå âñå ëåæàíäðîâû (ò.å. Z - èíòåãðèðóåìûå, ìàêñèìàëüíîéðàçìåðíîñòè) ïîäìíîãîîáðàçèÿ â ñèëó dim Θ = 2 · 2 + 1 èìåëè áû ðàçìåðíîñòü 2.Îäíàêî âåêòîðû∂∂∂,,,∂ q̇1∂ q̇2∂ q̇3î÷åâèäíî, îïðåäåëÿþò ðàñïðåäåëåíèå ðàçìåðíîñòè 3, èíòåãðàëüíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿêîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëüíûìè äëÿ Z 2.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî Θ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîãîîáðàçèåì êîðàçìåðíîñòè 1,ò.å. ãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ, è ïóñòü ω|Θ = 0.
Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé 1-ôîðìûα, çàäàííîé â îêðåñòíîñòè Θ è ðàâíîé íóëþ â êàæäîé òî÷êå Θ, èìååò ìåñòî ω = dα(òåîðåìà 2, § 1.1). Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî α = χν äëÿ íåêîòîðîé 1-ôîðìûν è ôóíêöèè χ, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþχ(Θ) = 0,dρ χ 6= 0 ∀ρ ∈ Θ.92(3.1)Ëåììà 1 Ïóñòü ω = 0 â êàæäîé òî÷êå ãèïåðïîâåðõíîñòè Θ è χ åñòü ïðîèçâîëüíàÿôóíêöèÿ â îêðåñòíîñòè Θ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (3.1).Òîãäà íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü U ⊃ Θ è òàêàÿ 1-ôîðìà β íà U , ÷òîµ 2 ¶χω|U = dβ .2Äîêàçàòåëüñòâî.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ωρ = dρ χ ∧ νρ = 0 äëÿ êàæäîãîρ ∈ Θ, ïîýòîìó ν|Θ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â îêðåñòíîñòè Θ íàéäåòñÿ òàêàÿ 1-ôîðìà γè ôóíêöèÿ ϕ, ÷òî ν = ϕdχ + χγ .
Îòñþäà¡¢¡¢ω = d χ(ϕdχ + χγ) = d χ2 (γ − dϕ/2) .Ëåììà 2 Âîçüìåì òðàíñâåðñàëüíîå Θ âåêòîðíîå ïîëå X è ôóíêöèþ χ âîêðåñòíîñòè Θ, óäîâëåòâîðÿþùóþ (3.1). Òîãäà ôîðìóëà¡¢µ = lim iX χ−1 ω(3.2)χ→0êîððåêòíî îïðåäåëÿåò íà Θ 1-ôîðìó µ, êîòîðàÿ ïðè çàìåíå ôóíêöèè χ è ïîëÿ Xóìíîæàåòñÿ íà âñþäó îòëè÷íóþ îò íóëÿ ôóíêöèþ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî µ = dχ(X)β|S .
 ñèëó (3.1) èìååìdχ(X) 6= 0. ßñíî, ÷òî çàìåíà òðàíñâåðñàëüíîãî ïîëÿ X ïðèâîäèò ê óìíîæåíèþ µ íàíåíóëåâóþ ôóíêöèþ. Ïðè çàìåíå χ íà χe ôîðìà¡¢lim χ−1 ωχ→0óìíîæàåòñÿ íà íåíóëåâóþ ôóíêöèþ limχ→0 χ/eχ. Ïîñëåäíÿÿ êîððåêòíî îïðåäåëåíà,ïîñêîëüêó ∂χ/∂x = 0 â òî÷êàõ Θ â ëþáûõ êîîðäèíàòàõ âèäà (eχ, x) 2.Ëîêàëüíî ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òîµx =2nX∂ω1,jj=2∂x1dxj(3.3)â ëþáûõ êîîðäèíàòàõ x ∈ R2n , â êîòîðûõ x ∈ Θ ⇔ x1 = 0. Çäåñü dim M = 2n.Ïóñòü S2n ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê íàáîðà (1, .
. . , 2n). Äëÿ êàæäîéêîñîñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöû ω = (ωij ), ãäå 1 ≤ i, j ≤ 2n, ñóùåñòâóåò ðîâíî äâàìíîãî÷ëåíà ±P , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ:P ∈ Z[ω1,2 , . . . , ωi,j , . . . , ω2n−1,2n ],93P 2 = det(ω).Îäèí èç íèõ, ðàâíûéXsgn(σ)ωi1 ,j1 ωi2 ,j2 . . . ωin ,jn ,σ = (i1 , j1 , . . . , in , jn ) ∈ S2nis < js , is < is+1ìû íàçûâàåì ïôàôôèàíîì è îáîçíà÷àåì P f (ω). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ∀σ i1 = 1.Ïðåäëîæåíèå 1 Ïóñòü dim M = 2n > 2 è ω = 0 â êàæäîé òî÷êå ãëàäêîéãèïåðïîâåðõíîñòè Θ. Íà ìíîãîîáðàçèè Θ ðàññìîòðèì 1-ôîðìó µ, îïðåäåëåííóþôîðìóëîé (3.2) äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèè χ, óäîâëåòâîðÿþùåé (3.1) è âåêòîðíîãîïîëÿ X , òðàíñâåðñàëüíîãî Θ.Òîãäà íà Θ îïðåäåëåíî ïîëå 2n − 2 - ìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Πρ = µ−1ρ (0),êîòîðîå íå çàâèñèò îò âûáîðà ôóíêöèè χ è ïîëÿ X .
Ïîëå Πρ ÿâëÿåòñÿ òî÷íîéêîíòàêòíîé ñòðóêòóðîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàd2n−1 P f (ω)ρ 6= 0∀ρ ∈ Θ.(3.4)Äîêàçàòåëüñòâî.  îêðåñòíîñòè O(ρ) ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ρ ∈ Θ ââåäåìëîêàëüíûå êîîðäèíàòû (x1 , . . . , x2n ), â êîòîðûõ ïîâåðõíîñòü S=O(ρ) ∩ Θîïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0.Ïóñòü 1 < i, j ≤ 2n.
Èç çàìêíóòîñòè ω ñëåäóåò, ÷òî ∂ωij /∂x1 = 0 ïðè x1 = 0.Ïîýòîìó êàæäûé ω1j äåëèòñÿ íà x1 , à êàæäûé ωij äåëèòñÿ íà x21 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèâû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ω èç êàæäîé ñòðîêè i è êàæäîãî ñòîëáöà j ìîæíîâûíåñòè ìíîæèòåëü x1 . Ïîýòîìó det(ω) äåëèòñÿ íà x4n−2, â ñèëó ÷åãî P f (ω) = Ax2n−1,11ãäå A ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò x. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè x1 = 0 ðàâíû íóëþâñå ïðîèçâîäíûå P f (ω)(x) ïîðÿäêîâ îò 0 äî 2n − 2 âêëþ÷èòåëüíî. Èç ïðîèçâîäíûõïîðÿäêà 2n − 1 òîëüêî ∂ 2n−1 P f (ω)/∂x2n−1ìîæåò áûòü îòëè÷íîé îò íóëÿ. Îíà ðàâíà1ïôàôôèàíó ñëåäóþùåé ìàòðèöû:∂ω1,20∂x1 ∂ω − 1,20∂x1 ∂ω1,3∂2ω −− ∂x2,32∂x11 ......−∂ω1,2n∂x1−∂2ω2,2n∂x21∂ω1,3∂x1∂ 2 ω2,3∂x21...0............∂2ω...0−3,2n∂x21...∂ω1,2n∂x1∂ 2 ω2,2n∂x21∂ 2 ω3,2n∂x21(x1 = 0).(3.5) ñèëó ëåììû 1 ω = d(βx21 /2) íà O(ρ).
Ïóñòü λi,j ýëåìåíò ìàòðèöû (3.5). Òîãäàλ1,j = βj ,λi,j = ∂βj /∂xi − ∂βi /∂xj .94Ïóñòü S2n−1 ìíîæåñòâî ïåðåñòàíîâîê íàáîðà (2, . . . , 2n) è dβ|S = ζ . Â êîîðäèíàòàõ(x2 , . . . , x2n ) ïîâåðõíîñòè S èìååìXζ=λi,j dxi ∧ dxj⇒¡ n−1 ¢β|S ∧ ∧i=1ζ =i<jX= (n − 1)!βj λi2 ,j2 . . . λin ,jn dxj ∧ dxi2 ∧ dxj2 ∧ . . .
∧ dxin ∧ dxjn ,σ∈S2n−1ãäå σ = (j, i2 , j2 , . . . , in , jn ) è is < js , is < is+1 . Ñóììó ìîæíî çàïèñàòü êàê´³ Xsgn(σ)βj λi2 ,j2 . . . λin ,jn dx2 ∧ . . . ∧ dx2n .σ∈S2n−1Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ñîâïàäàåò ñ ïôàôôèàíîì ìàòðèöû (3.5). Ïîñëåäíèé, ïîóñëîâèþ, îòëè÷åí îò íóëÿ â êàæäîé òî÷êå S = Θ ∩ O(ρ). Ñëåäîâàòåëüíî¡¢β|S ∧ ∧n−1dβ|6= 0Si=1∀y ∈ S.(3.6) ÷àñòíîñòè β|S âñþäó îòëè÷íà îò íóëÿ. Îíà ñîâïàäàåò ñ 1-ôîðìîé, êîòîðàÿ ëîêàëüíîîïðåäåëåíà ôîðìóëîé (3.2) äëÿ χ = x1 è X = ∂/∂x1 . Ïóñòü µ åñòü ëþáàÿ 1-ôîðìàíà Θ, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (3.2).
Ïî ëåììå 2 ôîðìû µ|S è β|S ïðîïîðöèîíàëüíû.Îòñþäà è èç (3.6), â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè òî÷êè ρ ∈ Θ, ïîëå Πρ = µ−1ρ (0) ÿâëÿåòñÿêîíòàêòíîé ñòðóêòóðîé íà Θ. Ïîñêîëüêó ôîðìà µ çàäàíà ãëîáàëüíî, òî ýòà ñòðóêòóðàòî÷íà 2.Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (3.4) èíâàðèàíòíî, è ÷òî êîíòàêòíàÿ ñòðóêòóðà Π íà Θîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé ω .3.1.2.
Êîíòàêòíûå îñîáûå òî÷êè.Îïðåäåëåíèå 1 Ïóñòü (M, ω) ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòüþ,dim Zρ=2k â íåêîòîðîé òî÷êå ρ∈Θ è ñóùåñòâóåò òàêàÿ ãëàäêàÿãèïåðïîâåðõíîñòü S â M , ÷òî ρ ∈ S ⊂ Θ è dim Zy = 2k â êàæäîé òî÷êå y ∈ S .Òîãäà ïðè óñëîâèÿõa)Zρ 6⊂ Tρ Sb) d2k−1 P f (ω)ρ 6= 0îñîáàÿ òî÷êà ρ íàçûâàåòñÿ êîíòàêòíîé.Óñëîâèå d2k−1 P f (ω)ρ 6= 0 îçíà÷àåò ñëåäóþùåå.  íåêîòîðûõ (è òîãäà â êàæäûõ)êîîðäèíàòàõ x ∈ R2n íà M , çàäàííûõ â îêðåñòíîñòè ρ, äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà öåëûõ÷èñåë αs ≥ 0∂ 2k−1 P f (ωij (x))(ρ) 6= 0,∂xα1 1 ∂xα2 2 . . .
∂xα2n2n952nXs=1αs = 2k − 1.Çàìåòèì, ÷òî P f (ω) ýòî íåèíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò x.Ìíîæåñòâî êîíòàêòíûõ òî÷åê îòêðûòî â Θ. ßñíî, ÷òî â àíàëèòè÷åñêîì ñëó÷àå îíîïëîòíî â Θ èëè ïóñòî.  ñëó÷àå dim Zρ = dim M óñëîâèå a) âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè,à óñëîâèå b) ýêâèâàëåíòíî íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû (3.5). Îíî åñòåñòâåííî â ñèëóñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà 3 Ïóñòü ω çàìêíóòàÿ 2-ôîðìà, dim Zρ = 2k â íåêîòîðîé òî÷êå ρ ∈ Θ èñóùåñòâóåò òàêàÿ ãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü S â M , ÷òîρ ∈ S ⊂ Θ,dim Zy = 2k∀y ∈ S,Zρ 6⊂ Tρ S.Òîãäà äëÿ ëþáûõ êîîðäèíàò x ∈ R2n , çàäàííûõ â îêðåñòíîñòè òî÷êè ρ, â êàæäîéäîñòàòî÷íî áëèçêîé ê ρ òî÷êå y ∈ Θ ðàâíû íóëþ âñå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè¡¢P f ωij (x) ïîðÿäêîâ îò 0 äî 2k − 2 âêëþ÷èòåëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî.
 íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè O(ρ) ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû x, âêîòîðûõ ìíîãîîáðàçèå S ⊂ Θ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0 è ∂/∂x1 ∈ Zx ïðèx1 = 0. Ïóñòü 1 < i, j ≤ 2k . Èç çàìêíóòîñòè ω ñëåäóåò, ÷òî ∂ωij /∂x1 = 0 ïðè x1 = 0.Ïîýòîìó êàæäûé ω1j äåëèòñÿ íà x1 , à êàæäûé ωij äåëèòñÿ íà x21 . Ñëåäîâàòåëüíî,ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ω èç êàæäîé ñòðîêè i è êàæäîãî ñòîëáöà jìîæíî âûíåñòè ìíîæèòåëü x1 . Ïîýòîìó det(ω) äåëèòñÿ íà x4k−2, â ñèëó ÷åãî P f (ω)1äåëèòñÿ íà x2k−1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè x1 = 0 ðàâíû íóëþ âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå1P f (ω)(x), ïîðÿäêîâ îò 0 äî 2k − 2 âêëþ÷èòåëüíî. Òî æå èìååò ìåñòî â ïðîèçâîëüíûõêîîðäèíàòàõ, ïîñêîëüêó ïðè çàìåíå êîîðäèíàò ïôàôôèàí äåëèòñÿ íà îïðåäåëèòåëüìàòðèöû ßêîáè 2.Ðàçëàãàÿ P f (ω)(x) â êîíå÷íûé ðÿä Òåéëîðà è èñïîëüçóÿ ëåììó 3 ëåãêî óáåäèòüñÿâ ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.Çàìå÷àíèå 1 Äëÿ íåêîòîðîé, äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè O(ρ) êîíòàêòíîéòî÷êè ρ ôîðìà ω íåâûðîæäåíà íà O(ρ) \ S .Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîS = O(ρ) ∩ Θ .Ïóñòü dim M = 2n è â îñîáîé òî÷êå ρ, â êîòîðîé dim Zρ = 2k , âûïîëíåíûâñå óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 1, êðîìå d2k−1 P f (ω)ρ 6= 0.
 îòíîøåíèè ýòîãî óñëîâèÿíè÷åãî íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ò.å. îíî âûïîëíåíî èëè íåò. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé96îêðåñòíîñòè O(ρ) çàäàíû òàêèå êîîðäèíàòû x ∈ R2n , ÷òî ïîäìíîãîîáðàçèå O(ρ) ∩ Θîïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì x1 = 0, è âåêòîðû∂,∂x1∂,∂x2...,∂∂x2kñîñòàâëÿþò áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà Zy â êàæäîé òî÷êå y ∈ O(ρ) ∩ Θ.Òîãäà óñëîâèå d2k−1 P f (ω)ρ 6= 0 ýêâèâàëåíòíî íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû:0∂ω1,2∂x11,2− ∂ω∂x1∂ω− ∂x1,310−......0............∂ω1,2k∂x1∂ω1,2k+1− ∂x1∂ω1,2k+2− ∂x1−∂ 2 ω2,2k∂x21∂ 2 ω2,2k+1∂x21∂ 2 ω2,2k+2∂x21−−−...−∂ω1,2n∂x13,2k...∂ 2 ω2,2n−1∂x21∂ 2 ω2,2n∂x21−∂2ω∂x21∂ 2 ω3,2k+1− ∂x21∂ 2 ω3,2k+2− ∂x21...−− ∂ω1,2n−1∂x1−∂ 2 ω2,3∂x21∂ω1,3∂x1∂ 2 ω2,3∂x21−∂ 2 ω3,2n−1∂x21∂ 2 ω3,2n∂x21−∂ω1,2k∂x1∂ 2 ω2,2k∂x212∂ ω3,2k∂x21............
−∂ 2 ω2k,2k+1∂x21∂ 2 ω2k,2k+2∂x21..................∂ 2 ω2k,2n∂x21......2k,2k+1∂x210. . . ω2k+1,2n...∂ 2 ω2k,2n−1∂x21∂ 2 ω2k,2n∂x21−∂ω1,2n∂x1∂ 2 ω2,2n∂x212∂ ω3,2n∂x21−ω2k+1,2k+2 . . . ω2k+2,2n...... −...∂2ω0... −∂ω1,2k+1∂x1∂ 2 ω2,2k+1∂x212∂ ω3,2k+1∂x21......−ω2k+1,2n−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
