Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Î÷åâèäíî,÷òî òàê ìû ïîñòðîèì ñêëåèâàþùóþ èçîòîïèþ â Q3h , ïðîåêòèðóþùóþñÿ íà îòðåçîê[a− ; a+ ], êîòîðàÿ ïåðåâîäèò òîð T 2 (h, f− ) â òîð T 2 (h, f+ ), Ïðè ýòîé èçîòîïèè áàçèñ(λ1 (f− ), µ1 (f− )) ñîâìåùàåòñÿ ñ áàçèñîì (λ1 (f+ ), µ1 (f+ )). Òîãäà ïàðà (−λ1 (f− ), µ1 (f− ))íà òîðå T 2 (h, f− ) è ïàðà (λ1 (f+ ), µ1 (f+ )) íà òîðå T 2 (h, f+ ) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìèáàçèñàìè â Q3h .  ýòèõ áàçèñàõ ìàòðèöà ñêëåéêè èìååò âèä:−1 00182.Îòñþäà íàõîäèì íàõîäèì ìåòêè : r = −1/0 = ∞, ε = sgn(−1) = −1.  äàííîìñëó÷àå n - ìåòîê íåò, ïîñêîëüêó îòñóòñòâóþò ñåìüè.2.3.6. Ìåòêè ïðè h2 < h < h0 . äàííîì ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèå Q3h ñêëååíî èç äâóõ àòîìîâ A ïîëíîòîðèé,ïðîåêòèðóþùèõñÿ íà îòðåçêè [c+ ; d+ ] è [d− ; c− ], è äâóõ àòîìîâ B ñåäåë, ïðîåêöèÿìèêîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îòðåçêè [e+ ; j+ ] è [j− ; e− ] (ðèñ.
8). Îáîçíà÷èì T 2 (h, f ) òîð M2 (h, f )äëÿ òî÷êè (h, f ) èç ðåãóëÿðíîé îáëàñòè 1, è T±2 (h, f ) ñâÿçíûå êîìïîíåíòû M2 (h, f )äëÿ òî÷êè (h, f ) èç îáëàñòè 2. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü σ - ñèììåòðè÷íîñòü òîðîâ T±2 (h, f ).Îêðóæíîñòü γ2 ïîðîæäåíà çàìêíóòîé èíòåãðàëüíîé òðàåêòîðèåé ïîëÿ sgrad(H).Åãî êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè, îòâå÷àþùèå âñåâîçìîæíûì çíà÷åíèÿì f2± (h), âìåñòåñ γ2 îðãàíèçîâàíû â íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî, ïðîåêòèðóþùååñÿ íà âåòâü f2 .Îêðóæíîñòü γ2 ïðîåêòèðóåòñÿ â òî÷êó 2. Êðèâûå j− j+ è e− e+ ïîëó÷åíû èç f2ïîñðåäñòâîì ñäâèãà íà δ âëåâî è âïðàâî.Íà êàæäîì òîðå T 2 (h, f ), ïðîåêòèðóþùåìñÿ â òî÷êó êðèâîé j− j+ , ñóùåñòâóåòäîïóñòèìûé â M3f è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèé îò f áàçèñ (λ2 (f ), µ2 (f )), òàê ÷òî(λ2 (0), µ2 (0)) = (λ2 , µ2 ).Íàì ïîòðåáóþòñÿ åùå äâà íåïðåðûâíûõ ñåìåéñòâà äîïóñòèìûõ â M3f áàçèñîâ±(λ±2 (f ), µ2 (f )), ðàñïîëîæåííûõ ñ äðóãîé ñòîðîíû îò âåòâè f2 .
Îíè çàäàíû íà òîðàõT±2 (h, f ), ïðîåêòèðóþùèõñÿ â òî÷êè êðèâîé e− e+ , ïðè ýòîì±±±(λ±2 (0), µ2 (0)) = (λ2 , µ2 ).Íàéäåì ìàòðèöû ñêëåéêè àòîìîâ B ìåæäó ñîáîé. Ñóùåñòâóþò äâå ñêëåèâàþùèåèçîòîïèè â Q3h , ïðîåêòèðóþùèåñÿ íà îòðåçîê [e− ; e+ ]. Îíè ïåðåâîäÿò ïàðó áàçèñîâ±±±(λ±2 (f− ), µ2 (f− )) íàä òî÷êîé e− â ïàðó áàçèñîâ (λ2 (f+ ), µ2 (f+ )) íàä òî÷êîé e+ .
Òîãäà±±±22ïàðû (λ±2 (f− ), −µ2 (f− )) íà òîðàõ T± (h, f− ) è ïàðû (λ2 (f+ ), µ2 (f+ )) íà òîðàõ T± (h, f+ )ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè áàçèñàìè â Q3h .  ýòèõ áàçèñàõ îáå ìàòðèöû ñêëåéêè èìåþòâèä:100 −1.(2.11)Îòñþäà íàõîäèì ìåòêè: r = 1/0 = ∞, ε = sgn(1) = 1.Íàéäåì ìàòðèöû ñêëåéêè ñåäåë ñ ïîëíîòîðèÿìè, îòâå÷àþùèå ïàðàì AB . Ïóñòüj+ = (h, f1 ) è c+ = (h, f2 ) (ðèñ. 8).
Ïðè h0 ≤ h è f1 ≤ f ≤ f2 êàæäûé òîðT 2 (h0 , f ), ïðîåêòèðóþùèéñÿ â òî÷êó êðèâîé a− a+ , ñäâèíåì âäîëü òðàåêòîðèé ∇Hf83íà óðîâåíü H = h. Î÷åâèäíî, ÷òî òàê ìû ïîëó÷èì ñêëåèâàþùóþ èçîòîïèþ âQ3h , ïðîåêòèðóþùóþñÿ íà îòðåçîê [j+ ; c+ ], êîòîðàÿ ïåðåâîäèò òîð T 2 (h, f1 ) â òîðT 2 (h, f2 ). Èç ïðåäëîæåíèÿ 6 ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñäâèãå âäîëü òðàåêòîðèé ïîëÿ ∇H0áàçèñ (λ1 , µ1 ) ñîâìåùàåòñÿ ñ áàçèñîì (µ2 , λ2 ).
Èç ñâÿçíîñòè âåòâè f1 âûòåêàåò, ÷òî ïðèñäâèãå âäîëü òðàåêòîðèé ∇Hf êàæäûé áàçèñ (λ1 (f ), µ1 (f )) ñîâìåùàåòñÿ ñ áàçèñîì(µ2 (f ), λ2 (f )). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ñêëåèâàþùåé èçîòîïèè (λ2 (f1 ), µ2 (f1 )) ïåðåõîäèò â(µ1 (f2 ), λ1 (f2 )). Òîãäà áàçèñû (λ2 (f1 ), µ2 (f1 )) è (λ1 (f2 ), µ1 (f2 )) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìèâ Q3h .
 ýòèõ áàçèñàõ ìàòðèöà ñêëåéêè èìååò âèä (2.8).Äëÿ âòîðîé ïàðû AB ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû, è ñêëåèâàþùàÿ èçîòîïèÿïðîåêòèðóåòñÿ íà îòðåçîê [c− ; j− ]. Ïðè ýòîé èçîòîïèè áàçèñ (µ1 (f2 ), λ1 (f2 )) íàä òî÷êîéc− ñîâìåùàåòñÿ ñ áàçèñîì (λ2 (f1 ), µ2 (f1 )) íàä òî÷êîé j− . Áàçèñû (−λ1 (f2 ), µ1 (f2 )) è(λ2 (f1 ), −µ2 (f1 )) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè â Q3h , ñëåäîâàòåëüíî ìàòðèöà ñêëåéêè òàêæåèìååò âèä (2.8). Îòñþäà ìåòêè: r = 0/1 = 0 è ε = sgn(1) = 1. Åäèíñòâåííàÿ ñåìüÿñîñòîèò èç äâóõ B - àòîìîâ, è íà ðèñ. 4 îíà âûäåëåíà ïóíêòèðîì.
Èç âèäà ìàòðèöñêëåéêè ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ n - ìåòêà ðàâíà íóëþ.2.3.7. Ìåòêè ïðè h0 < h < h3 .Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç óðîâåíü h=h0 ìíîãîîáðàçèå Q3h íå èñïûòûâàåòòîïîëîãè÷åñêîé ïåðåñòðîéêè, òàê êàê h0 íå ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåìH . Îäíàêî, åãî ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ïåðåñòðàèâàåòñÿ: "èç íè÷åãî" ïîÿâëÿþòñÿ÷åòûðå íîâûõ àòîìà òèïà A (ðèñ. 4). Îêðóæíîñòè γ3± ïîðîæäåíû çàìêíóòûìèèíòåãðàëüíûìè òðàåêòîðèÿìè ïîëÿ sgrad(H). Òî÷êè g± íà ðèñ. 8 ÿâëÿþòñÿïðîåêöèÿìè âûðîæäåííûõ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé íà óðîâíå Fh0=f0± .Êðèòè÷åñêèå òðàåêòîðèè sgrad(H), îòâå÷àþùèå âñåâîçìîæíûì çíà÷åíèÿì f4± (h),âìåñòå ñ γ3± îðãàíèçîâàíû â äâà íåïðåðûâíûõ ñåìåéñòâà, ïðîåêòèðóþùèõñÿ íà âåòâüf4 , ò.å. íà êðèâóþ g− g+ .
Âûáåðåì ñåãìåíò êðèâîé g− g+ , çàêëþ÷åííûé ìåæäó äâóìÿïðîèçâîëüíûìè òî÷êàìè, ðàñïîëîæåííûìè áåñêîíå÷íî áëèçêî ê g+ è g− . Êðèâûå l− l+è i− i+ ïîëó÷åíû èç ýòîãî ñåãìåíòà ñäâèãàìè âëåâî è âïðàâî íà δ .Íà êàæäîì òîðå T±2 (h, f ), ïðîåêòèðóþùåìñÿ â òî÷êó êðèâîé l− l+ , ñóùåñòâóåò±äîïóñòèìûé â M3f è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèé îò f áàçèñ (λ±3 (f ), µ3 (f )), òàê ÷òî±±±(λ±3 (0), µ3 (0)) = (λ3 , µ3 ).Ïóñòü f 6= 0 è òî÷êà (h, f ) èç îáëàñòè 2, äâèæóùàÿñÿ â îáëàñòü 4, ïåðåñåêàåò âåòâü f4 .Òîãäà êàæäûé èç òîðîâ T±2 (h, f ) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà, îäèí èç êîòîðûõ íåïðåðûâíûìñåìåéñòâîì òîðîâ ñâÿçàí ñ ïîëíîòîðèåì íîâûì àòîìîì A.
Îáîçíà÷èì ýòîò òîð842T±,m(h, f ), ãäå "m" óêàçûâàåò íà ñâÿçü ñ ìèíèìàêñíîé îêðóæíîñòüþ. Îáúåäèíÿÿñâÿçûâàþùåå åãî ñåìåéñòâî òîðîâ ñ ïîëíîòîðèåì, ïîëó÷èì "òîëñòîå" ïîëíîòîðèå,êîòîðîå ïðè f > 0 ïðîåêòèðóåòñÿ íà îòðåçîê [i+ ; k+ ], à ïðè f < 0 íà îòðåçîê [i− ; k− ].2Òîðû T±,m(h, f ) ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöàìè ýòèõ äâóõ "òîëñòûõ" àòîìîâ A. Îáîçíà÷èì2T±,s(h, f ) âòîðîé èç äâóõ òîðîâ, íà êîòîðûå ðàñïàëñÿ òîð T±2 (h, f ) â ðåçóëüòàòåáèôóðêàöèè B íàä âåòâüþ f4 . Çíà÷îê "s" óêàçûâàåò íà òî, ÷òî äàííûé òîð ñâÿçàíòîëüêî ñ ñåäëàìè. Ïî íåïðåðûâíîñòè ýòè îáîçíà÷åíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà òîðûËèóâèëëÿ, êîòîðûå îòâå÷àþò íóëåâûì çíà÷åíèÿì f . Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé òî÷êå(h, f ) èç ðåãóëÿðíîé îáëàñòè 4 ñîîòâåòñòâóþò ñâÿçíûå êîìïîíåíòû M2 (h, f ), êîòîðûå222îáîçíà÷àþòñÿ T±,m(h, f ) è T±,s(h, f ).
Çàìåòèì, ÷òî òîðû T±,m(h, f ) ÿâëÿþòñÿ σ 2ñèììåòðè÷íûìè, òàêæå êàê è òîðû T±,s(h, −f ).2Íà êàæäîì òîðå T±,m(h, f ), ïðîåêòèðóþùåìñÿ â òî÷êó êðèâîé i− i+ , ñóùåñòâóåòäîïóñòèìûé â M3f è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèé îò f áàçèñ (λ±,m(f ), µ±,m(f )), òàê ÷òî33)., µ±,m(0)) = (λ±,m(0), µ±,m(λ±,m3333Àíàëîãè÷íî,íàêàæäîìòîðå2T±,s(h, f )èçíåïðåðûâíîãîñåìåéñòâà,ïðîåêòèðóþùåãîñÿ íà êðèâóþ i− i+ , ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ñåìåéñòâî äîïóñòèìûõ±,sâ M3f áàçèñîâ (λ±,s3 (f ), µ3 (f )), òàê ÷òî±,s±,s±,s(λ±,s3 (0), µ3 (0)) = (λ3 , µ3 ).Ïðè δ → +0 îêðóæíîñòè µ+,m(f ) è µ+,s33 (f ), ñëåäóÿ áèôóðêàöèè B , ñêëåèâàþòñÿ ââîñüìåðêó. Îäíîâðåìåííî îêðóæíîñòü µ+3 (f ) ñêëåèâàåòñÿ â òó æå ñàìóþ âîñüìåðêó(ðèñ. 8). Àíàëîãè÷íî, ïðè δ → +0 ïàðà îêðóæíîñòåé µ−,m(f ) è µ−,s33 (f ) îáðàçóåòâîñüìåðêó, â êîòîðóþ îäíîâðåìåííî ñêëåèâàåòñÿ µ−3 (f ).
 èòîãå ïîëó÷àþòñÿ äâå22ðàçëè÷íûõ âîñüìåðêè. Íà òîðàõ T±,m(h, f ) è T±,s(h, f ) âîçíèêàþò äîïóñòèìûå â±,s(f )) è (λ±,sM3f è íåïðåðûâíî çàâèñÿùèå îò f áàçèñû (λ±,m(f ), µ±,m3 (f ), µ3 (f ))33ñîîòâåòñòâåííî.±Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 6, ïðè ñäâèãå âäîëü òðàåêòîðèé ïîëÿ ∇H0 áàçèñ (λ±2 , µ2 )±ñîâìåùàåòñÿ ñ áàçèñîì {±}(µ±3 , λ3 ). Ïîñêîëüêó òî÷íîå çíà÷åíèå {±} íåèçâåñòíî,òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èìååò ìåñòî çíàê "+". Íà îêîí÷àòåëüíûé îòâåò ýòîïðåäïîëîæåíèå íå ïîâëèÿåò, ïîýòîìó ìû íå ñòàíåì óòî÷íÿòü.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèf0− < f < f0+±ñäâèã âäîëü òðàåêòîðèé ∇Hf ñîâìåùàåò áàçèñ (λ±2 (f ), µ2 (f )) ñ±áàçèñîì (µ±3 (f ), λ3 (f )). Îäíàêî, â äàííîì ñëó÷àå ñäâèã íà óðîâåíü H = h íå ÿâëÿåòñÿèçîòîïèåé, ïîñêîëüêó íàä êðèâîé g− g+ òîð T±2 (h0 , f ) ïðåòåðïåâàåò áèôóðêàöèþ B èðàñïàäàåòñÿ íà äâà. Îäèí èç ýòèõ òîðîâ ñòÿãèâàåòñÿ íà ìèíèìàêñíóþ îêðóæíîñòü,85îòâå÷àþùóþ âåòâè f3 , à äðóãîé óõîäèò â áåñêîíå÷íîñòü, äðåéôóÿ â ïîòîêå ∇Hf . Ýòîòïîñëåäíèé òîð, ïðèøåäøèé íà óðîâåíü H = h, ìû áóäåò íàçûâàòü òðàíñôîðìàöèåéòîðà T±2 (h0 , f ). Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå |f | > f0+ ïðè òðàíñôîðìàöèè íå ïðîèñõîäèòíèêàêîé òîïîëîãè÷åñêîé ïåðåñòðîéêè (ðèñ.
8). Ïðè f = f0± ó êàæäîãî òîðà T±2 (h0 , f )ïîÿâëÿåòñÿ íåãëàäêàÿ îñîáåííîñòü â âèäå ðåáðà. Îíî îáðàçîâàíî âûðîæäåííîéêðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòüþ, êîòîðàÿ îòâå÷àåò çíà÷åíèþ f0± èíòåãðàëà Fh0 . Çàìåòèì,÷òî äâå òî÷êè (h0 , f0± ) ∈ R2 (h, f ) ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè îñîáûìè òî÷êàìáèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ. Îáå îòíîñÿòñÿ ê âûðîæäåííîìó òèïó èñ÷åçàþùååñåäëî [7,43].Ñêëåèì ïàðó ñåäåë, ÿâëÿþùèõñÿ ñâÿçíûìè êîìïîíåíòàìè ïîäìíîãîîáðàçèÿFh−1 [f4+ (h)−δ; f4+ (h)+δ], ñ ñåäëîì Fh−1 [f2+ (h)−δ; f2+ (h)+δ]. Ïîñëåäíåå ïðîåêòèðóåòñÿ íàîòðåçîê [n+ ; m+ ].
Ïðè ñêëåéêå ïàðà òîðîâ íàä òî÷êîé i+ ãðàíè÷íûõ äëÿ "íèæíèõ"ñåäåë îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ïàðîé òîðîâ íàä òî÷êîé n+ ãðàíè÷íûõ äëÿ "âåðõíåãî"ñåäëà. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òî÷êè i+ è n+ èìåþò êîîðäèíàòû (h, f1 ) è (h, f2 ), ãäåf1 = f4+ (h) + δ,f2 = f2+ (h) − δ.Ïðè h0 ≤ h è f1 ≤ f ≤ f2 êàæäûé òîð T±2 (h0 , f ), ïðîåêòèðóþùèéñÿ â òî÷êó êðèâîée− e+ , ïîäâåðãíåì òðàíñôîðìàöèè íà óðîâåíü H = h. Òîãäà ìû ñíîâà ïîëó÷èì â Q3hñêëåèâàþùóþ èçîòîïèþ, ïðîåêòèðóùóþñÿ íà îòðåçîê [i+ ; n+ ], êîòîðàÿ ïåðåâîäèò òîð2T±,s(h, f1 ) â òîð T±2 (h, f2 ).
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîé èçîòîïèè öèêë µ±3 (f ) ñîâìåùàåòñÿ±,s±ñ öèêëîì −µ±,s3 (f ), à öèêë λ3 (f ) ñîâìåùàåòñÿ ñ λ3 (f ). Ñëåäîâàòåëüíî, ñêëåèâàþùàÿ±,s±±èçîòîïèÿ ïåðåâîäèò áàçèñ (λ±,s3 (f1 ), −µ3 (f1 )) â áàçèñ (µ2 (f2 ), λ2 (f2 )). Òîãäà áàçèñû±,s±±3(λ±,s3 (f1 ), −µ3 (f1 )) è (λ2 (f2 ), µ2 (f2 )) ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè â Qh .  ýòèõ áàçèñàõìàòðèöû ñêëåéêè èìåþò âèä (2.8).Àíàëîãè÷íûå èçîòîïèè íàä îòðåçêîì [i− ; n− ] ñêëåèâàþò ïàðó ñåäåë Fh−1 [f4− (h) −δ; f4− (h)+δ] ñ ñåäëîì Fh−1 [f2− (h)−δ; f2− (h)+δ]. Ïðîåêöèåé ïîñëåäíåãî ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê±,s±±[m− ; n− ]. Ïðè ýòîì áàçèñ (λ±,s3 (f1 ), −µ3 (f1 )) ïåðåõîäèò â áàçèñ (µ2 (f2 ), λ2 (f2 )). Òîãäà±,s±±3áàçèñû (λ±,s3 (f1 ), µ3 (f1 )) è (λ2 (f2 ), −µ2 (f2 )), ÿâëÿþòñÿ äîïóñòèìûìè â Qh .
 ýòèõáàçèñàõ ìàòðèöû ñêëåéêè îòëè÷àþòñÿ îò (2.8) òîëüêî çíàêàìè.Ïóñòü òî÷êà (h, f ) ïðèíàäëåæèò êðèâîéi− i+ . Äîêàæåì, ÷òî öèêë µ±,m(f )3ïðåäñòàâëÿåò ìåðèäèàí ïîëíîòîðèÿ A3± , ïðîåêòèðóþùèéñÿ íà îòðåçîê [i+ ; k+ ] èÿâëÿþùèéñÿ ìàëîé íîðìàëüíîé îêðåñòíîñòüþ êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè f3± (h).Îêðóæíîñòü µ+,m(f ) ïðîåêòèðóåòñÿ â òî÷êó i+ . Åñëè îòðåçîê [i+ ; k+ ] ñòÿãèâàåòñÿ31,â òî÷êó k+ ∈ f3 , òî ïîëíîòîðèå A3+ ñòÿãèâàåòñÿ íà ìàêñèìàëüíóþ îêðóæíîñòü S+îòâå÷àþùóþ êðèòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ f3+ (h) èíòåãðàëà Fh . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè86ýòîì îêðóæíîñòü µ+,m(f ) ⊂ ∂A3+ íå ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó îêðóæíîñòè S+1 . Òîãäà31îíà ñòÿãèâàåòñÿ íà îêðóæíîñòü S+, íàêðûâàÿ åå n > 0 ðàç. Î÷åâèäíî, ÷òî òî æåñàìîå ïðîèñõîäèò ñ îêðóæíîñòüþ µ+,m(f ) â ïîòîêå ∇Hf .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
