Симплектические многообразия с контактными особенностями (1097875), страница 30
Текст из файла (страница 30)
 îòíîøåíèè òàêîãî ñëîåíèÿ áóäåìãîâîðèòü, ÷òî òîðû Ëèóâèëëÿ âûñåêàþò åãî íà äèñêå D2 .Ñëîåíèå D2 îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé Fk+1 : D2 → R, èìåþùåéíåíóëåâîé äèôôåðåíöèàë â òî÷êå ρ. Ïðîäîëæèì ôóíêöèþ Fk+1 íà 2k + 2 ìåðíîåïîäìíîãîîáðàçèåZρ2k+2 =[Zx2k ,x∈D2ïîëàãàÿ åå ïîñòîÿííîé íà ñëîÿõ Zx2k . Òîðû Ëèóâèëëÿ âûñåêàþò k + 1 ìåðíîå ñëîåíèåíà Zρ2k+2 , ÿâëÿþùååñÿ ëàãðàíæåâûì íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè Zρ2k+2 \Θ, ãäådim Zρ2k+2 ∩ Θ = 2k + 1 .Ïðè ýòîì êàæäûé k + 1 ìåðíûé ñëîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàò ëîêàëüíîãîäåéñòâèÿ ãðóïïû Rk íà íåêîòîðûé îòðåçîê D1 (y) ⊂ D2 , ò.å., ñëîé ÿâëÿåòñÿîáúåäèíåíèåì ñåìåéñòâà îðáèò ζak , ãäå a ∈ D1 (y). Ôóíêöèÿ Fk+1 : Zρ2k+2 → R ÿâëÿåòñÿïîñòîÿííîé íà ñëîÿõ, ïîýòîìó íà ìíîãîîáðàçèè Zρ2k+2 c ôîðìîé ω 0 = ω|Zρ2k+2 êîððåêòíîîïðåäåëåíî ãàìèëüòîíîâî ïîëå sgradω0 (Fk+1 ).
Ïî ïîñòðîåíèþ Fk+1 = const íà êàæäîìïîäìíîãîîáðàçèè âèäà Zρ2k+2 ∩ T n , ãäå T n åñòü òîð Ëèóâèëëÿ.  ýòîì ñìûñëå Fk+1ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì.Çàôèêñèðóåì â äèñêå D2 îòðåçîê D01 c öåíòðîì ρ, íîðìàëüíî ïåðåñåêàþùèéñÿñ D1 (ρ) â òî÷êå ρ (ïîëó÷àåòñÿ êðåñò). Îïðåäåëèì íà Zρ2k+2 ôóíêöèþ q1 , êîòîðàÿðàâíà ñäâèãó ïàðàìåòðà âäîëü òðàåêòîðèè sgradω0 (Fk+1 ), èäóùåé â äàííóþ òî÷êó îòïîâåðõíîñòè[Zx2k .x∈D01Ïîñêîëüêó ïîòîê sgradω0 (Fk+1 ) ñîõðàíÿåò ôîðìó ω 0 è ïîëå åå ÿäåð Zy , ÿâëÿþùèõñÿîäíîâðåìåííî ÿäðàìè ω (= Zy ïðè y ∈ Zρ2k+2 ∩ Θ), òî êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ q1ñîïðèêàñàåòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ Zy â ëþáîé îñîáîé òî÷êå y ýòîé ïîâåðõíîñòè.
 ñàìîìäåëå, íà óðîâíå q1 = 0 ýòî èìååò ìåñòî ïî ïîñòðîåíèþ, à ëþáàÿ äðóãàÿ ïîâåðõíîñòüóðîâíÿ q1 ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì q1 = 0 â ïîòîêå sgradω0 (Fk+1 ). Ïîýòîìó íà Zρ2k+2êîððåêòíî îïðåäåëåíî ãàìèëüòîíîâî ïîëå sgradω0 (q1 ). Î÷åâèäíî, ÷òî {Fk+1 , q1 }ω0 = 1.Åñëè k < n − 1, òî ïðîäîëæèì ïîñòðîåíèå, ðàññóæäàÿ ïî àíàëîãèè. Äëÿ ýòîãîïîòðåáóåòñÿ êîíñòðóêöèÿ D2 èåðàðõèè (îïðåäåëåíèå 8).Ëåììà 7 Åñëè O(ρ) äîñòàòî÷íî ìàëà, òî â ñëó÷àå k < n − 1 ñóùåñòâóåò D2 èåðàðõèÿ ãëóáèíû n − k − 1, òàê ÷òî íà ëþáîì j - ì óðîâíå êàæäûé äèñê146Dj2 (xj ) âëîæåí â O(ρ), è òî÷êà ρ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñòàðøåãî äèñêà D02 .
Ïðè ýòîìâ êàæäîé òî÷êå x ∈ D2n−2k èìååò íîðìàëüíîå (è òðàíñâåðñàëüíîå) ïåðåñå÷åíèåïîäìíîãîîáðàçèé D2n−2k è Zx2k . Òîðû Ëèóâèëëÿ âûñåêàþò òðèâèàëüíûå, 1-ìåðíûåñëîåíèÿ íà D02 è êàæäîì äèñêå Dj2 (xj ) â äàííîé D2 èåðàðõèè.Äîêàçàòåëüñòâî.  ïðîñòðàíñòâå Tρ M 2n íàéäåòñÿ òàêîé íàáîð 2-ìåðíûõïëîñêîñòåé Π21 , . . .
, Π2n−k , ÷òîZρ ∩n−kMΠ2i= 0,∀jdim Π2j∩Tρ T0n= 1,dimjMΠ2m = 2j .m=1i=1 ñàìîì äåëå, dim Zρ ∩Tρ T0n = k , ïîýòîìó â Tρ T0n íàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð, êîòîðûéíîðìàëåí ê ïëîñêîñòè Zρ . Äîïîëíèì åãî íåíóëåâûì âåêòîðîì, êîòîðûé íîðìàëåíê Tρ T0n + Zρ è íàòÿíåì íà ýòè äâà âåêòîðà ïëîñêîñòü Π21 . Åñëè ïðè j < n − kóæå ïîñòðîåíû ïëîñêîñòè Π21 , . . . , Π2j , òî â Tρ T0n íàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð, êîòîðûéíîðìàëåí k + j ìåðíîé ïëîñêîñòèj´³MZρ ⊕Π2m ∩ Tρ T0n .m=1Äîïîëíèì åãî íåíóëåâûì âåêòîðîì, êîòîðûé íîðìàëåí n + k + j ìåðíîé ïëîñêîñòèTρ T0n+ Zρ ⊕jMΠ2mm=1è íàòÿíåì íà ýòè äâà âåêòîðà ïëîñêîñòü Π2j+1 .Î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ D2 èåðàðõèÿ ãëóáèíû n − k − 1, äëÿ êîòîðîéTρ D02 = Π21 ,Tρ D12 (ρ) = Π22 ,2Tρ Dj−1(ρ) = Π2j ,2Tρ Dn−k−1(ρ) = Π2n−k . êîîðäèíàòàõ åå ìîæíî îïðåäåëèòü ïîñðåäñòâîì ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ, ôèêñèðóÿâ êàæäîé ïëîñêîñòè Π2j ìàëûé äèñê ñ öåíòðîì 0. Ñíà÷àëà ìû ïåðåíåñåì Π22 âêàæäóþ òî÷êó ïëîñêîñòè Π21 , çàòåì ïåðåíåñåì Π23 â êàæäóþ òî÷êó îáúåäèíåíèÿ 2ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé, ïîëó÷åííîãî íà ïåðâîì øàãå è ò.ä.
Òîãäàâ ìíîãîîáðàçèè M 2n ïëîñêîñòè Π21 îòâå÷àåò äèñê D02 , ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñàì Π22îòâå÷àþò äèñêè D12 (x1 ) è ò.ä.Îäíàêî íàì ñëåäóåò âûáðàòü äèñêè Dj2 (xj ) òàêèìè, ÷òîáû íà êàæäîì èç íèõ òîðûËèóâèëëÿ âûñåêàëè 1-ìåðíîå ñëîåíèå. Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ áûëà ïðåäëîæåíà â ñëó÷àåk = n − 1 (ïðèìåíèòåëüíî ê äèñêó D2 ). Îêðåñòíîñòü O(ρ) ñ÷èòàåì íàñòîëüêî ìàëîé,íàñêîëüêî ýòî íåîáõîäèìî. Èñïîëüçóåì òàêèå êîîðäèíàòû íà O(ρ), ÷òîáû ïåðåñå÷åíèÿ147O(ρ) ñ òîðàìè Ëèóâèëëÿ T n âûãëÿäåëè â R2n , êàê îáëàñòè â n - ìåðíûõ, ïàðàëëåëüíûõìåæäó ñîáîé ïëîñêîñòÿõ Πn . Ïðè ýòîì ïîäìíîãîîáðàçèþ T0n ∩ O(ρ) ïóñòü îòâå÷àåòîáëàñòü â n - ïëîñêîñòè Πn0 , è òî÷êà ρ èìååò êîîðäèíàòû (0, .
. . , 0) = 0 ∈ Πn0 . ÊàæäîìóΠ2j â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå R2n îòâå÷àåò òàêàÿ ïëîñêîñòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿåé ïîâåðõíîñòü ñîïðèêàñàåòñÿ ñ Π2j â òî÷êå ρ. Ýòó ïëîñêîñòü òàêæå îáîçíà÷àåì Π2j .Âûáåðåì â Πn0 ìàëûé îòðåçîê D01 ñ öåíòðîì 0, ëåæàùèé íà ïðÿìîé Π21 ∩ Πn0 .Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå îòðåçîê D01 îñòàíåòñÿ âëîæåííûìâ íåêîòîðóþ n - ïëîñêîñòü Πn . Âîçüìåì ìàëûé îòðåçîê D1 ⊂ Π21 c öåíòðîì 0,òðàíñâåðñàëüíûé D01 , è ïàðàëëåëüíî ïåðåíåñåì D01 â êàæäóþ òî÷êó îòðåçêà D1 .Âîçíèêàåò íåêîòîðûé ïàðàëëåëîãðàìì.
Ñãëàæèâàÿ åãî óãëû ïîëó÷èì äèñê D02 ,êîòîðîìó îòâå÷àåò ñòàðøèé äèñê èñêîìîé D2 èåðàðõèè. Çàòåì âûáåðåì íà ïðÿìîéΠ22 ∩ Πn0 îòðåçîê ñ öåíòðîì 0, êîòîðûé ñíîâà îáîçíà÷èì D01 , è òðàíñâåðñàëüíûéåìó îòðåçîê D1 ⊂ Π22 ñ öåíòðîì 0. Ïîâòîðèì ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ 2-äèñêà,è ïàðàëëåëüíî ïåðåíåñåì ïîëó÷åííûé äèñê D12 â êàæäóþ òî÷êó x1 ∈ D02 . Òàêïîëó÷àåòñÿ ñåìåéñòâî äèñêîâ D12 (x1 ). Ïðîäîëæàÿ ïî èíäóêöèè, åøå ÷åðåç n − k − 2øàãîâ ïîëó÷èì â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå R2n îáðàç èñêîìîé D2 èåðàðõèè.Êàæäûé äèñê Dj2 (xj ) ñîñòîèò èç âëîæåííûõ â òîðû Ëèóâèëëÿ îòðåçêîâ, ñåðåäèíûêîòîðûõ çàïîëíÿþò íåêîòîðûé (äðóãîé) îòðåçîê, ãëàäêî çàâèñÿùèé îò ñâîåãî öåíòðà.Ïðè xj = ρ ýòîò îòðåçîê ñîïðèêàñàåòñÿ â òî÷êå ρ ñ ïðÿìîé, äîïîëíÿþùåé â Π2j+1ïðÿìóþ Π2j+1 ∩ Tρ T0n .
Âûáèðàÿ îêðåñòíîñòü O(ρ) è âñå 2-äèñêè äîñòàòî÷íî ìàëûìè,ìû îáåñïå÷èì íîðìàëüíîñòü âñåõ ïåðåñå÷åíèé 2n − 2k ìåðíîãî äèñêà D2n−2k ñèíòåãðàëüíûìè ìíîãîîáðàçèÿìè Z . Ëåììà 7 äîêàçàíà 2.Çàôèêñèðóåì D2 èåðàðõèþ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé óòâåðæäàåòñÿ â ëåììå 7. Íà2óðîâíå n−k−1 ïðîèçâîëüíûé äèñê Dn−k−1(xn−k−1 ), ãäå xn−k−1 ∈ D2n−2k−2 , îïðåäåëÿåò2k + 2 ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèåZx2k+2=n−k−1[Zx2k .2x∈Dn−k−1(xn−k−1 )Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ k = n−1 ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êàæäûé òîð Ëèóâèëëÿ, ïåðåñåêàåòñÿ ñ íèì ïî k + 1 ìåðíîìóT n , èìåþùèé íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ Zx2k+2n−k−1ïîäìíîãîîáðàçèþ[Zx2k ∩ T n =[ζxk .2x∈Dn−k−1(xn−k−1 )∩T n2x∈Dn−k−1(xn−k−1 )∩T nÍà j - ì óðîâíå D2 èåðàðõèè êàæäûé äèñê Dj2 (xj ), ãäå xj ∈ D2j , îïðåäåëÿåò 2n − 2j148ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå[Zx2n−2j=jZx2k .22x∈Dn−k−1(xn−k−1 ), xn−k−1 ∈Dn−k−2(xn−k−2 ), ... , xj+2 ∈Dj2 (xj+1 ), xj+1 ∈Dj2 (xj )Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè j< m ≤ n − k , òî Zx2n−2jòðèâèàëüíî ðàññëîåíî íàjïîäìíîãîîáðàçèÿ âèäà Zy2n−2m .
Êàæäûé òîð Ëèóâèëëÿ T n , èìåþùèé íåïóñòîåïåðåñå÷åíèå ñ Zx2n−2j, ïåðåñåêàåòñÿ ñ íèì ïî n − j ìåðíîìó ïîäìíîãîîáðàçèþj[Zx2n−2j−2 ∩ T n .x∈Dj2 (xj )∩T nÍàêîíåö, ñòàðøèé äèñê D02 îïðåäåëÿåò 2n ìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå[Z 2n =Zx2k ,22x∈Dn−k−1(xn−k−1 ), xn−k−1 ∈Dn−k−2(xn−k−2 ), ... , x2 ∈D12 (x1 ), x1 ∈D02êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü ñîâïàäàþùèì ñ îêðåñòíîñòüþ O(ρ).Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ k=n − 1 ëåãêî ïðîâåðèòü ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå. Íà ïîäìíîãîîáðàçèè Zρ2k+2 ñóùåñòâóåò ãàìèëüòîíèàí Fk+1 êîððåêòíîîïðåäåëåííîãî ïîëÿ sgradω0 (Fk+1 ), ãäå ω 0 = ω|Zρ2k+2 .
Ýòî ãàìèëüòîíîâî ïîëå èãåíåðàòîðû ëîêàëüíîãî, ïóàññîíîâà äåéñòâèÿ Rk (ñ îðáèòàìè ζak ) îïðåäåëÿþòëîêàëüíîå, ïóàññîíîâî äåéñòâèå ãðóïïû Rk+1 íà Zρ2k+2 .22Ïóñòü ñëîåíèå äèñêà Dn−k−2(ρ) îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé Fk+2 : Dn−k−2(ρ) → R,èìåþùåé íåíóëåâîé äèôôåðåíöèàë â òî÷êå ρ. Ïðîäîëæèì Fk+2 íà ïîäìíîãîîáðàçèå2Zρ2k+4 , ïîëàãàÿ ýòó ôóíêöèþ ïîñòîÿííîé íà ñëîÿõ Zx2k+2 , ãäå x ∈ Dn−k−2(ρ). ÒîðûËèóâèëëÿ âûñåêàþò k + 2 ìåðíîå ñëîåíèå íà Zρ2k+4 , ÿâëÿþùååñÿ ëàãðàíæåâûì íàñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè Zρ2k+4 \ Θ, ãäådim Zρ2k+4 ∩ Θ = 2k + 3 .Ôóíêöèÿ Fk+2 : Zρ2k+4 → R ïîñòîÿííà íà ñëîÿõ, ïîýòîìó îíà ïîñòîÿííà íà êàæäîìïîäìíîãîîáðàçèè âèäà Zρ2k+4 ∩ T n , ãäå T n åñòü òîð Ëèóâèëëÿ.
Èíòåãðàë Fk+2 òàêæåïîñòîÿíåí íà êàæäîì Zy2k ⊂ Zρ2k+4 . Ñëåäîâàòåëüíî, íà ìíîãîîáðàçèè Zρ2k+4 c ôîðìîéω 0 = ω|Zρ2k+4 êîððåêòíî îïðåäåëåíî ãàìèëüòîíîâî ïîëå sgradω0 (Fk+2 ).2Çàôèêñèðóåì â äèñêå Dn−k−2(ρ) îòðåçîê D01 c öåíòðîì ρ, íîðìàëüíî2ïåðåñåêàþùèéñÿ ñ Dn−k−2(ρ)∩T n â òî÷êå ρ. Îïðåäåëèì íà Zρ2k+4 ôóíêöèþ q2 , êîòîðàÿðàâíà ñäâèãó ïàðàìåòðà âäîëü òðàåêòîðèè sgradω0 (Fk+2 ), èäóùåé â äàííóþ òî÷êó îò2k + 3 ìåðíîé ïîâåðõíîñòè[Zx2k+2 .x∈D01149Ïîñêîëüêó ïîòîê sgradω0 (Fk+2 ) ñîõðàíÿåò ïîëå ÿäåð Zy , òî êàæäàÿ ïîâåðõíîñòüóðîâíÿ q2 ñîïðèêàñàåòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ Zy â ëþáîé îñîáîé òî÷êå y ýòîé ïîâåðõíîñòè. ñàìîì äåëå, íà óðîâíå q1 = 0 ýòî èìååò ìåñòî ïî ïîñòðîåíèþ, à ëþáàÿ äðóãàÿïîâåðõíîñòü óðîâíÿ q1 ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì q1 = 0 â ïîòîêå sgradω0 (Fk+2 ). Ïîýòîìó íàZρ2k+4 êîððåêòíî îïðåäåëåíî ïîëå sgradω0 (q2 ).
ßñíî, ÷òî {Fk+2 , q2 }ω0 = 1.Òåïåðü ôóíêöèè Fk+1 è q1 , çàäàííûå íà Zρ2k+2 ⊂ Zρ2k+4 , ïðîäîëæèì íà âñåìíîãîîáðàçèå Zρ2k+4 , ïîëàãàÿ ïîñòîÿííûì âäîëü òðàåêòîðèé ïîëåé sgradω0 (Fk+2 ) èsgradω0 (q2 ). Ñóùåñòâóåò ëîêàëüíîå, ïóàññîíîâî äåéñòâèå ãðóïïû Rk+2 íà Zρ2k+4 .Ïðîäîëæàÿ ïî èíäóêöèè, åùå ÷åðåç n − k − 2 øàãîâ àëãîðèòìà ïîëó÷èì èñêîìûéíàáîð íåçàâèñèìûõ, ëîêàëüíûõ èíòåãðàëîâ Fi è ôóíêöèé qi íà ìíîæåñòâå Zρ2n = O(ρ),ãäå k + 1 ≤ i ≤ n è {Fi , qi } = 1. Îñòàëüíûå êîììóòàòîðû â ýòîì íàáîðå ðàâíû íóëþ.Âñå ïîëÿ sgrad(Fi ) è sgrad(qi ) êîððåêòíî îïðåäåëåíû íà O(ρ). êàæäîé òî÷êå y ∈ O(ρ) ∩ Θ èìååò ìåñòî dFi (Zy ) = 0.
Èç ôóíêöèîíàëüíîéíåçàâèñèìîñòè èíòåãðàëîâ Fi âûòåêàåò ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ïîëåé sgrad(Fi ).Ïîñêîëüêó íèêàêàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ â òî÷êå ρ íå ëåæèò â Zρ , òîêîììóòèðóþùèå ïîëÿv1 , v2 , . . . , vk , sgrad(Fk+1 ), . . . , sgrad(Fn )ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íà O(ρ).  êàæäîé òî÷êå x ∈ O(ρ) âåêòîðûsgrad(Fi ) è sgrad(qj ) êîñîîðòîãîíàëüíû ïëîñêîñòè Zx â ñèëó òîãî, ÷òî êàæäàÿ èçôóíêöèé Fi è qj ïîñòîÿííà íà Zx2k . Ïîýòîìó ïðè x 6= O(ρ) ∩ Θ êîñîîðòîãîíàëüíîåäîïîëíåíèå ê Zx íàòÿíóòî íà âñå âåêòîðû sgrad(Fi ) è sgrad(qj ), ãäå k + 1 ≤ i ≤ n è1 ≤ j ≤ n − k.Ââåäåì íà ìíîãîîáðàçèè Zρ2k ∩ O(ρ) êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû òîãî âèäà,êîòîðûé îïèñàí â ëåììå 5, îãðàíè÷èâàÿ íà Zρ2k èíòåãðàëû F1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
